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f^arbarli College l^tbracs
^ROM THB BEqjJEST OP
HORACE APPLETON HAVEN,
OF PORTSMOUTH, N. H.
(€■••• «f 194». )
^ja^ — J-3 J)jt4L 1^96-
SCIENCE CENTER LIBRARY
1
ji-
Zeitschrift
für
Mathematik und Physik
herausgegeben
anier der yerantwortlichen Redaction
Dr. O. Schlömilch und Dr. XL Cantor.
40. Jahrgang.
Mit in den Text gedruckten Figuren und fünfzehn lithographirten Tafeln.
Leipzig,
Verlag von B. G. Teubner.
1895.
^v - ^^^^l
')3^?-> ^(xam/*- -^w.l
Druck von 6. G. Teabner in Dresden.
Inhalt.
Arithmetik imd AnalysiB. Seite
Additionslogarithmen für complexe GrGssen. Von Prof. Mehmke . 15
Zur Theorie der Determinanten höheren Banges. Von N. v. Ssüts . . . .113
Die Transformation der quadratischen Formen. Von Th. Yahlen .... 127
Conforme Abbildungen, welche von der ^-Function vermittelt
werden. Von Prof. Kluyver 129
Ein neuer Satz über die Determinanten einer Matrix. Von W. Ahrens . .177
Beiträge zur Integralrechnung. Von Prof. Netto 180
Kurze Ableitung der Bedingungen, dass zwei algebraische Gleichungen mehrere
Wurzeln gemein haben. Von Prof. Lüroth 247
Zur Transformation eines Systems linearer partieller Differentialgleichungen.
Von Dr. B. Schultz 302
üeber die partiellen Differentialgleichungen, denen die symmetrischen Func-
tionen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung genügen. Von
Prof. Netto 876
Zahlentheorie.
CFeber die Bestimmung der Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegebenen
Zahl N mit Hilfe der Primzahlen, welche kleiner als YN sind. Von
Dr. YoUprecht 118
Oombinatorischer Beweis des Wilson'schen Satzes. Von Dr. Ad. Schmidt . 124
Ueber einen zahlentheoretischen Satz von Legendre. Von O. Schlömüch . 126
Ueber eine Verallgemeinerung der Euler'schen qp- Function. Von Th. Yahlen 126
Ueber einen zahlentheoretischen Satz des Herrn Schubert. Von W. Ahrens 246
Synthetigehe und analytisehe Geometrie.
Metrische Eigenschaften der cubischen Baumcurve. VonProf. Sturm 1
Das Verhalten der Steiner'schen, Cayley'schen und anderer co-
varianter Curven in singulären Punkten der Grundcurve.
Von Dr. WöliHjig 31
Ueber die reciproken Figuren der graphischen Statik. Von Prof.
Schur 48
Zur Perspective des Kreises. Von O. Schlömüch 66
Construction der Krümmungsmittelpunkte von Kegelschnitten. Von Prof.
Kinkelin 68
Constructionen der Curven dritter Ordnung aus neun gegebenen
Punkten und Construction des neunten Punktes zu acht
Grundpunkten eines Büschels von Curven dritter Ordnung.
Von Dr. Beyel 99
Beweis eines Satzes von Steiner über die Krümmungskreise der Ellipse. Von
B. Sporer 123
Ueber einige besondere Curven des dritten Grades und solche
der dritten Klg-sae. Von B. Sporer 159
IV Inhalt.
Seite
Metrische Strahlencongruenzen bei einer cubischen Baumcurye.
Von Dr. Krüger 193
Metrische Eigenschaften der cubischen Baamcuryen. Von Prof.
Mehmke 211
Zwei Aufgaben aus der Perspective. Von Dr. Beyel 266
lieber die Anzahl der Kegelschnitte, welche durch Punkte, Tan-
genten und !Normalen bestimmt sind. Von Dr. Wixnan . . . 296
Der dem Pythagorischen Lehrsatze entsprechende Satz der Sphärik. Von
Dr. Veiten 312
Die Schraubenflächen constanter mittlerer Krümmung. Von Dr. Heckhoff .313
Construction der Focalcurve aus sechs gegebenen Punkten. Von
Prof. R. Müller 837
üeber eine besondere Fläche dritter Ordnung mit vier Doppel-
punkten. Von Dr. Thieme 862
lieber die conforme Abbildung der Lemniscatenfläche. Von F. Sohilling . 370
Bemerkungen über doppelt -centrische Vierecke. Von Dr. Beyel 372
Kinematik und Meebanik.
üeber die Wendepole einer kinematischen Kette. Von Prof.
Wittenbauer 91
üeber denBeschleunigungspol derzusammengesetztenBewegung.
Von Prof. Wittenbauer 161
üeber die mechanische Erzeugung der orthogonalen Projectionen
ebener Curven. Von Dr. Belaiinay 242
üeber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
Von Prof MüUer 257
Die Beschleunigungspole der kinematischen Kette. Von Prof.
Wittenbauer 279
üeber den Schwerpunkt der gemeinschaftlichen Punkte eines Kegebchnitts
imd einer Curve dritten Grades. Von B. Sporer 381
Fhjgik.
Der Bunsenbrenner. . Von Prof. Dr. Kurz 60
Homocentrische Brechung des Lichts durch das Prisma. Von Prof.
Dr. Burmester 65
Zur Wärmeleitung in der Erde. Von Prof. Kura 185
Erwärmung des Wassers durch Zusammendrücken. Von Prof. Kurs . . .187
Abkühlung von Drähten durch Zug. Von Prof. Kurs 188
Nachtrag zur barometrischen Höhenmessungsformel. Von Ptof. Kurz . . .190
Wärmecapacitäten. Von Prof. Kurz 261
Gemisch von Flüssigkeit und Dampf. Von Prof. Kurz 253
Homocentrische Brechung des Lichts durch die Linse. Von Prof.
Dr. Burmester 321
Zur homocentrischen Brechung desLichts im Prisma. Von Dr. Wilsing 358
Preisanfgaben.
Preisaufgaben der Fürstl. Jablonowski'schen Gesellschaft der Wissenschaften.
Für die Jahre 1895, 1896, 1897 und 1898 190
Zeitsclirift
rar
lyiallieiiiatik iinil IMivsik
t
miiir der vematwaitüchnti ß^itaelitia
Di\ O. Sohlömüch wä Dr, BL Cantor.
40« Jahrgang. L Heft.
Mit Mni?f ]tihiig^r«|ilttri«ii Tufel,
Vrrlmg vuu B, G, Teuboftr
ir-ift^W'^
\V. Wcrllirr»» %erla|f i« ll©**t«irk:
Leitfailen der Stereometrie
ot)l>dt 140 ÜbyngfiAoifeftben.
Für hUköTf Lelmiysüilti^Ti ^earbititct vrm
Tir. E. Wrobpl,
'li^rsUglinii vdomtin;
VtH&g von 'tuiiu^ Spritn'i'r itt B^rlitt N.
Willielm Olbeiu
Sein Leben unii seilte Werke«
i>r.CVHcliimtiK.
GeMlJtiiiii*ltC Werke.
Mi^ dtm Bttdni»* W*ih*i
Dm twoHt> T1»n^l »ftlauert tm rütetjttco Jilir »tir Au«bb|»«»
Zm %e*iek*M tiurcA nUg MMihkmHtilmm^^m.
Verlag von Jnlias Sl]irlticer iu Berllii N.
Soeben eij-cbieii^iß;
Matlieiiuitisclie Theorie des Lichtes.
^'"o r l e s 11 n g e ii
Itt'tlii^nrt Ynn C Blond in, Pmatdocent a« dör UniverwtJlt wi i^ru.
Autorisierte doutsclia Ausgabe
Ür» E# 0timlicH und Dn W. ime^r*
Mit 36 in tieu Text getlnirktou Figuren
Prds M. 10,
2u beaiehea dujeh alle BucbbandluiiseB.
I.
Metrische Eigenschaften der cubischen Raumcurve.
Von
Prof. ß. Stürm^
in Breslan.
1. Die Gradzahlen der mit der cubischen Banmcarve yerbnndenen Oerter
der Normalebenen, rectificirenden Ebenen, Hanpinormalen^ Binormalen
Q. 8. w. findet man leicht mit Hilfe folgender allgemeiner Sfttze:
1. Die Geraden, welche entsprechende Punkte zweier
eindeutig auf einander bezogener Cnrven fi**'und fi^**' Ord-
nung yerbinden, erzengen eine Regelfftche (n + ^i)**'^ Grades.
Denn in einem Ebenenbttschel entsteht durch die Ebenen, welche ent-
sprechende Punkte enthalten 9 eine Correspondenz [n|, n], deren Coincidenzen
die Geraden der Begelfläche enthalten , welche die Achse des Bttschels
schneiden.
Der Grad der BegelflSche vermindert sich um o, wenn a-mal ent-
sprechende Punkte zusammenfallen.
2. Bei zweiCuryenn**'Ordnnng, bezw.ni**'£lasse, welche
sich in derselben Ebene befinden und in eindeutiger Be-
ziehung der Punkte und Tangenten stehen, fällt (fi + ^i)-m&l
ein Punkt der ersten auf die entsprechende Tangente der
zweiten.
Die Correspondenz nftmlich in einem beliebigen Strahlenbüschel der
Ebene, in der zwei Strahlen einander entsprechen, von denen der eine
nach einem Punkte der ersten Curve, der andere nach dem Schnitte der
Tangente desselben mit der entsprechenden Tangente der zweiten Curve
geht, ist, wenn n die Klasse der ersten ist, [n'+n^t n]. Zu den Coin-
cidenzen gehören die im Büschel befindlichen Tangenten der ersten Curve,
die übrigen führen zu Incidenzen entsprechender Punkte und Tangenten.
üeberirägt man diesen Satz auf die Kegel, welche aus einem beliebigen
Punkte die Punkte einer Curve n*^' Ordnung und die Geraden einer Begel-
fläche n,^*^ Grades projiciren, so hat man:
3. Wenn die Punkte einer Curve n***' Ordnung auf die
Erzeugenden einer Begelfläche n^^^^^ Grades -~ im besonderen
Falle auf die Tangenten einer Curve n^*^^ Ranges {n^^^ Klasse, wenn sie
eben ist) — bezogen sind, so umhüllen dieTerbindungsebenen
Zeitflohrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1 895. 1. Heft. 1
Metrische Eigenschaften der cnbischen Baumcarve.
entsprechender Punkte und Tangenten einenTor6U8(n+Mi)^®'
Klasse.
Ebenso ist dual, wenn die Schmiegnngsebenen einer Cnrve n^" Klasse
eindeutig anaf die Erzeugenden einer Begelflttche n^^^^ Grades bezogen sind,
der Ort der Schnittpunkte entsprechender Elemente eine Cunre (n + ^i)*^
Ordnung.
Daraus ergiebt sich:
4. Wenn die Punkte einer Curve n**' Ordnung auf die
Schmiegungsebenen einer Curve n^**' Klasse eindeutig be-
zogen sind, so inoidiren (n + Mi)*ina.l entsprechende Elemente.
Zum Beweise benutzt man das Erzeugniss der Schnittpunkte der
Tangenten der ersten und der entsprechenden Schmiegungsebenen der
zweiten Curve und eine Correspondenz in einem Ebenenbüschel.
2. Die Tangentenflftche der cubischen Baumcurve 9i' schneidet in die
unendlich ferne Ebene @ eine Curve €^3 vierter Ordnung dritter Klasse
ein. Ihre acht Schnitte mit der absoluten Curve iS^ (dem unendlich
fernen imaginftren Kugelkreise) lehren, dass es acht Punkte auf 91^
giebt, deren Tangenten die St^ treffen und bei denen sich
Normalebene und rectificirende Ebenen — in eine die ft' be-
rührende Ebene — vereinigen.
Dnter den Schmiegungsebenen der SU' zeichnen sich die
sechs aus, welche ft' berühren; ihre 15 Schnittstrahlen sind die
Focalstrahlen, die zehn Diagonalen (Verbindungslinien von Gegenecken)
des durch die gebildeten Sechsflachs die Achsen der cubischen Baumcurve.*
Jede von^diesen sechs Schmiegungsebenen vereinigt sich
mit der zugehOrigenrectificirendenEbene, undihr Krümmungs-
Mittelpunkt, das heisst ihr Schnitt mit den beiden Normalebenen auf
den in ihr gelegenen Tangenten, ^st ihr Berührungspunkt mit $'•
3. Ist €^4 die Polarcurve von (^^3 in Bezug auf R\ so erhalten wir,
die entsprechenden Punkte von 9t' und (S,\ verbindend:
Die Binormalen der cubischen Baumcurve erzeugen eine
Begelflftche sechsten Grades, von welcher drei Erzeugende
in @ fallen; die Binormalen der unendlich fernen Punkteil, J?, Cvon 9i^.
Verbinden wir die Punkte von 81' mit den Tangenten von €'4, so
ergiebt sich:
Die Normalebenen der cubischen Baumcurve umhüllen
einen Torsus siebenter Klasse, welcher @ zur dreifachen
Berührungsebene hat; denn sie ist Normalebene für Ä, By C.
Verbindet man aber die Tangenten von SR' mit den entsprechenden
Punkten von €'4, so hat man:
* H. Krüger, „Die Focaleigenschaften der cnbischen Baumcurve", Disser-
tation. Breslan 1885. — Bekanntlich werden auch die Schnittlinien der Schmiegungs-
ebenen Achsen^ genannt.
Von Prof. E. Stürm.
Die rectificirenden Ebenen ▼onfR'nmhüllen einen Torsue
ebenfalls siebenter Klasse, zu dem aber (S nicht gehört.*
Der Schnitt dieser rectificirenden Fläche mit € ist eine Cnrve siebenter
Klasse Q^] polarisiren wir sie in Bezug auf ft' in die Cnrve siebenter Ord-
nung & und verbinden wiederum die entsprechenden Pnnkte von 9t' und S^,
so erhalten wir:
Die Hauptnormalen der cubischen Baumcurve erzengen
eine Begelflftche zehnten Orades.
Sie ist auch das Erzeugniss der Schnittlinien entsprechender Ebenen
des Torsus dritter Klasse der Schmiegnngsebenen und des Torsus siebenter
Klasse der Normalebenen von IR^.
Ebenso sind die Binormalen Schnittlinien entsprechender Ebenen der
beiden Torsen siebenter Klasse der Normalebenen und der rectificirenden Ebenen ;
aber achtmal vereinigen sich entsprechende Ebenen, daher sinkt der Grad
der Begelfläcbe der Binormalen von 14 auf 6 herab.
Die Fläche der Hauptnormalen hat drei in (S gelegene
Erzengenden, die Hauptnormalen von Ä^ B, C7.
4. Der Torsus der Normalebenen kann keine stationäre Ebene haben
und ein ebener Schnitt von ihm keine Wendetangente. Dieser Schnitt ist
vom Geschlechte 0 und hat eine dreifache Tangente im Unendlichen;
daraus ergiebt sich, mit Hilfe der Flacker 'sehen Formeln, dass er zwOlf
weitere Doppeltangenten hat und seine Ordnung 12 ist
Die Krttmmungsachsen der cubischen Baumcurve err
zeugen eine abwickelbare Fläche zwölfter Ordnung sieben-
ter Klasse.
Schneiden wir entsprechende Schmiegungsebenen und Krümmungs-
achseo, so ergiebt sich:
Die Krttmmungs-Mittelpnnkte d^r cnbischenBaumcurve
erzeugen eine Curve 15. Ordnung.
Die Krfimmungsachsen verbinden die Punkte dieser Curve mit den
entsprechenden von iS.\. Die Beduction der Ordnung ihrer Fläche von
15 + 3 auf 12 beruht darauf, dass sechsmal — bei den ft' berührenden
Sebmiegungsebenen — entsprechende Punkte zusammenfallen.
Andererseits verbinden die Hauptnormalen entsprechende Pnnkte der
9t' und dieser Curve 15. Ordnung ; die Beduction um 8 geschieht wegen
der Punkte von 9t', bei denen die Normalebene mit der rectificirenden
Ebene und infolge dessen der Krdmmungs- Mittelpunkt mit dem Pnnkte
von 91' sich vereinigt, zu dem er gehört.
5. Wenn Ä\ A" die beiderseitigen Nachbarpunkte des unendlich fernen
Punktes Ä der 9t' sind, so ist (S die zu Ä gehörige Normalebene , die von
* Dieser Satz und der über die Binormalen findet sich schon bei Krüger.
1*
4 Metrische Eigenschaften der cabischen Baamcarve.
JL\ Ä' scbneideir beide die @ in der Wendetangente a yon €'4, welche
dem gemeinsamen Punkte A der Tangenten AÄ^ Ä'A yon 9t' — der ein
BUckkehrpunkt von S^^ ist — entspricht Daher wird sie Bückkehr-
Erzeagende der abwickelbaren Fläche der Normalebenen und dreipanktig
berührende Tangente der Bückkehrcurve dieser Fläche. Die drei Geraden
a, b, Cf den nnendlich fernen Punkten A^ B^ 0 vpn 9i' zugehörig , je
dreifach gerechnet — weil (S die zugehörige Berührungsebene ist — ver-
YoUständigen S'^ zum Schnitte zwölfter Ordnung.
Ein ebener Schnitt des Normalebenen -Torsus ist siebenter Klasse
zwölfter Ordnung, hat eine dreifache und zwölf doppelte Tangenten, also
15 Bückkehrpunkte, von denen drei yon den eben erwähnten Bückkehr-
Erzeugenden herrühren. Die zwölf übrigen lehren:
Die Bückkehrcurve des Normalebenen-Torsus oder die
Curve der Mittelpunkte der vierpunktig berührenden Kugeln
(Schmiegungskugeln) ist zwölfter Ordnung (zwölften Banges
siebenter Klasse).
Wirkliche Doppelpunkte kann sie nicht besitzen; daher haben wir,
wenn h die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte und 5 die der Bückkehrpunkte
dieser Curve ist, 2^ + 3^=12.11 — 12 = 120, und wegen des Oeschlechts 0:
^ + 5 = 55, also: ^ = 45, 5=10.* Die letztere Zahl liefert den Satz:
Die oubische Banmcurve besitzt zehn Kugeln, welche
sie fünfpunktig berühren.
6. Auch zwei auf einander folgende rectificirende Ebenen können nicht
zusammenfallen. Daraus schliessen wir:
Die rectificirende Fläche der cubischen Banmcurve ist
zwölfter Ordnung.
In jeder Ebene giebt es 15 Gerade, durch welche zwei rectificirende
Ebenen gehen.
Die Bückkehrcurve dieser Fläche ist 15. Ordnung und
hat 16 Bückkehrpunkte.
Es giebt also 16 Punkte, durch welche vier auf einander
folgende rectificirende Ebenen von 91^ gehen.
Weil die rectificirende Ebene Grenzlage der Halbirungsebene des einen
Flächenwinkels zweier benachbarter Schmiegungsebenen ist, so ist jeder
Punkt in ihr Mittelpunkt einer Kugel, welche beide Schmiegungsebenen
berührt.
Folglich sind die 16 Punkte Mittelpunkte von Kugeln,
welche je fünf auf einander folgende Schmiegungsebenen
tangiren.
Die Krümmungsachsen verbinden entsprechende Punkte der Curve
15. Ordnnng der Krfimmungs- Mittelpunkte und der Curve zwölftel Ordnung
der Mittelpunkte der Schmiegungskugeln und erzeugen eine Fläche zwölfter
Ordnung, also:
Von Prof. B. Sturm.
Der Erttmmungs-Mittelpunkt fSllt 16-insll mit dem zu-
gehörigen Schmiegnngskngel-Mittelpnnkte zusammen.
Von den unendlich fernen Punkten der Curve der Erttmmungs-
Mittelpunkte fallen sechs in die Pankte, in denen St* yon Schmiegungs-
ebenen der 91^ berührt wird; die neun übrigen fallen zu je dreien in die
Schnitte der Oeraden a, i, c, der Erümmungsachsen von Ä^ B^ 0, mit
den Schmiegangsebenen' a, ß^ y dieser Pankte; denn für jeden dieser drei
Punkte der 91^ und seine beiden Nachbarpunkte ist der Erümmungs-
Mittelpunkt unendlich fem.
Die zwOlf Schnitte aber der Carve der Mittelpunkte der Schmiegungs-
kugeln mit 6 fallen zu je vier in die diesen Wendetangenten a, 6, c yon
iS.\ zugehörigen Wendepunkte, denn durch jeden der Pankte A^ B^ C gehen
vier unendlich nahe Schmiegungskugeln, sämmtlich mit unendlich fernem
Mittelpunkte, in ihrem Berührungspunkte aber mit (S'4 wird die Wende-
tangente, als Erttmmungsachse der 9i'; yon der nSchstfolgenden Normal-
ebene geschnitten.
Der Erümmungskreis eines der Punkte A^ B, C besteht
aus dessen Tangente und der unendlich fernen Geraden
der Bchmiegungsebene, die Sohmiegungskugel aus dieser
Schmiegungsebene and der unendlich fernen Ebene.
7. Die Ereise auf denFlftchen eines Büschels zweiter Ord-
nung bilden eine Congruenz von Ereisen, yon der durch jeden
Punkt sechs gehen.
Die Ebenen dieser 00' Ereise berühren alle die Caylej'sche Curve
dritter Elasse des Netzes von Eegelschnitten in (S, das durch den St* and
den vom Flächenbüschel eingeschnittenen EegelschnittbtUchel constituirt
wird. Folglich umhüllen die Ebenen derjenigen von diesen Ereisen, die
durch einen Punkt 0 der Grundcurve 91^ des Büschels gehen, einen. Eegel
dritter Elasse. und auf dem Erzeugnisse dieser Ereise ist 9i^ dreifach.
Lassen wir auf einer Oeraden l einem Punkte X die sechs Pankte X^
entsprechen ; in denen l von den Ebenen der sechs durch 0 gehenden Ereise
auf der Fläche des Büschels durch X geschnitten wird , so gehen umgekehrt
durch jeden X^ die Ebenen von drei darch 0 gehenden Ereisen auf Flächen
des Büschels und es entsprechen dem X^ die sechs Punkte X, in welchen
diese Flächen die l schneiden. Aus den zwölf Coincidenzen dieser Corre-
spondenz [6,6J folgt:
Die Ereise auf den Flächen eines F^-Büschels, welche
durch einen Punkt 0 der Orundcurve 91^ gehen, erzeugen
eine Fläche zwölfter Ordnung.
Der Schnitt dieser Fläche mit jeder Fläche des Büschels besteht aus
der dreifachen Grundcurve und den sechs auf der letzteren Fläche gelegenen
Kreisen durch 0, der unendlich ferne Schnitt aber aus R\ dreifach gerechnet,
uBd den sechs Geraden der drei Paraboloide des Büschels; denn jede von ihuen
6 Metrische Eigenschaften der cnbisohen Banmcnrye.
setzt mit der di|rch 0 gehenden Geraden der anderen Schaar einen Kreis
zasammen.
Der Punkt 0 ist aaf ihr neunfach, denn die drei weitereu Schnitte
einer durch ihn gehenden Oeraden rühren von den Kreisen her, die sich
in den drei Berührungsebenen befinden, welche von der Geraden an den
Kegel dritter Klasse gehen.
Wenn 0 einer von den unendlich fernen Punkten von SR^ ist, so zer-
fällt die Fläche in diejenigen drei Begelschaaren der Paraboloide, zu denen
die drei durch 0 gehenden von den sechs Geraden nicht gehören , und in die
Ebene (S, sechsfach gerechnet, da auf jeder F^ der unendlich ferne Schnitt
zu allen sechs Kreisschaaren gehört.
8. Lassen wir y^ in eine cubische Baumcurve und eine Sehne der-
selben zerfallen, so haben wir:
Eine cubische Baumcurve 91^ ftthrt zu einem Complexe
von Kreisen, denjenigen nftmlich, welche durch die drei
Schnitte der verschiedenen Ebenen gehen. Jeder von ihnen
ist mit SR' durch eine FlSche zweiten Grades verbunden.
Alle FIttchen zweiten Grades, welche durch dt' und die Tangente
dieser Curve im Punkte P gehen , berühren in P die Schmiegungsebene » ,
so dass jeder Strahl des Büschels (P, n) auf einer dieser Flächen liegt.
So zeigt sich» wie die in Geradenpaare zerfallenden Krümmungskreise der
Punkte Ät Bj C mit 9i' durch Flächen zweiten Grades verbunden sind.
Die durch einen Punkt 0 gehenden Kreise unseres Com-
plexes erzeugen eine Fläche zwölfter Ordnung.
Auf derselben sind y^, Sfi und die Sehne o von 91' durch
O dreifach, die unendlich fernen Sehnen der 9i' und die
drei weiteren Geraden der durch Si' und 0 gehenden Para-
boloidc; welche mit (S oder 0 incidiren, einfach, der Punkt
0 endlich neunfach.
Die Ebenen dieser Kreise umhüllen einen Kegel dritter
Klasse.
Weil die Curve dritter Klasse in @, nach welcher dieser Kegel geht,
von neun Schmiegungsebenen der SR^ tangirt wird, so gehen von den
Flächen zweiten Grades, die durch 91' und die verschiedenen
Krümmungskreise gelegt sind, neun durch jeden Punkt
Diese Flächen rufen zwischen den Punktreihen auf 91' und auf einer
beliebigen Geraden eine Correspondenz [9,2] hervor. Sie hat auf 9t^
2.9(2—1) =: 18 und auf der Geraden 2.2(9— 1) == 32 Verzweigungspunkte.*
Von den genannten Flächen berühren 18 eine Gerade
und ihre Enveloppe ist 32. Ordnung.
* In Bezug auf höhere Correspondenien vergleiche mein Buch: „Die Gebilde
ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie Theil T^ (Leipzig 1899) S. 16 Og.
Von Prof. B. Btubh.
9. Ein allgemeines JP^-Netz ffihrt ebenfalls zn einem Com-
plexe von Kreisen; jede Ebene schneidet eine Flftche des Netzes in
einem Kreise.
DieKreise diesesComplexes in den Ebenen einesBaschels
erzeugen eine Flftche fünfter Ordnung, auf der die Achse
dreifach ist
Auf jeder Geraden I entsteht nämlich durch die Schnitte mit einer
Ebene des Büschels und mit der Flftche des Netzes, welche die Ebene in
einem Kreise schneidet, eine Cprreepondenz [3,2]; denn durch einen Punkt
▼on I wird aas dem Netze ein Büschel ausgeschieden , dessen in (S gelegene
UmhüUungscurye der Kreisschnitt -Ebenen von drei Ebenen des Büschels
berührt wird. Die fünf Coincidenzen führen zur Behauptung«
DieEbenen derjenigen Kreise unseresComplexes, welche
eine gegebene Oerade l treffen» umhüllen eine Flftche fünfter
Klasse, für welche alle Ebenen durch l doppelt sind.
Wenn I durch einen Orundpunkt des Netzes geht, oder in dem uns
besonders interessirenden Falle, wo alle Flftchen des Netzes durch eine 91'
gehen I wenn l diese Curve trifft, sondert sich von der Flftche ein Bündel
ab. Geschieht es zweimal, so bleibt nur eine Flftche dritter Klasse, offen-
bar die unendlich ferne Curve dritter Klasse, die zu dem Büschel aus dem
Netze gebOrt, auf dessen Flftchen sich die fraglichen Kreise befinden.
Ein Paukt 0 scheidet aus dem Netze einen Büschel aus. Die Ebenen
der zwölf Kreise, welche durch 0 gehen und l treffen, berühren sowohl
den Kegel dritter Klasse, der zu dem Büschel und dem auf seiner Grund-
curve gelegenen Punkte 0 gehört, als auch die Flftche fünfter Klasse,
welche zum Netze und zur Geraden I gehört Es bleiben also noch drei
weitere gemeinsame Ebenen.
10. Verbundene Kreisschnitt- oder cyklische Ebenen einer
Flftche zweiten Grades F^ seien solche, die zur nämlichen Achse der
Flftche parallel sind. Ihre unendlich fernen Geraden {, l' bilden ein Geraden-
paar des Büschels (i^^(S, ft^); die bei den Flftchen unseres Netzes
sich ergebenden (, f bilden daher die Geradenpaare des Gebüsches von
Kegelschnitten, das durch ft* und das aus dem Flftchennetze ausgeschnittene
Kegelschnittnetz constituirt wird. Folglich sind je zwei zusammengehörige
f , f in Bezug auf alle Kegelschnitte der Schaar conjogirt, welche sich auf
dies Gebüsche stützt. Grandtangenten dieser Schaar sind die Berührungs-
sehnen, mit ft', der vier zum Netze gehörigen Rotationsflftchen.
Die unendlich fernen Geraden t, f verbundener cjklischer
Ebenen der Flftchen eines JP^-Netzes entsprechen sich in einer
involutorisohen quadratischen Verwandtschaft. Ihr Haaptdrei-
seit ist das Polardreiseit der Kegelschnittschaar.
Jeder Seite f dieses Dreiseits als t entsprechen als t' alle Strahlen durch
die Gegenecke ®. Daraus folgt, dass in jeder Ebene durch f nicht blos
-<8 Metrische Eigenschaften der cuhischen Raumcurve.
-ein Kreis liegt, sondern oo^, aaf- verschiedenen FIttchen des Netzes befind-
lich ^ deren verbundene cykliscbe Ebenen durch die verschiedenen Strahlen
des Büschels (@| (S) gehen.
Die Fl&chen bilden auch einen Bttschel, dessen Grundcurve durch die
beiden Punkte ^'f geht; die Strahlenbüschel um diese Punkte und der um
@ setzen die zu diesem FiSchenbQschel gehörige Curve dritter Klasse zu-
sammen.
Bei einemF^-Netzegiebt es drei ausgezeichnete Stellungen
von Ebenen, welche nicht blos eine Fläche, sondern sämmt-
liche FUchen eines Büschels des Netzes in Kreisen schneiden.
Alle diese Ebenen tangiren die zu einer Geraden l gehörigen FlSche
fünfter Klasse, und die drei durch 0 gehenden sind die am Schlusse^ von
Nr. 9 erwähnten; zu jener Fläche aber und zum Kegel dritter Klasse ge-
hören sie wegen verschiedener Kreise.
11. Wenn nun alle Flächen des Netzes eine cubische Raumcurve di^
gemeinsam haben, so gehen die ausgezeichneten Ebenen nach den unend-
lich fernen Sehnen derselben. Jede von ihnen ist cyklische Ebene für
einen Büschel von Paraboloiden im Netze; die ausgeschnittenen Kreise aber
bestehen aus der Sehne und einer Geraden der anderen Schaar.
Die Kreise aus dem zu 9i^ gehörigen Complexe, welche
eine Gerade l treffen, befinden sich in den Tangentialebenen
einer Fläche fünfter Klasse. Diese Fläche ist nur vierter Klasse,
wenn I sich auf 91' stützt.
Die Krümmungskreise einer cuhischen Baumcure 9i' er-
zeugen eine Fläche 15. Ordnung, auf welcher 9%' sowie ^
dreifach sind.
Ihr unendlich ferner Schnitt besteht aus St* und den unendlich fernen
Geraden der Schmiegungsebenen von Aj B, C und je den beiden Nachbar-
punkten auf 9t^
12. Die Kugeln, welche durch einen Kreis K des Com-
plexes gelegt sind; treffen 9i' noch in den Tripeln einer
cuhischen Involution, deren Ebenen also einen Büschel bilden, unter
diesen Ebenen befindet sich @, wegen des Ebenenpaars im Kugelbüschel.
Also sind die Ebenen der Tripel der Involution parallel.
Diese Involution ändert sich nicht, wenn die Ebene von K
durch parallele Ebenen ersetzt wird. Die einen und die
anderen parallelen Ebenen sind verbundene cyklische Ebenen
einer und derselben F^ durch 3i'.
Wenn K ein Krümmungskreis der 3i' ist, der zum Punkte P gehört,
so haben wir in der zugeordneten Involution das Tripel PQ'Q'\ wo Q\ Q"
die beiden weiteren Schnitte von 9i' mit der Schmiegungskugel von P
sind. Die unendlich fernen Geraden der Ebenen PQ' Q" umhüllen die Curve
sechster Klasse, welche in der obigen Verwandtschaft der f und i der
Von Prof. R. Stürm. 9
Canre 6*3, in der (§, den Torsns der Sehmiegnngsebenen schneidet, ent-
spricht.
FUr jeden der drei Punkte Ä^ B^ C7 als P sind die beiden anderen
Q\ Q'\ Also hat der von den Ebenen F Q* Q'' ei-zeugte Torsus die € zur
dreifachen Ebene and ist neunter Klasse. -
Mithin ist jeder Punkt von 91^ einmal P und achtmal Q' oder Q".
Darch jeden Punkt der cubischen Baumcurve gehen acht Kugeln,
welche sie an anderer Stelle vierpunktig berühren.
und wir haben auf 91' eine Correspondenz [8^2], in der
sich der Berührungspunkt einer Schmiegungskugel und
einer der beiden weiteren Schnitte entsprechen.
Die zehn Coincidenzen dieser Correspondenz sind die Berührungspunkte
der fdnfpunktig berührenden Kugeln.
Zwischen den Punkten Q\ Q" besteht eine involutorische
Correspondenz [8]. «Mit der durch einen Ebenenbüschel eingeschnittenen
cubischen Involution — einer involutorischen Correspondenz [2] — hat
sie 2.8 Paare entsprechender Punkte gemeinsam.
Die Schnittsehnen Q' Q" der Schmiegungskugeln der 91'
erzeugen eine Begelfläche 16. Orades, auf welcher die Cürv e
achtfach ist.
Der Torsus der Ebenen PQQ" ist, wie wir fanden, neunter Klasse;
diese Ebenen verbinden die Punkte P von 9t' mit den entsprechenden Er-
zeugenden ^ Q*' der RegelflSohe. Die Erniedrigung um 10 erfolgt durch
die Sehnen Q' Q'\ welche durch die zugehörigen P gehen, das sind die
Sehnen, welche die Berührungspunkte der fünfpunktig tangirenden Kugeln
je nsit dem sechsten Schnitte verbinden.
13. Durch jeden Punkt von 91' gehen vier auf einander folgende
Schmiegungskugeln und acht, welche anderwärts berühren.
Folglich gehen durch jeden Punkt zwölf Schmiegungs-
kugeln.
Deshalb entsteht zwischen der Punktreihe auf 9t' und auf einer Ge-
raden I eine Correspondenz [12,2], in der sich ein Punkt von 9t' und die
beiden Schnitte seiner Schmiegungskugel mit I entsprechen. Sie hat auf I
2. 2(12— 1) = 44 Yerzweigungspunkte. Zu ihnen gehört der unendlich
ferne Punkt von I und zwar 3(4— 1)- fach, indem durch ihn dreimal
vier benachbarte Schmiegungskugeln gehen, ferner die 20 Schnitte der I
mit fünfpunktig beruhenden Kugeln; die 15 übrigen sind die Schnitte
der Geraden l mit der Enveloppe der Schmiegungskugeln^ oder,
was dasselbe ist, mit der Flfiche der Krümmungskreise, deren
Ordnung 15 so von neuem gefunden ist.
Die 2. 12(2— 1) =24 Yerzweigungspunkte auf 9t' aber lehren, dass
jede Gerade von 24 Schmiegungskugeln berührt wird.
10 Metrische Eigenschaften der cubisehen Baumcurve.
14« Auf der cubiscben Baumcurve wird durch alle Kugeln
des Baumes eine Involution sechsten Orades vierter Stufe ein-
geschnitten, die Kugeln eines Oebüsches, eines NetzeSi eines
Büschels schneiden Involutionen sechsten Grades dritter,
zweiter, erster Stufe ein.
Für solche höhere Involutionen gilt folgender Satz:
In einer Involution J*„ n*«° Grades Ä*«' Stufe (*<ii)auf
einem rationalen Träger giebt es (A;+ l)(n — Ä;) Gruppen mit
einem (Ä; + l)-fachen Elemente und (< + 1)(Ä; — ^ + l)(n — *)
(n—Ä;-! } Gruppen mit einem (^+l)-fachen und einem(A; -<+])-
^ Ä
fachen Elemente, wofern t-^k und ^ -^•
Ist Je gerade, so giebt es 5 ( 5 + 1) (n— Ä)(n— ft— l)<Jruppaii
mit zwei I ^ + 11- fachen Elementen.*
Es ist wegen der zahlreichen Anwendungen vielleicht besser, wenn ich
für diesen weniger bekannten Satz einen Beweis mittheile«
Der erste Theil unseres Satzes über die Anzahl der Gruppen mit
einem (A;+l)- dachen Elemente ist richtig für X;s=:l, denn eine Involution
J\ hat bekanntlich 2(n^ 1) Gruppen mit einem Doppelelemente.
Nehmen wir an , er sei richtig für ib — 1 , so wollen wir zeigen , dass er
dann auch richtig ist für k* Aus /*„ scheidet ein Element X eine Involution
JIZ\ aus; das heisst , die n — 1 übrigen Elemente aller Gruppen von J^n, welche
das Element X enthalten , bilden die Gruppen einer «T^Z}. Diese hat nach der
Annahme Ä;|n — 1 — (ib^l)}=X;(n— A;) Gruppen mit einem Ä; - fachen Elemente ;
so werden jedem X k{n — k) Elemente X^ zugeordnet, umgekehrt 9 wie
allgemein eine Gruppe von J*» durch k Elemente bestimmt ist, so auch
durch ein Element X|, das ein Ä;-faches einer Gruppe sein soll; die n-^k
übrigen Elemente dieser Gruppe sind die entsprechenden X. Somit haben
wir eine Correspondenz [n — A;, A;(n — X;)] zwischen X und X^; sie hat, weil
der Träger rational ist, (Ä?+l)(n — A;) Coincidenzen ; das sind (Ä + 1)-
fache Elemente von Gruppen von «/^„.
k^t Elemente scheiden aus J^n eine Involution J'n-k+t aus» das
heisst, die n— k + t übrigen Elemente aller Gruppen von J*« , welche jene
Elemente gemeinsam haben, bilden die Gruppen einer J^n-k+t» Insbeson-
dere scheidet also auch ein Element X als (k''t)''tBXihes Element einer
Gruppe eine solche Involution aus. Diese besitzt dann nach dem eben
erhaltenen Besultate {t+l)(n^k + t'^t) = {t+l){n —k) Gruppen mit
einem (^ + 1)- fachen Elemente; jede von ihnen hat n^fc — 1 weitere
Elemente ; diese (^ + 1) (n — Ä?) (n — Ä; — 1) Elemente ordnen wir als Xj dem
* Vergl. Guccia: „Bendiconti del Circolo matematico di Palermo '* Bd. 7
S. 55-67, wo die Literatur ausfuhirlich besprochen ist.
Von Prof. R. Sturm. 11
Z zu. umgekehrt I ein Element X^ scheidet als J^ eine Jill ans, welche
eine Anzahl von Omppen mit einem (< + l)- fachen nnd einem {h — t)-
fachen Elemente hat; die Zahl derselben sei ZiZ^^ die gesachte Zahl für
fi— l nnd k^l statt für n nnd k^ die (Ä; — ^- fachen Elemente derselben
sind die dem Z| entsprechenden X, nnd so haben wir zwischen den X nnd
X^ eine Correspondenz [Zj^lj' 'i (f + l}(n — k){n -* Ä; — 1)]. Die Anzahl der
Coincidenzen dieser Correspondenz ist die Anzahl 2^*' der Gruppen yon
ji y welche ein (^ + 1) - faches und ein (Ä;— ^ + 1 ) - faches Element haben ; also :
^''=(«+l)(ft-*)(n-Ä-l) + zirl*',
2j;:l'' = (<+l)(n-*)(n-Ä-l) + ^lV',
demnach durch Addition:
Z;"' = (« + l)(fc-0(n-*)(n-&-l) + ZiL^+r.
Diese Zahl Zn — ^+t ist die Zahl der Omppen einer Jn.jt-fC} welche
ein (< + l)-fftches und ein (( — ^+ 1)- faches, also ein einfaches Element
haben. Wir haben in ihr eine endliche Zahl von Gruppen mit einem (Jt + 1)-
fachen Elemente ^ nSmlich nach dem ersten Theile des Satzes {t + l){n-k)j
und da jede dieser Gruppen n — k — l weitere Elemente hat, so genügt sie
der obigen Anforderung (n— fc— l)-fach, nnd
Zi'.%+i = (<+l)(ft -*)(•• -ft-1).
^^' zy^{t+l){k^t + \){n^k){n^k-l).
Damit ist der zweite Theil unseres Satzes fflr den allgemeinen Fall
bewiesen I dass die beiden Vielfachheitszahlen t + 1 und h — t+1 nicht
gleich sind. Ist aber t*=k'^tf so sind die beiden vielfachen Elemente
gleichartig und jedes von ihnen kann das {t+ l)-fache sein; das andere
ist die Coincidenz. Daher ist die erhaltene Anzahl zu balbiren.
16. Durch Anwendung auf die obigen Involutionen der 91^ erhalten wir:
Es giebt zehn Engeln, welche 91^ fünfpunktig berühren;
wie wir schon wissen.
unter den Kugeln eines Gebüsches befinden sich zwölf
Schmiegnngskugeln.
Insbesondere :
Durch jeden Punkt gehen zwOlf Schmiegnngskugeln,
wie wir auch schon auf andere Weise gefunden haben.
Liegt der Punkt im unendlichen, so sind dies die Schmiegnngskugeln
der drei Punkte A, B^ C und je der drei Nachbarpnnkte auf di\ zu denen
allen die unendlich ferne Ebene gehOrt.
In einem Eugelnetze befinden sich oder durch zwei
Punkte gehen zwölf Kugeln, welche 91^ osculiren.
12 Metrische Eigenschaften der cubischen Banmcarve.
Oder, die Kugelbüschel durch die Krttmmangskreise von 91^ bilden
ein doppelt unendliches System von Kugeln, von denen zwOlf durch 2wei
gegebene Punkte gehen.
Durch zwei Punkte der 91' gehen 12 — 2.3 = 6 Kugeln, welche sie
anderwfirts osculiren; insbesondere wird 91' in jedem Punkte von sechs
anderswo osculirenden Bügeln berührt.
Durch drei Punkte oder durch einen Kreis gehen zehn
Kugeln, welche 9i' berühren.
Liegen die drei Punkte selbst auf 9i', so ergeben sich 10—3.2 = 4
Kugeln, welche anderwärts berühren. In jedem Punkte wird SR' yon vier
Kugeln osculirt, welche sie noch an einer anderen Stelle berühren.
So erhalten wir auf 91' eine Correspondenz [6,4], in deren
entsprechenden Punkten dieselbe Kugel drei-, bezw. zwei-
punktig berührt. Die zehn Coincidenzen sind die Stellen fünfpunktiger
Berührung.
Es giebt neun Kugeln, welche 9t' an zwei verschiedenen
Stellen osculiren.
Oder, es giebt neun Paare von Krümmungskreisen der 9i^ welche
sich zweimal schneiden und infolge dessen auf derselben Fläche zweiten
Grades durch 9i' liegen.
Es giebt 16 Schmiegungskugeln der 01', welche sie noch
an anderer Stelle berühren, offenbar in den Coincidenzpunkten der
Correspondenz [8] der Punkte Q\ Q'\
In einem Gebüsche befinden sich (insbesondere durch
einen gegebenen Punkt gehen) 36 Kugeln, welche 91' an
einer Stelle drei-, an einer anderen zweipunktig berühren.
In einem Netze befinden sich (durch zwei Punktegehen)
24 Kugeln, welche 9i' zweimal berühren.*
16. Jede Involution J*„ auf rationalem Träger hat ■^{n^\){n~-2)
neutrale Paare, die nicht blos zu einer Gruppe, sondern zu oo^ Gruppen
der J\ gehören, welche in ihr eine J^n bilden; so viele Paare, als an eine
rationale Baumcurve n^' Ordnung von einem Punkte 0 Doppelsecanten
kommen; denn die Ebenen des Bündels 0 erzeugen auf ihr eine J\.
* Mehrere von diesen Sätzen, sowie auch die Sätze Über die Ordnung der
Gurven der Krflmmungs- Mittelpunkte, der Mittelpunkte der Schmiegungskugeln
und der Fläche der Krümmungskreise sind analytisch für die cubische Hyperbel
in einer kürzlich erdchienenen Dissertation: „Üeber die Kugeln, welche eine cubische
Baumcurve mehrfach oder mehrpnnktig berühren*' (Strassburg 1894) von E. Timer-
ding bewiesen worden. Nicht richtig ist dort der Satz über die Zahl der ffinf-
punktig berührenden Kugeln. ~ Selbständig und gleichzeitig mit mir hat mehrere
von den Sätzen dieser Abhandlung auch ein Zuhörer von mir, Herr J. Sobotka,
gefunden. Die cubische Baumcurve war Gegenstand der Seminar Übungen im ver-
gangenen Winterhalbjahre.
Von Prof. B. Stürm. 13
Die J^e, welche auf di^ durch die Kugeln entsteht^ die daifch zwei
gegebene Punkte C/, 0" gehen , hat daher zehn solche Paare. Unter ihnen
befinden sich die drei Paare AB, AC^ BC^ weil diese auf allen in Ebenen-
paare zerfallenden Kugeln des Netzes liegen. Die sieben übrigen Paare
müssen je auf allen Kugeln eines (aus eigentlichen Kugeln bestehenden)
Büschels des Netzes liegen.
Durch zwei Punkte 0\ 0" gehen sieben Kreise, welche
9i^ zweimal treffen.
Alle Kreise durch 0\ 0", welche SR* treffen, bilden eine
Flftche neunter Ordnung, auf welcher diese sieben Kreise
doppelt, die St* einfach, ft^ und die Gerade O'O" dreifach, die
Punkte O', 0" aber sechsfach sind.
17. Die Ebenen, welche auf den Sehnen von 8fl* je in der
Mitte senkrecht stehen, umhüllen eine Flttche vierter Klasse,
für welche @ dreifache Bertthrungsebene ist.
Denn die Sehnen, welche auf den Ebenen eines Büschels senkrecht
stehen , erzeugen eine Begelflftche vierten Grades mit einer unendlich fernen
Leitgeraden. Ihre Mitten erzeugen eine cubische Raumcurve , als conjugirte
Punkte zu den Punkten dieser Geraden. Daher fUllt viermal ein Punkt
dieser Curve auf die entsprechende Ebene des Büschels.
18. Der Ort der Fusspunkte der aus einem Punkte 0 auf
die Sehnen der 91* gefällten Lothe ist eine Fläche fünfter Ord-
nung, auf welcher die SR* doppelt ist.
In der That, die Ebenen $, welche in den verschiedenen Punkten X
einer Geraden I auf OX senkrecht stehen, umhüllen einen parabolischen
Cjlinder, und die Strahlenbüsohel (X, |) erzeugen daher eine Congruenz
[2,1]. Diese hat mit der Congruenz [1,3] der Sehnen von SR* 2.1 + 1.3 = 5
Strahlen gemeinsam, so dass fünf Fusspunkte auf I fallen.
Die Fläche muss elf Gerade, welche alle die Doppelcurve
SR* zweimal treffen, und 55 Kegelschnitte enthalten.* Auf elf
Sehnen muss also der Fnsspunkt unbestimmt sein. Zu ihnen gehören die
drei unendlich fernen Sehnen; die acht anderen sind in den aus 0 senkrecht
zu ihnen geführten Ebenen gelegen und sämmÜich imaginär. Die Sehnen
nämlich von SR*» welche S^ treffen, erzeugen eine Regelfläche achten Grades.
Ein ebener Schnitt derselben und der Kegel , welcher aus 0 die Tangenten
von St^ projicirt, stehen in eindeutiger Beziehung. Es fällt also zehnmal
ein Punkt des Schnittes auf die entsprechende Berührungsebene des Kegels ;
zwei von diesen Punkten sind die auf ^^ gelegenen Punkte des Schnittes;
durch die acht übrigen gehen die acht Sehnen.
Die 55 Kegelschnitte liegen auf den Flächen zweiten Grades durch SR*
and je zwei von diesen elf Geraden. Sie zerfallen daher in drei Arten,
* Clebsch, Sfath. Annalen Bd. 1 S. 284; Sturm, ebenda Bd. 4 S. 273.
14 Metrische Eigenschaften d. cnbischen Baamcnrve. Von Prof. B. Sturm.
je nachdem anter den zwei Geraden zwei , eine oder keine von den unendlich
fernen Sehnen enthalten ist Die drei der ersten Art sind die Fnsspnnkts-
Curven von 0 in Bezug auf die drei Cy linder durch SR^ von den 3.8 der
zweiten Art, die sftmmtlich imaginär sind, wollen wir absehen; es bleiben
die 28, der dritten Art, unter denen vier reell sind.
Das sind Fusspunkts - Curven in Bezug auf die Sehnen • Begelschaaren
von durch ^ gehenden allgemeinen Flächen J^'.
Im Allgemeinen ist die Fusspunkts*Curve in Bezug auf
eine Begelsch aar eineBaumcurve vierter Ordnung zweiter Art.
Sie kann aber in speciellen Fftllen ein Regelschnitt wer-
den, und zwar sind diese Fnsspunkts-Curven die Kreise des
Hyperboloids.
In vier Punkten wird ein Kegelschnitt von F^ von der Fusspunkts-
Curve eines beliebigen Punktes in Bezug auf die eine Begelschaar getroffen;
also umhüllen die Ebenen, welche auf der Geraden einer Begelschaar in
den Punkten, in denen sie einen Kegelschnitt der FlSche treffen, senkrecht
stehen I einen Toraus vierter Klasse (zweiter Art). Handelt es sich aber
um einen Kreis, so sinkt, weil derselbe durch zwei von den vier allen Fuss-
punkts-Curven gemeinsamen unendlich fernen Punkten (den Schnitten f fi^)
geht, die Klasse des Torsus auf 2 herab; er wird ein Kegel zweiten Grades,
und die Spitze desselben hat den Kreis zur Fusspunkts-Curve.
Durchläuft letzterer seine Schaar, so durchwandert die Spitze
eine Gerade, welche auf den Ebenen der verbundenen Schaar
normal ist; denn alle diese Kegel berühren die beiden Ebenen, welche
durch die zu diesen Ebenen parallelen Geraden der Begelschaar gehen und
ft* tangiren.
Somit haben wir auf unserer Fusspunkts -Fläche 28 Kreise,
darunter vier reelle.
IL
Addittonslogarithmen für oomplexe Orössen.
Von
R. Mehmke
in StnUgart.
Je mehr maD in der Physik und anf anderen Gebieten die Theorie
der Fanctionen complexer Veränderlichen anwenden wird, um so stärker
wird sich das Bedürfniss nach Erleichterung des numerischen Rechnens
mit complexen Orössen fühlbar machen. Diese üeberzeugung hegend, habe
ich einige der Hilfsmittel, die sich beim Rechnen mit reellen Grössen seit
langer Zeit bewährt haben, durch Einführung complexer Grössen zu ver-
allgemeinern gesucht. So hatte ich für die Mttnchener mathematische Aus-
stellung eine Rechentafel im Entwurf gezeichnet*, welche in diesem Sinne
eine Verallgemeinerung des logarithmischen Rechenschiebers darstellte.
Hier lege ich den Rechnern einen dreistelligen Auszug aus einer Tafel der
„Additionslogarithmen ftlr complexe GrOssen'' yor, die mit fOnf oder auch
nur vier Stellen gedruckt sich meines Erachtens beim Rechnen mit com-
plexen Orössen nicht weniger ntttzlich erweisen würde, als Leonelli's
Logarithmen beim gewöhnlichen Rechnen.**
Die einfachste, mit Hilfe dieser Tafel bequemer und schneller als auf
die gewöhnliche Art zu lösende Aufgabe lautet: Gegeben die Logarithmen
der Moduln und die Amplituden zweier complexen Zahlen, gesucht der
Logarithmus des Moduls und die Amplitude der Summe jener complexen
* Siehe den Nachtrag zum Katalog mathematischer und mathematisch-
physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente , im Aufkrage der Deutschen
Mathematiker -Vereinigung herausgegeben von W. Dyck, München 1898, S. 21
Nr. 44 d.
** Die Additionslogarithmen für reelle Grössen werden mitunter nach Gauss
benannt, welcher zwar eine fünfstellige Tafel derselben 1812 in Zaoh*8 „Monat-
licher Correspondenz ** veröffentlicht, aber dort ausdrücklich auf Leonelli als
ihren geistigen Urheber zurückgewiesen hat (vergl. Gauss* Werke 8. Bd. S. 244).
In der Vorrede zu HonSrs fünfstelligen Logarithmentafeln ist angegeben, dass
Leonelli seinen Gedanken zuerst in dem 1808 in Bordeaux erschienenen „Supple-
ment logarithmique*' entwickelt habe.
16 Additionslogarithmen für complexe Grössen.
Zahlen. Von weitergehenden Anwendungen mache ich eine solche auf die
Berechnung der Wurzeln beliebiger algebraischer Gleichungen mit complexen
Coefficienten namhaft, welche die bekannte Methode von Gauss, reelle
trinomische Gleichungen aufzulösen, als besonderen Fall in sich enthält.
Ich werde diese Methode zusammen mit anderen in einem späteren Aufsatze
mittheilen.
Die EinfCLhrung der gewöhnlichen Additionslogarithmen wird Vielen
bisher als ein vereinzelter Kunstgriff erschienen sein. Sie lässt sich aber,
wie ich schon an anderer Stelle gezeigt habe*, aus einem höheren Gesichts-
punkte betrachten. Sei nämlich
^ =/"(«?, y)
irgend eine reelle homogene Function n^^ Grades der beiden reellen Ver-
änderlichen X und ^; so ist .
oder, wenn man ^ \
log0 = v + nlogy.
Dabei lässt sich v als Function von
u = log- = logX'-logy
ansehen. Eine numerische Tafel dieser Function ermöglicht offenbar in
einfachster Weise die Bestimmung des Werthes yon hgg^ der zu einem
gegebenen Werthepaare hgx^ logg gehört. Man hat
fix, y) = x + g
zu nehmen, um Leonelli's Fall zu erhalten, in welchem es üblich ist,
Ä statt u und B statt v zu schreiben. Die Beziehung zwischen u und v
lässt sich allgemein durch jor^MQ« 1)
ausdrücken. ^ '
Der üebergang zu complexen Veränderlichen ist leicht. Mit Bück-
sicht auf die Einrichtung unserer Logarithmentafeln werde ich bei der
Darstellung einer beliebigen complexen Zahl durch
r{costp + isinq>)
die Amplitude g> nicht in Theilen des Halbmessers, sondern in Graden aus-
drücken, und zwar nach sogenannter neuer Theilung.**
• A. a. 0. S. 20 Nr. 44 c.
^ An guten logarithmisch - trigonometriBchen Tafeln für die centesimale
Theilnng des Quadranten ist kein Mangel. Es giebt deren vier- und fünfstellige
von F.G.Gauss, Gravelius U.A., sechsstellige von Jordan, achtstellige vom
französischen „SerWce g^ographiqne de Parmäe". Daher liegt für den reinen
Mathematiker nicht der mindeste Grund vor, sich noch länger mit der sexagesi-
malen Tbeilung abzumühen.
Von B. Mbhmkb. 17
Bezeichnet man die gemeinen Logarithmen der Modaln der (jetzt als
complex betrachteten) Grössen oo^ y^ ß beziehentlich • mit £, i?, S, ihre
Amplituden mit |', 17', i\ so ist
a; = 10€ (co5 1'+ 1 m ^)
nnd Shnliche Ausdrücke gelten fClr y und g. Setzt man dieselben in die
Gleichung /^ \
ein, so kann die entstehende Gleichung in folgende beiden zerlegt werden:
^obei i=v + nri{fnod4ßO),
\(>{co8v+ismv)=^f\\0''{co8u+%8inu), 1]
w = g — iy, u = 5'— «y' (•'*<'<* 400)
ist. Man hat jetzt; um nach diesen Formeln zu gegebenen Werthen
von S, £', ri^ r! diejenigen von ^ und ^ finden zu können, eine Doppel-
tafel nötbig, deren erster Theil t;, deren zweiter v\ jedesmal als Function
der beiden reellen Veränderlichen u und u liefert*
Beschränken wir uns yon jetzt an auf den Fall
f{x, y)==x+y.
Wir wollen in demselben beziehentlich die Zeichen^, A, ^, B* statt
Uy u\ t;, V anwenden, so dass wir die fundamentale Gleichung erhalten:
1) lO^ifiosE + isinB) = IQ^icosK + isink) + 1 ,
welcher man auch die Gestalt
geben kann. Auf den Seiten 23 — 30 findet man eine dreistellige
Tafel der B und eine solche der B, für welche die zusammenfassende
Bezeichnung „Additionslogarithmen für compleze Grössen'' gestattet sein
möge, trotzdem die zweite Tafel nicht Logarithmen, sondern Winkel
enthält.**
Entsprechend den zwei unabhängigen Veränderlichen A und A haben
die Tafeln zwei Eingänge; die Anordnung ist so getroffen, dass Ä von
Reihe zu Beihe, A von Spalte zu Spalte sich ändert. Hinter einigen Zahlen
* Es wird zwar der Buchstabe B schon als Zeichen einer anderen Function
gebraucht, ein Missverständniss ist aber hier, wo B immer mit j1, A und B zu-
sammen vorkommt, kaum zu befürchten.
•• Wenn hier nicht in erster Linie die Bedürfnisse des Zahlenrechnens berück-
sichtigt werden müssten, so wäre es natürlich einfacher, als ,, Additionslogarith-
mus" im weiteren Sinne die durch
€- = e« + 1
definirte Function w der complezen Veränderlichen z zu bezeichnen.
ZeitBOhrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 1 . Heft. 2
18
Additionslogarithmen ftlr compleze Grössen.
der Tafeln bemerkt man einen Stricli; derselbe bedeutet, dass die letzte
von Null verschiedene Ziffer der betreffenden Zahlen eine durch Erhöhung
aus 4 entstandene 5 ist.
Behufs geometrischer Veranschanlichung der Functionen B und B
betrachtet man am einfachsten Ä und A als Abscisse und Ordinate , B bezw,
B als Höhe eines veränderlichen Baumpunktes. Die beiden sich ergebenden
Flg. 1. B-Pl&cho.
Flächen sind in den|F]guren 1 und 2 mit Hilfe einer Anzahl von wage-
rechten Schnitten parallel - perspectivisch dargestellt.
Es sollen jetzt einigender wichtigsten Eigenschaften der in Bede
stehenden Functionen bezw. der zugehörigen Fl&chen abgeleitet werden.
Zunächst sieht man, dass B eine eindeutige, B dagegen eine unendlich
vieldeutige Function ist, indem zu jedem Werthe von B ein beliebiges
ganzzahliges Vielfaches von + 400® hinzugefügt werden darf; dass femer
B und B periodische Functionen von A mit der Periode 400*^ sind. Daher
Von B. Mbbmkb. 19
kann man sich bei A nnd B Ton yornherein auf die Werthe «wischen
— 200^ nnd + 200^ beschränken. Wird auf beiden Seiten Ton Gleichung 1)
— f an Stelle von +i gesetzt, so kommt
10»(co«B - i«n B) = 10^(005 A-i«fiA) + 1,
oder
10^[co5(-B)+««in(-B)] = 10^[coÄ(-A) + <«»(-A)] + l,
woraus hervorgeht, dass B eine gerade, B eine ungerade Function Ton A
ist Das heisst geometrisch:
Die ^-Flftche ist symmetrisch zur o; 5 -Ebene, die B-Flftche symmetrisch
zur «-Achse. Zugleich ist klar, dass wegen dieser Eigenschaft die Tafeln
bloB von A = 0*^ bis A = 200® zu gehen brauchen.
Setzt man Ä^^-^Ä und bezeichnet, bei unverändertem A, die zu-
gehörigen Werthe von B und B mit B' und B', so ist wegen Oleiohung 1)
10^(co8&+isinBr)=10'^{€08k + i8infii)+ 1,
oder nach Yertauschung von f mit — t:
10»'[w(- B') + im(- B')] = 10- -*(co5A - <«m A) + 1.
Durch Multiplication mit
10^(co5A + t«fiA)
und Benutzung von Gleichung 1) erhftlt man hieraus
10«'+^[co5(A- BO +*w»(A- B')] = 1 + 10^(awA + imA)
= 10^{cosB + ismB).
Daher ist S'+Ä=^B,
A-B'=B(niod400)
"^g- (Br=^B^Ä = B^Ä\
^ 1B'=A-B(wkwl400).
Diese Gleichungen, die leicht als geometrische Eigenschaften der B-
und B-Flttche gedeutet werden könnten , deren erste auch beiden gewöhn-
lichen Additionslogarithmen wohlbekannt ist , zeigen uns , dass man bei dem
Argument Ä sich entweder auf negative oder auf positive Werthe be-
schränken dürfte, wodurch am umfang der Tafeln um die Hälfte gespart
wttrde. Für manche Anwendungen ist es jedoch bequemer, die vollständigen
Tafeln zur Verfügung zu haben.
Lässt man in Gleichung 1) Ä von Null an fortwährend abnehmen, so
nähert sich, welches auch der Werth von A sein mag, die rechte Seite
unaufhörlich der Eins, folglich nähern sich B und der zwischen —200®
und -f-200® liegende Werth von B gleichzeitig der Null. Die B- und
B- Fläche haben somit beide die o;^- Ebene zur Asymptotenebene; die An-
näherung findet in der — o;- Richtung statt. In Verbindung mit Gleichung 2)
ergiebt sich aus dem eben Gefundenen, dass, ^ wenn Ä über alle Grenzen
hinauswächst, B und Äy wie auch B und A einander immer näher kommen.
Daher ist die Halbirungsebene des zwischen der +X' und -1-5 -Achse ent-
haltenen Winkels der xy- und ye -Ebene gleichfalls eine Asymptoteuebene
2*
20 Additionslogarithmen für complexe Grössen.
der J9- Fläche, und die Halbimngsebene der zwischen den gleichnamigen
Theilen der ^- und <;- Achse enthaltenen Scheitelwinkel der xy- nnd xe-
Ebene eine Asjmptotenebene der B- Fläche. — Für A = 0 erhält man aus
Gleichung 1) lO«(co5B + isin B) = 1(M+ 1.
Da die rechte Seite stets positiv ist, so wird
B = 0{mod400)
und
10»= 10^ + 1.
Letztere Gleichung zeigt, dass man es in diesem Falle mit den ge-
wöhnlichen Additionslogarithmen zu thun hat.
Ist A =3 200^1 so ergiebt sich
10^ (cosB + isinB)^^ 10^ + 1.
Hat man nun Ä<ZO bezw. iL > 0 , so wird die rechte Seite positiv
bezw. negativ, also B = 0 bezw. B = 200 (moeJ 400). Wenn dagegen ^ = 0
ist, so verschwindet die rechte Seite der letzten Gleichung und man erhält
J9 = — 00 , während B ganz unbestimmt wird. Letzterem umstände ent-
spricht es, dass die B -Fläche unendlich viele zur 5 -Achse parallele Kanten
hat, welche durch die Punkte a;(= A) = 0, y(= A) = 200^ {mod 4ßO) gehen,
üebrigens stehen in diesem Falle (Ae=200^) die Grössen B zu I. Zech 's
„Subtractionslogarithmen'^, welche man in Hülsse's Sammlung mathe-
matischer Tafeln findet, in einfacher Beziehung. Diese geben nämlich zum
Argumente u^^logt den Werth
80 dass 10«-«'=10«-1
ist. Man hat aber zum Beispiel für il>0, A = 200®:
10^=10^-1,
weshalb die zu gleichen Argumenten il = u gehörigen Werthe B und t;
durch die Gleichung
B =>U'-v oder v = Ä — B
verknüpft sind.
Setzt man in Gleichung 1) il=aO, so kommt
10^ (co5 B + isinB) = 1 + cos fii + isin A ,
woraus . . .
. o smfii A
also
B=^(moeJ2G0)
folgt. Zu dieser Gleichung gehören unendlich viele, einander in gleichen
Abständen folgende, parallele Geraden — eine davon (siehe Fig. 2) geht
durch den Ursprung und halbirt die Winkel zwischen den gleichnamigen
Theilen der y- und ie;- Achse — , nach welchen (abgesehen von den bereits
Von B. Mehmkb.
21
erwähnten' Kanten) die B-Flftche von der ^ir- Ebene geschnitten wird. Wenn
man , den Werth il = 0 festhaltend und von B = 0 ausgehend , A von 0^ bis
200^ wachsen lässt, so nähert sich B dem Grenzwerthe 100^, welcher denn
auch in der Tafel der B unter Ä^O, A = 20(y aufgeführt ist.
Was die Eingangs erwähnte Aufgabe betrifft, den Logarithmus des
Moduls r und die Amplitude q> der Summe zweier complexen Zahlen zu be-
Fig. S. B.-Flftohe.
stimmen , wenn Ton letzteren die Logarithmen der Moduln r^ und r, sowie
die Amplituden (p^ und q>^ gegeben sind, so ergiebt sich aus dem Früheren,
dass deren Lösung in den Formeln enthalten ist:
Ä = logfi — to^fg, A = (;p, — gjg,
logr^B+logr^, <p = B + gjj.
An einem Zahlenbeispiele möge noch diese Auflösung mit der gewöhn-
lichen verglichen werden. Sei
logr,==0. 62532 , tp^ = 59,637o.
Iogr^ = 0. 99260 , q>^ = 48,626«.
22 Additionslogarithmen fQr complez« Grössen.
1. Berechnmig von logr und tp mittelst ftnfstelliger Additions-
logarithmen für oompleze OrSsgen.
log r, = 0.62532 <p, = 59,637"
I0ffr3 = 0.99260 9), = 48,626»
5 = 0.15374 B= 3,302«
Ä = 9.63272 - 10 A = 11,011»
fogf= 1.14634 y = 51,928»
2. Bere«]ii»iiig von lögr und <p atif gewöhnliche Weise.
<Pi = 59,637» .p, = 48,626»
logeo8tpi= 9.77261-10 logcos<Pi= 9.85866-10
logri= 0.62532 lo9rr,= 0.99260
hffsin<pi= 9.90615-10 log sin 9^= 9.83990-10
hgriCOS<Pi =
0.39793 logrtCotg>i=' 0.85126
logrtSin<Pi =
0.53147 U>grtsinipt= 0.83250
riC03tpi='
2,4999 ri«»»<pj= 6,7999
r,eos<Pt==
7,1000 rj8inq,t= 3,3999
reo8<p =
9,5999 r«»n9. = 10,1998
logr Sirupe 1.00859
EIog"!%=:' 0.13775
logrco8q>= 0.98227
logtg<p= 0.02632
9) = 51,928»
%r= 1.14634
Bei der alten Methode ist eine zwölfmalige, bei der nenen blos efne
zweimalige Beutttznng einer Tafel nöthig, und wenn es auch im letzteren
Falle sich nm Tafeln mit zwei Eingängen handelt, bei welchen die Inter-
polation doppelt so viel Zeit in Anspmoh nimmt, als bei Tafeln mit einem
Eingange, so ist doch der Oewinn ein überraschend grosser.
Yon B. Hehhkb.
23
I. Tafel der B.
.Ä !
A-O«»
10* 1
20'
80*
40*
60*
8.0 '
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
0.008
8.1
0.006
0.006
0.005
0.006-
0.004
0.004
8.2
0.007
0.007
0.007
0.006
0.006
0.006 -
8.3
0.009
0.008
0.008
0.008
0.007
0.006
8.4
0.011
0.011 1
0.010
0.010
0.009
0.008
8.5
0.014
0.013
0.013
0.012
0.011
0.010
8.6
0.017
0.017
0.016
0.016
0.014
0.012
8.7
0.021
0.021
0.020
0.019
0.017
0.016
8.8
0.027
0.026
0.026
0.024
0.022
0.019
8.9
0.083
0.083
0.032
0.030
0.027
0.024
9.0
0.041
0.041
0.040
0.037
0.034
0.031
9.1
0.061
0.061
0.049
0.047
0.043
0.038
9.2
0.064
0.063
0.061
0.068
0.064
0.048
9.3
0.079
0.078
0.076
0072
0.067
0.061
9.4
0 097
0.096
0.094
0.090
0.084
0.076
9.6
0.119
0118
0.116
0.111
0.104
0.096 -
9.6
0.146
0.144
0.141
0.136
0.128
0.118
9.7
0.176
0.176
0.172
0.166
0.167
0.146
9.8
0.212
0.211
0.207
0.201
0.192
0.180
9.9
0.264
0.263
0.249
0.242
0.232
0.220
0.0
0.301
0.300
0.296
0.289
0.279
0.267
0.1
0.364
0.363
0.349
0 342
0.332
0.320
0.2
0.412
0.411
0.407
0.401
0.392
0.880
0.3
0.476
0.476
0.472
0.466
0.467
0.446
0.4
0.546
0.644
0.641
0.636
0.628
0.618
0.6
0.619
0.618
0.616
0.611
6.604
0.696 -
0.6
0.697
0.696
0.694
0.690
0.684
0.676
0.7
0.779
0.778
0.776
0.772
0.767
0.761
0.8
0.864
0.863
0.861
0.868
0.864
0.848
0.9
0.961
0.961
0.949
0.947
0.943
0.938
1.0
1.041
1.041
1.040
1.087
1.034
1 1.031
1.1
1.138
1.133
1.132
1.130
1.127
1.124
1.2
1.227
1 1.226
1.226
1.224
1222
1.219
1.3
1.321
1.321
1320
1.319
1.317
1.316
1.4
1.417
1417
1.416
1.416
1.414
1.412
1.6
1.614
1.613
1.513
1.612
1.611
1.610
1.6
1.6il
1.611
1.610
1.610
1.609
1.608
1.7
1.709
1.708
1.708
1.708
1.707
1.706
1.8
1.807
1.807
1.807
1.806
1.806
1.806 -
1.9
1.906
1.905
1.906
1.906 -
1.904
1.904
2.0
2.004
2.004
2.004
2.004
2.004
2.003
24
Additionslogarithmen für complexe Grössen.
Tafel der B (Fortsetzung).
Ä
' A=60<>
60»
0.003
70<>
0.002
80«
0.001
90«
0.001
100« 1
0.000
80
0.003
8.1
0.004
0.003
0.003
0.002
0.001
0.000
8.2
0.005 -
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
8.3
0.006
0.005
0.004
0.003
0.001
0.000
8.4
0.008
0.006
0.005
0.003
0.002
0.000
8.5
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0.000
8.6
0.012
0.010
0.008
0.006
0.003
0.000
8.7
0.016
0.013
0.010
0.007
0.004
0.001
8.8
0.019
0.016
0.013
0.009
0.005
0.001
89
0.024
0.021
0.016
0.012
0.007
0.009
0.001
9.0
0.081
0.026
0.021
0.016
0.002
9.1
' 0.038
0.033
0.027
0.019
0.012
0.003
9.2
0.048
0.042
0.034
0.026
0.016
0005
93
0.061
0.063
0.043
0.033
0 021
0.008
9.4
0.076
0.067
0.055
0.043
0.029
0.013
9.5
0.095 -
0.084
0 071
0.056
0.039
0.021
9.6
0.118
0.106
0.091
0.074
0.064
0.032
9.7
0.146
0.132
0.116
0.097
0.074
0.049
9.8
0.180
0.165
0.147
0.126
0.101
0.073
9.9
0.220
0.205-
0.186
0.168
0.137
0.106
0.0
0.267
0.251
0.232
0.209
0.263
0.182
0.237
0.151
0.1
0.820
0.805 -
0.286
0.206
0.2
0.880
0.365
0.847
0.326
0.301
0.273
0.3
0.446
0.432
0.416
0.397
0.374
0.349
0.4
0.518
0.506
0.491
0.474
0.464
0.482
0.5
0.595 -
0.684
0.571
0.556
0.639
0.521
0.6
0.676
0.666
0.655
0.643
0.629
0.613
0.7
0.761
0.758
0.743
0.733
0.721
0.708
0.8
0.848
0842
0.834
0.825
0.816
0.805
0.9
0.988
0.938
0.927
1.021
1.116
0.919
1.015
1.112
0.912
1.009
1.107
0.903
1.0
1.031
1.026
1.002
1.101
1.1
1.124
1.121
1.2
1.219
1.216
1213
1.209
1.205
1.201
1.3
1.315
1.813
1.810
1.307
1.804
1.301
1.4
1.412
1.410
1.408
1.406
1.403
1.400
1.5
1.510
1.508
1506
1.504
1.502
1.500
1.6 ,
1.7
1.608
1.606
1.606
1.603
1.602
1.600
1.706
1.705
1.704
1.703
1.701
1.700
1.8
1.805 -
1.804
1.803
1.802
1.801
1.800
1.9
1.904
1.903
1.903
1.902
1.901
1.900
2.000
2.0
2.008
2.003
2.002
2.001
2.001
Von R. Mehmkb.
Tafel der B* (Fortsetzung).
1
^ 1
A - 100«
110*»
120«
130'
140«
150«
8.0
0000
9.999
9.999
9.998
9.998
9.997
9.997
8.1 1
0.000
9999
9.998
9.997
9.996
8.2 '
0.000
9.999
9.998
9.997
9996
9.995
8.8 :
0.000
9.999
9.997
9.996
9.996 -
9 994
84
0.000
9.998
9.997
9.995
9 994
9.992
86
0.000
9.998
9.996
9.994
9.992
9.990
8.6
0.000
9.998
9.995 -
9.992
9.990
9.988
8.7
0.001
9.997
9.994
9.990
9.987
9.985 -
8.8
O.OOl
9.997
9.992
9.988
9984
9.981
8.9
0.001
9.996
9.991
9.988
9.986
9.980
9976
9.0
0.002
9.995
9.982
9.975
9.969
""9.7~
0.008
9.995 -
9.986
9.977
9.969
9.962
9.2 1
0.006
9.996 -
9.984
9.973
9.962
9.952
9.3 1
0.008
9.996
9.981
9.967
9.9Ö8
9.940
9.4
0.018
9.997
9.979
9.961
9.948
9.926 -
9.5
0.021
0.000
9.978
9.966
9931
9.907
9.6
0.082
0.007
9.980
9.951
9.920
9.887
9.7
0.049
0.020
9.987
9.960
9.910
9.876 -
9.8
0.073
0.040
0.002
9.958
9.909
9.862
9.9 1
1
0.106
0.070
0.028
9.979
9.922
9.863
0.0 1
0.161
0.114
0.070
0.128
0 019
0.079
9.968
0.022
9.884
Ol 1
0.206
0.170
9.958
02
0.278
0.240
0.202
0.158
0.109
0.052
03
0.849
0.820
0.287
0.260
0.210
0.176 -
0.4 j
0.432
0.407
0.380
0.361
0 820
0.287
0.6
0.521
0.600
0.478
0.466
0.431
0.407
0.6
0.618
0.597
0.579
0.661
0.648
0.626 -
0.7
0.708
0.695
0.681
0.667
0.663
0.640
0.8
0.805
0.796 -
0.784
0.773
0.762
0.762
09
0.908
0.896 -
0.886
0.877
0 869
0.862
1.0 !
1.002
1.101
0.995
1.096
0.988
1.091
0.982
1.085
0.975
1.080
0.969
1.1
1.076
1.2
1.201
1.197
1.192
1.188
1.184
1.181
1.8
1.301
1.297
1.294
1.290
1287
1.285 -
1.4
1.400
1.398
1.396 -
1.392
1.390
1.388
1.6
1.600
1.498
1.496
1.494
1.492
1.490
1.6
1.600
1.698
1.697
1.696
1.594
1.692
1.7 '
1 1.700
1.699
1.697
1.696
1695-
1.694
1.8
, 1.800
1.799
1.798
1.797
1.796
1.795
1.9
1 1.900
1.899
1.898
1.898
1897
1.896
2.0
2.000
1.999
1.999
1.998
1.997
1.997 j
♦ D
en Logarithx
aea mit der I
Kennziffer 9 li
it — 10 an«t
(hängen.
1
AdditioDslogarithmen für complexe OrösseiL
Tafel der B* (Forteetzung).
A A-l^o
160*>
1700
180«
190«
200<»
8.0
9.997
9.996
9.996
9.996
9.996
9.996
8.1
8.2
8.3
8.4
8.6
8.6
8.7
8.8
8.9
9.996
9.996
9.994
9.992
9.990
9.988
9.986 -
9.981
9.976
9.996
9.994
9.993
9.991
9.989
9.986
9.982
9.978
9.972
9.996
9.994
9.992
9.990
9.988
9.984
9.980
9.976
9.968
9.996 -
9.993
9.992
9.990
9.987
9.983
9.979
9.973
9.966
9.996 -
9993
9.991
9.989
9.986
9.983
9.978
9.972
9.966 -
9.996 -
9.993
9.991
9.989
9.986
9.982
9.978
9.972
9.964
9.0
9.969
9.964
9.960
9.967
9.965 -
9.964
9.1
9.2
9.3
9.4
9.6
9.6
9.7
9.8
9.9
9.962
9.952
9.940
9.926 -
9.907
9.887
9.876 -
9.862
9.853
9.955 -
9.943
9.928
9.909
9.886 -
9.866
9.822
9.788
9.769
9.949
9.936
9.918
9.896 -
9.866 -
9.826
9.777
9.719
9.667
9.945
9.930
9.910
9.884
9.849
9.802
9.737
9.648
9.640
9.942
9.926
9.906
9.877
9.839
9.786
9.708
9.691
9.396
9.942
9.926
9.903
9.874
9.836-
9.780
9.698
9.667
9.313
0.0
9.884
9.791
9.669
9.496
9.196
— 00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.6
0.7
0.8
0.9
9.963
0.062
0.176-
0.287
0.407
0.626 -
0.640
0.762
0.862
9.869
9.988
0.122
0.266
0.386 -
0.509
0.628
0.743
0.866 -
9.767
9.919
0.077
0.226
0.365 -
0.496 -
0.618
0.736
0.849
9.640
9.848
0.037
0.202
0.349
0.484
0.610
0.730
0.846
9.496
9.791
0.008
0.186
0.339
0.477
0.606
0.726
0.842
9.413
9.767
9.998
0.180
0.336-
0.474
0.603
0.726
0.842
1.0
0.969 .
1.076
1.181
1.285-
1.388
1.490
1.592
1.694
1.795
1.896
0.964
0.960
0.957
0.966 -
0.964
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.6
1.7
1.8
1.9
1.072
1.178
1.282
1.386
1.489
1.691
1.693
1.794
1.896
1.068
1.175
1.280
1.384
1.488
1.690
1.692
1.794
1.896
1.066
1.173
1279
1.383
1.487
1.590
1.692
1.793
1.896-
1.066 -
1.172
1.278
1.383
1.486
1.689
1.691
1.793
1.896 -
1.064
1.172
1.278
1.382
1.486
1.689
1.691
1.793
1.896 -
2.0
* D
1.997
en Logarithm
1.996
on mit der E
1.996
onoKiffer 9 is
1.996
t — 10 anzat
1.996
ftngen.
1.996
Ton B. MiBHKa.
27
II. Tafel der B.
A
1 A-0»
10"
80»
80«
40»
60»
8.0
i 0,0
0,1
0,2
0.8
0,4
0,4
8.1
0.0
0,1
0,2
0,4
0,6-
0,6
8.2
0,0
0,2
0,8
0,6-
0,6
0,7
8.8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,7
0,9
8.4
0,0
0,2
0,6-
0,7
0,9
1,1
8.6
0,0
0,8
0,6
0,9
1,2
1,4
8.6
0,0
0,4
0,8
1,1
1.4
1,7
8.7 ■
0,0
0,5-
0,9
1.4
1,8
2,2
88 1
0,0
0,6
1,2
1,7
2.2
8,7
8.9 1
0,0
0,7
1,6-
2,1
8,8
3,4
9.0
0,0
0,0
0,9
1,8
2.7
8,6-
4,2
9.1
1,1
2,2
8,8
4,8
6,2
9.2
0,0
1,4
2,7
4.0
6,2
6,4
9.8
0,0
1,7
8,8
4,9
6,4
7.8
9.4
0,0
2,0
4,0
6,9
7.8
9,6
9.6
0,0
2,4
4,8
7,1
9,4
11,6
9.6
0,0
2,8
6,7
8,4
11,2
18.8
9.7
0,0
8,8
6,7
9,9
18,2
16,8
9.8
0,0
8,9
7,7
11,6
16,8
19,1
9.9
0,0
M
8,8
18,8
17,6
22,0
0.0
0,0
6,0
10,0
16,0
80,0
26,0
0.1
0,0
6,6
11,2
16,8
82,4
28,0
0.2
0,0
6,1
12,8
18,6-
84,7
80,9
0.3
0,0
6,7
18,3
20,1
26,8
38,7
0.4
0,0
7,2
14,3
21,6
28,8
86,8
0.6
0,0
7,6
16,2
88,9
80,6
88,6-
0.6
0,0
8,0
16,0
24,1
82,2
40,6-
0.7
0,0
8,8
16,7
26,1
88,6
48,8
0.8
0,0
8,6
17,3
26,0
34,8
48,6
0.9
0,0
8,9
17,8
26,7
86,7
44,8
1.0
0,0
»,1
18,2
27,3
86,6
46,8
1.1
0,0
9,3
18,6
27,9
87,8
46,6
1.2
0,0
9,4
18,8
28,3
87,8
47,3
1.8
; 0,0
9,6
19,1
28,6
38,2
47,8
14 1
0,0
9,6
19,2
28,9
88,6
48,3
1.6
. 0,0
9,7
19,4
29,1
88,8
48,6
1.6
0,0
9,8
19,6
89,8
39,1
48,9
1.7
0,0
9,8
19,6
89,4
. 89,3
49,1
1.8
0,0
9,8
19,7
89,6
39,4
49,8
1.9
0,0
9,9
19,8
89,6
89,6
49,4
2.0
0,0
9,9
19,8
89,7
39,6
49,6
28
Additionslogarithmen für complexe Grössen.
Tafel der B (Fortsetzung).
8.0
1
1 A-50<>
1
60«
70"
80«
90°
100«
0,6
: 0,4
0,5
0,6
0,6
0,6
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
0,6
0,7
0,9
1,1
1,*
1,7
2,2
2,7
. 3,4
0,6
0,8
1,0
1,3
1,6
2,0
2,6
8,1
3,9
0,7
0,9
1,1
1,4
1,8
2,2
2,8
3,5-
4,3
0,8
1,0
1,2
1,5
1,9
2,4
3,0
3,7
4,7
5,9
0,8
1,0
1,3
1,6
2,0
2,6-
3,1
3,9
4,9
6,2
0,8
1,0
1,3
1,6
2,0
.2,5
3,2
4,0
6,0
6,3
9.0
4,2
4,9
5,4
9.1
9.2
9.3
9.4
9.6
9.6
9.7
9.8
99
6,2
6,4
7,8
9,5
U,6
18,8
16,8
19,1
22,0
6,0
7,4
9,1
11,2
13,6
16,3
19,3
22,7
26,3
6,7
8,3
10,3
12,6
16,4
18,6
22,2
26,2
80,6
7,3
9,1
11,3
13,9
17,0
20,7
24,9
29,6
34,7
7,7
9,6
12,0
14,9
18,4
22,6
27,4
32,8
38,8
8,0
10,0
12,5
16,7
19,6-
24,1
29,6
36,8
42,7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.6
0.7
0.8
0.9
26,0
80,0
36,0
40,0
46,0
50,0
28,0
80,9
38,7
86,2
88,5-
40,5-
42,2
48,6
44,8
33,7
37,3
40,7
43,7
46,5-
48,8
50,9
62,6
54,0
39,6-
43,8
47,8
61,4
54,6
67,4
59,7
61,7
63,3
46,3
50,4
65,1
69,3
63,0
66,1
68,7
70^9
72,7
61,2
57,2
62,6
67,4
71,6
76,1
78,0
80,4
82,3
57,3
64,2
70,4
76,9
81,6
84,3
87,6-
90,0
92,0
93,7
1.0
46,8
55,1
64,6
74,1
83,8
1.1
1.2
1.3
1.4
1.6
1.6
1.7
1.8
1.9
46,6
47,8
47,8
1 48,8
48,6
48,9
49,1
49,3
49,4
66,1
56,9
57,6-
58,0
68,4
68,7
69,0
69,2
59,4
66,7
66,6
67,2
67,8
68,2
68,6
68,9
69,1
69,3
76,3
76,3
77,0
77,6
78,1
78.5-
78,8
79,0
79,2
85,1
86,1
86,9
87,5
88,0
88,4
88,7
89,0
89,2
95,0-
96,0
96,8
97,6-
• 98,0
98,4
98,7
99,0
99,2
2.0
1
49,6
1
59,6-
69,4
79,4
89,4
99,4
Von R. Mbhmkb.
29
Tafel der B (FortsetsiiDg).
A
' A - 100^
0,6
110^
0,6
120°
0,6
130'»
0,6
140^
0,6
150°
0,6-
8.0
8.1
. 0,8
0,8
0,8
0,7
0,7
0,6
8.2
1 1,0
1,0
1,0
0,9
0,8
0,7
8.3
1.3
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
8.4
1,6
1,6
1,6
1,4
1,3
1,2
8.6
2.0
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6-
8.6
2,6
2,6
2,4
2,3
2,1
1,8
8.7
3,2.
3,2
3,1
2,9
2,7
2,3
8.8
4,0
4,0
3,9
3,7
3,4
3,0
8.9
6,0
6^
4,9
4,7
4,3
3,8
9.0
6,3
6,4
6,2
6,9
6,6-
4,8
9.1
' 8,0
8,0
7,9
7,6
7,0
6,2
9.2
i 10,0
10,1
10,0
9,6
8,9
8,0
9.3
1 12,6
12,8
12,7
12,3
11,6
10,4
9.4
: 16,7
16,1
16,1
16,8
14,9
13,6
9.6
i 19,6-
20,2
20,6-
20,2
19,4
17,9
9.6
24,1
26,3
26,1
26,0
26,3
23,8
9.7
29,6
31,4
32,7
33,4
33,2
31,8
9.8
35,8
38,6
40,8
42,6-
43,4
43,2
9.9
42,7
46,6
60,0
63,2
55,9
67,8
0.0
60,0
67,3
65,0
60,0
66,0
70,0
75,0
0.1
63,6-
70,0
76,8
84,1
92,2
0.2
64,2
71,6-
79,9
87,6
96,6
106,8
0.3
70,4
78,6
87,8
96,6
106,8
118,7
0.4
75,9
84,7
94,9
104,0 .
114,7
126,2
0.5
81,6
89,8
99,5
109,8
120,6
132,1
0.6
84,8
93,9
103,9
114,2
125,1
136,6 -
0.7
, 87,5-
1 90,0
97,2
107,3
117,7
128,5 -
139,6
0.8
99,9
110,0
120,4
131,1
142,0
0.9
1 92,0
102,0
103,6
112,1
122,5 -
133,0
134,6
143,8
145,2
146,2
1.0
93,7
113,8
124,1
1.1
96,0-
106,0 -
115,1
125,3
135,7
1.2
; 96,0
1 96,8
106,0
116,1
126,3
136,6
147,0
1.3
106,8
116,9
127,1
137,3
147,7
14
i 97,6-
107,6 -
117,6
127,7
137,9
148,2
1.6
; 98,0
108,0
118,1
128,2
138,3
148,5
1.6
i 98,4
108,4
118,6-
128,6
138,7
148,8
1.7
! 98,7
' 108,7
118,8
128,9
139,0
149,1
1.8
1 99,0
109,0
119,0
129,1
139,2
149,3
1.9
1 99,2
109,2
119,2
129,3
139,3
149,4
2.0
1 99,4
109,4
119,4
129,4
139,5 -
149,5
30 Additionslogarithmen für complexe Grössen. Von R. Mbhmkb.
Tafel der B (Forteetzang).
A
A = 150«
160®
no'^
180°
190«
200«
8.0
0,5-
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
8.1
0,6
0,6-
0,4
0,3
0,1
0,0
8.2
0,7
0,6
0,6-
0,8
0,2
0,0
8.8
0,9
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
8.4
1,2
1,0
0,7
0,5
0,3
0,0
8.5
1,5-
1,2
0,9
0,6
0,3
0,0
8.6
1,8
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
8.7
2,3
2,0
1,6
1,0
0,6
0,0
8.8
3,0
2,6-
1,9
1,8
0,7
0,0
8.9
3,8
3,2
2,6-
1,7
0,9
0,0
9.0
4,8
4,1
8,2
2,2
1,1
0,0
9.1
6,2
6,2
4,1
2,8
1,4
0,0
9.2
8,0
6,8
5,3
8,7
1,9
0,0
9.3
10,4
8,8
7,0
4,8
2,6-
0,0
9.4
13,6
11,7
9,3
6,6-
3,3
0,0
9.6
17,9
16,6
12,6
8,6
4,6
0,0
9.6
28,8
21,2
17,4
12,4
6,5
0,0
9.7
31,3
29,3
24,8
18,3
9,8
0,0
9.8
43,2
41,3
36,9
28,9
16,3
0,0
9.9
67,8
68,4
56,6
60,1
33,8
0,0
0.0
76,0
80,0
85,0
90,0
96,0
100,0
0.1
92,2
101,6
113,4
129,9
156,7
200,0
0.2
106,8
118,7
133,1
151,1
173,7
200,0
0.3
118,7
130,7
146,2
161,7
180,2
200,0
0.4
126,2
138,8
152,6
167,6
183,5 -
200,0
0.5
132,1
144,4
157,4
171,4
186,4
200,0
0.6
136,5 -
148,3
160,7
173,5
186,7
200,0
0.7
139,6
161,2
163,0
175.2
187,5
200,0
0.8
142,0
163,2
164,7
176,3
188,1
200,0
0.9
143,8
146,2
164,8
165,9
177,2
188,6
200,0
1.0
1
166,9
166,8
177,8
188,9
200,0
1
1.1
146,2
166,8
167,5
178,3
189,1
200,0
1 1.2
147,0
157,5
168,1
178,7
189,3
200,0
1.3
147,7
158,0
168,5 -
179,0
189,5 -
200,0
1.4
148,2
158,5 -
168,8
179,2
189,6
200,0
1 J.ö
148,5
158,8
169,1
179,4
189,7
200,0
1.6
148,8
159,0
169,3
179,6 -
189,7
200,0
1.7
149,1
159,2
169,4
179,6
189,8
200,0
! 1.8
149,3
159,4
169,6
179,7
189,8
200,0
1 ^-^
149,4
159,5
169,6
179,7
189,9
200,0
2.0
149,5
169,6
169,7
179,8
189,9
200,0
IIL
Das Verhalton der Stoiner'sohen, Cayley'sohen
nnd anderer oovarianter Cnrven in singrulären
Punkten der Omndcnnre.
Von
Dr. E. WÖLFFING
in Stuttgftri.
Während die Untersuchung des Verhaltens der Hess ersehen Curve
in singulttren Punkten der Orundcurve in bekannter Weise durch directe
Aufstellung der Gleichung dieser Curve yermittelst Ausrechnung einer
Determinante erfolgt, kann das Verhalten der Steiner*schen Cnrre in
singulttren Punkten der Grundcurve, oder prftciser ausgedrückt: der £in-
fluss solcher Punkte auf das Verhalten der Steiner'schen Curve nicht
in derselben Weise direct ermittelt werden. Denn die Aufstellung der
Gleichung der Steiner*schen Curve erfordert, wenn n die Ordnung der
Grundcurve ist, die Elimination der (ternftren) Verftnderlichen aus drei
Gleichungen (n — 2)*^' Ordnung ; eine Aufgabe, deren Resultat schon im
Falle der Curven vierter Ordnung kaum mehr zu übersehen ist Dazu
kommt, dass das Eliminationsresultat seiner Form nach von der Ordnung
der Grundcurve abhttngig ist und allgemein für Curven n^' Ordnung gar
nicht gebildet werden kann.
Dem gegenüber mag es von Interesse sein, dass es eine ganz ele-
mentare Methode giebt, um den Einfluss singulftrer Punkte
der Grundcurve auf das Verhalten der Steiner'schen Curve
aufzufinden. Ehe ich zur Entwickelung derselben übergehe, möchte ich
noch auf einige besondere Vorzüge derselben aufmerksam machen. Zunächst
ist die Methode von der Ordnung der Grundcurve vollständig unabhängig.
Femer bedarf es nur geringer Weiterbildungen der Methode , um auch die
Caylej'sche und andere covariante Curven in den Bereich der Unter-
suchung zu ziehen. Endlich bietet die Methode die Möglichkeit, ein ge-
naues Bild vom Verlauf der Hesse'schen, Steiffer 'sehen, Cajlej-
schen und der anderen covarianten Curven in der Umgebung des singulären
Punktes zu entwerfen und die zusammengehörigen Zweige der
einzelnen Curven zu übersehen. (Ja, man kann sogar die relative Geschwindig-
32 Das Verhalten d. Steiner^schen, Caylej'schen u. and. covarianter Curven etc.
keit bestimmen, mit welcher die zusammengehörigen Pnnkte auf den ver-
schiedenen CO Varianten Carven durch den singulären Punkt hindurchgehen.)
Erwähnt sei noch, dass zahlreiche Proben, die sich im Verlaufe der
Rechnung ergeben, den Resultaten eine hohe Sicherheit gegen Rechnungs-
fehler verleihen.
1. Die Gleichung der Grundcurve habe die Form:
,0^F= a
+ hx + cy
+ dx^+exy + fy*
1) ^ +g(x^+hx^y + ixy^+ht^
+ ^äj* + mix^y + px^y^ + qxy^ + ry*
+ 8X^ + ta^y + U9?y^ + vx^^ + ioxy^+ ay^
+ ...
Der singulare Punkt liege im Nullpunkt.
Man stellt nun die Gleichung der Hesse *schen Curve auf, indem man
die niedrigsten Glieder derselben in x und y, soweit man dieselben braucht,
berechnet. Dann trennt man die einzelnen Zweige der Hesse 'sehen Curve
vermittelst des Newton 'sehen Parallelogramms (cf. Clebsch-Lindemann,
Vorlesungen über Geometrie I S. 330 flg.) und entwickelt nun zunächst
für einen dieser Zweige beide Coordinaten rational als Functionen eines
(unendlich klein zu denkenden) Parameters e. Ist z. B. der Zweig ein
r - facher und y = 0 Tangente , so setzt man am Besten x = e**! worauf sich
y als Reihe von ganzen, steigenden Potenzen von £ ergiebt. Alsdann ist
(Xf y) ein Punkt der Hesse 'sehen Curve in der Umgebung des singulären
Punktes. Nun bestehen zwischen einem Punkte (a;, y, 0 = 1) der Hesse-
schen Curve und dem zugehörigen (g, ly, ?=1) der Stein er 'sehen Curve
die Beziehungen:
2)
dx^
d^F
dxdy
d^F
s +
1 +
s +
dxdy
d*F
fl +
ri +
»? +
dxde
d*F
dyde
d'F
i = o,
?=o,
t = o.
dxdz dyde
Setzt man in zwei dieser Gleichungen für x und y ihre Werthe in c
ein, so erhält man hieraus $ und ti ebenfalls in £ ausgedrückt, also den
zum Punkt (a;, y) der Hesse'schen Curve gehörigen Punkt (S, iy)
der Steiner'schen Curve. Die gefundenen Werthe x^ y, £, 97 müssen
zusammen die dritte ^Gleichung 2) identisch in € befriedigen (I. Probe).
Die für (g, 97) gewonnene Parameterdarstellung lässt die Lage des
Punktes (§, 17) und damit das Verhalten der Steiner'schen Curve in der
Nähe des singulären Punktes und in diesem selbst um so genauer erkennen,
Von Dr. E. Wölffimg.
33
je mehr Glieder in b man berücksichtigt. Die nftmliche Rechnung ist als-
dann anch ftlr die übrigen Zweige der Hesse 'sehen Cnrve durchzuführen
und man erhfilt so die übrigen zugehörigen Punkte der Steiner*schen
Cnnre«
2. Die Gayley'sche Curve wird umhüllt von den Verbindungslinien
der Punkte der Hesse'schen Curve mit den zugehörigen der Steiner-
schen Curve. Die homogenen Coordinaten {ü, v, i^bI) der zum Para-
meter 6 gehörigen Tangente derselben verhalten sich daher wie die Deter-
minanten der Matrix ,. .
\\ X y 1
3) IL . 1
X
II I V
Als II. Probe hat man die Identitftten
I ux H-iy + w^O \
l ü^ + vri + io = 0 J
Die Grössen u, t), ti; wären bereits zur Erkennung der Singulitritftt
der Cayley 'sehen Curve genügend *| zur bequemeren Vergleichung mit der
Hesse'schen und Steine r'schen Curve aber empfiehlt es sich, von den
Liniencoordinaten zu Punktcoordinaten überzugehen, indem man den Be-
rührungspunkt der Tangente {ü^ v^ w) sucht. Die Coordinaten (a;, y, ir s 1)
desselben verhalten sich wie die Determinanten der Matrix
4)
u
V
V
du
dt
db
dt
dw
dt
wobei die Identit&t
eine IIL Probe liefert.
üx + vy + ip = 0
3. Es existirt aber noch eine zweite Möglichkeit, den zum Punkt (o;, y)
der Hess eichen Curve gehörigen Punkt (£, 17) der Steiner 'sehen Curve
zu berechnen. Bekanntlich (Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über
Geometrie IS. 365; Salmon-Fiedler, Höhere Curven 2. Aufl. S. 461)
wird die Stein er 'sehe Curve umhüllt von den linearen Polaren der Punkte
der Hesse'schen Curve in Bezug auf die Grundcurve. Die Coordinaten
{Q} <^i Tsl) der zu {x^ y) gehörigen Tangente der. Steine r 'sehen Carve
dF
dF dF
verhalten sich daher wie die Grössen -fz — « -7:-^
ox oy
d»'
die Coordinaten
des Berührungspunktes ($^ 17, 2^=1) verhalten sich wie die Determinabtefi
der Matrix
Q a X
5) Aq da dt
de dB de
Diese Werthe müssen mit den oben füt (|, 17, i'-
übereinstimmen (IV. Probe).
ZeitMhrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 1. Heft.
1) gefundenen
34 Das Verhalten d.Steiner'schen, Cajley'schen u. and. coyarianter Caryen etc.
Das Verfahren selbst steht . meistens dem oben mitgetheilten au Ein-
fechheit nach, doch giebt es Fälle, wo es immerhin auch gate Dienste
leistet.
4. Bei Salmon-Fiedler (Höhere Carven S. 195) wird daranf anf-
merksam gemacht» dass bei Carven dritter Ordnung die Gaylej^sche
Cnrye auch definirt werden kann als ümhalliingslinie der Geradenpaare,
in welche die conischen Polaren der Punkte der Hesse'schen Cnrye in
Bezng auf die Grundcarve zerfallen, dass aber bei höheren Carven die so
definirte Corvo von der Caylej'schen verschieden sei. Ich werde mir
erlauben, die Umhüllung der in Geradenpaare zerfallenden conischen Polaren
als Salmon'sche Curve zu bezeichnen, um auch ihr Verhalten im singu-
lären Punkte festzustellen, empfiehlt es sich, die beiden Geraden des Paares
zu trennen und das geschieht am einfachsten folgendermassen:
Die Gleichung des Geradenpaares ist
dydr
de"
= 0,
dxdß '
wo x\ y\ /= 1 laufende Coordinaten sind.
Die beiden Schnittpunkte mit e^O (also die beiden unendlich fernen
Punkte) sind gegeben durch
7)
da? "^ dxdp
0.
Diese beiden Punkte werden getrennt durch Auflösung der in {x'iy)
quadratischen Gleichung 7). Man hat jeden von beiden nnr mit (£ , 17) zu
verbinden — der Mittelpunkt des Geradenpaares ist ja der zu {x^ y) gehörige
Punkt der Stein er 'sehen Curve — , um die zwei zum Parameter a ge-
hörigen Tangenten der Salmon'schen Curve zu finden; die Coordinaten
derselben seien resp. (Wj, Vj, Wi = l) und (5j, 5g, i5g=l). Sind x\:y\
und x\:y\ die Wurzeln der Gleichung 7), so verhalten sich Uiivuw wie
die Determinanten der Matrix
5 V I II
wo 1=1, 2.
Dabei ergiebt sich als V. Probe , dass
(MiX + Viy + t5j/)(5gaj'+ v^y + w^s)
proportional zur linken Seite von 6) sein muss.
Für die Berührungspunkte auf der 3almon*schen Curve hat man
Ui Vi Wi
9) Xi : y* : 1 = düi dvi dwj
dl de ds
mit der VI. Probe : ^ - , - - , _ ^
UiXi + vtyi + Wi = 0,
wo fsssl, 2.
Von Dr. E. Wölffinq.
35
6. Bei Clebsch-Lindemann (Vorlesungen ttber Oeometrie I 3. 3ßO)
ist femer eine Carve erwähnt, die nmhüllt wird von den Tangenten-
paaren, welche die ersten Polaren der Punkte der Steiner'schen Curve
in Bezug auf die Gmndcnrye in ihren Doppelpunkten besitzen (letztere sind
Funkte der Hesse'schen Gurve). Die Ordnung dieser Curve ist von
Zeuthen bestimmt worden, weshalb ich die Curve als Zeuthen'sche
Cnrre citiren werde. Auch sie ist für Cur?en dritter Ordnung mit der
Cajlej'schen identisch, f&r höhere Gurven von ihr verschieden.
Die erste Polare eines Punktes (£, 17) der Steine raschen Curve in
Bezug auf die Grundcurve hat die Gleichung:
10)
dF 9F dF
17^ + 17""*"^^'
0,
wo wieder {x\ y\ »^\) laufende Ooordinaten sind.
Das Tangentenpaar im Doppelpunkte erhftlt man, wenn man von der
Curve 10) die n — 3^* (also conische) Polare in Bezug auf den Doppelpunkt
(o;, y) nimmt; dasselbe ist daher:
H)
V'F
dxdff^ '^ dxdydg
i)xy'
0.
Dieses Geradenpaar wird nun genau ebenso behandelt, wie das Geraden-
paar 6) — unter Berflcksichtigung des ümstandes, dass sein Mittelpunkt
der Punkt (o?, p) ist — und man erhält somit zuerst die Tangenten
(tfi, Vi^ Wi^s 1), nnd alsdann die Punkte {Xi^ yt, i<= 1) der Zeuthen-
sehen Curve, welche zum Parameter e gehören («^=1, 2).
6.- Eine sechste covariante Curve wird beschrieben von dem Schnitt-
punkte je zweier zusammengehörigen Tangenten der Hesse'schen und der
Steiner'schen Curve. Ich will dieselbe Gegencurve der Cayley-
schen Curve nennen. Für Curven dritter Ordnung f&llt sie gleichfalls
mit der Cajley'schen Curve zusammen und ist fdr höhere Curven von
ihr verschieden. Man erhält den zum Parameter e gehörigen Punkt der-
selben in der Form:
12) ix^:y*:0*=^
Q
wo ^, <f, T dieselbe Bedeutung h^ben, wie in der Matrix 5), während
ti, 1^, fr die Determinanten der Matrix
4J y
13) dx dy
dB di
sind.
V w
36 Das Verhalten d. Steiner'schen, Caylej'schen n. and. covarianier Curven etc.
7. Die Anwendung der vorstehenden Formeln soll nun am Beispiel
der Spitze (Rückkehrpunkt) gezeigt werden.
Ist (0, 0) eine Spitze und yssO Spitzentangente ^ so ist in Gleichung 1) :
Die Hesse 'sehe Curve hat nun bekanntlich in (0,0) eine Spitze mit
Tangente y = 0 und einen durchgehenden Zweig. Lediglich zur Ver-
einfachung der Rechnung wähle ich den speciellen Fall , dass dieser durch-
gehende Zweig senkrecht zur Spitzentangente steht, also die Achse
x==0 berührt. Hieraus ergiebt sich noch, dass h = 0 ist. Dass die nach-
stehenden Resultate auch für den Fall gelten, wo beide Zweige einen
anderen Winkel mit einander einschliessen, folgt daraus, dass alle diese
Resultate projectivischer Natur sind. Für die Parameterdarstellung sollen
zwei Glieder als genügend betrachtet werden.
Der erste Zweig der Hesse'schen Curve^ die Spitze, ergiebt
folgende Entwickelung: ^ _ _ g«
wo
,_-»/(«-3)g
'~y 2(n-2)i
-3)^
2)f'
(Haben f and g verschiedene Zeichen , so mnss x=t* and ;i
gesetzt werden.)
^^-(n-3
/^ 2(«-S
2)f
Die Coordinaten der Steiner'sohen Corre verhalten sich nun wie
die Determinanten der Matrix:
-6y«»+12J«*+--. 2»iE»+6ms* + "-
3(»-3)y«* + ([«-3J»A»-4[«-4]{)«» + --- '
2at«+6me* + .-. 2/'-2i«« + .--
2(„-2)fA.»-((2n-5)»-^^^^)i6» + ...
^"!,,:l = -6(n-3)fgE*+(^"-^j'^^-^^^t + 8(n-4)ft)a«+ ••
:12(n-2)fgA.»-(6(«-2)^f+^^^"-^^^^^"-'^Vt)a^ + ---
:-,2,.4-[i^f].^...).
Die im letzten Glied auftretende Reihe (l"~7 H «*+*••) käme
in den Nenner von £ und i/ zu stehen und wird daher auf Grund der
Formel 1
1+P
in den ZBhler gebracht.
= l-J, + p»_p!'+-.
Von Dr. E. WÖlpping.
37
Es ist daher:
"2
ebenso
Dso:
tt(-').'-[^Tiä^'-;-3^<-'>i]"+:-)
x(3(n-3)^t*+[(n-3)U»-4(«-4)l]«<'+-")
ProbeI)]+(-(«-2)*^-[^(«-2)i + ^^]xs» + --)
X (2(n - 2)/-le»-[(2n - 5)» - ^^?£:^ ^U» + • • •)
+ |(«-3)(n-5)i^j«-((«-3)»»lM»*-8n+17)l)j» + - • - = 0.
Selbstverstfindlich kSnnen in diesem Ausdruck, soweit er dasteht,
nur die Coefficienten von t' and f^ Tersohwinden, weil nur zwei Glieder
berficksichtigt sind.
Cayley'sche Curve.
Die Matrix
* ** \2(n-2) f «-3 g}''^^ *
^A 9^ . /(«-l)(n-3) i 1, ,-{\ . ,
• • • / IV, •■ /("-1)("-81 ' , "-1 '\, ij_
liefert
beide Proben II) stimmen.
Die Coordinaten des zugehörigen Punktes auf der Caylej'schen Curve
verhalten sich wie die Determinanten der Matrix:
38 Das Verhalten d. Steiner'sohen, Oayley'schen u. and. covarianter Cnrren etc.
5
2
Es ergeben sich
3
** ^\2(«-2) /-^«-S i^/** ^ 2* Vl2(«-2) ^ 3 ^y* ^
2 * ^Vl2(fi-2) /■ 6(«-3) gJ ^
\2fn-2) f «-3 g/ \12(n-2) f o g)
\12(n — 2)f o{n — 3)g/
sich:
• 3 , C 4n + 3 » n + 3 l\ ,,
""=" 2* Vl2(n-2) 7 3(n- 3)^/* ■*"■■•
Probe III stimmt. * ^
Das unter 3, auseinandergesetzte Verfahren giebt die homogenen Coordi-
naten der Punkte der Steiner 'sehen Curve als Determinanten der Matrix:
-3(»-3)p.»-8(^^-(«-3)l)e^ + ...
dieselben stimmen mit den früher gefundenen Werthen ttberein (Probe IV).
Salmon*8che Curve.
Die beiden unendlich fernen Punkte des zum Parameter e gehörigen
zerfallenden Kegelschnittes sind gegeben durch:
Mit ,/6rn-2)
folgt hieraus:
-±/^,
üiv:ip =
2^A«-((/t + 2)J + 2^^)At»+...
-6gt*+\2lf*+... (
1, o, , /(n-l)(w-3) « 1, ,,l\,^
-(n-2)X.»-Q(»-2)i+^i)A^+...l
= :-6^«»+i2i£<+...
Von Dr. B. Wölfpihö.
äd
Bei der Probe V) ergiebt sieh , dass man den Aoedmck
do? " * " Zxdy
mit — 6^«*+ 12 ?«*+••• multiplioiren mnss, um das Produkt
zu erhalten, wo sich die Indices auf das Doppelzeicben von ^ beziehen,
welches die beiden Zweige der Salmon' sehen Curve unterscheidet.
Die Berührungspunkte der Salmon 'sehen Curve werden nun:
* 2^~-3)(^-3)t«
.(<.
-3)(4^ + »-7) » .-(9n- 22)^ + (22« -46) l
12(»-2)
.(-(«-8)|. + 2(«-2))li'
Bei der Berechnung der Zeuthen'sohen Curve möge in den Ent-
wickelungen je nur ein Olied berücksichtigt werden.
Die Gleichung 11) wird mit x;'»0:
oder
[-3(n-3)^i»+-]«»+C-4a*»+-]«V+[2(«-2)^+-]y'«.
Dann ist:
+ 2>/3(f»-2)/"A« + .-. -3(«-3)pi»+.-.0
-«» i«»+.-. 1
. -3(n-3)yt«+-: + 2^3(n-2)A«+-:-(«-3)(3 + >/%«*+ ■.
f = -(3:Fj/3)i»+---.
y = 2(q:^-l)i6»+...
Aach bei der Oegencttrve der Cayley'sehen Carve mtfge nur
ein Glied in Betracht gezogen werden.
Dann ist: „.«,;«, = _ 3ij» + ... :_2, :- A,« + ...,
-31«» + -. ■ -2« -i6* + .
n-3
V, W.W-
daher:
also:
«* : y* : 1
3^«* + ... 2/'ie»+-
n-3
2
■pe«+
3
«»+•
»* = -§(« -2)li» + .
40' Das Verhalten d. Steiner^schen, Cajlej^schen o. and. covarianter Caryen etc.
8. Die Entwickelang des zweiten (durchgehenden) Zweiges der Hesse-
sehen Curve ergiebt: «/ = e
wo
1 n-3 I» 1 p
" 6 n^2 fg S g'
. 1 (n-3)(fi-4) i*k Imp 1 nSfitn ^ v . ^ n-4<g
'^"" 6 (n-2)2 Pg^^ g^ d n^2 fg* 3 g^S n^2fg'
Mit Berührung der zweiten und dritten Oleichung 2) ergiebt sich der
Punkt der Steiner'schen Curve:
| = _(„_2)|-2yf« + ...,
y=(n-3)y-(n-2)-|-
Fflr die Cayley'sche Ourve wird:
daher: f f
i=-(«-2)|-(« + 2)y|« + ...,
y = — ^(«+2)y7«*+--
FQr die Salmon'sche Curve bekommt man:
«:5:l = (v-2)«+(-g5|v*^ + (2.-3)g)E»+..-
:-2f-Qkt+'-. ■
:(«-2)(v-2)/'.+ (v-3)(«-3)*t«+- •,
wo
daher:
=±/^fc^'-
y = -i(2v-3)yj»+--
Die Berechnung der Zeuthen'schen Curve ergiebt:
« : tT: S = - 6(n - 2) ^ +• . . : -2^^«* + • • • : 6(n-2)^ e +«
wo
also:
I=— £ + ...,
Von Dr. E. Wölpfinö. 41
Endlich findet man für die Gegencurve der Cajley'scfaen Curve:
j^ 2- + 47*+-
9. Das Verhalten der covarianten Curyen möge in folgenden Sätzen
znsammengefasst werden:
Wenn dieOrnndcurveim Punkte Ä eine Spitze mit Tangente a hat, so hat :
a) die Hesse'sche Curve in^l ebenfalls eine Spitze mit Tangente a
und einen gewöhnlichen Zweig mit Tangente h;
b) die Steiner'sche Curve hat in Ä eine Spitze mit Tangente a
und berührt a in einem weiteren Punkte B;
c) die Caylej'sche Curve hat in A eine Spitze mit Tangente a
und berührt a ebenfalls im Punkte B\
d) die Salmon*sche Curve hat in Ä zwei Spitzen, beide mit
Tangente a und in B einen Berührungsknoten (Selbstbertthrungs-
punkt) mit Tangente a;
e) die Zeuthen'sche Curve hat in ^ zwei Spitzen mit Tangente a
und einen gewöhnlichen Zweig mit Tangente &;
f) die Oegencurve der Cajley'schen Curve hat in A eine
Spitze mit Tangente a und einen gewöhnlichen Zweig mit Tangente h.
Hierbei ist jedoch zu bemerken:
Bei der Salmon'schen Curve treten merkwürdiger Weise Aus«
nahmen von der unter d) gegebenen Begel ein, wenn die Grundcurve von
der fünften oder zehnten Ordnung ist. Bei der Ordnung 5 verwandelt
sich die eine der beiden Spitzen in einen „Rückkehrspitzpunkt^ [cf. unten
]4k)J. Bei der Ordnung 10 tritt dagegen an die Stelle des Berührungs-
knotens eine Singularität, bestehend aus einer Spitze in B mit Tangente a
und einem gewöhnlichen Zweig in B, ebenfalls mit Tangente a.
üebrigens ist bei Curven dritter Ordnung das Verhalten der meisten
covarianten Curven ein abnormes: die Cajlej'sche Curve fällt mit ihrer
Gegencurve, der Salm on 'sehen und der Zeuthen 'sehen, zusammen und
zerfällt in den doppeltzählenden Punkt A und noch einen weiteren Punkt
(Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I S. 592).
Aus den Entwickelungen für die Zweige der covarianten Curven er-
geben sich noch folgende erwähnenswerthe Thatsachen:
Wenn sich zwei Zweige der covarianten Curven (beispielsweise der
Zweig der Steiner'schen und derjenige der Cajley'schen Curve in B)
berühren, so hängt das Verhältniss der Krümmungsradien, welches
eine Invariante ist (cf. Zeitschrift für Mathematik u. Physik 38. Jahrg. S.237)y
zwar im Allgemeinen von der Ordnung der Grundcurve ab, ist aber sonst
von letzterer gänzlich unabhängig. Dasselbe gilt von dem Verhältniss
der Spitzenparameter der in einem Punkte zusammenfallenden und die-
42 Das Verhalten d. SteiDer'sehen, Caylej'scben u. and. covarianter Curven etc.
selbe Tangente besitzenden Spitzen (anter Parameter einer Spitze verstehe
ich den Parameter einer die Curve in der Spitze siebenpunktig berührenden
Neil'schen [semicubischeu] Parabel).
W&hrend ferner im Allgemeinen jede Gerade des Paares ; welches die
Salmon'sche oder Zenthen 'sehe Curve amhallt, für sich einen besonderen
Zweig beschreibt, tritt im obigen Beispiel bei dem gewöhnlichen Zweige
der Zeathen 'sehen Curve eine Ausnahme ein. Dieser Zweig kommt
nämlich zu Stande, indem jede Gerade des Paares eine Seite des Zweiges,
beschreibt; beide fallen dann in h zusammen und werden weiterhin imaginär.
Interessant ist auch in diesem Beispiele, wie sich die Cayley'sche
und die Salmon'sche Curve an die Steiner'sche Curve anschliessen,
während die Zeuthen'sche und die Gegencurve der Caylej'schen dem
Verlauf der Hesse'schen Curve folgen.
10. Hat die Grundcurve in A -einen Doppelpunkt mit Tangenten
h und Cf so haben die Hesse'sche, die Steiner'sche, die Cajley'sche
Curve und deren Gegencurve ebenfalls je einen Doppelpunkt in Ä mit
Tangente h und c. Die Salmon'sche Curve hat in A ebenfalls einen Doppel-
punkt mit Tangenten h und e und berührt ausserdem noch h und o je in
den Punkten B und C. Desgleichen hat die Zeuthen'sche Curve in Ä
einen Doppelpunkt mit Taugenten h und c und berührt h und c je in den-
selben Punkten B und G* Die Verhältnisse der Krümmungsradien bei den
sich berührenden Curven sind wieder von der Ordnung n der Grund-
curve abhängig. Bei Clebsch-Lindemann (Vorlesungen über Geometrie I
S. 325 Anmerkung) ist bereits darauf hingewiesen , dass die Zweige der
Grundcurve und der Hesse'schen Curve im Doppelpunkte sich gegenseitig
die convexe Seite zukehren: denn das Verhältniss ihrer Krümmungsradien
ist negativ, nämlich gleich •
Zusatz:
Bei Curven dritter Ordnung mit Doppelpunkt zerfällt, wie bekannt
(cf. Clebsch-Lindemann a. a. 0. S. 588) die Cayley'sche Curve in
den Doppelpunkt und einen die Tangenten des letzteren in B und C be-
rührenden Kegelschnitt, unsere Entwickelungen zeigen noch besonders für
diesen Fall, dass die Verbindungslinie der reellen zusammengehörigen
Punkte in der Hesse'schen und Stein er 'sehen Curve nicht den ganzen
Kegelschnitt umhüllt, sondern nur einen von den Berührungspunkten B
und 0 begrenzten Bogen desselben, diesen aber doppelt
11. Während mehreren Punkten der Hesse 'sehen Curve ein und der-
selbe Punkt der Steiner 'sehen entsprechen kann — letzterer ist eben
dann ein mehrfacher Punkt in der St einer 'sehen Curve — , kann umgekehrt
ein Punkt der Hesse'schen Curve im Allgemeinen nicht auf mehrere Punkte
der Steiner'schen Curve führen. Denn der Punkt | _^ } liegt auf der
Hesse'schen Curve, wenn die drei Geraden:
{::>
Von Dr. E. Wölpfino* 43
2d|+ eti +(n-l)6 = 0,
14) 65+2/^t?+(n-l)c=0,
H+ ci? + (n-2)ac=0
sich in einem Pankte treffen und im Allgemeinen wird das, wenn es über-
haupt stattfindet, nur in einem Punkte geschehen. Indes können die
drei Geraden 14) durch theilweises Zusammenfallen oder Illusorischwerden
doch auch mehr als einen Schnittpunkt bekommen und gerade bei höheren
Singularitäten der Orundcurve kann es geschehen, dass einem Punkt der
Hesse'schen Cnrye mehrere Punkte der Steiner'schen entsprechen. Es
wurde z. B. bereits gezeigt, dass, wenn die Orundcurre eine Spitze A hat,
dem Punkte Ä der Hesse'schen Curye in der Steiner'schea die zwei
Punkte Ä und B entsprechen (siehe oben Ziffer 9).
12. Während sich bekanntlich die Punkte der Hesse'schen und der
St eine raschen Curve eindeutig entsprechen, tritt eine Ausnahme ein , weniv
die Orundcurve eine Spitze Ä hat. Denn dem Punkte Ä als Punkt der
Hesse'schen Curve entsprechen in der Steiner'schen Curve sämmtliche
Punkte der Spitzentangente a und zwar tritt letztere doppeltzShlend
in der Gleichung der Steiner'schen Curve auf. Dagegen entspricht die
Curve, welche durch Weglassung dieser Doppel geraden entsteht, und welche
als reducirte Steiner'sche Curve bezeichnet werden möge, wieder
eindeutig der Hesse'schen Curve und man kann nunmehr die Plück er-
sehen Zahlen für die (reducirte) Steiner'sche Curve aufstellen, wenn die
Orundcurve d Doppelpunkte und r Bückkehrpunkte hat.
Wegen Weglassung der Doppelgeraden wird
n. = 3(n-2j»-.2r.
Das Geschlecht ist gleich dem der Hesse'schen Curve, also:
|,, = g(3n-7)(3«-.8)-£l-3r.
Für die Klasse kann man die Formel
Ä, = 3(n - 1) (w - 2) - 2ei - 4r
(Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie I S. 67 1 Anmerkung)
benützen, weil durch Weglassung der Doppelgeraden die Klasse nicht
geändert wird.
Hieraus ergeben sich leicht die übrigen Zahlen:
d,= |(n-2)(fi-3)(3n«-9n-5) + d~6(n»-4n + 2)r + 2r»,
r,= 12(n-2)(w-.3)-6r,
^* = |(«-2)(n-3){3w«-3n-8)-2d(3w«-9fi+l)-3r(4««-12w+l)+2(P+8eir+8r«,
11^, = 8(n- 2)(4n- 9) - Öd-" 12r.
44 Das Verhalten d. Steiner'schen, Cajlej'schen n. and. covarianter Carven etc.
13. Hat die Grundcarve in Ä einen dreifachen Funkt, so ent-
sprechen dem letzteren als einem Punkte der Hesse'schen Curve sämmt-
liche Punkte der Ebene als Punkte der Steiner 'sehen Curye, weil alle
ersten Polaren in A einen Doppelpunkt haben. Als „Steiner'sche Curre"
hat man in diesem Falle den Ort der Punkte anzusehen , der^n erste Polaren
je ausser A noch einen zweiten Doppelpunkt haben.
Hat nun die Qrundcurve in A drei verschiedene Zweige mit den
Tangenten &, c, d, so hat die Hesse'sche Curve in A einen fünffachen
Punkt; drei Zweige berühren die Tangenten 5» c, d, während zwei Zweige
mit den Tangenten e und f hindurchgehen. Gerade so verhalt sich auch
die Stein er 'sehe Curve.
(Man. kann aber auch nach dem Ort der Punkte fragen, deren erste
Polaren in A je eine Spitze [und sonst keinen Doppelpunkt] haben. Man
erhält in unserem Falle als Ortscurve eii). Greradenpaar, bestehend aus den
Tangenten e und f der Hesse'schen Curve.)
14. Nachstehend möge noch das Verhalten der Hesse'schen und der
Steiner 'sehen Curve in einer Anzahl weiterer Singularitäten der Grund-
curve mitgetheilt werden:
a) Die Grundcurve hat einen Wendepunkt A mit Tangente a.
Die Hesse 'sehe Curve geht durch A mit Tangente h hindurch.
Die Stein er 'sehe Curve berührt a in einem Punkte £ [cf.Clebsch-
Lindemaun a.a.O. S. 371] (auch die Cajlej'sche Curve be-
rührt a in demselben Punkte B). Darum muss auch bei Curven
dritter Ordnung die Hesse'sche Curve, da sie die Stelle der
Stein er 'sehen vertritt, die Wendetangenten berühren (Salmon,
Höhere Curven S. 197).
b) Die Grundcurve bat einen ündulationspunkt (Flachpunkt) A
mit Tangente a. Die Hesse'sche Curve berührt a in A. Die
Stein er 'sehe Curve berührt a in einem Punkte B und hat daselbst
einen Wendepunkt.
c) Die Grundcurve bat in .^ einen Wendeflachpunkt (Beuschle,
Praxis der Curvendiscussion I , Stuttgart 1886, S.32) mit Tangente a,
das heisst, ihre niedersten Glieder sind cy + .•• + 5«;* + ••• (diese
Singularität ist äquivalent mit drei Doppeltangenten und drei
Wendepunkten). Die Hesse'sche Curve hat in A einen Wende-
punkt mit Tangente a. Die Steiner 'sehe Curve berührt a in
einem Punkte B und hat daselbst einen ündulationspunkt.
d) Die Grundcurve hat einen Berührungsknoten (Selbstberührungs-
punkt) A mit Tangente a. Die Hesse'sche Curve hat in A einen
dreifachen Selbstberührungspunkt mit Tangente a (das heisst, drei
gewöhnliche Zweige berühren a in A). Die Steiner'sche Curve
verhält sich ebenso.
Von Dr. E. Wölpfing. 45
e) Die Grundcurve hat einen symmetrischen Bertthrungs-
knoten in Ä mit Tangente a, das heisst^ die Krümmungsradien
der Zweige sind gleich and entgegengesetzt gerichtet. Die Hesse-
sche Curve hat in Ä einen symmetrischen Bertthmngsknoten mit
Tangente a and zwei durchgehende Zweige mit den Tangenten h
and c (cf. Mathem. Annalen 36. Bd. S. 1 19). Die Steiner 'sehe Curve
hat in Ä ebenfalls einen symmetrischen Bertthrungsknoten mit
Tangente a und einen weiteren Bertthrungsknoten im Punkte B
mit Tangente a.
f) Die Orundcurve hat in deinen Bttckkehrflachpankt(Beuschle,
a. a. 0. S. 49) mit Tangente a, das heisst, ihre niedersten Glieder
sind ff/*+"» + safi + ' ' ' (der singulare Punkt ist Äquivalent mit
einem Doppelpunkte, einer Spitze, zwei Doppeltangenten und zwei
Wendepunkten). Die Hess ersehe Curve hat alsdann in A einen
Bttckkehrflachpunkt mit Tangente a, einen berührenden Zweig
mit Tangente a und einen durchgehenden Zweig mit Tangente h.
Die Steiner*sche Curve hat ebenfalls einen Bttckkehrflachpunkt
in Ä mit Tangente a und berührt a noch in einem Punkte B
(wo sie einen Wendepunkt hat) und in einem weiteren Punkte C
(hier, wie im Folgenden sind die Zweige der Stein er'schen Curve
in derselben Beihenfolge aufgezählt , wie die damit zusammen-
gehörenden der Hesse'schen Curve).
g) Die Grundcurve hat inj. eine Spitze mit Tangente a und einen
durchgehenden Zweig mit Tangente 5. Die Hesse'sche Curve
hat in Ä zwei Spitzen , je mit Tangente a und einen gewöhnlichen
Zweig mit Tangente 5. Die Steiner*sohe Curve hat ebenfalls
zwei Spitzen in Äj je mit Tangente a und berührt ft in J?, wo
sie einen Wendepunkt hat.
h) Die Grundcurve hat in Ä einen Spitzpunkt (Reuschle, a. a. 0.
S. 40) mit Tangente a, das heisst, ihre niedrigsten Glieder sind
ky^+lai^+'" (diese SingularitSt ist mit einem Doppelpunkt und zwei
Spitzen äquivalent). Die H e s s e'sche Curve hat in Ä einen Spitzpunkt
mit Tangente a, einen berührenden Zweig mit Tangente a und
zwei durchgehende Zweige mit den Tangenten h und c. Die
Steiner'sche Curve hat einen Spitzpunkt in A mit Tangente a,
einen gewöhnlichen Zweig, der weder durch A gebt, noch a be-
rührt, und sie berührt a noch in zwei Punkten B und C
i) Die Grundcurve hat in J einen Wendespitzpunkt (Beuschle <
a. a. 0. S. 50) mit Tangente a, das heisst, die niedersten Glieder
sind Jcy^ + . • • + «o;* H (der singulare Punkt ist äquivalent mit
zwei Doppelpunkten , zwei Spitzen , einer Doppeltangente und einem
Wendepunkt). Die Besse'sche Curve hat in A einen Wende-
spitzpunkt mit Tangente a, eine Spitze mit Tangente a und einen
46 Das Verhalten d. Steiner sehen, Oaylej*8clien n. and. coYarianter Curven etc.
berührenden Zweig mü; Tangente o. Die Steiner 'sehe Gurve
hat einen Wendespitzpnnkt in A mit Taugente a, einen Wende-
punkt in A mit Tangente a und einen gewöhnlichen Zweig, der
weder durch A geht, noch a berührt,
k) Die Orundcurve hat in A einen Bückkehrspitzpunkt (cf.
Reu seh le a.a.O. S. 41) mit Tangente a, das heisst, die nie-
dersten Glieder sind ry*+«aJ*H (die Singularität ist Äqui-
valent mit drei Doppelpunkten und drei Rückkehrpunkten). Die
Hesse'sche Gurve hat in deinen Rückkehrspitzpunkt mit Tangente a,
eine Spitze mit Tangente a und drei durchgehende Zweige mit
den Tangenten &, c, il. Die Steiner 'sehe Curve hat einen Rück-
kehrspitzpunkt in A mit Tangente a, einen durchgehenden Zweig
in A mit einer Tangente e und berührt a noch in drei Punkten
B, C und D.
15. Das im Vorhergehenden auseinander gesetzte Verfahren ermöglichte
es, die Lage und Beschaffenheit der Zweige der Stein er*schen Curve zu
bestimmen, welche dem singulSren Punkte der Hesse'schen Gurve ent-
sprechen , welch' letzterer in den singulftren Punkt der Orundcurve hinein-
f&llt und demselben seinen Ursprung verdankt. Es erhebt sich nun aber
die Frage, ob damit der Einfluss der Singularitftt der Orundcurve auf das
Verhalten der St einer 'sehen Gurve erschöpft ist. Es wäre ja denkbar,
fS=Ol
dass die Oleiohungen 2), wenn in ihnen | __..| gesetzt wird, noch durch
fai = 0| ^""
einen von | _ ^^ | verschiedenen Punkt oder gar mehrere solche be-
friedigt würden. Es würde also noch ein weiterer Punkt der Hesse 'sehen
Curve (oder mehrere) existiren, der zu einem durch den singulftren Punkt
gehenden Zweige der Steiner'sche Curve Anlass g&be. Ein solcher Zweig
wfire als accessorisch zu bezeichnen und ebenso würden wir einen Zweig
(« = 01
zu nennen haben, welcher durch einen der etwa zum Punkte { ^i der
fl-0| ^* = ^'
Hesse 'sehen Curve gehörigen nicht in | _/%[ fallenden Punkte der
Stein er 'sehen Curve hindurchgeht. Dass bei speciellen Ornndcnrven solche
acoessorischen Zweige vorkommen können, ist klar;* dagegen ist die
Frage, ob sie bei allgemeinen Ornndcnrven zu erwarten sind, zwischen deren
Coef&cienten also, von der Singularit&t abgesehen, keine weiteren Relationen
existiren, im Allgemeinen wohl zu verneinen. Indess ist nicht zu leugnen,
dass bei gewissen Singularitäten in allgemeinen Orundcurven von einer
* Bei spedellen Orundcurven können auch sonst Abweichungen vom gewöhn-
Uohen Verhalten der covarianten Curven eintreten. Verschwindet e. B. die OrOsee y
in Ziffer 8, so haben im Punkte B die Steiner'sche und die Cayiey'sche Curve
je eine Spitie an Stelle eines gewöhnlichen Zweiges«
Von Dr. E. Wölfpino. 47
bestimmten Ordnung in der That accessorische Zweige in der Steiner-
scfaen Curve regelmässig auftreten; ein Beispiel ist bierfür wenigstens der
Wendepunkt bei den Curven dritter Ordnung. Durcb ihn geht die
Stein er 'sehe Curye aocessorisch hindurch; denn der zugehörige Punkt der
Hesse'schen Curve liegt nicht im Wendepunkte, sondern auf der Wende-
tangente im Bertlhrungspunkte der Stein er *schen Curve (ef. Salmon,
Höhere Curven S. 200). Es wäre immerhin denkbar, dass es für manche
andere Singularitäten eine gewisse Ordnung der Orundcurve giebt, bei
welcher solche accessorischen Zweige der Steiner'schen Curve auftreten.
Dazu kommt aber die weitere Möglichkeit, dass infolge besonderer um-
stände in der Stein er *sche Curve ausserhalb der bereits gefundenen Punkte
ein singulärer Punkt auftritt, welcher einer in der Orundcurve befindlichen
Singularität seine Entstehung verdankt , während der zugehörige Punkt der
Hesse'schen Curve nicht in die genannte Singularität hereinfällt. All-
gemein wird sich über diese Fragen nicht leicht etwas aussagen lassen,
aber so viel ist sicher, dass die in vorliegender Abhandlung gegebene
Methode hinreicht, um den wesentlichen Einfluss singulärer Punkte der
Orundcurve auf das Verhalten der Stein er 'sehen und der anderen covarianten
Curven zu ermitteln.
IV.
Ueber die reciproken Figuren der graphischen Statik.
Von
Friedrich Schur
in Aachen.
Hierzu Tafel I, Figur 1 — 4.
Bekanntlich giebt die graphische Statik zu einer merkwürdigen Reci-
procitSt ebener Figuren Veranlassung, bei welcher jeder Geraden der einen
Figur eine ihr parallele der anderen entspricht. Nachdem Culmann ver-
geblich versucht hatte, diese Beciprocit&t als eine projective aufzufassen,
gelang dies Maxwell dadurch, dass er die beiden Figuren als orthogonale
Frojectionen zweier rftumlicher Figuren entstehen Hess, welche einander in
Beziehung auf ein Rotationsparaboloid polar sind, wobei allerdings die eine
der beiden Figuren noch um einen rechten Winkel gedreht werden mueste.
Diese Drehung vermied Cremen a* dadurch, dass er die Reciprocitftt in
Beziehung auf ein Rotationsparaboloid durch diejenige in Bezug auf ein
sogenanntes Nullsjstem ersetzte. Obwohl der Zusammenhang der beiden
ebenen Figuren gerade hierdurch in der glücklichsten Weise zum Ausdruck
gebracht war, so konnte die strenge Entwickelung der Lehre vom Fach-
werk insofern aus diesen Untersuchungen keinen Vortheil ziehen, als
Cremona die Frage unbeantwortet Hess, ob zwei gegebene reci-
proke Figuren der graphischen Statik sich stets als Fro-
jectionen zweier reciproker Figuren eines Nullsjstems dar-
stellen lassen. Auch in der späteren Literatur^ hat, so viel dem
Verfasser bekannt ist, diese naheliegende Frage nirgends eine Antwort
gefunden. Der Verfasser will daher die Cremona'sche Untersuchung in
diesem Sinne zum Abschlüsse bringen, wobei sich zeigen wird, dass sich
* Siehe besonders Cremdna: „Les figures r^ciproques en statique graphique
trad. par BoBsut", Paris 1885, woselbst man auch genauere Literaturangaben findet.
** Erst nachdem dieser Artikel dem Drucke übergeben war, erhielt der Ver-
fasser Kenntniss der Abhandlung von G. Hauck: „Ueber die reciproken. Figuren
der graphischen Statik**, Journal f. r. u. a. If. Bd. 100 S. 366 flg., in welcher die
Lösung des entsprechenden Problems fQr die sogenannte Neumann *8che Pro-
jectiousart angedeutet ist (S. 888).
Von Fbiedrioh Sohub. 49
za allen Fachwerken, soweit sich deren Mannigfaltigkeit fibersehen Iftsst,
Gremona'sche Kräfteplftne mit Hilfe des Nnllsystems construiren lassen.
Des leichteren Verständnisses wegen knüpfen wir überall an bestimmte Bei-
spiele an.
I. Wir erinnern zonttcbst an einige Sfttze über das Nulls jstem.*
Wir werden dabei nnseren Zielen entsprechend am besten von der statischen
Definition desselben aasgehen. Ein beliebiges System von Er&ften im Baume
iSsst sich bekanntlich entweder auf eine Einzelkraft oder auf ein Paar paralleler
und entgegengesetzt gleicher Kräfte oder auf zwei windschiefe Kräfte g
und "k reduciren. Uns interessirt nur der letzte sogenannte allgemeine Fall.
Von den Wirkungslinien der beiden Kräfte kann die eine ganz beliebig im
Baume gewählt werden , wodurch beide der Lage und OrOsse nach bestimmt
sind. Schneiden sich nämlich g und g' m Q, und ist K der Schnittpunkt
von h mit der Ebene [g^ p'], so zerlegen wir g in zwei Componenten g'
und n nach g' und GK und suchen diejenige Kraft Je durch E^ welche
mit der in KO wirkenden Kraft — n die Besultante h liefert; dann sind
die Kräfte p' und Je offenbar den beiden gegebenen Kräften g und A; äqui-
valent Da g' nur in einer Ebene mit g zu liegen braucht, so kann man
durch ihre Vermitielung zu jeder Wirkungslinie des Baumes kommen,
unsere Beduction würde allerdings dann absurd sein, wenn g' auch die
WirkuDgslinie h schneiden würde. Solche Linien heissen Nulllinien des
Kräftesystems, weil dasselbe für jede solche Achse das Drehungsmoment
Null liefert. Nennen wir zwei Geraden , die Wirkungslinien von zwei wind-
schiefen das Kräftesystem ersetzenden Kräften sein können, conjugirt,
so sind die Nulllinien diejenigen Geraden, welche zwei oonjugirte gleich-
zeitig schneiden. Sie erfüllen den Baum in der Weise , dass die durch
einen Punkt laufenden Nulllinien in einer Ebene liegen, der Nullebene
des Punktes, und die in einer Ebene liegenden NuUlinien durch einen
Punkt laafen, den Nullpunkt der Ebene; dreht sich die Nuliebene um
eine Gerade, so bewegt sich der Nullpunkt auf der conjugirten Geraden
und umgekehrt. Da im Sinne des Bechnens mit Strecken einerseits
g^g + n und andererseits ^ = A;'— n, so sehen wir, dass g und k nach
irgend einem gemeinsamen Angriffspunkte verschoben dieselbe Besultante
liefern müssen wie g' und h' nach demselben Angriffspunkte verschoben.
Nennen wir diese aasgezeichnete Bichtnng die Achsenrichtang des Kräfte-
oder NuUsystems, so geht aus ihrer Definition hervor, dass je zwei
conjugirte Geraden in der Achsenrichtung durch zwei parallele
Ebenen projicirt werden. Bedenken wir nun noch, dass unsere Con-
struction conjugirter Geraden, also auch der Nulllinien dasselbe Besultat
liefern muss, wenn wir g und Je ihrer Lage nach ungeändert lassen/ sie
aber in demselben Verhältnisse vergrOssem oder verkleinem], so ist klar,
* 8. 1. c. Introduction par M. J. Jung.
Z«it80hzift f. Mathematik n. Phyiik. 40. Jahrg. 1895. 1. Heft.
50 Ueber die reciproken Figaren der graphischen Statik.
dass ein Nullsjstem darch ein Paar oonjagirter Geraden nnd
die Achsenrichtung vollkommen bestimmt ist, wobei die letztere
natürlich so gewählt sein mnss, dass die beiden Geraden nach ihrer Richtung
durch zwei parallele Ebenen projicirt werden. Denn dann ist ja das Verhftltniss
der in g nnd "k wirkenden Kräfte bekannt, also anch die zu jeder Geraden g
conJQgirte Gerade h'.
Wollen wir z. B. die einer zu g parallelen Geraden g conjugirte h'
finden, so muss sie ja sicher durch den Schnittpunkt K von A; mit der
Ebene \g^ g"] gehen. Geben wir dann der in g wirkenden Kraft beliebige
Grösse und Sinn, wodurch auch die in Ic wirkende bestimmt ist, so zer-
legen wir g in zwei Componenten nach g und der dazu parallelen Geraden
durch K] nun ist die Richtung von Ji dadurch bestimmt, dass sie mit der
in K angebrachten Componente g' die Resultante g + h liefere. Schneidet
g die ^ in G, so ist "k' einfacher bestimmt als Schnittlinie der Ebene Iß-h]
mit der Ebene durch JT, welche der Achsenrichtung und der g' parallel ist.
II. Wir beginnen nun mit der Betrachtung eines ganz einfachen Facb-
werks, welches die Knoten P^, P,, P3, F^ (Fig. 1) besitzt und ans den
beiden Dreiseiten P^P^F^ und P^P^P^ besteht; in den Knoten mögen die
mit einander im Gleichgewicht befindlichen Kräfte ^, , 9%} 9^^ 9^ (in der
Figur mit Cr^ä^i, &i0^y ^2^8« ^3^0 bezeichnet) wirken. Denken wir
also diese Kräfte in dem geschlossenen Kräffcepolygone K^K^K^E^K^ zu-
sammengetragen und verstehen unter C irgend einen Pol, so muss auch
der zugehörige Seilpolygon S'o^i'^s'^s ^^4 ^6 ®^^ geschlossener sein, also S^S^
mit 8^8^ zusammenfallen.
Nunmehr kommt es darauf an, das ebene Yierseit 9i9^9^g^ als eine
in der Richtung der Achse eines Nullsystems erhaltene Projection eines
räumlichen Yierseits g\g\g\g\ darzustellen, welchem in diesem Nullsjstem
ein Yierseit K'qK\K\K\ conjugirt ist, dessen Projection das Kräfte-
polygon Z^lT^^'s^ ist. um dies zu erreichen, betrachten wir die Zeichen-
ebene als die Ebene des Grundrisses, die dazu senkrechte Richtung als die
der Achse des Nullsystems und verzeichnen die räumlichen Figuren im
umgeklappten Aufriss. Um das Nullsystem zu fixiren, nehmen wir hier-
nach noch die beiden conjugirten Geraden g\ und h\ sonst willkflrlioh
aber so an, dass g^ und Jc^^KqK^ ihre Grundrisse seien, wir nehmen also
ihre Aufrisse g\ und h\ ganz beliebig an, wodurch zugleich die Punkte
K'q und K\ bestimmt sind. Nun muss die nächste Seite g\ des ersten
räumlichen Vierseits erstens g^ zum Grundrisse haben und zweitens za
K\K\f=Jc'^ conjugirt sein oder in der Nullebene [K\g\] von K\ liegen,
wonach g\ leichk zu construiren ist. Jetzt ist h\ umgekehrt als die g\ conjugirte
Gerade bestimmt ; man findet daher k\ , falls g^ und g^ sich in 0-^ , g\ und
g\f sich also in Q\ schneiden, ttber Jc^= ^1^% als Grundriss in der Null-
ebene [ä^'iX;\] von G\y oder, falls g^ und g^, folglich auch g\ und g\
parallel sind, nach der im vorigen Paragraphen angegebenen Methode (vergl.
Von Fbibdrioh Schub. 51
auch Fig. 2). In beiden Fällen ist die wirkliche Constrnction leicht zu
bewerkstelligen. So kOnnen wir fortfahren und erhalten der Reihe nach
K\ über K^ aus h\, dann g\ über ^3, hieraas h\ über h^=^ K^K^ und K\^
weiter s^^ über ^4, endlich k\ über Jc^^K^Kq^ und es fragt sich nur, ob
A4 wieder durch K\ geht.
Bezeichnen wir nun den über Kq liegenden Punkt von h\ mit E"q
und verstehen unter C irgend einen Punkt über dem Pole C, so sind den
fünf Strahlen von C' nach JT'q, K\^ Ä"g, K\j K'\ fünf Strahlen einer
Ebene conjugirt, welche sich der Reihe nach in vier Punkten 8\y 8\^
5*3, 8\ von g\^ g\^ g\y g\ schneiden müssen; dasselbe gilt daher von deren
Projectionen in Beziehung auf g^^ g^, ^3, g^. Diese Projectionen müssen
also, da sie den Strahlen von 0 nach Kq, K^^ K^, K^^ Kq parallel sind,
ein Seilpolygon 8QS^8^S^8^S^ bilden. In diesem müssen aber der Voraus-
setzung gemäss die erste und die letzte Seite zusammenfallen. Dasselbe
gilt daher auch von den Strahlen^ deren Projectionen sie sind, da diese
in derselben Ebene liegen, es gilt also schliesslich auch von C^K'q und C'K*\^
so dass auch K\ und K"q zusammenfallen , und folglich g\ mit g\ in der-
selben K'q enthaltenden Ebene liegen muss. Der erste Theil unserer Auf-
gabe wäre also gelOst, und man sieht zugleich, dass dasselbe Verfahren
auch auf beliebig viele Kräfte Pj, ^29 • • •> 9n angewendet werden kann.
Das Weitere ergiebt sich in unserem Falle sehr leicht Auf den Seiten
9\y /s» 9 ZI 9i <1®B ersten räumlichen Vierseits liegen jetzt der Reihe nach
die Punkte P',, P'g, P'g, P'^, deren Projectionen die Knoten Pj, Pg, P3, P^
des Fach Werks sind. Das aus den sechs Dreiecken g\g\y 9%9\% 9t9\% 9\9\%
F\F\F\ und P'^P'gP'« bestehende, im Allgemeinen offene Sechsflach ist
nun die räumliche Figur, deren Kanten die Stäbe des Fachwerks und die
wirkenden Kräfte zu Projectionen haben. Es entspricht ihr im Nullsystem das
aus den Punkten K\^ K\y K\^ K'qj H'^ und H\ bestehende Sechseck|
dessen Kanten einerseits die Seiten des Kräftepolygons und andererseits
die Spannungen in den Stäben des Fachwerks zu Projectionen haben. Diese
letzteren sind jedesmal die Verbindungslinien derjenigen beiden Punkte,
welche Projectionen der Nullpunkte der beiden Flächen des Sechsflachs sind,
in denen die zu dem betreffenden Stabe gehörige Kante liegt. Will man
daher diese Spannungen schnell aus der Figur herausfinden, so wird man
gut thun, in die Projectionen jener Flächen die Buchstaben K|, K^^ K^^
Kq^ H^ und H^ einzutragen. Gerade in der Praxis liefert diese Bezeich-
nnngsweise eine viel leichtere üebersicht , als die sonst übliche , welche die
Stäbe und die zugehörigen Spannungen mit denselben Zahlen bezeichnet^
weil die letzteren Strecken sich häufig theilweise decken oder durch ein-
ander gehen.
in. Handelt es sich um ein complicirteres Fach werk, so geschieht
zunächst die Bestimmung des räumlichen n-Seits g\g\* * »g'ny dessen Pro-
jectionen die Wirkungslinien der gegebenen Kräfte sind, auf ganz dem-
4*
52 üeber die reciproken Figuren der graphischen Statik.
selben Wege. Hiermit sind zugleich die Baumpunkte P\T\ . . .F'u be-
stimmt, deren Projeciionen die Angriffspunkte jener Kräfte sind. Da wir
hier nicht eine Discussion aller möglichen Arten von Fachwerken beabsich-
tigen, so machen wir die der Praxis entsprechende Annahme, dass die
Angriffspunkte der gegebenen Kräfte am Rande des Fachwerks liegen , dass
also die diese Knotenpunkte verbindenden Stäbe immer nur einem Felde des
Faohwerks angehören. Wir werden dann weiter die Annahme machen müssen,
dass von den Knotenpunkten P^ P^ . . . Pn im Allgemeinen höchstens drei dem-
selben Felde des Fachwerks angehören; denn die den Knotenpunkten eines
Feldes zugehörigen Baumpunkte müssen in einer Ebene liegen, was ohne
besondere Bedingungen nur für je drei solcher Punkte zutreffen wird.
Sollten nun am Bande noch weitere Knotenpunkte liegen , in welchen keine
Kräfte wirken, so denken wir uns dieselben jedesmal zwischen den zwei
der schon behandelten Knotenpunkte P^ und P^^.i vertheilt, zwischen
welchen sie bei einmaliger ümlaufung des ganzen Bandes liegen. Nun
haben wir uns in diesen Knotenpunkten die Kräfte Null angebracht zu
denken, welche im Kräftepolygon durch den Punkt Kt dargestellt sind,
so dass die ihnen entsprechenden Baumpunkte sämmtlich in der Ebene
Wii P'i+i] 2U suchen sind; ist j die Anzahl dieser zwischen P'i und P'f+i
liegenden Punkte, so bilden sie eben mit diesen und dem Punkte {g*u 9i-^i)
eine der ersten räumlichen Figur angehörige ^' + 3 • eckige Seitenfläche.
Was nun die dem inneren Knotenpunkte entsprechenden Baumpunkte
betrifft, so lassen sich für deren Bestimmung allgemeine Begeln kaum
angeben. Wir werden da zuerst zusehen , ob das Fachwerk derart in Felder
zerfällt, dass jeder innere Stab zwei und nur zwei Feldern angehört resp.
ob sich das durch Einführung idealer Knotenpunkte* erreichen lässt. Hier-
unter yerstehen wir die Schnittpunkte der solche Stäbe darstellenden Strecken,
die in Wirklichkeit nur über einander laufen. Die den yier in einem
solchen idealen Knotenpunkte zusammenlaufenden Stäben in dem Kräfte-
plane entsprechenden Strecken werden nämlich ein Parallelogramm bilden,
so dass man für jeden Stab in den verschiedenen Theilen desselben die-
selbe Spannung erhalten wird. Besonderer Untersuchung aber bedarf der
Fall, dass in einem solchen idealen Knotenpunkte mehr als zwei Stäbe
über einander laufen; hier stellt sich gewöhnlich eine Unbestimmtheit
heraus, die durch die Bedingung zu heben ist, dass die in jedem durch
den idealen Knotenpunkt durchbrochen gedachten Stabe resultirenden
Spannungen entgegengesetzt gleich seien.
Für die Bestimmung der Baumpunkte, welche den inneren, wirklichen
sowohl wie idealen Knotenpunkten entsprechen, muss nun davon aus-
gegangen werden, dass die einem und demselben Felde des Fachwerks
zugehörigen in derselben Ebene liegen. Man sucht dann also nach Punkten,
* S. 1. 0. Appendice par Saviotti p. 63.
Von Friedrich Schur. 53
welche mit drei schon bekannten Banmpankten in einer Ebene liegen sollen,
und versncht, so allmählich zu allen Baumpunkien der ersten Figur zu
kommen. Hierbei wird man oft nicht direct zu Werke gehen können,
sondern einen oder mehrere der unbekannten Punkte vorerst willkürlich
annehmen müssen, um durch das Studium ihrer Bewegung zum Ziele zu
gelangen. Wir werden dies Verfahren an einigen Beispielen erläutern und
begnügen uns hier mit der allgemeinen Bemerkung, dass die Bestimmung
der inneren Raumpunkte unmöglich, das Fachwerk also statisch unbestimmt
sein wird, wenn es beim Vorhandensein innerer, wirklicher oder idealer
Knotenpunkte nur aus dreieckigen Feldern besteht.
IV. Als erstes Beispiel wählen wir das aus den vier äusseren Knoten-
punkten P^...P^ (Fig. 2) und dem inneren Knotenpunkte P5 bestehende
Fach werk; es zerfällt in die beiden dreieckigen Felder P^P^F^ und P3P4P5
und in das viereckige Feld P^P^P^P^. In P^, P^, P3 mögen die drei
Kräfte g^y g^j g^ wirken, deren Kräftepolygon KqKiK^Kq* Dann bestimmt
man nach der in II. angegebenen Methode das Dreiseit g\g\g\ (der Auf-
riss wurde in der Figur nach der Seite umgeklappt) und damit P'^, P\^P\\
femer ist P^ dadurch bestimmt, dass er in der Ebene [^'3, g^ liegen muss,
und endlich P\ dadurch, dass er in der Ebene P\P\P\ liegen muss.
Somit ist die erste räumliche Figur vollständig bestimmt.
Ein ähnliches Beispiel liefert der sogenannte französische Dach-
stuhlträger (Fig. 3), an welchem zugleich der Vortheil unserer Bezeich-
nnngsweise deutlich wird. Auf die oberen Knotenpunkte P,, P3,...yPg
mögen die gleichen und parallelen Kräfte g^^ g^, •••1^8 ^i>^^OQ> während
in Fl und Pg die Auflager - Relationen ^^ = ^^ = — g- (^^ -| f. ^3) wirksam
zu denken sind; KqK^.,,K^Kq ist das zugehörige Kräftepolygon. Nach
Annahme von g\ und k\ ergeben sich nun zuerst wieder die Geraden
ff%9 ...,^9 ^^^ ^^^ ihnen die Punkte P'iP'3,...,P'9, die Punkte P',o» P'n»
P',,, F\^ sind dann dadurch bestimmt, dass sie in der Ebene [p\, g'g] liegen
müssen, endlich P\^ und P\^ dadurch, dass sie in der Ebene P'jP'^ P'jg
liegen müssen. Das Nullsystem liefert also unmittelbar als Projection des
dem räumlichen Zweiundzwanzigflach entsprechenden Zweiundzwanzigecks
den zum Fachwerk gehörigen Kräfteplan. Bekanntlich kommt man hier
mit den gewöhnlichen Methoden der Zerlegung in Componenten nicht aus,
sondern bedarf noch irgend eines Kunstgriffs. (In der Figur dachte man
sich H^ auf der Parallelen durch H^ zu PgPis beweglich, wobei sich H^
auf einer durch S gebenden Geraden bewegt; Hq kann also aus irgend
einer Lage des beweglichen Punktes H'3 gefunden werden.)
Als letztes Beispiel behandeln wir das Fachwerk mit sechs
Knotenpunkten Pi, P^t '-MPe (^^£[' 4)> ^^° Seiten und Diagonalen
des von ihnen gebildeten Sechsecks als Stäben; die letzteren
laufen in drei Punkten A^ B, C über einander, welche wir also als ideale
64 Üei3er die reciproken Piguren der graphischen Statik.
Knotenpunkte einführen müssen. In den sechs Knotenpunkten mögen die
sechs Kräfte g^y ^2>**-i^6 wirken, and KqKi.,,K^Kq sei das zugehörige
Krfiftepolygon. Nach Annahme von g\ und Jc\ finden wir wieder ^',, '•*jff\i
und daraus P\, P'g, ...,P'g. Die den idealen Knotenpunkten entsprechenden
Punkte A\ S^ (f können wir hier nicht direct angeben. Nehmen wir
aber einen dieser Punkte willkürlich über JL an, so wären damit auch
J^ und C bestimmt als in den Ebenen F\1P\A' und JP'f,F\Ä gelegen«
und es frftgt sich nur, ob auch B' und C mit P'3 und P\ in einer Ebene
liegen. Bei beliebiger Annahme von A! wird das natürlich im Allgemeinen
nicht der Fall sein. Wenn sich aber Ä auf der Vertikalen über A bewegt, so
beschreiben P'3 P'^ J5' und P'3 P'^ CT zwei projective Ebenenbüschel, welche
die verticale Ebene durch P\F\ entsprechend gemein haben, so dass man
im Allgemeinen eine und nur eine Lage von Ä erhalten wird, welche die
Aufgabe löst. Die weitere Verfolgung dieser Betrachtungen würde uns auch
zeigen , wenn mehr als eine oder nur eine uneigentliche Lösung existirt Da
indessen zum leichten Verständnisse denselben einige üebung in der pro-
jectiven Geometrie des Baumes gehört, auch der Fall, dass die drei
Diagonalen durch einen Punkt laufen, hierbei besonders behandelt werden
müsste, so ziehen wir ein Verfahren vor, welches sich auch dem bei der
wirklichen Zeichnung des Kräfteplanes zu befolgenden Gedankengange
anschliesst.
Wir können uns offenbar jeden Stab des Fachwerks entfernt denken,
wenn wir ihn durch zwei in seinen Endpunkten angreifende und der in ihm
herrschenden Spannung entsprechende entgegengesetzt gleiche Kräfte er-
setzen. Denken wir uns dann das Fachwerk durch Hinzufügung eines
idealen Stabes befestigt, so können wir unserem Probleme auch die Fassung
geben: Die in den Endpunkten des zu entfernenden Stabes anzubringenden
Kräfte ihrer Grösse und ihrem Sinne nach so zu bestimmen, dass sie mit
dem gegebenen Kräitesysteme zusammen in dem idealen Stabe die Spannung
Null hervorrufen;* denn dann kann man den idealen Stab wieder ver-
nachlässigen. Dies Problem können wir aber in zwei Theile zerlegen :
Man bestimme zuerst die von dem gegebenen Kräftesysteme herrührende
Spannung in dem idealen Stabe, dann die von irgend zwei in dem ent-
fernten Stabe wirkenden und entgegengesetzt gleichen Kräften in dem
idealen Stabe hervorgerufene Spannung; die Bestimmung der in dem ent-
fernten Stabe wirkenden Kräfte entsprechend der Forderung unseres
Problems bedarf dann nur noch der Aufsuchung einer vierten Proportionale.
Denn die von den beiden Kräftesystemen für sich hervorgerufenen Spannungen
Summiren sich ja bei ihrer gleichzeitigen Wirkung, und die durch die
beiden entgegengesetzt gleichen Kräfte hervorgerufenen Spannungen ändern
sich diesen proportional. Die Aufgabe wird offenbar nur dann eine
* Siehe Henneberg: „Statik der starren Systeme^ Darmstadt 1886, S.228flg.
Von £*RIBDRICH SOHÜtt. 55
unbestimmte oder liefert nur unendliche Lösungen, wenn die Spannung
in dem idealen Stabe bei jeder Grösse der Kräfte in dem entfernten Stabe
Null wild.
In unserem Falle entfernen wir den Stab P^ P^ und fügen den idealen
Stab P^P^ ein, so dass nur noch der ideale Knotenpunkt B übrig bleibt.
Die zu dem gegebenen Kräftsejsteme gehörige räumliche Figur ist ja un-
mittelbar bekannt; denn P' muss hier in der Ebene P'3 P'^ P'^ liegen. Zu
dem zweiten Kräftesysteme 8 und —5, das in P^P4^ wirkt, möge das
Kräftepolygon T^T^T^ gehören; dann können wir s und { beliebig über
s und TqT^ annehmen, wodurch auch T\ und T\ bestimmt sind. Nun-
mehr liegen P', , P',, P\ und P\ in der Nullebene [T^s] yon T\, P\,
P'ß, P'g, P\ in der Nullebene [^'j«'] yon T\ und B' wieder in der Ebene
P\P\P\. In dem idealen Stabe P%Pß wird offenbar dann und nur dann
die Spannung Null resultiren, wenn die beiden Ebenen P\P\P\ und
P^^SP\ zusammenfallen, das heisst B^ in, der Schnittlinie der beiden
Ebenen P\ P\ P\ und P\ P\ P\ oder in der Verbindungslinie der beiden
Punkte ß'=(P'iP'a, P\P\) nnd /^(P'^Pj, P\P\) liegt. Dann würden
aber auch die drei Punkte a = (PjPjj, P4P3), P = (PjP5, P^P^ und
y = (PßP4, PßPi) in einer Geraden liegen, das Sechseck PiPa-P6P4P3P6 also
wäre ein Pasc al'sches, die gegebenen sechs Knotenpunkte müssten
auf einem Kegelschnitte liegen* Liegen umgekehrt die sechs Knoten-
punkte auf einem Kegelschnitte, er, P, y also in einer Geraden, so liegt
P* in der Geraden ay oder in der Ebene P'gP/P'j, es wird also in dem
idealen Stabe P2P6) welche Grösse auch s haben mag, stets die Spannung
Null resultiren. Ist daher das gegebene Kräftesystem nicht so beschaffen,
dass es ebenfalls in P^P^ die Spannung Null hervorruft , so ruft es in dem
ursprünglichen Fachwerke unendliche Spannungen hervor. Liegen die sechs
Knotenpunkte auf einem Kegelschnitte, so ist demnach unser Fachwerk im
Allgemeinen unbrauchbar.
Diese Beispiele werden genügen, zu zeigen, wie der Cremona*sche Ge-
danke dazu benutzt werden kann, um die statische Bestimmtheit oder
Brauchbarkeit gegebener Fachwerke zu untersuchen, und die Benutzung
des Nullsystems bei der Construction von Kräfteplänen erhält hierdurch den
Charakter einer allgemeinen Methode.
* Yergl. z. B. M ü 1 1 e r- Breslau : „ Die graphische Statik der Bancoustructionen 'S
2. Aufl. , Bd. I S. 208 flg. Leipzig 1887.
Kleinere Mittheilungen.
Bezeichnet
Fig.1.
I. Zar PerBpective des Kreises.
(Fig. 1) oh den Augenpunkt, gh den Distanzpunkt,
xy einen Punkt der Grnndebene und |i}
dessen Perspectivbild, so gelten bekanntlich
die Oieicbnngen:
(Ä-i?)y =^i?5
entspricht hiemach der Kegelschnitt
welcher für
oder
dem Kreise
Ä» = (6+^)«-.r«
zu einem Kreise wird. Die zugehörige Gon-
struction zeigt Figur 2, worin ^(7 «= 6,
AB =s CD =s r und^Aff die beliebig gewShlte
Augenhöhe bedeutet; schneidet man nftmlicb
auf BQ die Strecke Bd^BD ab
und nimmt QH^ Q-d^ so ist J7 der
Distanzpunkt.
An dieses mehrfach behandelte
kleine Problem knfipft sich die, wie
es scheint| neue Frage ^ ob zwei ge-
gebene, aus den Mittelpunkten C^ und
Cg mit den Radien C^ Dj = r^ und
OgDg = r^ beschriebene Kreise (Fig. 3)
so projicirt werden können, dass
die beiden Perspectivbilder gleichzeitig
Kreise sind.
ZunSchst möge an den Satz er*
innert sein : Bezeichnet E den Durch-
schnitt der Centrale CiC^ mit der
Potenzlinie beider Kreise und ist
CiCi = c, C^E=e^^ Cii7=Cj, so bestehen die Formeln:
Kleinere Hittheilongen.
57
f',-r«, + c' _f«,-f»,-c»
«1 2~c ' '^'~ 2c
nnd die Ereiatangenten EF^ , EF, haben den gemeinschaftlicben Werth :
f=.j/e\--r\ = }/e\-r\.
Plg.4.
7n,
' ' Pli
V
*s^
/ ^
V
/
S''
^
»z
A
f
^\
um nun die Augenhöhe ÄG^^h und die Distanz zu ermitteln, setze
man» dem anfangs Gesagten analog, JLC^ = B|Dj == &, , ÄC^ = -^2 A == ^2
nnd beachte, dass jetzt die Bedingung
ZU erftlllen ist Hieraus folgt wegen h^ — h^=^C'.
mithin :
und schliesslich:
r«,-r2g-c«=2c/Ä« + r»j, das ist 2ce^=:2cj/h^+ r\,
h^^^^^f^^^f^ oder h^f
^ = e^ — 6j = c^ — &j.
58 Kleinere Mütheilmigeii.
Dies giebt die Constrnction (Fig. 3) : man bestimme zunSchst den
Pankt Ej lege die Gmndlinie darcb eineih beliebigen Pankt Ä der (reraden
C^E senkrecht m letzterer nnd* nehme die Strecke AG=^EFi = EF^\
dann ist G der Augenpnnkt Der zugehörige Distanzponkt findet sich da-
durch y dass man anf Bi G und B^ G die Strecken B^ d^ =^B^D^y B^ d^ = B^ D^
abschneidet; die Beste Gd^ und Gd^ sind dann gleich und geben die Distanz
GH^ oder GtjEZ^» so dass der Horizont die Potenzlinie der beiden Perspectiv-
bilder ist Nimmi man GH =^ GH^ senkrecht zu GH^^ so ist H das in
die Bildebene aufgeklappte Projectionscentrum.
In dem speciellen Falle, wo A auf E gelegt wird, schrumpfen die
beiden Ereisbilder zu Punkten zusammen; f&r C^Ä^ C^E erhalten die
Ereisprojectionen die entgegengesetzte Lage (Fig. 4).
Zu der durch E gehenden Potenzlinie gehören bekanntlich nicht nur
die ursprünglichen zwei, sondern unendlich viele Kreise; diesem Kreisbüschel
entspricht im Bilde wieder eine Schaar von Kreisen , von denen der Horizont
die gemeinschaftliche Potenzlinie ist. Daran würden sich noch manche
coUineare Beziehungen knüpfen lassen. Schlömilgh.
n. CoBstmctionen der Krümmnngsmittelpunkte you Kegelsehnitteit
1. Die Tangenten in den Schnittpunkten einer Geraden mit
einer Schaar concentrischer, Shnlicher und fthnlich liegender
Kegelschnitte umhüllen eine Parabel, welche die Gerade
berührt.
Besteht die Schaar aas Ellipsen, so projicire man sie als concentrische
Kreise. Die Normalen in den Schnittpunkten mit der Geraden gehen sSmmt-
lich durch den Mittelpunkt, folglich umhüllen ihre zugehörigen Tangenten
eine Parabel, welche die Gerade berührt. Somit umhüllen auch die Tangenten
in den Schnittpunkten der Ellipsenschaar eine Parabel, welche die schnei-
dende Gerade berührt. Da diese Eigenschaft projectivisch ist, so wird sie
auch für eine Hjperbelschaar gelten.
2. Die Normalen in den Schnittpunkten einer Geraden
mit einer Schaar concentrischer, Shnlicher und Sinnlich
liegender Kegelschnitte umhüllen eine Parabel, welche die
Gerade, sowie die Hauptachsen der Schaar berührt.
Man polarisire die Tangentenparabel in Bezug auf einen Kreis, dessen
Mittelpunkt im Brennpunkt 0 der Parabel liegt, so ist die Polarfigur ein
Kreis, auf dem die Pole P der sämmtlichen Tangenten, unter diesen ins-
besondere der Pol Ä der Schnittgeraden, sowie der Brennpunkt 0 liegen.
Die Pole Q der Normalen liegen in den Schnittpunkten der auf den Strahlen
OP in 0 errichteten Senkrechten mit den Strahlen AP. Da nun die
Strahlbtlschel 0{Q) und A{P) projectivisch sind, nämlich beide congruent
Kleinere Mittheilangen. 59
dem Sirahlbttscbel 0{P)j so liegen ihre Schnittpunkte Q auf einem Kegel-
schnitt, der dorch 0 und Ä geht und durch Rttckpolarisirung eine Parabel
ergiebt, welche die Schnittgerade berührt und den Brennpunkt 0 hat.
Endlich befinden sich unter den Normalen, welche die Parabel umhüllen,
auch die Hauptachsen der Kegelschnittschaar , als Normalen von Kegel-
schnitten in den Schnittpunkten der gegebenen Geraden mit den Haupt-
achsen.
Eine nShere Betrachtung der beiden ümhüllungsparabeln der Tangenten
und der Normalen ergiebt manche sehr bemerkenswerthe Eigenschaften der
Kegelschnitte, auf die jedoch hier nicht weiter eingetreten wird. Es sei nur
noch angemerkt , dass die Achsen der beiden Parabeln auf einander senkrecht
stehen.
3. Greift man einen Kegelschnitt der Schaar heraus, so erhält man
aus 2. den Satz:
In einem Kegelschnitt umhüllt eine Secante mit den Nor-
malen des Kegelschnitts in ihren Schnittpunkten und mit
den beiden Hauptachsen eine Parabel.
Lässt man endlich die Secante in eine Tangente übergehen, so geht
der Schnittpunkt der beiden zusammenfallenden Normalen in den Krümmnngs-
mittelpunkt über und wird zugleich ihr Berührungspunkt mit der Parabel.
Demnach :
Die Parabel, welche die Tangente und die Normale eines
Kegelschnittpunktes nebst den Hauptachsen umhüllt, berührt
die Normale im Krümmungsmittelpunkt, der zum Kegelschitts-
punkt gehört. Der Durchmesser des Kegelschnittpunktes ist Leitlinie
der Parabel.
Betrachtet man daher die Tangente und die Normale nebst den beiden
Hauptachsen und der unendlich entfernten Geraden als ein der Parabel
umgeschriebenes Fünfeck; so liefert der Brian cho nasche Satz sofort mehrere
Constructionen des Krümmungsmittelpunktes , je nach der Anordnung dieser
fünf Geraden zu einem Fünfeck. Bei jeder dieser Constructionen sind
lediglich drei Gerade zu ziehen, nämlich je eine Parallele zu zwei jener
Geraden und eine Verbindungsgerade.
Es sei nur die eine Construction erwähnt: Aus dem Schnittpunkt der
Normalen mit einer Hauptachse ziehe man die Parallele zur Tangente und
aus dem Schnittpunkt derselben mit dem Durchmesser des Kegelschnitt-
punktes die Parallele zur anderen Hauptachse, so wird die Normale von
ihr im Krümmungsmittelpunkt getroffen.
Basel, 16. November 1894. Prof. Kinkelin.
Kleinere Mittheilangen.
HL Der BniiBeiibreimer.
In Eirchboff's „Vorlesungen über die Theorie der WKruie**, heraus-
gegeben im Jahre 1894 von Planck, findet sich als Beispiel (XII, § 4) die
Bunsenlampe erwfthnt neben der Wasserstrahlpumpe, als ob bei ihr
auch die Dichte des strOmenden Agens
wäre. ^*
Dieses Versehen wäre unbedeutend und würde von jedem aufmerk-
samen Leser sogleich corrigirt werden. Allein im nächstfolgenden § 6 wird
als zweites (und letztes) Beispiel der Anwendung diese Lampe aasfdhrlich,
soweit dies bei Eirchhoff denkbar ist, behandelt (eine Druckseite als
Schluss von XII) und unter den Besultaten
verzeichnet für die Ausflussgeschwindigkeit des Gases aus dem Gasbehälter
vom Drucke Pj , wo p^ den Luftdruck und a eine kleine Grösse bedeutet,
nämlich das Verhältniss q^ : q^ der Ausflussöffnung des Ghtses zur Einfluss-
öffnung der atmosphärischen Luft.
Sieht man von a einstweilen ab und bezeichnet dafUr (mit Eirch-
hoff) den vor der Oeffnung gj stattfindenden Druck, der kleiner als p^
ist, mit p\, so käme ^i/öTZ 77^
was aber offenbar gemäss der bekannten Torricelli*schen Formel heissen
«.=/2
Ist z. B. p^ gleich einer Atmosphäre oder rand ICXX). 1000
- ^ Centim. See."
1 Gramm
so ist fij = fyjK-ö rJ — T — 8 • ^ ^^ Leuchtgas ungefähr halbmal so schwer
ist, als die Luft. In den luftleeren Baum (wenn p\ gleich Null wäre)
strömt also das Leuchtgas stationär über mit der Geschwindigkeit ungefähr
560 Meter in der Secunde.
Soviel wird genügen, um das Bedürfniss nach Ersatz der an den ge-
nannten Stellen mitgetheilten Formeln durch richtigere zu rechtfertigen.
Ich werde mich hierbei zwar an den unmittelbar voranstehenden § 3 mit
seinen Bezeichnungen halten ^ aber dennoch die Darstellung so fassen, dass
sie auch allein, ohne Benutzung jenes Buches, verständlich wird.
besagt, dass in dem Baume vor gj, in welchem die Gas- und Luftmischnng
geschieht, soviel von beiden Stoffen ein- als in der gleichen Zeit aus-
strömt; fiQ ist in unserem Falle die Dichte der atmosphärischen Luft,
welcher gegenüber ich vorhin fi^ als halb so gross angeführt habe; ft, ist
die Dichte des Gemisches.
Kleinere Mittheilungen. 61
2) go ^0 < + 9i ^1 A - ^i !««< + 9oPo + Qi P\ - ft P 2 = 0
entspricht in der elementaren Mechanik der Oleichang von BewegungsgrOsse
und Zeitwirkung der Kraft beim Ein- und Aostritte in den Mischungsranm.
Denn die indizirten Drücke, von denen p\ schon oben erwfthnt wnrde,
wirken als ErgSnzung zu den BewegangsgrOssen. um da von Bewegangs-
grosse nnd Zeitwirkung der Kraft reden zu können, darf man nur jedes
der drei u' zerlegen in u • -- und mit dem gleichen t die ganze Gleichung 2)
mnltipliciren.
3) p\ = p,
gilt, wie bei der Dampfstrahlpnmpe a. a. 0., auch für unsere Lampe.
4) P,' = p'o
desgleichen. (Die im Buche unmittelbar vorangeschickte 9o + 9i^?8 S^^^
hier nicht, oder wäre wenigstens eine unnOthige Beschränkung; sie ist
meines Erachtens auch dort zur Begründung von 4) nicht nöthig.)
sind die schon berührten Gleichungen der lebendigen Kraft beziehungsweise
für das Gas und die einstrOmende Luft (Toricellis Gesetz),
üeberdies gilt bei der Bunsenlampe speciell
Po = Pi-
Demnach rednciren sich die sechs Gleichungen auf die vier folgenden:
1) bleibt; 2) wird zu
2*) goN^\ + Qi Ml < - gj j»2tt% + (g'o + qi)p\ - ft i>o = 0;
3) und 4) sind schon benutzt, wie auch Pq »Ps*, 5) bleibt und 6) wird zu
6*) .«,««0 = 2(1)0-1.',).
Aus diesen vier Gleichungen lassen sich UqUiU^ und p\ bestimmen.
Wie am Schlüsse von § 4 und von § 5 erwähnt wird, müssen die
gefundenen Geschwindigkeiten UqUiU2 der Ungleichung
Po^o^o + Pi 9'i<*i - Pi^i^i > t>
entsprechen, weil durch Reibung etc. ein Theil der Arbeit (in der Zeit-
einheit) im Mischungsranm verloren geht.
Die Gleichung 2) oder 2"*^) erinnert an die eine der beiden Gleichungen
des Stosses unelastischer wie elastischer KOrper, die von den Bewegungs-
grOssen handelt, die letzte Ungleichung an die zweite Gleichung des ele-
mentaren Stosses elastischer KOrper^ wobei man so hftufig die auf Er-.
wärmung und bleibende Formänderung verwandte lebendige Kraft ausser
Acht Iftsst, was beim Stosse der unelastischen Körper von vornherein als
62 Kleinere Mittheilungen.
unthunlich sich seigt. Bei letzterem Stosse bedarf man anch keiner zweiten
Gleichung, da die gemeinsame Geschwindigkeit beider Körper nach dem
Stosse schon ans der ersten Gleichung sich ergiebt (siehe ,» Physikalisches
Repertorium*' 1890 S. 146 nnd 1883 S. 338).
Ich will nnn auch noch die vier Gleichungen zu einer numerischen
Anwendung benutzen. Ein Slterer Bunsenbrenner mit zwei Luftlöchern
Yon je neun Millimeter Durchmesser (bei neueren sind diese kleiner) hat
als GasöffnuDg nicht viel mehr als einen Millimeter Durchmesser, als Aus-
strömungsöfihung für das Gemisch auch eine solche mit neun Millimeter
Durchmesser. Deshalb wird die erste Gleichung, mit Weglassung des ge-
meinsamen Factors -rrrp: — > uahezu
4(X)|iio
1.) ,60^+ '^.80^^^.
wenn, wie oben, die relative Gasdichte zur Luft wie 1 zu 2 angenommen
wird und fi, nahe gleich /Hq gilt. Es entspricht dies auch der Thatsache,
dass die angesaugte Luft stets im üeberschuss vorhanden ist (siehe auch
das am Anfange des gegenwärtigen Absatzes über die Querschnitte
Gesagte).
In der weiter oben stehenden Gleichung 2*) können wir alsdann g,,
wo es als Summand neben g^ steht, weglassen, und dieselbe heisst jetzt,
nach Kürzung mit dem gemeinsamen Factor -rruz'
2**) I60u\ + s w» = 80u% - 160 ^ + 80^.
Die Gleichung 5) wird jetzt
5*) u\ = 4>^
und
6*) u« =2.-?^^^:^.
Diese vier Gleichungen zur Bestimmung von UqU^u^p'i liefern: die
erste angenähert, mit Weglassung des zweiten Gliedes,
ferner die dritte und vierte, wenn man vorerst von dem geringen unter-
schiede zwischen p^ und p^, der in der Wirklichkeit wenige Centimeter
Wasser betragt, absieht, 2tt*o = t**,.
Nun für t«, und U| in der zweiten Gleichung Uq eingeführt, wobei
vorerst auch das zweite Glied wegen seiner Kleinheit wegfällt, dann wird
aus ihr i^' 1 «^
> und 6*) kann man schreiben :
Kleinere Mittheilungen.
Durch Sobtraction findet man
, 5 5
Atmosphäre als Drock im Mischnngaranm. Alsdann:
"»-3Vo ^"3 ,^' "'-3 ,;
°^^\ «0=16000, «,= 23000, „,= 32000 ^5|B^^'
fttr die Geschwindigkeiten, nSmlich der Ansaugung der Luft, des Ueber-
tritts vom Leuchtgas in den Mischungsraum und des Austritts des Gas-
gemisches in die freie Atmosph&re.
In der weiter oben stehenden Ungleichung, welche auf 6*) folgte,
lassen wir die p und ebenfalls das zweite Glied weg und finden
16.16-8.32 = 0;
aber mit HinzufQgung des zweiten Gliedes wird doch die linke Seite grösser
als Null, das ist „die nothwendige Bedingung dafür, dass eine Bewegung
unseren Gleichungen gemftss mOglich ist^.
Zweite Annäherung: Ich führe in die vier letzten Gleichungen,
die zur Bestimmung von UqU^u^p'i benutzt wurden, die Correcturglieder
dtto, (2M|, dti|, dp\ ein und erhalte:
1') 160 duo + ~dt*i-80dii,= -1.23000,
20 320. 16000(ltio+23000(lu,-160.32000du,=-g .23000*- 160^S
5') 23000dwi = 2.5^ ^-2^*
6-) 16000iuo = -^
Ho
Dabei ist in der vorletzten Gleichung angenommen worden, dass sich
der Druck jp| im Gasbehälter um vier Centimeter Wasser höher stellt, als
der Luftdruck in der freien Atmosph&re, das ist um nahe ^-^^ Atmosphäre,
so dass das erste Glied der rechten Seite wird:
2.^2. 10*
250
oder nahe 6.10^.
Es entsteht also aus den beiden letzten Gleichungen durch Elimination
von dp\ _ 52000 duo + 23000duj = 6 . 10«,
'^^'*''« du,-260+l,4duo.
Dies in 1') eingesetzt, mit Weglassung von 0,1 du^ gegen IGOdu^,
80 wird aus 1') jg ^^^ . 8 dw, = - 1163 ;
64 Kleinere Miitheilangen.
und, wenn man -^ gemäss ö') und dU| gemäss der vorletzten Gleichung
f*o
in 2^) eliminirty dann wird aus 2'):
2592itto - 6120dM, = - 27050.
Aus diesen beiden Oleichungen fand ich zunächst
duo = - 62,
dann j i oi
du^ = + 21,
und durch Einsetzen von du^ , l 1 7^
und aus 6-) J^ ^ j30q[
das ist von 10^ oder einer Atmosphäre der nahe 800. Theil.
Demnach sind die verbesserten Werthe:
t*o = 16940, t*, = 23170, Ug = 32020, p\^q + gjy Atmosphäre,
welche von den froheren so wenig abweichen, dass man angesichts der
Näherang überhaupt, die man bei solchen Problemen vor sich hat, ganz
gut die frahereu Werthe belassen kann. Diese erscheinen aber jetzt durch
die zweite Annäherungsrechnung gewissermassen gestützt.
Zusatz 1. Auch die Verhältnisse der Querschnitte sind, wie schon
gesagt, oft derart, dass q^ : q^ nicht gleich 2 ist, wie in obiger Rechnung
angenommen wurde, sondern z. B. etwas über 1, etwa 1^, was zu einem
neuen Bechenbeispieie Veranlassung geben könnte. Dagegen ist ^^ an
einem anderen Brenner zwar nicht der 80. Theil wie oben, so doch der
60. Theil von q^ , also ein noch kleinerer Theil von qQ.
Zusatz 2. Die sechserlei Drücke PoPiPiP'oPiP\ rühren von der
Anlehnung an Kirchhofes Formeln her, die, wie im Eingange gesagt
wurde, zunächst anderen Untersuchungen als der obigen dienen sollten; für
den Bunsenbrenner würden von vornherein i^oP^p'^ genagt haben, wie aus
den von mir besonders numerirten Gleichungen hervorgeht.
Anmerkung. Ich benutze diese Gelegenheit, um einige inzwischen wahr-
geuommenen Korrektaren meiner Abhandlungen vom vorigen Jahrgange dieser Zeit-
schrift beizufügen:
S. 126 Z. 14 u. 15 von unten mass et stehen statt ß, was weiter keinen Eintrag
that. Dagegen werde ich bei einer kflnftigen Gelegenheit zeigen, dass es bei
ClausiuB und Kirchhoff IX für c bezw. h des Wassers gegenüber dem Eise
0,969 heissen soll statt 0,946, wie auch auf meiner Seite 126 steht.
S. 191 Z. 9 von unten muss statt des zweiten D stehen -D, was im üebrigen
schon berücksichtigt ist.
Prof, Dr. KuBz.
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ti , I n t Uli üdiMi . 1.1 kmi\ : V ü r 1 e » u n g t* ii ü b t« r d i i?
1 t*ii lind dt-ir vieltafhüii 1 tiLt^^fni^le, Ei^nm
■ , Trof. der MaÜi*'irjatik an Her l^ruvcrHiiHi
uyi*l. ji^el». II *4(f 12,—
Math,
AU der Tm^rr
I>r Pf, OnindliiKefi f^lr die |^<?oiiiet.ri*(che A ti wt^ndime iler In*
^fjt lineiii Begleitworte von M. Pasch. IVF ii. ISA 8J
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: "^ ' ljr?.matis(;be Physik, ^'vli -*
-son seinen Schillern in xv\
\»i jüM., 1 IF4 .-.- u r,-^-^^ -i 1. 1 1 e T h ecvf i t? d CT CüjH I liin i u i.
fi viin Ür A, Wanderin, I*ri>f der Muthtmuitik an der rniv**rsit[lk
--" u ir.f TeU. [X u. *1U *S J gr. 8. ISM. geh. c ,# K-^
Äe fl l'nhlirutioas niuthdmatiqufa. ri'dig*^*.* nun les
mfitht'inufi<|ue d'Anisterdain par V.R. S^eho"»'" '-'■'-
■ g ( A in :> tL^ idü m), J * < \ K I u y v e i" ( I ^ ey d e ii ) , W 1 ^
... ih^Hli. ^rr. 8, UL Jalirg. l"ö5i5. Preis fdr (h^n J „._,
etwjt U lio^*en n. u» 7. —
Ho' . .nob^ Inhalt imd Methode de» p]ftuimeti'i«chen üiitrr*
▼er^leichiMide Planimetrie. IL Bimd. [IVu, 4lo8| j^r. t*. 1«9S.
Yci ireppe, Prof an df-r Kgl, Umv^rtitllt tn Padna, rffunduüg'^
lil vi»n mebrereii Üiraensinni*n und mehrir-u Arten
■ b * M t e n in ei e oien Uit*.*t F 1 1 vni t* ntw i e k t^ 1 1. Mit m mg
U y'hv'V n*»n*5n Jlfnrbeitunx *b*»* OnKiiJül*« > T»'ii
1 7111 S. mit xiihlr«>Jt!h»>n in den Text gtjiA* eckten
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PoggeDdorrs AutaleB der Physik n.
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INHALT.
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>Mvn IT Von Dr. Artm .^ * , * , , .
\ltilti|>li<nvtioti Vitu M. ÜunTiiJs m 'Umru - .
K"MU« , it.
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- rt.p*?ti. Von W F ^'-
4^ mH\hmnhi'
Kabjuuxxi
uTiilsmtir Al^trnr Vnn H Fv\*'i
BihHagrn
Alle Hcttittiti;2:eti
für die aUir^mein« Abtheütmg: dieser ZeiUttliriJt lind hu ßc^h T*-*»^
Bn O. HehKtntlleli. I»r«««»cleii.A., Uebiretr, 14« fOr die hi
der Pmfl de« Jahrgängen von 4a DntckbogoQ l>otr{^rt 18 Marie Alle
T»},,^hhandluiJÄ©n und Po8taiJ«t-t'-^M ^lelimeu BestnUimgeü äd.
l>riKi^
Zeitschrift
för
Matliciiuitik iiiid Physik
imtei der veraiitM'ortlidieii KtMl^ictioD
Dr. O. Sohlömiloh una Dr. M. Cantor.
40. J&tirgiijcig. 2, HofU
Mli 1 T*^r 1i t.li .'. _r r,, fdi 1 r it. n T,i.ft.Jn
Leipzig,
Viilag von B. 0. Teubner.
1895.
Illorxu BottAscn Ton B. U. Teubuer In Leioxie.
Soeben erfc^ien im IBerlage t)on $B. ®. Xeubner in fiei))$id:
mti^M\^t% SeHrliidi
ber
tion
Dr. Gustav Holzm&llePy
^DireUot ber &mnU\^ule (9iealf(9ule mit $a(^naf[en) su ^agen i. SS.
aRttflIicb bCT Äolf. ßeop. ©otol. atabcmie bct 9loturforjijct.
3n brei 2:eilen. gr. 8. 3« Sn». geb.
I. %txl, nad) 3a!^tgängen georbnet unb big §ur 5Ib?d^lu6prüfung bct öoflanftaltcn
reic^enb. 3)lit 142 giguren im Xejt. [VIE. u. 212 ©.] 1894. n. uT 2.40.
II. » für bic brei Dbertlaffen ber Ijöl^eren Sej^ronftalten bcftimmt. 9Rit 210 fjigurcn
im Xejt. [Vn u. 273 ©.] 1894. n. Jf 3.—.
111. = Sel^r= unb Übung^ftoff ifXix freien «uSioal^l filr bie ^rirno realijlife^er Sott«
anftalten unb ^ö^erer 5ad^f(|ulcn, nebft SSorbereitungen auf bie $od&fd^uI=
SRatl^ematif. mit 160 Sigurcn im Xejt. [VÜI u. 224 6.] 1895. n, Jf 2.80.
3)iefed Sudg ift in Vrettften fdfdtt itadft Hcm etfdfteitten dtttdft SRittifterinU
ßtlaft Udot 16. Seüruar 1894 sut Sinfftlirung gelmtgt. eüettfd in anHeren
Stuaren, nnb ^toat u. o. am (^^mnaftum Mart. Cath. ^u JBtunnfdftloeig, an ber
9leal}d^ule ^u ^tMi^htt^, an ber ©emerbefd^ule p 0agcn. cltsi ^erjogl. ©c^ullel^rers
@eminar ju $illl]intgMufenr an ber 9le!toratf$uIe ju pd|ienlimlittrg, am $&b:^
ogogium ju düterüngf, an ber ^Realfd^ute gu dneHlinünrg, am ^rog^mnafium mit
9}eal|d^ule )u Kog^i^ <(* 9>j ^^ ^^ntnaftum ^vl Sc||loeil»ttii(, an ber 97ealfd^ule $u
6eefen o* 0,, am 3nftitut etiielloigge bei Sübenfd^eib, on ber 9lcolfd^ule ju S9o(fens
h&tttl, an ber ^anton^jd^ule ^u 3ng u. f. tv., to)ä^renb eine gro^e ^njal^I bon Sin^
pl^rungen für ba« noc^fte (Bd)ul\ai)t beborfte^t.
»elanntlid^ toar ber JBerfaffer 9Ritglieb ber ©t^ulreform^Äonferenj ju ©erlin unb
ift, njie avL» feinem ©utac^ten ^u ben neuen mat^ematifd^en Se!5r|)länen im
€enttanilatte Her pttnk. ttntetrtidgtdtiermaUttng 1892, Seite 684 ff. (abgebrucft
nebft Jöemerfungen bc5 werf, über bie Sel^r^Iäne in ber S^iMt^tift für mat^e-
matifd^en unb naturnjiffenfd^aftUd)en Unterrid^t 1893, 2. ^eft unb in ber
Seitfd^rift für loteinlofe l^ö^ere ©d^ulen 1893, 3anuor=gfebruar) gefc^toffcn
werben barf, nid^t ol^ne ©influß auf bie ©eftaltung ber ^reujifd^en ief^xp\&nt geblieben.
Sen $0. Sireftdten nnd ^üt^Uhtttn fte^en Hom I* nnH ll. Seil 9frei=
ei:ettMiriitej[nr Prüfung üetnfd etient ^inf&Qtnng neüft am^ffitrlidftem Segleits
mort Hed Cerf. m Sienften.
Von demselben Verfasser erschien im gleichen Verlage:
Einf&hrimg in das stereometrische Zeichnen.
!Mit Berücksichtigung der
Krystallographie und Kartographie.
Mit 16 lithogr. Tafeln.
[VI u. 102 S.] gr. 8. 1886. kart. J( 4.40.
Der Verfasser hofft ein Werkchen geschrieben zu haben, welches durch
Text und Zeichnung dem Lehrer und Schüler Dienste leisten kann, jedoch auch
solchen, die sich in die Krystallographie und Kartographie hineinarbeiten wollen,
Nutzen bringen wird. Vor allem wird es auch dem denkenden Zeichenlehrer
mancherlei Aufschluß geben. Klarheit, Einfachheit der Darstellung und Korrekt-
heit suchte der Verfasser in erster Linie zu erreichen. Die Methode hielt er in
diesem Falle für wichtiger als das System. Daß er selbst seine Methode im
V.
Homocentrisohe Brechung des Lichtes
durch das Prisma.
Von
Dr. L. BUBMESTEB,
Profeaior »n der Teohnitohen Hoohiohule in Mttochen.
Hiena Tafel 11 und III Figur 1*14.
I. Vorbemerkungen.
Bei der viel behandelten Brecbang des Lichtes darch das Prisma
wurde der homocentrisohe Durchgang der Strahlen noch nicht untersucht.
Es hat sich die unrichtige Ansicht erhalten, dass bei einem einfallenden
unendlich dünnen Strahlenbündel, dessen Strahlen von einem beliebigen
Punkt ausgehen oder nach demselben gerichtet sind, nach dem Durch-
gange durch ein Prisma sich in einem Punkte nicht wieder vereinigen
können. Nur in dem besonderen Fall, in welchem der Durchgang der
Strahlen im Minimum der Ablenkung erfolgt, und so dicht an der
brechenden Kante, dass die Strahlenlttnge im Prisma als unendlich klein
betrachtet werden kann, ist die Vereinigung der austretenden Strahlen
erkannt; aber dieser Durchgang hat nur als Orenzfall geometrische Be-
deutung.
Wir werden in dieser Abhandlung beweisen, dass bei der Brechung
der Strahlen durch ein Prisma jedem Punkt, von dem die Strahlen eines
bestimmten unendlich dünnen Strahlenbündels ausgehen oder nach dem
sie gerichtet sind, wieder ein Punkt entspricht, durch den die ent-
sprechenden austretenden Strahlen gehen, und dass dies auch bei beliebig
vielen Prismen gilt, deren brechenden Kanten parallel sind.
Jene unrichtige Ansicht ist entstanden, weil Helmholtz* zur Ver-
einfachung der allgemeinen Gleichungen für den Durchgang der Lichtstrahlen
durch ein Prisma die Strahlenlfinge im Prisma vernachlässigte gegen die
Strahlenlange von dem leuchtenden Punkt bis zum Prisma.
^ H. Helmholtz: „Physiologische Optik." 1867. S. 843; dessen „Wissen-
schaftliche Abhandlangen." 1883. Bd. ü. S. 164.
Z«itSGhTift f. Mathem»tik n. PhTSik. 40. Jahrg. 1866. 9. Heft 6
66 Homocentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
Zuerst wollen wir die hekannten Beziehungen erwfthnen, die bei der
Strahlenbrechung aus einem Medium in ein anderes bestehen , um diese
Beziehungen bei den nachfolgenden Betrachtungen zu verwenden.
In Figur 1 (Taf. II) ist die Trennungsebene E zweier Medien durch die
Gerade E dargestellt. Tritt ein Lichtstrahl l im Punkt Q aus dem einen
Medium in das andere brechende Medium, dann ist der gebrochene Strahl X
durch das Brechungsgesetz bestimmt. Ziehen wir durch Q auf die Trennungs-
ebene E das Loth ^N; setzen wir den Einfallswinkel iQN^e^ den
Brechungswinkel AQN = e und den Brechnngsindex gleich n, so ist
-. sine
1) -: — = n
und die Strahlen ?Q, XQ liegen näit dem Lothe in einer Ebene, die
Einfallsebene genannt wird.
Hiernach erhalten wir zu einem beliebigen Strahl IQ den gebrochenen
Strahl QX, wenn wir um Q zwei Kreise k^ k beschreiben, deren Radien
QHy QH sich wie 1 : n yerhalten und durch den Punkt H die Senk-
rechte HH auf E ziehen, dann geht der Strahl QX durch den Punkt H.
Ist umgekehrt der Strahl Qk gegeben, so ziehen wir durch den Punkt H die
Senkrechte HH auf E^ und der Strahl IQ geht dann durch den Punkt JJ.
Nehmen wir an, dass in Figur 1 durch einen Punkt A des Strahles a&,
der die Trennungsebene E im Punkt 6 trifft» unendlich viele Strahlen
gehen, die mit dem Strahl a& ringsherum unendlich kleine Winkel bilden,
dann wird die Gesammtheit dieser Strahlen ein unendlich dünnes
centrales Strahlenbündel und der Strahl aQ der Hauptstrahl
desselben genannt. Die entsprechenden gebrochenen Strahlen gehen, wie
die geometrische Optik gelehrt hat, durch zwei Gerade, Brennlinien, von
denen die eine in einem Punkt A| des gebrochenen Strahles 6 a senkrecht
auf der Einfallsebene aQa steht, und die andere die in der Einfallsebene
liegende Gerade APi^ ist und auf der Trennungsebene E senkrecht steht.
Dieses von den gebrochenen Strahlen gebildetes , unendlich dünnes Strahlen-
bündel wird ein astigmatisches Strahlenbündel und der Strahl 6a
der Hauptstrahl desselben genannt.
Die Schnittpunkte A^, A^ dieses Hauptstrahles mit der zur Einfalls-
ebene senkrechten Brennlinie und mit der in der Einfallsebene liegenden
zur Trennungsebene senkrechten Brennlinie AA^ heissen resp. der erste
Brennpunkt und der zweite Brennpunkt. Wenn aber angenommen
wird, dass sich in einem Punkt 0 des Hauptstrahles 6a ein Auge be-
findet, welches nach diesen Punkten schaut, dann werden die Punkte A|,
A2 Auch der erste Bildpunkt und der zweite Bildpunkt des
Punktes A genannt Die im Punkt A| auf der Einfallsebene senkrechte
Brennlinie heisst die erste Brennlinie und die andere in der Einfalls-
ebene befindliche Brennlinie heisst die zweite Brennlinie. Die beiden
Von Dr. L. Burmester. 67
senkrecht en Ebenen , welche durch den Hanptstrahl 6 ce gehen nnd diese
Brennlinien enthalten, werden resp. die erste und die zweite Brenn-
ebene genannt. Die zweite Brennebene ist also identisch mit der Einfalls-
ebene nnd die erste Brennebene ist senkrecht aaf derselben.
Wir wollen einen Pankt, von dem die einfallenden Strahlen eines
unendlich dünnen Strahlenbündels ausgehen oder nach dem dieselben ge-
richtet sind, einen Lichtpunkt nennen. Befindet sich der Punkt im
Medium der einfallenden Strahlen, dann ist er ein wirklicher Licht-
punkt; befindet er sich im Medium der gebrochenen Strahlen, dann ist
er ein virtueller Lichtpunkt.
Oeht von einem Lichtpunkt ein sehr dünnes Bündel homogener Licht-
strahlen aus, so wird ein in dem Hauptstrahl 6a befindliches Auge 0
▼ermittelst eines auf den Punkt A| eingestellten Mikroskopes an der Stelle Aj
eine kurze Lichtlinie erblicken, die senkrecht zur Einfallsebene ist. Wird
hierauf das Mikroskop mit dem Auge 0 verschoben auf den Punkt A^ ein-
gestellt, dann verschwindet diese Lichtlinie und es erscheint in senkrechter
Bichtung zu ihr eine andere kurze Brennlinie an der Stelle A2.
Der Abstand der beiden Bildpunkte A|, A^ heisst die homocentrische
Differenz. Fallen diese beiden Bildpunkte in einem Punkt Aq zusammen,
ist also die homocentrische Differenz gleich Null, dann gehen alle ge-
brochenen Strahlen durch diesen Punkt Ao ) und das astigmatische Strahlen-
bündel geht in ein unendlich dünnes centrales Strahlenbündel über. Dem
Punkt Ä entspricht dann ein homocentrischer Bildpunkt Aq» das
heisst ein eigentliches Bild.
II. Affine Besiehnngen zwischen den Lichtpunkten nnd den Bildpnnkten
bei der Brechung paralleler Lichtstrahlen.
Gehen in Figur 2 von einem Funkt Ä die Strahlen eines einfallenden;
anendlich dünnen Strahlenbündels aus, so entspricht demselben ein astig-
matisches Strahlenbündel, um den ersteo Bildpunkt A| desselben zu be-
stimmen, nehmen wir einen in der Einfallsebene liegenden Strahl jl 6' an,
der mit dem einfallenden Haaptstrahl ^16 einen unendlich kleinen Winkel
de einschliesst. Der entsprechende gebrochene Strahl Q'a schneidet dann
im ersten Bildpunkt A| den gebrochenen Hauptstrahl 6o und bildet mit
diesem einen unendlich kleinen Winkel de. Hiemach ist
und
de cose de
ee' ^e ' ee' '
cose
de _ A,0 . cose
de ÄQ.cose
Durch Differentiation der Gleichung
sine = nsine
ergiebt sich:
68 Homocentrische Brechung des Lichtes darch das Prisma.
eo8e,de=^ ncoss .de,
und demnach folgt . ^ .
0\ Ajö _ /C(W€
2r M.-„rf?iiy.
Hierdnroh ist der erste BildpunktA, bestimmt Da ferner der sweite
Bildpnnkt At durch
3) Aje = n.4e
bestimmt ist, so erhalten wir
^ A^e \eo8eJ
Der Fall A^6 = A^O, bei welchem ein gebrochenes, unendlich dünnes
centrales Strahlenbttndel entsteht , tritt demnach nur dann ein, wenn der
einfallende Strahl ^6 senkrecht zur Trennungsebene E ist. Nehmen wir
in Figur 3 auf einem Hauptstrahl aQ eine Reihe von Lichtpunkten
ÄÄ'Ä'\.. an, denen die ersten Bildpunkte AjA\A'\... und die zweiten
Bildpunkte A^A^Pi"^,.. auf dem gebrochenen Hauptstrahl 9 a entsprechen,
so sind nach 2) die Verbindungsgeraden AAi, ÄA\^ Ä"A"i parallel
und die Punktreihen Aä'ä".,. und A^A'|A'V*- ^hi^licb- Ebenso sind
auch die Punktreihen AÄ'Ä"... und AjA'jA'V«- *^lic^» ^«*1 ^i® Vö«*-
bindungsgeraden AA^^ ÄA\, A'^A"^^ senkrecht zur Trennungsebene £7 und
demnach parallel sind. Dasselbe gilt yon den Punktreihen auf allen zu
aQ parallelen einfallenden Strahlen und den entsprechenden Punktreihen
auf dem zugehörigen zu 6 a parallelen Strahlen. Hiemach ist das in der
Einfallsebene befindliche ebene System 8 der Lichtpunkte A^ A\.. affin
zu den System Z^ der ersten Bildpnnkte A^, A',... und dem System Z^
der zweiten Bildpunkte Ag, A's***i folglich sind auch die Systeme Z|, Z^
affin und die Gerade E ist für diese drei affinen Systeme Affinit&tsachse.
Denken wir uns die betrachtete Einfallsebene mit den in ihr befind-
lichen parallelen Hauptstrahlen parallel zu sich selbst yerlegt, dann er-
halten wir statt jener ebenen affinen Systeme die rttumlichen affinen Systeme
S^, Z'*!, Z''^, für welche die Trennungsebene E die Affinitätsebene ist.
Sind in Figur 4 um den Punkt Q die beiden Kreise x, Je beschrieben,
so dass die Radien QA], ^H in dem Yerhftltniss n : 1 stehen, dann er-
halten wir zu einem einfallenden Hauptstrahl 2Q, der den Kreis h im Punkt
H schneidet, durch die zur E senkrechte Gerade J7Z, welche den Kreis x
in dem Punkt Ax trifft, den durch A| gehenden gebrochenen Hauptstrahl Qil.
Ziehen wir H& und A|Y senkrecht auf das Einfallsloth QN, femer QF
senkrecht auf {Q und VO^ senkrecht auf Qk, dann ist
^F^ QHcosl^e, Q0i = QA|Cö5*a,
und da
QAi^n.QH
ist, so folgt _
^ <t>,Q_ (cosiV
Von Dr. L. Busmbstbb. 69
Demnaeb sind in den beiden affinen Systemen 8, Z| die Pankte E^ 0^
entsprecbende Pankte. Betrachten wir F als einen Licbtponkt auf dem
Hanptsirabl IQ, so ist 0| der entsprecbende erste Bildpunkt auf dem
Haaptsirahl QL Zn einem beliebigen Lichtpunkt L' auf dem Haupt-
strahl IQ ergiebt sich hiernach der entsprechende erste Bildpnnkt A'j auf
dem Hauptstrahl QX durch die Parallele Z'A\ zu FO^. umgekehrt er-
halten wir zu dem ersten Bildpunkt A| den zugehörigen Lichtpunkt L
durch die Parallele \L zu 4>iF.
Eine andere Construction zweier entsprechender Pankte der affinen
S/steme 8^ Z^ ergiebt sich, wenn wir aaf \Q die Senkrechte \U er-
reichten, welche die Gerade E im Pankt U schneidet, ferner die Qe»
rade UH ziehen, die das Einfallsloth QJV im Punkt V trifft, und auf
IQ die Senkrechte VL fällen. Dann entspricht dem Lichtpunkt L der erste
Bildpunkt A^.
um diese Construction zu beweisen, bezeichnen wir mit W den
Schnittpunkt, welchen die auf A^Q Senkrechte (7Ai mit dem Einfalls-
loth QN bUdet. Es ist dann
also
Q0,
QW
ÖA,
QU
~ZU~
Q0,
~ QF
QF
■QG-
QL
~QF'
und demnach ist L\ parallel F<t>i,
Die geometrische Optik lehrt, dass im Allgemeinen einem einfallenden
astigmatischen Strahlenbündel wieder ein gebrochenes astigmatisches Strahlen-
bUndel entspricht.
Ist in Figur 5 ein einfallendes astigmatisches Strahlenbttndel mit dem
ersten und zweiten Bildpunkt Aj, A, auf dem Hauptstrahl aE gegeben
und ist die Einfallsebene die zweite Brennebene, dann entsteht ein ge-
brochenes astigmatisches Strahlenbündel mit dem ersten und zweiten Bild-
punkt Uli Stf auf den Hauptstrahl Ha and derselben zweiten Brennebene.
Die vom ersten Bildpunkt A^ ausgehenden Strahlen liegen in der Einfalls-
ebene, sie werden also in derselben gebrochen und vereinigen sich in dem
ersten Bildpnnkt 9[|. Es besteht demnach zwischen Ai and St, dieselbe Be-
ziehung, wie in 2) zwischen Ä und A|. Die von dem zweiten Bildpunkt Ag
ausgehenden Strahlen liegen in der ersten Brennebene, die zur Einfalls-
ebene senkrecht ist, und die gebrochenen Strahlen liegen in der zur Ein-
fidlsebene senkrechten, ersten Brennebene des gebrochenen astigmatischen
Strahlenbündels; sie vereinigen sich demnach in dem zweiten Bildpunkt ^
und es ist die Gerade A^S« zur Trennungsebene E senkrecht
Nehmen wir nun beliebig viele solche einfallende astigmatische Strahlen-
bdndd an, deren Hauptstrahlen parallel sind, dann ist das System Z| der
ersten Bildpunkte A| • • . dem System @| der ersten Bildpunkie Sl^ . . . affin,
70 Homocentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
und diese beiden Systeme haben die Oerade E als Affinitätsachse. Ebenso
ist das System Zg der zweiten Bildpunkte A^. • . dem System €, ^^^ zweiten
Bildpnnkte ^i. , . affin, und für diese beiden Systeme ist die Oerade E
auch Affinitfitsachse.
m. Homocentrioität bei der Brechung der Lichtstrahleii
durch das Prisma in der Normalebene desselben.
Wir nehmen in Figur 6 an , dass die LKngskanten des Prismas senk-
recht auf der Zeichnungsebene stehen und betrachten den Oang der Haupt-
strahlen in der Zeichnungsebene, die also eine Normalebene des Prismas
ist. Durch den Punkt Q ist die brechende Kante und durch die Geraden
QEjf QEii sind die Seitenflächen des Prismas gegeben, an denen die
Brechung erfolgt Der Allgemeinheit wegen nehmen wir an, dass die
einfallenden Strahlen und die austretenden Strahlen sich in vergchiedenen
Medien befinden; und wir bezeichnen mit it}, n^ die Brechungsindices an
den Ebenen Q^j, QEu gegen das Prisma.
um zu einer gegebenen Richtung ISl eines einfallenden Hauptstrahlea
die Richtung des im Prisma gebrochenen Hauptstrahles und die Richtung
des austretenden Hauptstrahles zu construiren, verfahren wir in der be-
kannten Weise. Wir beschreiben um Q die Kreise x, A, t, deren Radien
QA|, QIT, QJ in dem Verh<niss
QH:QAi = l:»i, QJ:Q\=^ 1 : ♦»,
stehen, ziehen H\ senkrecht QE und \J senkrecht QEu. Dem in der
Orenzlage befindlichen Hauptstrahl 2Q, der das Prisma in der brechenden
Kante trifft, entspricht geometrisch der durch Ax bestimmte, im Prisma
gebrochene Hauptstrahl AQ, dessen Strecke im Prisma als unendlich klein
zu betrachten ist, und femer der austretende Hauptstrahl IQ, der durch
den Punkt J bestimmt ist.
Wenn nun ein beliebiger zu 2Q parallel einfallender Hauptstrahl aO
gegeben ist, so ziehen wir 6H parallel kQ und Ea parallel IQ; dann ist
6E der auch mit a bezeichnete Hauptstrahl im Prisma und Ea der aus-
tretende Hauptstrahl. •>
Um zu dem Punkt A| auf IQ den entsprechenden Punkt L auf^ZQ
und ferner den entsprechenden Punkt 2i auf IQ zu erhalten, verfahren
wir nach der S. 69 angegebenen zweiten Construction. Wir errichten in
Ai auf AjQ die Senkrechte, welche QEj, QEn resp. in den Punkten 17/,
Uu schneidet, sieben die Oerade UiH^ welche die auf QEj senkrechte
Gierade QVi in V^ trifft , und analog die Oerade ZT///, welche die auf
QEii senkrechte Oerade QF// in Vn trifft; dann ergeben sich durch VjL
senkrecht HQ und F//Si senkrecht JQ die Punkte £, S^. Befinden sich
die einfallenden Strahlen und die austretenden Strahlen in demselben Medium,
dann fallen die beiden Kreise h, i zusammen , und die Construction der
Punkte X, 2| bleibt dieselbe wie in dem allgemeinen Fall.
Von Dr. L. Bubmbstbb. 71
Nehmen wir auf dem Haupts trahl aQ einen beliebigen Lichtpunkt Ä
an, Ton dem ein unendlich dünnes Strahlenbündel ausgeht, dann entspri^t
demselben ein im Prisma gebrochenes astigmatisches Strahlenbündel mit
dem Hauptstrahl a. Ziehen wir ^A| parallel XAi und ÄA^ senkrecht Q£/,
so erhalten wir auf dem Hauptstrahl a den entsprechenden ersten Bild-
punkt A| und den entsprechenden zweiten Bildpunkt Ag. Diesem astig-
matischen Strahlenbündel entspricht ein austretendes astigmatisches Strahlen-
bflndel mit dem Hauptstrahl Ea. Auf diesem erhalten wir vermittelst der
Parallelen Ai$(| zu A^Si und der Senkrechten A^S!« ^^^ ^^ir ^^^ ersten
Bildpnnkt 9li und den zweiten Bildpnnkt Sf), welche dem Lichtpunkt Ä
entsprechen. Eine Beihe von Lichtpunkten Ä. , . auf dem einfallenden
Hauptstrahl aQ entspricht demnach eine ähnliche Beihe von ersten Bild-
punkten Xi . . . und eine ähnliche Reihe von zweiten Bildpunkten % . . . auf
dem austretenden Hauptstrahl E a. Betrachten wir den Punkt 9 als einen
Lichtpunkt auf dem Hanptstrahl aQ und ziehen wir QZi parallel A^Si,
ferner QZ^ senkrecht Q£//, dann ist jC| der erste Bildpunkt und SC, der
zweite Bildpunkt auf den Hauptstrahl Ha, die dem Lichtpunkt 6 ent-
sprechen. Ziehen wir durch den Schnittpunkt W der Geraden Pii^i, A^Sl,
die Gerade TT 6, welche den Hauptstrahl Ea in dem Punkt ^o schneidet;
dann ist %^ der selbstentsprechende Punkt der ähnlichen Punktreihen
9li 3^1 • • . und Slg St) . • . Zur Construction dieses selbstentsprechenden Punktes ^,
in dem also der erste Bildpunkt und der zweite Bildpunkt zusammenfallen,
sind demnach die Geraden 6Xi, QX^ nicht erforderlich. Vermittelst der
Geraden 3(oAos senkrecht QEn und der Geraden Ao^-^o senkrecht QEi er-
halten wir den entsprechenden Lichtpunkt Aq auf dem einfallenden Hanpt-
strahl aQ, Femer ergiebt sich auch dieser Punkt Äq^ indem wir die
Gerade SIoAqi parallel SjAi nnd die Gerade Aoiilo P&i^lel \^ ziehen.
Der Punkt Aq ist demnach auf den einfallenden Hauptstrahl a Q der einzige
Lichtpunkt, dem ein homocentrischer Bildpunkt ^^ auf dem austretenden
Hanptstrahl entspricht Hiernach erhalten wir den Satz:
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch ein Prisma
giebt es auf jedem in einer Normalebene einfallenden Haupt-
strahl einen einzigen Lichtpunkt» dem ein homocentrischer
Bildpunkt auf dem austretenden Hauptstrahl entspricht.
Betrachten wir den Punkt 9(o als Lichtpunkt, so entspricht demselben
der Punkt Aq als homocentrischer Bildpnnkt. Die Beziehung; dass einem
Lichtpunkt ein homocentrischer Bildpunkt entspricht, nennen wir Homo»
centricität. Es kommen hier nur solche einfallende Hauptstrahlen in
Betracht, denen austretende Hauptstrahlen entsprechen; denn auf die totale
Reflexion an QE/i erstreckt sich diese Beziehung nicht.
Nehmen wir in einer Normaiebene beliebig viele parallele einfallende
Hauptstrahlen an, dann liegen der ausgeführten Construction gemäss die
zugehörigen Lichtpunkte, denen homocentrische Bildpunkte entsprechen, in
72 Homocentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
einer durch den Punkt Q gehenden Geraden Qg^ , und diese homocentrisehen
Bildpunkte befinden sich in einer entsprechenden durch den Punkt £1
gehenden Geraden Qg^. Hieraus folgt der Satz:
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch ein Prisma in
einer Normalebene liegen die auf parallelen einfallenden
Hauptstrahlen befindlichen Lichtpunkte, denen homocen-
trische Bildpunkte entsprechen, in einer Geraden Q^^; und
diese homocentrisehen Bildpunkte auf den parallelen aus-
tretenden Hauptstrahlen liegen in einer entsprechenden Ge-
raden Qg^.
Um die HomocentricitKt aus affinen Beziehungen abzuleiten, nehmen
wir in einer Normalebene ein System 8 von Lichtpunkten auf parallelen
einfallenden Hauptstrahlen an, dann entspricht dem System iS dieser Licht-
punkte ein affines System Z| der zugehörigen ersten Bildpunkte und ein
affines System Z, der zugehörigen zweiten Bildpunkte auf dem im Prisma
gebrochenen parallelen Hauptstrahlen. Femer entspricht dem System Zj
ein affines System @| der zugehörigen ersten Bildpunkte auf den parallelen
austretenden Hauptstrahlen , und ebenso entspricht dem System Z^ ein affines
System @9 der zugehörigen zweiten Bildpunkte auf den parallelen aus-
tretenden Hauptstrahlen. Da das System S zu den Systemen Zj, Z^ und
zu den Systemen ®|, &^ affin ist, so sind auch die Systeme Zj, Z^ und
@i, @2 einander affin. Für die drei Systeme 8, T^^ Z^ ist die Gerade
QEj gemeinsame Affinitätsaohse. FOr die beiden Systeme Z|, ®|, sowie
für die beiden Systeme Z^, €, ^^^ ^^® Gerade QEjt gemeinsame Affinitäts-
achse. Der Punkt Q gehört allen fünf affinen Systemen S, Z|, Z^, ®]i @t
als selbstentsprechender Punkt an.
Die drei affinen Systeme 8^ Z|, @| sind in Figur 6 durch die drei
entsprechenden Punkte L, Aj, £i auf den drei entsprechenden Haupt-
strahlen 2Q, XQ, IQ bestimmt. Die drei affinen Systeme 8^ I^^ @^ sind
durch die drei entsprechenden Hauptstrahlen IQ, XQ, iQ bestimmt; denn
die entsprechenden Punkte yon 8y Z^ liegen in Senkrechten zu QEf und
die entsprechenden Punkte von Z^, &f liegen in Senkrechten zu QEir-
Da die entsprechenden Punkte der beiden affinen Systeme @, , @^ auf
den parallelen austretenden Hauptstrahlen liegen, so haben diese Systeme
eine Affinitätsachse, die durch Q geht; und dieselbe enthält die selbst-
entsprechenden Punkte, das sind die homocentrisehen Bildpunkte auf den
parallelen austretenden Hauptstrahlen. Diese Affinitätsaehse ist die yoriiin
construirte Gerade Q g^ und dieser entspricht im System 8 die Gerade Q^^,
welche die zugehörigen Lichtpunkte enthält. Die Affinitätsachse Qg^ ist
durch den Schnittpunkt zweier entsprechender Geraden der Systeme 6| , 6^
bestimmt und kann in folgender Weise construirt werden. Die Torher
bestimmten Punkte St,, X^ nnd 9[|, ^ sind auf dem austretenden Hanpt-
strahl Za . entsprechende Punkte in dem Systemen €|, €,. Ziehen wir
Von Dr. L. Busmestbs. 73
Doch XA2 senkrecht QEj nnd AjS^ senkrecht QE/t, dann entspricht dem
Pnnkt £1 im System @| der Punkt S^ im System €,. Die entsprechenden
Oeraden SiXi, ^Z^ schneiden sich in einem Punkt ^0 der Affinitätsachse
Qg^; und ebenso schneiden sich die entsprechenden Geraden Si9l|, S^Sli in
einem Punkt Xq der Affinitätsachse Q^.
Legen wir in Figur 7 in dem System 8 der Lichtpunkte zu der (Ge-
raden ^g^ eine Parallele f^ welche die parallelen einfallenden Hauptstrahlen
a, hj {, «.. in den Lichtpunkten Ä^ B^ X,... schneidet, dann entsprechen
dieser Parallelen in den Systemen @ii @| die beiden zu Qg^ Parallelen
fi, f,, auf denen resp. die entsprechenden ersten Bildpunkte SI}» Sj, Sif.
und die entsprechenden zweiten Bildpunkte 91}, SS^, Sa»*** liegen. Dem-
nach sind die homocentrischen Differenzen ^1%^^ ^\^%j SiSg,... der zu-
gehörigen austretenden astigmatischen Strahlenbttndel gleich, und es folgt
der Satz:
Allen auf parallelen einfallenden Hanptstrahlen befind-
lichen Lichtpunkten, die in einer zur Oeraden Q^g Parallelen
liegen, entsprechen in denaustretendenastigmatischen Strahlen-
bflndeln gleiche homocentrische Differenzen.
Die OrOsse dieser gleichen homocentrischen Differenzen ist dem Ab-
stände der Parallelen f von der Geraden Qg^ proportional und wird gleich
Null, wenn diese Parallele mit der Oeraden Q^^ zusammenftllt.
um auf rechnerischem Wege die homocentrische Differenz eines aus-
tretenden astigmatischen Strahlenbttndels zu erhalten, welches einem ein-
fallenden^ unendlich dünnen centralen Strahlenbttndel entspricht, nehmen
wir in Figur 6 an, dass die Winkel, welche der einfallende Hauptstrahl a6,
und der Hauptstrahl 6 a mit dem Lothe der Ebene QJEJ/ bilden resp. e^, Sj
sind, dass femer die Winkel, welche der austretende Hauptstrahl Ea und
der Hauptstrahl Zo mit dem Lothe der Ebene QJEJ// einschliessen resp.
e^, F, sind.
Es ist dann
' Sinti ^ «tif,
nnd nach den Gleichungen 2), 3):
A,e
6)
fcost^y A»e
%£ ^ 1 /coseA^^ a^Z ^ 2
Aj H f», \co8 «g/ A|£ »j
Hiemach erhalten wir:
A,H = A,e + e= = », . ^e + e=
and ferner:
74 Homocentrisohe Brechang des Lichtes darch das Prisma.
8) «,= = ![«.. .19 + e=j;
folglich ist die homocentnsche Differenz:
Fflr ^6 = 0, also für den Punkt 6 als Lichtpunkt auf dem Haupt-
strahl a6, ist die entsprechende homocentrische Differenz
•«) _ «.^=f[(s^)-']-
FQr 6Z = 0, also fttr einen Lichtpunkt L auf dem Hauptstrahl 2Q,
ist die entsprechende homocentrische Differenz
11) 8,s5,=iQ?.r('^.'^y_i].
n^L\co8e^ cose^/ J
Setzen wir die homocentrisc^ie Differenz 3(|9l2 = 0| dann ist jener
Lichtpunkt Ä identisch mit dem Lichtpunkt A^y dem der homocentrische
Bildpunkt ^o entspricht, und es ergiebt sich:
\C08 tfj
(C05£| COS ^«y I
12) ^L^^
und da fi^.iloO = AofB ist,
13)
(co8e^ Y
Durch die Ausdrücke in 10), 11) folgt aus 12) die Proportion:
welche auch als Controle fttr die Construotion des Lichtpunktes Ä^ dienen
kann. Zur Feststellung der Vorzeichen nehmen wir die Strecken in der
Richtung des Lichtganges als positiv.
Nehmen wir eine andere Richtung der einfallenden Hauptstrahlen an,
so erhalten wir zwei andere dieser Richtung entsprechende Gerade Qg^, ^9ir
Besonders ausgezeichnet sind die parallelen einfallenden Hauptstrahlen bei
deren Richtung:
1ft\ €08 6^ __ C08e^
C08 f I €08 e^
ist; denn in diesem Falle coincidiren die beiden Bildpunkte Si» S^ anf dem
Hauptstrahl IQ. Jedem Lichtpunkt auf dem einfallenden Hauptstrahl iQ
Von Dr. L. Bubmbstbb. 75
entspricht dann ein homocentrischer Bildpankt auf dem austretenden Hanpt-
strahl IQ. Diese Beziehung hat aber nur geometrische Bedeutung, weil
in dieser Grenzlage die StrahlenlSnge im Prisma verschwindet. Auf allen
anderen in dieser Richtung einfallenden Hauptstrahlen befinden sich die
Lichtpunkte^ denen homocentrische Bildpunkte entsprechen , im unendlichen
und die homocehtrischen Bildpunkte liegen ebenfalls im Unendlichen.
In diesem besonderen Falle ist die Qerade IQ die Affinitfttsachse der
Systeme ®|f @, und da dieselbe parallel ist zu den Verbindungsgeraden
der entsprechenden Punkte dieser Systeme, so ist die homocentrische
Differenz auf einem austretenden Hauptstrahl constant gleich der Strecke %i%2 ;
und diese Strecke ist auf den verschiedenen parallelen austretenden Haupt-
strahlen proportional dem Abstände des entsprechenden einfallenden Haupt*
Strahles von dem Punkt Q. Dies ergiebt sich auch aus dem Ausdruck für
die homocentrische Differenz in 9). Hiemach folgt:
Auf den parallelen Hauptstrahlen, welche bei der Brechung
durch ein Prisma in einer Normalebene unter der Bedingung
cos «1 cos e^
einfallen, giebt es im Endlichen keinen Lichtpunkt, dem ein
homocentrischer Bildpnnkt entspricht; einem jeden Licht-
punkt auf einem solchen Hauptstrahl entspricht eine homo-
centrischeDifferenz des austretenden astigmatischenStrahlen-
bündeis, die unabhängig von der Lage des Lichtpunktes und
proportional dem Abstände des Hauptstrahles von der
brechenden Kante ist; und nur auf dem Hauptstrahl^ der die
brechende Kante trifft, entspricht jedem Lichtpunkt geo-
metrisch ein homocentrischer Bildpunkt. Bei einem Prisma,
welches von einem Medium umgeben ist, tritt unter jener
Bedingung das Minimum der Ablenkung auf.
Jene Bedingung 15) führt bei der Berechnung des Einfallswinkels e^
auf eine Gleichung achten Grades; wenn aber das Prisma von einem Medium
umgeben ist, wird jene Bedingung im Minimum der Ablenkung erfüllt. Für
diesen speciellen Fall wurde die erhaltene Beziehung von Herrn A. Gleichen
abgeleitet.*
Jedem einfallenden Hauptstrahl, sofern ihm ein austretender Haupt-
strahl entspricht, ist ein Lichtpunkt zugeordnet, zu dem ein homocentrischer
Bildpunkt gehört. Wenn wir in Figur 6 auf verschiedene in dem Punkt 9
eintretende Hauptstrahlen die zugeordneten Lichtpankte construiren, dann
bilden dieselben eine Curve t, welche wir die Homocentroide nennen
wollen; vermittelst der Homocentroide können wir zu einem beliebig ge-
* Siehe diese Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1889. Bd. 34 S. 176.
76 Homocentrische Brechung des Lichtes darch das Prisma.
gebenen Lichtpunkt Pq den entsprechenden homocentrischen Bildponkt $o
bestimmen. Wir ziehen durch Pq die Gerade QPq» welche die Homo*
centroide t in einem Punkt Äq schneiden möge, dann ist die zu ^^0 paraUeie
Gerade Pq Qp der zugehörige einfallende Hauptstrahl p zu dem in bekannter
Weise der im Prisma gebrochene Hauptstrahl QpB.p und der austretende
Hauptstrahl E^p bestimmt wird. Hierauf ziehen wir Pq TTgi senkrecht
QEj und TTo,$o senkrecht QEjr.
Zu einem System 8q von Lichtpunkten erhalten wir ein System @q
von entsprechenden homocentrischen Bildpunkten. Die Beziehung dieser
beiden Systeme wollen wir die homocentrische Verwandtschaft and
die Systeme Sq, &q die homocentrischen Systeme nennen. So viele
Schnittpunkte, als die Gerade QPq mit der Homocentroide t bildet, so viele
zugehörige einfallende Hauptstrahlen gehen im System 8q durch den Licht-
punkt P^; und es entsprechen demselben ebenso viele homocentrische Bild-
punkte im System @o. Die homocentrische Verwandtschaft, welche analytisch
sehr complicirt ist, kann physikalisch eindeutig und mehrdeutig sein. Jedem
unendlich fernen Lichtpunkt im System Sq entspricht, weil zu einem un-
endlich dünnen Bündel paralleler einfallender Strahlen ein unendlich dttnnes
Bttndel paralleler austretender Strahlen gehört, ein unendlich femer homo-
centrischer Bildpunkt; demnach entsprechen den unendlich fernen Punkten
in einem der homocentrischen Systemen 8q, @o unendlich ferne Punkte in
dem anderen; und der Punkt Q ist ein selbstentsprechender Punkt dieser
Systeme.
Einer Reihe von Lichtpunkten aaf einer durch Q gehenden Geraden Qg^
im System 8q entspricht eine ähnliche Reihe von homocentrischen Bild-
punkten auf einer Geraden Qg^ im System &q. Die homocentrischen
Systeme stehen in gleichartiger Wechselbeziehung. Wenn die Homocentroide i
in Bezug auf das System 8q construirt ist, kann man zum System 8q das
entsprechende System @o bestimmen, und umgekehrt, wenn die Homo-
centroide t in Bezug auf das System ©^ construirt ist, erhftlt man zum
System @o das entsprechende System 8q-
Wir wollen noch auf den Weg hinweisen, der zur Gleichung der
Homocentroide t führt. Setzen wir die Strecke Q 6 = g und den brechen-
den Winkel EjQErr^Wy so ist
q "~ cosf, '
und durch Einsetzung in 12) erhalten wir:
16) e^.5L-WiJ^^.
Von Dr. L. Bübmbstbb. 77
Da ferner
sin e% sin Cm
istt 80 kann man dnrcb Elimination von e,, f], f,, die sebr nmstSndlich
ist, die Polargleichnng der Homocentroide t erbalten. Nach Einführang
rechtwinkeliger Coordinaten ergiebt sieb dann die Homocentroide vom
20. Orade, nnd wenn n|= n, ist» vom 16. Grade.
Ans der Gleicbnng 16) folgt, dass A^Q » 0 wird ffXr cos 6^=^ 0, wenn
der einftdlende Hanptstrabl aQ in QEj liegt. Demnach gebt die Homo-
centroide dnrcb den Punkt 6 nnd wird in demselben von der Geraden QJEj
berflbrt Dieser Punkt 6 der Homocentroide bildet eine Ausnahme; denn
ihm entspricht als Lichtpunkt nur dann ein homocentrischer Bildpunkt,
wenn der von ihm ausgebende Hauptstrabi im Prisma auf der Ebene
QEij senkrecht steht. Ferner wird A^Q » 0 für coss^ = 1, wenn der im
Prisma gebrochene Hauptstrahl senkrecht auf QEji ist
Es wird il^OsBOD für cost^^O^ wenn der im Prisma gebrochene
Hauptstrahl zu QEji parallel ist« Ferner wird A^Q csco in dem vorhin
betrachteten Fall , wenn cos e^ €OSi^ = cos i^ cose^ ist.
Da dieselben homocentrischen Beziehungen in jeder Normalebene auf-
treten, so giebt es auf jedem einfallenden Hanptstrahl, der parallel zu einer
Normalebene ist und dem ein austretender Hauptstrahl entspricht, einen
Lichtpunkt, zu dem ein homocentrischer Bildpunkt gehört. Bei einem Bflndel
paralleler einfaUender Hauptstrahlen, die einer Normalebene parallel sind,
liegen auf diesen einfi&llenden Hanptstrahlen die Lichtpunkte, denen homo-
centrische Bildpunkte entsprechen , in einer durch die brechende Kante Q
gehende Ebene Qg^ und diese homocentrischen Bildpunkte liegen auch in
einer durch Q gehenden Ebene Qqq, Dem System Qq der Lichtpunkte in
der Ebene Qg^ entspricht ein affines System ®o der homocentrischen Bild-
pnnkte, weil das Bttndel der einfallenden parallelen Hauptstrahlen dem
Bündel der austretenden parallelen Hauptstrahlen affin ist.
Wir wollen, wenn das Prisma sich in einem Medium befindet, für
die Homocentroide eine besondere Construction angeben. In diesem wich-
tigen speoiellen Fall ist, wenn wir mit n den Brechungsindex des Prismas
bezeichnen n » fi, =s n^; nnd demnach
sinct sin Ca
8%n Ci sm §2
Durch Umformung erhalten wir dann aus 13):
17)
und femer
18)
AojG _ cos^CiSin^e^
GH "^ sin^e^ — sin^e^
6E "" tan^Ci — tan* $2 "" cofie^ — cofle^
78 Homocentriscbe Brechung des Lichtes durch das Prisma.
Um hiernach die Homocentroide in Figur 8 zu construiren , beschreiben
wir, damit wir einen Sirahlengang erhalten, um den Punkt 0 die Kreise Jb, x
mit den Radien im Yerhäliniss 1 : n; dann ergiebt sich zu einem einfallenden
Hauptstrahl a6, der den Kreis k im Punkt H schneidet, vermittelst J7A|
senkrecht QEj und \J senkrecht QEji der im Prisma gebrochene, mit
a bezeichnete Hauptstrahl AjO und der austretende Hauptstrahl Ha ist
parallel JQ.
Um nun auf dem einfallenden Hauptstrahl aO den Lichtpunkt Ä^
nach 18) zu erhalten, dem ein homocentrischer Bildpunkt Sl^ entspricht,
ziehen wir HHi senkrecht HQ und HjQ senkrecht Q^/, dann ist
HQ =s QHcoPei'y ferner ziehen wir zu QEn die Parallele QE'ji, hiernach
JJn senkrecht JQ und JnK senkrecht QE'u> dann ist JK^ QJcoi^e^
Demzufolge erhalten wir durch die Proportion
Ao,9 _ HQ
0= JK-HG
die Strecke ^B, Durch die Senkrechte Aoa-^o ^^^ ^-^/ ^^S^^^t sich der
Lichtpunkt ^ und durch die Senkrechte Aqs^o ^^^^En der entsprechende
homocentriscbe Bildpunkt 3(o- Wenn wir in dieser Weise auf mehreren
nach 6 gerichteten einfallenden Hauptstrahlen die zugehörigen Lichtpunkte
construiren, dann bilden diese Lichtpunkte die Homocentroide tutvj die
aus zwei Theilen besteht; denn dieselbe ist nur für alle einfallende Haupt-
strahlen, den austretende Hauptstrahlen entsprechen, construiri In ana-
lytischer Aaffossung hat die Homocentroide eine Fortsetzung, der aber
keine physikalische Deutung entsprichi
Auf dem einfallenden Hauptstrahl, der in EjQ liegt, befindet sich
der zugeordnete Punkt in 0. Auf dem im Minimum der Ablenkung ein-
fallenden Hauptstrahl m6, dem der im Prisma gebrochene Hauptstrahl 6 Hm
und der austretende Hauptstrahl H^7im entspricht, befindet sich der Licht-
punkt Mo im Unendlichen. Für die einfallenden Hauptstrahlen , bei welchen
der Winkel e^ ^ e^ ist, werden die Abstände der Lichtpunkte von 6
negativ, und diesen Hanptstrahlen entsprechen virtuelle Lichtpunkte.
Dem einfallenden Hauptstrahl jb? 6 entspricht im Prisma der Hauptstrahl OH.
und der in QErr liegende austretende Hauptstrahl Hai, demnach ist der
Winkel e2 = 90® und cote^^^O] also — A^jS == 0H». Durch die Senk-
rechte HsZq auf QEj ergiebt sich der Lichtpunkt Zq auf dem Haupt-
strahl eQy der die Grenze der in 6 eintretenden Hauptstrahlen bildet.
Der Theil tt, der Homocentroide enthftU die wirklichen Lichtpunkte
und geht die Gerade QEj berührend von 6 aus nach dem unendlich fernen
Punkt Mq des im Minimum der Ablenkung einfallenden Hauptstrahles mQ,
Der andere Theil tp der Homocentroide enthalt die virtuellen Lichtpunkte
und geht von Zq nach dem unendlich fernen Punkt Mo*
Ist ein beliebiger Lichtpunkt Pq gegeben, so erhalten wir in der an-
gegebenen Weise vermittelst der Homocentroide den zugeordneten ein-
Von Dr. L. Burmester. 79
fallenden Hanptstrahl, indem wir die (Gerade QPq ziehen, welche die Homo-
centroide in einem Pnnki Aq schneidet; dann ist PoQp parallel ^6 der
einfallende Hanptstrahljp, su dem die entsprechenden Hanptstrahlen O/^Hp)
£pp construirt werden. Durch Po^Toi senkrecht QEj und TTo,^ senk-
recht QEjT ergiebt sich der entsprechende homoeentrische Bildpnukt $q.
So kann man zu jedem anderen Pankt P^ im System Sq den entsprechenden
homocentrischen Bildpnnkt $o ^^ System @o bestimmen.
Es ist die Gerade m'Qm' parallel m6 and die Gerade eQ parallel
0Q gezogen, um die Gebiete zu begrenzen, in denen einfallende Haupt-
strahlen mit wirklichen Lichtpunkten oder mit virtuellen Lichtpunkten
liegen. Denken wir uns das Prisma über j^/, Eu unbegrenzt, dann kann
jeder Punkt innerhalb des Winkels EiQm' ein wirklicher Lichtpunkt und
jeder Punkt innerhalb des Winkels Z^Qm" als ein virtueller Lichtpunkt
betrachtet werden. Denn zu allen einfallenden Hauptstrahlen , die einer
innerhalb des Winkels E/Qm durch Q gehenden Geraden parallel sind,
gehören wirkliche Lichtpunkte | und zu allen einfallenden Hauptetrahlen,
die einer innerhalb des Winkels mQg durch Q gehenden Geraden parallel
sind, gehören yirtnelle Lichtpunkte. Allen anderen einfallenden Haupt-
strahlen entsprechen physikalisch keine austretende Hauptstrahlen und
somit auch keine Lichtpunkte. Hierdurch ist das Gebiet der Lichtpunkte
des Systems Sq, den homoeentrische Bildpunkte des Systems &q entsprechen,
begrenzt.
Im betrachteten Falle haben wir als typisches Beispiel ein in Luft
befindliches Glasprisma mit dem brechenden Winkel von 60^ und dem
3
Brechungsindex ft » ^ angenommen. Die construirte Homocentroide tw tv
wird von jeder innerhalb der Winkel EjQm und Z^Qm' durch Q
gehenden Geraden nnr in einem Punkt geschnitten; demnach entspricht
physikalisch jedem Lichtpunkte im System S^^ eindeutig ein homocentrischer
Bildpunkt im System @o und umgekehrt.
Die experimentelle Bestätigung der Homocentricität bei der Brechung
der Lichtstrahlen durch ein Prisma wurde in folgender Weise (Figur 9 Taf. III)
ausgeführt. Auf einem Block steht ein Glasprisma EjQEji, dessen brechende
Winkel 60^ und dessen Brechungsindex für die Spectrnmlinie D gleich 1,7
ist. Auf dem einfallenden Hauptstrahl a 6 ist der Lichtpunkt Aq nnd auf
dem austretenden Hauptstrahl Ea ist der entsprechende homoeentrische
Bildpunkt SKo construirt; femer ist zu einem Lichtpunkt Ä auf diesem
einfallenden Hauptstrahl der erste Bildpunkt ^j und der zweite Bildpunkt
^2 construirt. Ein Glaswürfel pqrs mit einer berussten Seite pq^ in
deren Bussschicht mit einer Nadel eine sehr kleine Oeffnung gemacht ist,
steht so auf dem Block , dass diese Oeffnung den Lichtpunkt Aq vertritt.
Vermittelst der Natronflamme F einer auf dem Block befindlichen Lampe
wird durch die kleine Oeffnung ein sehr dünnes Strahlenbündel erzeugt.
80 Homocentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
Der Block mit Prisma, Würfel und Lampe ist in Parallelfübrung nach
Bichtong der Geraden £a verschiebbar. Durch ein fest^gestelltes Mikro-
skop Jf, ein Abbe'sches Focometer, bei dem die Entfemnngj eines deutlich
sichtbaren Objectes von dem Objectiy 0 gleich 110 mm ist, wurde nach
Einstellung des verschiebbaren Blockes gegen das feststehende Mikroskop
für die Strecke ^qO= 110 mm der homocentrische Bildpunkt ^ als
kleine helle Oeffnung so deutlich gesehen, dass auch die Bauhigkeit des
Oeffnungsrandes in der Busssohicht scharf erkennbar war. Nachdem
durch Verschieben des Blockes die Strecke ^qO grösser oder kleiner
als 110mm gemacht wurde, vergrösserte sich das beobachtete, matter
werdende Lichtfeld und dadurch wurde das dtLnne centrale Strahlenbttndel
sichtbar.
Im Gegensatz hierzu wurde der Würfel pqrs in gleicher Weise nach
dem Lichtpunkt Ä gestellt und der Block so yerschoben, dass die Strecke
%,0 = 110mm war, dann zeigte sich deutlich eine kurze horizontale Licht-
linie. Ferner wurde der Block so yerschoben, dass die Strecke S^ 0 = 1 10 mm
war und es erschien deutlich eine kurze vertikale Lichtlinie. In anderen
Stellungen des Blockes konnte die Gestalt des austretenden astigmatischen
Strahlenbttndels beobachtet werden.
Wir wollen in Figur 10 (Taf. III) als Beispiel noch die homocentrische
Brechung der Lichtstrahlen durch eine Platte betrachten, an deren beiden Seiten
sich verschiedene Medien befinden. Weil die Ebenen Ej^ Eu parallel sind,
vereinfachen sich die Constructionen und wir gelangen zu anderen Con-
structionen, die diesem speciellen Fall eigenthttmlich sind. Die Brechungs-
indices an den Ebenen Ei^ Ejz gegen die Platte seien n^, n%. Einen
Strahlengang erhalten wir in der bekannten Weise. Wir beschreiben um den
Punkt 6 die Kreise h, i, %^ deren Badien 6 JS*, 6/, 6 A| in dem Verhältniss
OH: eA4=l:ni, QJ:^^^^l:n^
stehen, so ergeben sich zu einem einfallenden Hanptstrahl aQ entsprechende
Hauptstrahlen 9E resp. a, und z^a^ indem wir durch H auf Er die Senk-
rechte c7A| ziehen. Nach der S. 71 angegebenen allgemeinen Construction
des auf aQ liegenden Lichtpunktes ^, dem ein homocentrischer Bild-
punkt SIo entspricht, ziehen wir Aj {7/ senkrecht auf A^B und die Geraden
UjH^ UjJ, welche die Normale 6JVder Ebene JE7/resp. in F/, F/j schneiden.
Alsdann föUen wir auf HQ die Senkrechte YjÄ und auf J6 die Senk-
rechte Fj/ttj. Ferner ziehen wir die Gerade ÄW senkrecht Ex und die
Gerade A^äli, die sich im Punkt W treffen; dann liefert die Gerade WB
den homocentrischen Bildpnnkt S^ auf dem austretenden Hauptstrahl Ha
und vermittelst der Geraden Sq-^» ^^® ^^ -^z Bcnkrecht ist^ ergiebt sich
auf dem einfallenden Hanptstrahl aQ der zugehörige Lichtpunkt Af^
Einfachere Constructionen erhalten wir durch Specialisirung der
Gleichung 12):
Von Dr. L. Burmestbb. 81
, _ / cose^Y
\ COSti €08 f^ )
denn im betrachteten speciellen Fall ist f^ = ~ i^, und demnach
»1^0 9 \ C08 g, /
0E "^ / cos Cg y -
i- = 4*. - i. == M
Da ferner
n
i>
ist, 80 folgt:
^® — ^% — ^ / C08 g, y
\ C05 «1 /
6= w,(n^-n«,)
Hiernach kann man die Strecke il^ 6 construiren, wenn man die con-
stante Grösse n* — 1
vorher berechnet. *^ * ^'
Zweckmässiger aber ist es, wenn wir in die Gleichung die Dicke d
der Platte, also den Abstand der beiden Ebenen £/, En einführen. Es
ist dann ^
65 =
und
^ e = ^(^%-^) . ^^!?i.,
oder
Hiernach erhalten wir, nachdem in Figur 11 auf NQ die Strecke
6^= d.^ gemacht ist, die folgende Coustruction. Wir ziehen von dem Schnitt-
punkt H^ des Hauptstrahles aQ und des Kreises x die Gerade H^H'J^ N&j
H'H''± QH, dann ist OH' = QE^co^e^-, ferner A^ YX NO, TY'± A^G,
r' r"JL ^9, dann ist QY"= 6 AiC05*«i. Hiernach ergiebt sich, indem wir
zu Y" B" die Parallele "NA^ ziehen, der Lichtpunkt A^ auf den einfallenden
Hauptstrahl aO. Auf den zu c76 parallelen, austretenden Hauptstrahl Ha
erhalten wir durch ilo^o senkrecht auf £/ den entsprechenden homo-
centrischen Bildpunkt {(q.
Bezeichnet Z den Schnittpunkt » welchen der Kreis h mit A|9 bildet,
dann ist nj.ZG = Ai9, nnd da ferner nach 6)
A|9 _ / C08 hy y
lQ'^^^\co8eJ
ist, 80 folgt:
Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1896. 2. Heft 6
Homocentrische Breobnng des Liohtes dnrch das Prismas.
^6 \cose
und demnach erhalten wir
ÄQe^d.k
X6 __ /cQgfi V
ä6
XQ.COSFy
Hierans ergiebt sich die folgende Construction des Punktes Aq in
Figur 11. Wir ziehen auf A,0 die Senkrechie A, 17/, dann die Gerade
UjH bis Vi und ViÄ senkrecht HO] ferner ziehen wir die Senkrechte XX'
auf Ne und NA^ parallel X'A.
In Figur 10 sind für mehrere im Punkt 6 eintretende Hauptstrahlen
die Lichtpunkte Aq... construirt, welche die gezeichnete Homocentroide t
bilden. Die Polargleichung derselben ist, wenn wir AqQ ^ r setzen:
Durch Umwandlung in rechtwinkelige Coordinaten ergiebt sich, dass
3
diese Homocentroide vom 6. Grade ist. In der Zeichnung ist tii = 5 1
4 "^
«12=^*0 genommen und es besteht diese Homocentroide, so weit sie physi-
kalisch zur Geltung kommt, aus einem Oyal, welches von dem senkrecht
zur Platte einfallenden Hauptstrahl NQ symmetrisch getheilt wird. In
geometrischer Auffassung gehört zu der Homocentroide noch ein zweites
nicht gezeichnetes Oval^ welches bezüglich der Geraden E/ zu dem Oval t
symmetrisch ist. Wenn n| <C 1 ist, dann wird für sin e^ = n^ der Radius
▼ector r s= 00 und die Homocentroide hat in diesem Falle zwei unendlich
ferne reelle Punkte.
Ziehen wir durch einen angenommenen Lichtpunkt Pq im System S^
zu Ei eine Parallele g^y welche die Homocentroide t schneidet, z. B. in
den beiden Punkten Aq, A\^ so sind dem Lichtpunkt Pq ^^e beiden
einfallenden Hauptstrahlen jpöp, jp'6p zugeordnet, die resp. zu A^Qy
A\Q parallel sind; und diesen Hauptstrahlen entsprechen die aus-
tretenden Hauptstrahlen Zp)>, ^'pVf ^^^ denen wir durch Po$o s^n^'
recht zu Ej den zugehörigen gemeinsamen, homocentrischen Bildpunkt
!ßo erhalten. Es entspricht demnach einem im System 8^^ befindlichen
Lichtpunkt Tq, obwohl demselben zwei einfallende Hauptstrahlen zugeord-
net sind , ein einziger homocentrischer Bildpunkt $0 ^™ System Sq* BSiner
Reihe von Lichtpunkten A^P^... auf einer zu Ej Parallelen Qq im System 8^
entspricht eine congruente Reihe von homocentrischen Bildpnnkten 9(3 $o-"
auf einer zu Ej Parallelen ^ im System 6^. Das System ^q der Licht-
punkte, denen zwei einfallende Hauptstrahlen zugeordnet sind und homo-
centrische ßildpunkte entsprechen, ist von der Geraden Ej und von der
zu ihr parallelen Geraden iIq, die durch N geht, begrenzt.
Von Dr« L. Bübmbstss. 83
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch eine Platte besitzt jeder
Hauptstrahl, der senkrecht zur Platte einfallt , also ohne Brechung durch-
geht, die Eigenthttmlichkeit, dass jedem Lichtpunkt auf demselben ein
homocentrischer Bildpnnkt entspricht. Demzufolge entspricht einem System
8 Yon Lichtpunkten auf senkrecht einfallenden Hauptstrahlen ein System @2
von homocentrischen Bildpunkten.
Nehmen wir auf den senkrecht einfallenden Hauptstrahl ^0 einen be-
liebigen Lichtpunkt F an, dem der homocentrische Bildpunkt %^ ent-
bpricht, so ist analog der Gleichung 8)
5.H = ^[ti,F0+eEJ,
und , wenn wir 0 E = d einsetzen , ergiebt sich
Die Systeme S^, Si sind a{^n und ihre Affinitfttsachse v^ welche durch
den selbstentsprechenden Punkt D des Hauptstrahles NO geht, ist parallel
zu Ej. Setzen wir %^Q = FQ =s DQ^ so wird der selbstentsprechende
Punkt D durch /i ^ \ ^
bestimmt. Hieraus folgt: ^ '
Jedem Lichtpunkt in der Geraden v auf einem senkrecht
einfallenden Hauptstrahl entspricht ein mit diesem Licht-
punkt coincidirender homocentrischer Bildpunkt.
Betrachten wir z. B. jenen Lichtpunkt Po auch zum System 8 ge-
hörend, so ist $2 ^^^ entsprechende homocentrische Bildpunkt im System @j.
EQernach entsprechen jedem Lichtpunkt Pq, der zwischen den beiden Parallelen
JET/, Uq liegt 9 zwei homocentrische Bildpunkte ^q, $^. Im Raum bilden die
Yon einem Lichtpnnkf Fq ausgehenden Hauptstrahlen pp\ . . eine Rotations-
kegelflfiche^ deren Basiskreis in der Ebene Ex den Durchmesser QpQ'p
besitzt ; und die zugehörigen austretenden Hauptstrahlen vereinigen sich in
dem entsprechenden Bildpunkt ^q.
lY. Homocentricität bei der Brechung schräg einfallender Licht-
strahlen durch das Prisma.
Nachdem wir die homocentrischen Beziehungen bei der Brechung der
Lichtstrahlen durch das Prisma in der Normalebene erkannt haben , wollen
wir auch die homocentrischen Beziehungen aufsuchen, welche bei schräg
einfallenden Hauptstrahleu auftreten, die gegen eine Normalebene des
Prisma geneigt sind, also nicht in einer Normalebene liegen.
Ist in Figur 12 ein schräg einfallender Hauptstrahl aO angenommen,
dem der im Prisma gebrochene Hauptstrahl 9E resp. a, und der austretende
Hauptstrahl Ea entspricht, dann sind die Einfallsebene aQu und die Aus-
6*
84 Homocentrische Brechung des Lichtes darch das Prisma.
fallsebene aHa gegen einander geneigt. Diese beiden Ebenen fallen
nur dann zusammen, wenn der einfallende Hauptstrahl aQ in einer
Normalebene des Prismas liegt. Denken wir uns auf dem Haupt-
strahl aQ einen Lichtpunkt Aq angenommen, von dem ein unendlich
dttnnes Strahlenblindel ausgeht, so entspricht diesem StrahlenbOndel ein im
Prisma gebrochenes astigmatisches Strahlenbündel, dessen Hauptstrahl o
ist, und welches a heissen möge. Die zweite Brennebene dieses astig-
matischen Strahlenbündels a ist die Ebene a 6 er und die erste Brennebene
desselben steht im Hauptstrahl cc senkrecht auf der Ebene aQa. Denken
wir uns ebenso auf dem Hauptstrahl aE einen Punkt ^ angenommen , in
dem sich die austretenden Strahlen eines unendlich dünnen Strahlenbündels
vereinigen, so entstammt dasselbe einem im Prisma gebrochenen astig-
matischen Strahlenbündel, dessen Hauptstrahl a ist, und welches a" heissen
möge. Die zweite Brennebene dieses astigmatischen Strahlenbündels a' ist
die Ebene aHo und die erste Brennebene desselben steht im Hauptstrahl a
senkrecht auf der Ebene aEor. Wftren i^un die beiden astigmatischen
Strahlenbttndel a\ a" identisch, dann wKre Aq ein Lichtpunkt, dem der
homocentrische Bildpunkt tt^ entspricht. Damit aber diese beiden astig-
matischen Strahlenbüudel identisch werden, ist zunächst erforderlich, dass
die Brennebenen des astigmatischen Strahlenbündels a mit den Brennebenen
des astigmatischen Strahlenbttndels a' zusammenfallen. Dies ist nur mög-
lich, erstens, wenn die beiden ersten Brennebenen und die beiden zweiten
Brennebenen der astigmatischen Strahlenbündel «', a" identisch sind, und
wir erhalten dann den schon betrachteten Fall, der bei dem Strahlengang
in einer Normalebene eintritt; zweitens, wenn bei den astigmatischen
Strahlenbündeln a\ a" die erste Brennebene von a mit der zweiten Brenn-
ebene Yon a" und die zweite Brennebene von a mit der ersten Brennebene
von a" zusammenfällt Ist ferner in diesem Fall der erste Bildpunkt von a
mit dem zweiten Bildpunkt von a' und der zweite Bildpnnkt von er' mit
dem ersten Bildpunkt von a" vereint, dann sind die beiden astigmatischen
Strahlenbündel a\ a" identisch. Die Neigung der Brennlinien gegen den
Hauptstrahl eines astigmatischen Strahlenbündels bedingt dasselbe nur in
unendlich kleiner Grösse höherer Ordnung , und deshalb kommt diese Neigung
hier nicht in Betracht. Damit also bei einem schräg einfallenden Haupt-
strahl aQ einem Lichtpunkt J^ auf demselben ein homocentrischer Bild-
pnnkt %i auf dem austretenden Hauptstrahl Ea entspricht, muss die Strecke
OE im Prisma so liegen, dass die durch sie gehenden Ebenen a9E, aEO
senkrecht zu einander sind.
Behufs der Construction einer solchen Strecke GE ist in Figur 12 das
Prisma mit der vertikalen brechenden Kante Q in schiefer PanQlelprojection
so dargestellt, dass die Prismaseite QEji in der Bildebene liegt und die
Parallelprojection 60 der von einem Punkt 6 der Prismaseite QE/ auf
die Bildebene geilten Senkrechten gleich der Hälfte ihrer wahren Grösse
Von Dr. L. Burhesteb. 85
ist. Im Punkt 6 ist anf der Prismaseite QEj die Senkrechte ON er-
richtet, welche die Prismaseite QEri im Pankt N trifft Beschreiben wir
nnn Aber ON als Durchmesser in der Ebene QEn einen Kreis § und
nehmen wir auf demselben einen Punkt E an, dann ist die Ebene 6H0
senkrecht auf der Ebene QE.N. Jede Strecke, di^ von dem Punkt 9 nach
einem Punkt E, des Kreises i geht, hat also eine solche Lage, dass die
durch sie gelegten beiden Ebenen 9Z^ und 6E0; von denen die erste
senkrecht auf der Ebene QEj, die zweite senkrecht auf der Ebene QEji
ist, zu einander senkrecht stehen. Es ist dann die Ebene QEN die Ein-
fallsebene für einen einfallenden Hauptstrahl a6, dem der im Prisma ge-
brochene Hauptstrahl QE entspricht; und die Ebene 6Z0 ist die Ausfalls-
ebene für den zugehörigen austretenden Hanptstrahl H a. Die Gesammtheit
der von 0 ausgehenden Hauptstrahlen 9H bilden eine Kegelfiäche 9$,
dessen Spitze 9 und dessen Basis der Kreis | ist.
um nun zu einem angenommenen, im Prisma gebrochenen Haupt-
strahl 9H den zugehörigen einfollenden Hauptstrahl aQ und den zugehörigen
austretenden Hauptstrahl Ea darzustellen, nehmen wir der Allgemeinheit
wegen an, dass an den Prismaseiten QJE?/, QEjj sich verschiedene Medien
befinden und fij , n^ die Brechungsindices an diesen Seiten gegen das Prisma
sind. Legen wir die Einfallsebene OEN gedreht um E^in die Bildebene,
dann gelangt der Punkt 9 nach 9' in die Gerade OE^ und ^9' ist gleich
der wahren Grösse von ^9. Ziehen wir nun zu JN9' die Parallele EO,
welche den um 9 mit dem Radius — 9'E beschriebenen Kreis im Punkt <I>
trifft, und femer die Gerade 9'0, die NE. im Punkt E« schneidet, so ist
die Gerade 9Ea der einfallende Hauptstrahl a9. Dieser Hauptstrahl aQ
bildet mit der Normalen ON der Ebene QEj den Winkel e^ = Ea9'E und
der Hauptstrahl o9 bildet mit dieser Normalen den Winkel t^^EQ'N
Legen wir die Ausfallsebene 9E0 gedreht um OE in die Bildebene,
dann gelangt 9 nach 9" in die auf OE Senkrechte 09", welche gleich
der wahren Grösse von 09 ist, und es ist E9"s E9'. Wir beschreiben
hierauf um E mit dem Badius —E 9" einen Kreis, der 09'' im Punkt V
schneidet. Diesem Punkt Y' in der Umlegung entspricht der Punkt V
auf der Geraden 09 und es ist dann VE der austretende Hauptstrahl Ea.
Dieser Hanptstrahl Ea bildet mit der Normalen 90 der Ebene QEn den
Winkel e^ s= OY'E und der Hauptstrahl a E bildet mit dieser Normalen
den Winkel c,» 09''E. Damit ist ein Gang der Hauptstrahlen a9, 9E,
resp. er, und Ea dargestellt, bei dem die Ebenen a9E, 9Ea zu einander
senkrecht sind.
Nehmen wir auf dem einfallenden Hauptstrahl aO einen Punkt il an,
von dem ein unendlich dünnes Strahlenbündel ausgeht, und bestimmen auf
dem Hauptstrahl «9 im Raum den Punkt A^, so dass:
86 Homocentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
ist, und ziehen wir die Gerade ^A^ bis an den Hauptstrahl 06 senkrecht
zur Ebene QjE7/, also parallel zu QN^ dann entsprechen dem Lichtpunkt A
auf dem einfallenden Hauptstrahl aO der erste und zweite Bildpunkt Aj, Ag
auf dem Hanptstrahl a 6 des im Prisma gebrochenen astigmatischen Strahlen-
bttndels. Bestimmen wir ferner auf dem austretenden Hauptstrahl Ee im
Raum den Punkt 8[|^ so dass
AjH ng\co5fjj/
ist, und ziehen wir die Gerade A^S^ senkrecht zur Ebene Q JE?//, also parallel
zu 90 bis an den Hauptstrahl Ha, dann entsprechen dem Lichtpunkt A
der erste und zweite Bildpunkt 9,, {^ auf dem. Hauptstrahl Ha des aus-
tretenden astigmatischen Strahlenblindels. In dem astigmatischen Strahlen-
hündel, welches in dem Prisma gebrochen wird, geht von dem Punkt Af
ein in der Ebene 6Z0 liegender Strahlenföcher aus, welcher an der in der
Ebene Q^// liegenden Geraden HO gebrochen wird und dessen gebrochene
Strahlen sich im Punkt %^ vereinigen; und ferner geht von dem Punkt Ai
ein in der Ebene 6H^ liegender Strahlenföcher aus, welcher an der
in der Ebene QEn liegenden Geraden H^ gebrochen wird und dessen
gebrochene Strahlen sich in dem Punkt K^ yereinen.
Einer Reihe von Lichtpunkten A,,, auf dem einfallenden Haupt«trahl a 6
entsprechen demnach ähnliche Reihen der Punkte 9(|... und SH^.., auf dem
austretenden Hauptstrahl Ha. Den selbstentsprechenden Punkt 0^ dieser
beiden ähnlichen Punktreihen erhalten wir, wie oben gezeigt wurde« indem
wir durch den Schnittpunkt W der Geraden Ai^^t A^Si und den Punkt 6
die Gerade WQ ziehen, welche den Hauptstrahl Ha im Punkt Hq trifft
Ziehen wir SloAoi parallel 60 und Aoi'^o P&ntllel A^^i, so erhalten wir
auf aQ den Lichtpunkt ^, dem der homocentrische Bildpunkt %^ ent-
spricht. Hiernach ergiebt sich der Satz:
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch ein Prisma giebt
es auf jedem schräg einfallenden Hauptstrahl, dessen im
Prisma gebrochener Hauptstrahl einer Mantellinie derEegel-
fläche Ql parallel ist, einen einzigen Lichtpunkt, dem ein-
homocentrischer Bildpunkt auf dem austretenden Hauptstrahl
entspricht.
Hierbei ist aber zu beachten, dass die Eegelfläche 9£ nur soweit
physikalisch zur Geltung kommt; als einem Hauptstrahl 6H ein einfallender
und ein austretender Hauptstrahl entspricht
Nehmen wir in Figur 13 beispielsweise ein Glasprisma mit dem brechenden
3
Winkel von 45^ an , umgeben von Luft , dann ist n^ = n^ ea ^* Für diesen
Von Dr. L. Burmesteb. 87
Fall sind zu den Punkten H... des Kreises | die ensprecbenden Pnnkte Ha ••>
wie vorhin angegeben warde, constrairt. Durch die Punkte Ea*.* erhalten
wir eine Cur^e 1« , die dem Kreise | entspricht Von diesem Kreise kommen
aber nur die beiden zu ON symmetrisch liegenden Bogenstücke H'Z^,
E'E^ physikalisch zur Geltung; denn den Hauptstrahlen 6Z', 65^ ent-
sprechen die einfallenden Hauptstrahlen £l6, Ha 6, die in der Ebene QJEj
liegen, und den Hauptstrahlen 6H^ 6H^ entsprechen austretende Haupt-
strahlen , die in der Ebene fl Ejr liegen. Demnach kommen in diesem Falle
von der Cnrve g« nur die beiden Stücke E.n^i ^^ly welche jenen Bogen-
stücken entsprechen, in Betracht. Mit Beachtung dieser eventnelleii Begrenzung
entspricht der Kegelfläche 9£ eine Kegelfiäche 6£a. Auf jedem einfallenden
Hauptstrahl a6, der einer Mantellinie der so begrenzten Kegelfl&che 6$a
parallel ist, giebt es einen Lichtpunkt Aq^ dem ein homocentrischer Bild-
punkt So entspricht.
Nehmen wir ein Bündel von einfallenden Hauptstrahlen an, die zu
einer Mantellinie der eventaell so begrenzten KegelflSche 6 £a parallel sind,
dann liegen die auf diesen Hauptstrahlen befindlichen Lichtpunkte, denen
homocentrische Bildpunkte entsprechen, in einer durch die brechende Kante Q
gehenden Ebene Qg^, und ebenso liegen auch diese homocentrischen Bild-
punkte in einer durch die brechende Kante Q gehenden Ebene Qgg. Da
einem Bündel paralleler einfallender Hauptstrahlen ein affines Bündel paralleler
austretender Hanptstrahlen entspricht^ so ist das System Gq der Lichtpunkte
in der Ebene Qg^ affin dem System ®o der entsprechenden homocentrischen
Bildpunkte in der Ebene Sl^,
Die Gesammtheit der Lichtpunkte Aq... auf der Kegelfläche 6^« bilden
auf derselben eine Curye T, die wir die räumliche Homocentroide
nennen wollen. Nehmen wir nun einen beliebigen Lichtpunkt Pq an , und
legen wir durch die brechende Kante Q und diesen Lichtpunkt Pq eine
Ebene QPo, welche die räumliche Homocentroide ^ in einem Punkt Aq
schneiden möge, so erhalten wir den einfallenden Hauptstrahl p, der dem
Lichtpunkt Po zugeordnet ist als Parallele m AqQ^ und dem Lichtpunkt Pq
entspricht ein homocentrischer Bildpunkt $0 auf dem austretenden Haupt-
strahl p. Wir bekommen so zu einem räumlichen System 8^ von Licht-
punkten ein entsprechendes räumliches System ®^ von homocentrischen
Bildpunkten. Wenn aber jene Ebene QPq die räumliche Homocentroide in
mehreren Punkten schneidet, so ist das Entsprechen der Systeme i8j^, ®|j
mehrdeutig.
Für einen Lichtpunkt A auf dem einfallenden Hauptstrahl aO ist in
Figur 12 die Strecke !Cj9j die homocentrische Differenz, welche wir noch
rechnerisch bestimmen wollen.
Es ist
AO ^""'KT^J'
A,0
^8 Homooentrische Brechung des Lichtes durch das Prisma.
a,= ^ 1 /co8e,Y a,= ^ 1
ferner '^»- "»V<»»*t/' A,= «,'
A,E = A,e + e= = n^^ie + e= ,
HierDOch ergiebt sich für die homooentrische Differenz
und fttr «,SI, = 0 folgt:
1 _ (S^^h>\
n, .^ 0 V cos f , /
e=
Hieraus kann man die Gleichung für die rttumliche Homocentroide
ableiten; aber die Rechnung ist sehr umständlich.
V. Homooentrioität bei der Brechung der Lichtstrahlen
durch beliebig viele Prismen.
Die homooentrische Brechung der Lichtstrahlen durch beliebig viele
Prismen tritt ein , wenn die brechenden Kanten derselben parallel sind und
der Durchgang der Lichtstrahlen in einer Normalebene erfolgt Der
Allgemeinheit wegen nehmen wir an, dass die Medien an den beiden Seiten
eines jeden Prisma verschieden sind; demnach können die zwischen den
Prismen befindlichen Medien auch als Prismen betrachtet werden. Es bilden
dann die Prismen und die zwischen liegenden Medien eine Reihe von Prismen,
die mit berührenden Seiten an einander stehen.
Wir betrachten in Fignr 14 ^ zunächst nur zwei Prismen Ei Q Ejf^
EmQ'EiVt deren brechenden Kanten Q, Q' parallel sind, und bezeichnen
die Brechungsindices an den Ebenen QEi^ QEjj^ QE/n, QEjr gegen
die Prismen resp. mit n^, 14, fi,, n^. Bei dem ersten Prisma sind fQr
eine angenommene Richtung der parallelen einfallenden Hauptstrahlen
durch die Brechungsindices n|, n, die Hauptstrahlen IQ, AQ, IQ mit den
entsprechenden Punkten Xr , A^ , fi| in bekannter Weise construirt Bei dem
zweiten Prisma ist die Richtung TQ' der einfallenden Hauptstrahlen zu IQ
parallel und es sind in gleicher Weise die Hauptstrahlen tQ', X'Q\ TS'
mit den entsprechenden Punkten L\ A'i» L\ bestimmt.
Ein Oang der Hauptstrahlen a, a, a, o*, a*' ergiebt sich, indem wir
dieselben resp. parallel zu Z, A, l, X\ t ziehen. Nehmen wir nun auf dem
Hauptstrahl a einen beliebigen Lichtpunkt Ä an und ziehen wir die Geraden Ä Ai«
Von Dr. L. Bürmbstbr. 89
AjSli, 9li^) A[9t[ bis an die betre£fenden Hanptstrahlen resp. parallel zu
XrAj, A,2|, Zr'A'i, A\£'|, so erhalten wir dadurch zu dem Lichtpnnkt A
den entsprechenden ersten Bildponkt ^l auf dem zugehörigen austretenden
Hauptstrahl a''. Ziehen wir ferner ^Ag» A^^t ^sAJ, AjSl; bis an die
betreffenden Hauptstrahlen resp. senkrecht auf QjE)/, Q^//, Q'Em^ Q'EiVj
so ergiebt sich zu dem Lichtpunkt A der entsprechende zweite Bildpunkt SlJ
auf dem austretenden Hauptstrahl a*'. In gleicher Weise erhalten wir zu
den Lichtpunkten B^ Cauf den parallel zu a einfallenden Hauptstrahlen b, c
die entsprechenden ersten und zweiten Bildpunkte 93]^, SJ, sowie S][, SJ
auf den austretenden Hauptstrahlen b^ c*'.
Den Lichtpunkten ^jBC im System i8 entsprechen demnach die ersten
Bildpunkte 9{;ä3;@; im System @l und die zweiten Bildpunkte 9l;8;iS:; im
System @;. Diese Systeme 8, @][, &l sind affin. Die Affinittttsachse gj
der Systeme @][, ®J, die durch die drei Paare entsprechender Punkte
^1^1(^1 und 9If iBJ'GJ^ bestimmt sind, ergiebt sich durch die Schnittpunkte
entsprechender Geraden. Dieser Affinitfttsachse gjf, welche die austretenden
Hauptstrahlen in den Punkten %o ^o ^o*« • schneidet, entspricht im System S
die Gerade g^^ welche die einfallenden Hauptstrahlen in den Lichtpunkten
A^^BqCq.., schneidet, zu denen die homocentrische Bildpunkte SlJfSjfSjf...
gehören; und diese beiden Punktreihen sind ähnlich.
Anstatt zu jenen Lichtpunkten B^ C die entsprechenden ersten und
zweiten Bildpunkte zu construiren, erhalten wir einfacher zu den Punkten Q
und 6, wenn wir dieselben als Lichtpunkte im System 8 betrachten, die
entsprechenden Lichtpunktpaare O^^OJ^, StJ'StJf. Wir ziehen, weil fi auf dem
in das zweite Prisma einfallenden Hauptstrahl I liegt, die Gerade QQ* parallel
i'A'i bis an X^ und QjOf parallel A'i£\ bis an l*'; ferner QQJ, QjOJ resp.
senkrecht Q'^///, Q'Err» Zu dem Punkt 6, in welchem der Hauptstrahl a
das erste Prisma trifft, erhalten wir die entsprechenden Bildpunkte, weil
in 6 drei entsprechende Punkte T, T], Tg zusammenfallen, indem wir
ÖSC,, a:,Tj, TflJ resp. parallel A,S,, X'A'j, A',r, und 61,, 5t, T;, Tjf IJ
resp. senkrecht fiJBJ//, Q'Em, Q'Ejv ziehen. Die affinen Systeme 8^ @i , @8
sind dann auch durch die entsprechenden Punkte ^Qe, V,![D\Z\, äiJOJS:?
bestimmt, und die Affinitfttsachse 9^ der Systeme @|[, @| ergiebt sich durch
die Schnittpunkte zweier Paare entsprechender Geraden. Es schneiden sich die
entsprechenden Geraden Stf Df, Z%£>^ im Punkt UJ[ und die entsprechenden
Geraden ^^O^, aj^Oj' im Punkt ^Jf auf der Affinitfttsachse. Nehmen wir
fOr die parallelen einfallenden Hauptstrahlen a, h^ c eine andere Richtung,
dann entspricht derselben eine andere Affinitfttsachse gjf und eine andere
Gerade g^.
Sind nun statt der zwei betrachteten Prismen mehrere Prismen gegeben,
deren brechenden Kanten parallel sind, so erhalten wir bei einer Anzahl
von V Prismen durch die weitere Fortsetzung der für jene zwei Prismen
ausgeführten Construction in analoger Weise die Affinitfttsachse g^ der beiden
90 Homocentrische Brechung d. Lichtes durch d. Prisma. Von Dr. L. Bubmbster.
letzten entsprechenden affinen Systeme ®}^, @jf und die entsprechende
Gerade gQ in dem affinen System S der Lichtpunkte. Die Gerade g^ ent-
hftlt die auf den parallelen einfallenden Hauptstrahlen liegende Lichtpunkte,
denen homocentrische Hildpankte entsprechen, die sich in der Affinitftts-
achse gj[ befinden. Hiernach ergiebt sich der Satz:
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch beliebig yiele
Prismen, deren brechende Kanten parallel sind, liegen die
auf parallelen, in einer Normalebene einfallenden Haupt-
strahlen befindlichen Lichtpunkte, denen homocentrische
Bildpunkte entsprechen, in einer Geraden jir^; und diese homo-
centrischen Bildpunkte auf den letzten parallelen austreten-
den Hauptstrahlen liegen in einer entsprechenden Geraden gj[.
Einer zu g^ Parallelen im System 8 entsprechen in den Systemen &l, @|
Parallele zu gj[; demnach entsprechen den Lichtpunkten auf einer zu g^
Parallelen gleiche homocentrische Differenzen.
Wenn insbesondere die Affinitätsachse gj[ zu den letzten ausiretenden
Hauptstrahlen parallel ist, dann entspricht derselben im System 8 eine
Gerade g^j die parallel zu den einfallenden Hanptstrahlen ist Liegt die
Geradeso ^^i ^^^ ^^^f ^^^ einen einfallenden Hauptstrahl betrachtet, einw
durch alle Prismen gehenden Strahlengang liefert, dann entspricht in diesem
Falle jedem Lichtpunkt auf dem einfallenden Hauptstrahl g^ ein homocentrischer
Bildpunkt auf dem zugehörigen austretenden Hauptstrahl q^. Auf allen
anderen zu gQ parallelen einfallenden Hanptstrahlen giebt es keinen im End-
lichen befindlichen Lichtpunkt, dem ein homocentrischer Bildpunkt entspricht.
In den affinen Systemen Q^^ @| ist dann auf jedem austretenden Haupt-
strahl der Abstand zweier entsprechender Punkte constant; die homo-
centrische Differenz ist demnach in diesem Falle unabhängig von der Lage
des Lichtpunktes auf dem einfallenden Hauptstrahl und proportional dem
Abstände dieses Hauptstrahles von dem Hauptstrahl g^. Wenn die Prismen
sich in demselben Medium befinden, tritt dieser Fall beim Minimum der
Ablenkung ein, wie Herr A. Gleichen a. a. 0. bewiesen hat.
Die im obigen Satze enthaltenen Beziehungen sind in jeder Normal-
ebene vorhanden und demnach liegen die Lichtpunkte auf allen parallelen
einfallenden Hanptstrahlen, die zu einer Normalebene parallel sind, in
einer Ebene g^ und die zugehörigen homocentrischen Bildpunkte in einer
Ebene gj^. Das System G^ der Lichtpunkte in der Ebene g^ und System @o
der entsprechenden homocentrischen Bildpnnkte in der Ebene (jjf sind affin,
weil dem Bündel der parallelen einfallenden Hauptstrahlen das Bttndel der
parallelen austretenden Hauptstrahlen affin entspricht
Die Untersuchung der homocentrischen Brechung durch die Linse, bei
der zweien Lichtpunkten eines einfallenden, die Linsenachse schneidenden
Hauptstrahles homocentrische Bildpnnkte entsprechen, wollen wir in einer
anderen Abhandlung mittheilen.
VI.
Ueber die Wendepole einer kinematischen Kette.
Von
Prof. F. WiTTENBAÜER
In Otab.
HierEU Taf. IV Fig. 1—12.
Für das Stadinm der gegenseitigen Bewegungen der Glieder einer
ebenen kinematisohen Kette erscheint es von Bedeutung, Constructionen
für die Wendepole dieser Bewegungen zu kennen. Denn neben den Dreh-
polen der momentanen Bewegung spielen die genannten Punkte eine wich-
tige Bolle. Zunächst in rein geometrischer Hinsicht» denn die Eenntniss
des Wendepoles führt bekanntlich mit Hilfe einer sehr einfachen Con-
stmction zu den Erttmmungsmittelpnnkten den Bahnen, welche die Punkte
des einen Gliedes in Bezug auf ein anderes beschreiben.
In zweiter Linie aber dient der Wendepol mit zur Bestimmung des
Beschleunigungszustandes, in welchem sich zwei Glieder gegen einander be-
finden; denn der Kreis, der über der Verbindungslinie des Drehpoles mit
dem Wendepol als Durchmesser gezogen wird, enthält bereits den Be-
schleunigungspol jener relativen Bewegung.
Während es Aufgabe der vorliegenden Arbeit ist, die Construction
der Wendepole einer kinematischen Kette zu lehren, soll die Anwendung
auf die Ermittelung der Beschleunigungspole einer Kette in einer späteren
Abhandlung gezeigt werden.
I. In meiner Untersuchung über: „Die Wendepole der absoluten und
der relativen Bewegung** * habe ich die Construction des Wendepoles ftlr die
resnltirende aus zwei Bewegungen eines ebenen Systems, der führenden und
der geführten Bewegung, gelehrt. Hierbei wurde zunächst die Annahme ge-
macht, dass die Winkelgeschwindigkeiten beider Bewegungen in den beiden
auf einander folgenden Zeitelementen unveränderlich bleiben. Des besseren
Verständnisses halber müge die dort mit Hilfe des barycentrischen Calculs
begründete Construction nochmals kurz erwähnt werden.
* Zeitschrift für Mathematik und Physik, 86. Bd.
92 üeber die Wendepole einer kinematischen Kette.
Bezeichnen O^^O^^, <^i8<^ss ^^^ Drehpole and die Wendepole der
führenden Bewegung des Sjstemes 2 in dem (als fest zu denkenden) System 1,
beziehungsweise der geführten Bewegung des Sjstemes 3 im Systeme 2, so
ergiebt sich unter Zugrundelegung obiger Voraussetzung der resultirende
Wendepol J^^^ aus dem resultirenden Drehpole Ojj, durch folgende einfache
Construction (Taf. IV, Fig. 1):
Man ziehe die Linien O^^J^^^ ^J8«^i2> ^13 «^«s» fer^ei^ Ojg-BT || O,,/,,,
0,5X^11 OgjJjg, iJtf II O^jOgg, JVJöjjlliJT, so giebt der Schnitt der Linien
MK und NJ^^^ den gesuchten Wendepol tP^y
Kehrt man die beiden gegebenen Bewegungen um , so ändern zwar
die Drehpole ihre Lage nicht, die Wendepole J^Jf^ hingegen gehen über
in JiiJ^ij wobei Oi« == Ogi die Strecke J^J^ und O^^^O^ die Strecke
<^88*^88 ^fl'lbirt. Fuhrt man fUr diese umgekehrten Bewegungen die Con-
struction des Wendepoles wieder durch (Fig. 2), wobei jetzt J32 den Wende-
pol der führenden y J^i jenen der geführten Bewegung bedeutet, so ergiebt
sich der Wendepol J^g^ des Sjstemes 1 in Bezug auf das als fest gedachte
Sjstem 3. Da diese Bewegung die ümkehrung der vorhin resultirenden
ist, so muss der Punkt 0,3—03^ die Strecke J^i^J^^i halbiren.
Man beachte also folgende Regel: Aus dem Wendepol Jmn der führenden
und jenem J„p der geführten Bewegung liefert die angegebene Construction
den Wendepol J^mp»
(3eht die Bewegung des führenden Sjstemes in eine durch zwei Zeit-
elemente dauernde Rotation um denselben Drehpol über, so fallen für diese
Bewegung Drehpol und Wendepol zusammen und die Construction ver-
einfacht sich wesentlich (Fig. 3). Man ziehe dann O^s^^is* mache
so ergiebt der Schnitt von Of^Ji^ mit O^^J^iz den gesuchten Wende-
pol J«,3.
Sind die Bewegungen beider Sjsteme dauernde Rotationen, so fallen
Ji2<^s8 beziehungsweise mit O^^O^^ zusammen; man verbinde dann (Fig. 4}
0^3 O23 0^3 mit einem beliebigen Punkt JET, ziehe
0.,i II 0„2C, LJOJIKO^,
SO giebt der Schnitt der Linien LJ^^ und O13O33 den gesuchten Wende-
pol J«,3.
Für die ümkehrung der Bewegungen vertauschen die führende und
die geführte Bewegung ihre Rollen; die Construction von «7^31 erfordert
dann die Linien 0,,L' \\0„K, L'J^,,\\KO,,.
2. Allerdings sind alle diese Constructionen , wenige Ausnahmen ab-
gerechnet, nur für den Fall richtig, dass die Winkelgeschwindigkeiten
beider Sjsteme während beider Zeitelemente keine Aenderung erleiden.
Allein ich habe in der früher erwähnten Abhandlung bereits angegeben.
Von Pr0f.|P. WiTTENBAUBB. 93
wie man bei beliebiger Veränderlichkeit der Winkelgeschwindigkeiten den
Wendepol J^^ findet, wenn derjenige J^,, für nn veränderliche Winkel-
geschwindigkeiten bereits constrnirt ist. Die beiden Wendepole J^^ and J^j,
liegen nämlich in einer Senkrechten anf die Polgerade O^^O^ und zwar
sind sie von einander am die Strecke
ö'
13
entfernt Hierin bedeutet w^^ die resoltirende Winkelgeschwindigkeit , k^^ die
resultirende Winkelbeschlennigung und h die Entfernung der Punkte 0^^
und ^19, wobei B^^ durch den barycentrischen Ausdruck
gegeben ist. ^» • ^w ** *» • ^12 + *w ^ts
Von grOsster Wichtigkeit für yorliegenden Zweck ist nun der aus
obiger Bemerkung flies^ende Satz:
Alle Wendepole Jig, die zu fünf Punkten O^^O^O^^^ ^i%^tz
gehören^ liegen in einer zur Polgeraden senkrechten Geraden.
Denn, ohne die Strecke ß zu construiren, wird es nach obigem Satze
in den meisten Fällen, wo es sich um die Bewegungen der Qlieder einer
kinematischen Kette handelt, möglich sein, zwei Gerade anzugeben, in
denen der resultirende Wendepol liegen muss. Hierbei ist nach folgendem
Schema zu yerfahren:
Sind Yon vier bewegten Systemen mnpq ausser den Drehpolen
noch die yier Wendepole JmnJnpJmqJpq gegeben, so findet man den
fünften Wendepol Jmp nach demselben Schema, das heisst, es ist
JtnnJnp
T T ^ «/m^.
vmq ^qp
Man sucht nämlich aus JmnJnp Qftch Construction Figur 1 den Punkt
c7^m;,und fällt von diesem Punkte eine Senkrechte auf die Polgerade OmnPnpy
sodann führt man dasselbe mit den Wendepolen JmqJqp in Bezug auf die
Polgerade O^qOqp durch; wo die beiden Senkrechten sich schneiden, be-
findet sich der resultirende Wendepol Jmp»
3. Eine Anwendung dieses Vorganges auf die Wendepole des Eurbel-
Tier^kes wird ihn völlig klar machen.
Behufs Construction des Wendepoles Ji^ des Gliedes 3 in Bezug auf
das als ruhend gedachte Glied l (Fig. ö) construire man auf den Pol-
geraden O12O28 und OJ4O43 nach Figur 4 die Punkte J^,3, wobei der
Punkt K im Schnitte der Glieder 1 und 3 gewählt wurde. Man ziehe also
die Linien 0,,L\\0,,0,„ LJ^,,\\KO,,
und errichte in den beiden Punkten J^^, die Senkrechten auf die Pol-
94 üeber die Wendepole einer kinematischen Kette.
geraden 0^2 O2S °°^ ^14^43* ^^^ Schnitt beider Senkrechten ist der ge-
suchte Wendepol J^^,*
Figar 6 zeigt die Construction des Wendepoles J^^ für die umgekehrte
Bewegung, das heisst bei festgehaltenem Gliede 3. Es muss wieder Oj,
in der Mitte zwischen J,, und J^^ liegen.
In ebenso einfacher Weise sind die Wendepole der meisten kinematischen
Ketten zu bestimmen und zwar lässt sich im Allgemeinen sagen , dass oben
erwtthntes Verfahren stets in allen jenen Fällen zur Kenntniss der Wende-
pole führen wird» in welchen sich die Configuration der Drehpole durch
einfaches Ziehen von Polgeraden ergiebt. Es kann fGLr diese Constrnctionen
sogar dasselbe Zifferschema dienen, welches zur Ermittelung der Drehpole
benützt wird, nur muss hier auf die Reihenfolge der Ziffern sorgfältig
geachtet werden, da die Yertauschung derselben eine Umkehrung der
Bewegung bedeutet
Um z. B. in der von Burmester als Watt'scher Mechanismus be-
zeichneten Kette (Fig. 7) den Wendepol J^^ zu construiren, ermittle man
zunächst durch Ziehen von Polgeraden den Drehpol Og^, sodann nach
Figur 5 die Wendepole J^^ und J^ und hieraus nach dem Schema
T r ^ *>
«'64 «'41
mit Benützung der Constrnctionen Figur 1 und 3 den Wendepol «Tg,.
Hierbei sind die Wendepole J^ und J^^ identisch mit den Drehpolen O53
und O4,.
Behufs Ermittelung des Wendepoles J^^ in der durch Figur 8 dar-
gestellten Kette suche man zunächst nach Figur 5 die Wendepole J^^ und
(7*23; dann liefert das Schema
«^12 «^88 _
T r ^ *'»8
«'14«' 43
den gesuchten Wendepol J^g im Schnitt der durch die Punkte J^j, auf die
zugehörigen Polgeraden O^^O^^ ^14^43 errichteten Senkrechten. Hierbei
sind wieder die Gonstructionen Figur 1 und 3 zu verwenden.
4. In jenen Fällen^ in welchen sich die Polconfiguration nicht durch
einfaches Ziehen von Polgeraden erreichen lässt, versagt auch die so ein-
fache Construction der Wendepole zum Theile, das heisst', sie liefert ge-
wöhnlich nur eine Gerade, in der der gesuchte Wendepol liegt.
Hier muss nnn wenigstens ein Wendepol mit Hilfe anderer Mittel
gefunden werden, die jetzt besprochen werden sollen. Die Mittheilong
derselben giebt Gelegenheit, einige interessante Eigenschaften der Wende -
pole zu erwähnen.
* VergLL. Burmester: „Lehrbuch der Kinemalik'S I. Bd. S. 1S3.
Von Prof. P. WiTTENBAUEB. 95
Wir betrachten wieder drei ebene Systeme: das als rnhend gedachte
System 1, das fOhrende 2 and das yon diesem geführte 3. Oi^O^O^^ seien
die Drehpole, JitJnJ^i$ die zugehörigen Wendepole, letzterer nach Pigar 1
constrnirt, also ohne Berücksichtigung der Winkelbeschlennignngen. Dieser
Wendepol «7^,, hat, wie ich in der oben erwfthntei^ Abhandlung gezeigt
habe, den barycentrischen Ausdruck
worin (Ofi^n^n ^^^ Winkelgeschwindigkeiten der drei Systeme um die
betreffenden Drehpole bedeuten. Es ist also /®,3 der Schwerpunkt der
drei Punkte «7*1 , «7,3 O^s, wenn in ihnen die Gewichte go',,, co',, und2a),2»s,
angebracht werden.
Kennt man nun eine Gerade t|3 (Pig. 9), auf welcher der Wendepol «7*13
liegt, so gewinnt man diesen durch Ziehen der Geraden J^^J^i^ senkrecht
zu 0„0,3.
YerSndem wir jetzt die Lage des Wendepoles J,,, wfthrend «7,3 und
0^3 dieselben bleiben , so yerftndert auch J^^^ seine Lage und zwar nach den
Gesetzen des Schwerpunktes in ähnlicher Weise wie J,,. Beschreibt ins-
besondere /jg eine Gerade ii,, so durchschreitet J^|3 eine parallele Gerade t^|3
in Shnlichor Punktreihe. Zwei entsprechende Punkte J^^ und «7^,3 liegen
auf demselben Strahl eines Bttschels, dessen Scheitel 8 auf der Linie 0^3/23
liegt nnd den barycentrischen Ausdruck hat:
8 = 0)43. 7,3 + 20)13.033;
denn der oben angeführte Ausdruck für cT^jg kann auch geschrieben werden:
As ^ ®*i« «^1« + (o>*«3 + 2 »12 »ts) • S.
Da die entsprechenden Punkte 17*13 und t7^j3 in Strahlen 0]3 senkrecht
zu O13O13 liegen, so durchschreitet auch /13 gleichzeitig eine Punktreihe
auf f|3, welche den von J^jj und J^^ beschriebenen ähnlich ist
Sucht man nun umgekehrt aus «7,3 und «7*33 den Wendepol J^^ der
resultirenden Bewegung, so findet man durch Gonstruction nach Pigur l
zunächst den Punkt J^^^^ der mit J^^ in einer Senkrechten a^^ auf der
Polgeraden liegen muss.
«7^,3 hat den barycentrischen Ausdruck:
Beschreibt somit J^^ eine Gerade »13, so durchschreitet J^j, die parallele
Gerade t^i, in ähnlicher Punktreihe. Da
J3, =s 2 Oj3 — t728
ist, so kann obiger Ausdruck auch geschrieben werden:
worin 8 denselben Ausdruck hat wie oben.
96 Ueber die Wendepole einer kinematischen Kette.
Zwei entsprechende Punkte J^i, and J^^ liegen Somit auf demselben
Strahl eines Büschels» das seinen Scheitel wieder in 8 hat.
Hieraus folgt nun eine einfache Construction des WendepoleS| wenn
der Punkt 8 und von den yier Geraden ijsi^isht^^is ^^^^ bekannt sind. Um
z. B. zu Jj2 den zugehörigen Punkt Jj, zu bestimmen , ziehe man den
Strahl fi^cTis, der die Gerade i^,, in J^j, schneidet, und durch diesen Punkt
den Strahl o^^ bis zum Schnitte J*,, mit i^y Oder man zieht durch J^^ den
Strahl a^o bis zum Schnitte cT^i, mit i^^, ; sodann schneidet der Strahl SJ^^^
die Gerade i^^ in J^^
Von Wichtigkeit ist femer die Bemerkung , dass die yon den Strahlen
019 und tf|3 gebildeten ParallelbtLschel ähnlich sind. Ihr im Endlichen
liegender Doppelstrahl geht durch 8f er schneidet die Geraden i^^ und t^s
in zwei entsprechenden Wendepolen J^^ und J^^
Lässt man statt J^^ den Wendepol J^^ der geführten Bewegung seinen
Ort auf einer Geraden ig, verändern, so gelangt man auf demselben Wege
zu ganz analogen Besultaten. Nur liegt jetzt der Scheitel 8^ der beiden
Strahlenbüschel nicht mehr auf einem Durchmesser des Wendekreises, wie
früher, sondern auf der Geraden O^Jy^^ und hat den Ausdruck:
5. Die Besultate des vorigen Artikels führen nun zur Lösung einer
Aufgabe, welche für die Construction der Wendepole von principieller
Wichtigkeit ist.
Es seien (Fig. 10) von vier Systemen 1, 2, 3, 4 sftmmüiche Drehpole
und die Wendepole der ersten drei Systeme Ji^J^%Jii gegeben; von den
Wendepolen des vierten Systemes 741/42 *^i% ^^^ ^^^ bekannt, dass sie
beziehungsweise auf den Geraden «41 «42^43 liegen. Man suche diese Wendepole.
Um einen derselben, z. B. J^^^ zu ermitteln, nehme man auf «42 zunächst
einen beliebigen Punkt W^ an, betrachte ihn als Wendepol und bestimme
mit Hilfe der Punkte O42 O21 ^41» ^A%^%i ^°^ ^^^ Geraden i^y den auf derselben
liegenden Wendepol W^i\ sodann suche man auf dieselbe Weise mit Hilfe
der Punkte O4, O13O43, W^y^J^^ und der Geraden »43 den auf dieser liegenden
Wendepol W^\ endlich aus O43O32O42, W^^J^i^ und der Geraden {42 den
auf ihr liegenden Wendepol {W^,^.
Nun nehme man auf »43 einen zweiten beliebigen Punkt Tr'42 an und
ermittle in analoger Weise auf den Geraden «41^43 «42 die entsprechenden
Punkte Tr«Tr'«(TF'„).
Nach Artikel 4 sind die auf den Geraden i liegenden Punktreihen
Tr43Tf'42, W^JiT^y, Tr43Tr'43. {Wa){W'^ ähnlich. Die erste und letzte
dieser Punktreihen liegen auf derselben Geraden »42*, ihr im Endlichen ge-
legener Doppelpunkt wird der gesuchte Wendepol J^ sein.
Die Parallelstrahlenbüschel a, welche die beiden ähnlichen Punktreihen
anf «43 projiciren, schneiden sich in einer Geraden ;r, welche durch den
Von Prof. F. Wittbnbaubr. 97
Doppelpunkt geht und somit in ihrem Schnitte mit i^g den Wendepol J^
bestimmt.
Da die Punktreihen J^iW^^W^^, JuT^axW^i, J4sW^W\^ ähnlich
sind, 80 ergeben sich jetzt die beiden anderen Wendepole (7*41 /^s in ein-
fachster Weise.
Die hier auszuführenden Constructionen sind einfach und übersichtlich ;
sie können durch die Benützung der im vorigen Artikel gewonnenen
Resultate, insbesondere der Eigenschaften des Punktes 8, in yortheilhafter
Weise abgekürzt werden.
6. Die soeben behandelte Aufgabe gestaltet sich viel einfacher, wenn
von den drei Systemen 1, 2, 3 zwei Paare derselben dauernde Rotationen
gegen einander ausführen. Es würde z. B. (Fig. 11) unter Beibehaltung
der sonstigen Verhältnisse J^^ mit O^^j Jgs mit 0^ zusammenfallen.
Errichtet man jetzt in 0^^ eine Senkrechte auf O^^O^^ so schneidet
dieselbe die Geraden i4i»4s bereits in entsprechenden Punkten, da der
Punkt S (Artikel 4) hier mit 0^^ zusammenfällt
Bei der Construction yon W^ aus W^^ ergiebt sich zunächst nach
Figur 1 T7^4s, sodann durch Ziehen der Linie TP^jTT^JL O^jO^j bis zum
Schnitte mit i^^ der Punkt W^^, Mit Hilfe dieses Punktes wird hierauf
der auf i^^ gelegö^ö Punkt (W^^) construirt.
Eine zweite Gruppe entsprechender Punkte W kann zweckmässig in
folgender Weise ermittelt werden:
Verbindet man W^ mit W^^^^ so schneidet diese Gerade den Wende-
durchmesser Oi8<^i8 ^° ^ (Artikel 4). Die Senkrechte durch S auf O^^O^
schneidet die Geraden i^^i^ in entsprechenden Punkten W'^^W^^] aus diesen
wurden dann mit Benützung der Figur 3 die Punkte W'4^ und {W\f)
bestimmt.
Der Schnitt der auf diese Weise gefundenen vier Strahlen tf, die
Gerade n, schneidet »42 ^^ Wendepol J'4,.
Die beiden anderen Wendepole J'4iJ'48 können in zweifacher Weise
gefunden werden : entweder durch üebertragen des Aehnlichkeitsverhältnisaes
auf die Geraden «4,143 oder durch Benützung der Construction Figur 3.
7. Der soeben beschriebene Vorgang kann für die Bestimmung der Wende-
pole mancher kinematischen Kette verwendet werden, für welche die Anfangs
erwähnten einfachen Constructionen nicht oder nur zum Theile anwendbar sind.
Hierher gehört z. B. die yon Burmester als Dreispannmechanismus
bezeichnete kinematische Kette (Figur 12). um hier die Wendepole des
Sjstemes 4 in Bezug auf die Systeme 1, 2, 3 zu ermitteln, bestimme
man zunächst nach dem von Burmester angegebenen Verfahren* die
Drehpole O41O42O43, sodann nach Figur 5 den Wendepol t^^s; die Wende-
* Vergl. Burmester: „Lehrbuch der Kinematik", I. Bd. 8. 466.
ZaitMlizift f. Mathematik n. Physik. 40. Jahrg. 1896. S. Heft. 7
98 üeber d. Wendepole einer kinematischen Kette. Von Prof. F. Wittenbaübr.
pole J22 ^^^ «^ss ^^^^^T^ i°it den Drehpolen 0^^ und 0^ zusammen. Die
Geraden Uiii^iis erhftlt man mit Constraction (Fig. 4) aus:
^AsOßiO^i »41,
^46^68^42 *42i
^47073043 »48.
Sodann kann die im vorigen Artikel beschriebene Constmctioa der
Wendepole «^41 ^42 «^43 durchgeführt werden.
Ausser den zehn gegebenen Drehpolen, die zugleich Wendepole sind,
den Wendepolen /j 3*^28« <leren Construction Figur 5 lehrt, und endlich den
soeben gefundenen Wendepolen •/4i*/4a/js giebt es in dieser Kette noch 13
unbekannte Wendepole (von den Wendepolen der umgekehrten Bewegung
abgesehen). Die Bestimmung derselben kann entweder direct mit Hilfe
des oben geschilderten Vorganges oder aus den bereits bekannten Wende-
polen geschehen, um z. B. den Wendepol ^51 zu finden, suche man die
Drehpole O^^O^O^y die Wendepole J^^ und /jg, sodann die Geraden 159^53 %g
nach dem Schema: n n n
^61 ^12 ^02 *62 »
^61 ^13 ^63 » As • • • *68 >
^61 0,8 Oßg «58
und führe nun wieder die Constraction des vorigen Artikels durch.
Oder auf indirectem Wege: man ermittle die Linien i^^ und i'^^ nach
dem Schema: n n n
^64 Ö48 O52, ^42. . . 152.
Ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Wendepol Z^,.
8. C. Bodenberg hat in einer ausgezeichneten Arbeit: „Die Be-
stimmung der quadratischen Verwandtschaft der Krümmungs- Mittelpunkte
zweier Glieder einer ebenen kinematischen Kette''* gelehrt. Obwohl unsere
Arbeiten von völlig verschiedenen Gesichtspunkten ausgehen und auch die
Methode der Untersuchung eine andere ist, so dürften die Resultate beider
doch geeignet sein, sich zu ergänzen. Man kann mit Hilfe der bekannten
quadratischen Verwandtschaft der Krümmungs - Mittelpunkte ebenso leicht
die Wendepole bestimmen, als man umgekehrt aus den Wendepolen die
quadratische Verwandtschaft ermitteln kann. Welche Methode rascher znm
Ziele fahrt, lässt sich nicht allgemein entscheiden. So ist z. B. für die in
Figur 8 gezeichnete Kette der Wendepol einfacher zu finden wie die qua-
dratische Verwandtschaft nach Rodenberg's Methode; beim Dreispann-
mechanismus (Figur 12) dürfte das Gegentheil eintreten.
* Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur -Vereins zu Hannover, 1890.
VII.
Constructionen der Curven dritter Ordnung aus
neun gegebenen Punkten und Construction des
neunten Punktes zu acht Orundpunkten eines
Büschels von Curven dritter Ordnung.
Von
Dr. Chr. Beyel
in Zdriob.
Hierzu Tafel V Figur 1—8.
Wir haben gezeigt*, wie zwei bestimmte Reciprocitäten (Nullsjsteme)
der Ebene zu einer Curve dritter Ordnung führen. Die Curve erscheint
gleichsam als Leitlinie dieser Reciprocitäten. Damit tritt ihre Darstellung
in Analogie mit derjenigen der Kegelschnitte aus dem Polarsjsteme.
Wir wollen nun beweisen, dass jede beliebige Curve dritter Ordnung
durch zwei Nullsjsteme dargestellt werden kann. Der Beweis ist erbracht,
wenn wir neun in allgemeiner Lage befindliche Puukte einer Curve dritter
Ordnung geben und aus ihnen zwei Reciprocitäten ableiten, durch welche
sich diese Curve hervorbringen lässt.
1. XTZy AB^ A\Bi^ M, N seien die neun in allgemeiner Lage
gegebenen Punkte der Curve dritter Ordnung C^. Wir wählen zwei von
ihnen — AB — als Grundpunkte der einen Reciprocität und zwei weitere
— AiBi — als Grundpunkte der anderen. XYZ sei ein Punktetripel der
zwei Reciprocitäten. Legen wir dann durch AB XYZ einen Kegelschnitt K^
und durch Ai Bx X YZ einen Kegelschnitt K^^ > so treffen sich diese Kegel-
schnitte in einem vierten Punkte P, zu dem das Tripel XYZ zugeordnet
ist.** Der Kegelschnitt K^ schneidet C in einem sechsten Punkte C
K^ trifft C^ in einem sechsten Punkte C7,. Diese zwei Puukte C7C7, bilden
resp. mit AB^ AxBx die Grundpunktdreiecke der zwei Reciprocitäten
(^J9CA)(J,B,C,A|). Wir suchen CC,.
* In der Abhandlung: „Darstellung der Curven dritter Ordnung und Klasse
ans zwei Reciprocitäten." S c hl ö milch, Zeitschrift fQr Mathematik und Physik
Bd. 88, 1893, S. 65 flg. An jene Abhandlung schliesst sich die folgende als 0 au.
♦* Loco citato pag. 68.
7*
100 CoDstructionen d. Carven dritter Ordnung aus nenn gegeb. Punkten etc.
Zu diesem Zwecke gehen wir von einem- beliebigen Punkte H auf K^
aus. Dieser bestimmt im Allgemeinen mit den acht Punkten X TZ^ Ä B^
A^B^^ M eine Curve dritter Ordnung C^m* Sie lässt sich durch zwei
Reciprocitftten Bmj -Rm i darstellen , in denen das Tripel X TZ dem Punkte P
zugeordnet ist. ABH sind die drei Grundpunkte der einen BeciprocitSt.
AiBi sind zwei Grundpunkte der anderen. Der dritte H\m liegt auf K^^
und wird durch folgenden Gedankengang gefunden:
Wir suchen in der ersten Reciprocität zu M die entsprechende Linie m.
Wir benutzen dazu den Kegelschnitt durch AB HM und X Er
schneidet aus der Geraden XP — sie sei mit p bezeichnet — einen Punkt 8m
von m.* Construiren wir jetzt auf allen Geraden durch 8m die entsprechenden
Punkte in der Beciprocität i^mi» so liegen diese Punkte auf einem Kegel-
schnitt durch AiB^Hxm and 8m' Nun entsprechen die Geraden m, j) den
resp. Punkten Jlf, X in beiden Beciprocitäten BmBmi* weil die Punkte
My X auf C^m liegen. Daraus folgt, dass der zuletzt erwähnte Kegel-
schnitt auch durch M und X geht. Folglich ist er durch A^B^Sm^ und
X bestimmt und schneidet aus K*^ den Punkt Hxm-
Lassen wir an Stelle von M den Punkt N treten, so wird durch
XTZy ABHy AiBiN eine Curve C\ festgelegt. Auch diese lässt sich
durch zwei Beciprocitäten BnBni darstellen. Die eine hat ^BH zu Grund-
punkten; die andere A^Bi und einen auf K\ liegenden Punkt Hm. Zu
seiner Construction legen wir durch ABHX und N einen Kegelschnitt.
Er schneide p zum zweiten Male in 8if Dann geht dxiToh SiiXA^B^N ein
Kegelschnitt, der K\ in Hin trifft.
Durchläuft nun der Punkt H den Kegelschnitt K^, so gehört zu jeder
Lage von H ein Punkt Htm und ein Punkt Hm. Diese Punkte bilden
zwei projectivische Reihen auf E\. P ist ein Doppelpunkt der Beihen«
Der andere ist der gesuchte Grundpunkt C^ der Beciprocität (J|P,(7|A|).
In ihm schneiden sich nämlich zwei Curven dritter Ordnung (7^», C«, von
denen wir nachweisen können, dass sie zusammenfallen. Beide Curven
haben neun Punkte gemeinsam. Diese sind XFZ, A^B^C^, AB und ein
Punkt C auf K^. Es wäre nun denkbar, dass C der neunte Punkt sei,
durch den alle Curven dritter Ordnung gehen müssen, welche die acht
Punkte XTZj ABj A^B^Ci gemeinsam haben. Von diesen acht Punkten
liegen aber sechs — X YZA^ B^ C^ — auf einem Kegelschnitt Also musa
nach einem bekannten Satze aus der Theorie der Curven dritter Ordnung der
neunte Punkt auf der Verbindungslinie AB der zwei übrigen Punkte liegen.
Er kann also nicht C sein. In analoger Weise schliessen wir, dass alle
Curven, welche durch die acht Punkte XYZABCAiBi gehen, einen
neunten Punkt auf der Geraden ^ii^i gemeinsam haben. Folglich kann
(7| dieser neunte Punkt nicht sein.
• L. c. pag. 66.
Von Dr. Chr. Bbtbl. 101
Damit ist bewiesen, dass durch die Punkte XTZ^ A^B^C^^ ABC
nur eine Curve dritter Ordnung geht und diese muss mit der gegebenen
Cnrye C identisch sein. Haben wir Ci als Doppelpunkt der erwähnten
ProjectiYitftt gefunden , so legen wir durch A^B^C^X und M (oder N)
einen Kegelschnitt und suchen seinen zweiten Schnittpunkt Sm{Si^ mit p.
Durch ihn, ABX und M (resp. ^) geht ein Kegelschnitt, welcher aus
K^ den Punkt C schneidet.
2. Die Durchführung der Construction giebt uns den ezacten
Nachweis für die Projectivität der Reihen H] „,■&!«•
Wir beginnen damit, dass wir in bekannter Weise* den yierten ge-
meinsamen Punkt P der Kegelschnitte K^{XYZAB) und K\{XYZA^B;)
suchen (Fig. 1).** Sodann wählen wir auf f zwei beliebige Punkte HH*,
Wir legen durch ABXMH und ABXMH* zwei Kegelschnitte und zeich-
nen ihre Schnittpunkte 8m 8%, tnit p. Zu dieser Construction benutzen wir
den Satz von Pascal. Wir bringen also p mit AB zum Schnitte. Der
Schnittpunkt T liegt auf den zwei Pascallinien. Die Gerade BM schnei-
det aus Zjff, XH* je einen weiteren Punkt F^F^. Polglich sind TJP«,
TFm die Pascallinien. Sie treffen resp. AH^ AH* in zwei Punkten GmOm»
Indem wir diese aus M auf j) projiciren, erhalten wir Sm<Sm* ^
Jetzt legen wir durch A^B^XMSm und durch A^B^XM8m zwei
Kegelschnitte und zeichnen ihre vierten Schnittpunkte H^imHfm mit JET V
Der erste dieser Kegelschnitte und K\ werden von der Linie MSm in
zwei Paaren einer Involution geschnitten. Suchen wir in dieser zum Schnitt-
punkte Jm von MSm mit A^Bi den entsprechenden Punkt, so geht durch
ihn und X eine Gerade 9 welche Hx^ enthält. Wir projiciren am besten
diese Involution aus X auf K^^ Die Projection von M sei Mx» Die Pro-
jection von Sm ist P. Folglich liegt der Pol Lm der Involution auf der
Linie Ms F. Er ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit MSm* Projiciren
wir schliesslich /,„ aus X auf K^^ und sei 0^ die Projection , so schneidet
OmLm den Kegelschnitt JET'^ ein zweites Mal in H\m'
* Wir führen hier die Form der Construction vonP an, welche für unsere
weitere Darstellung zweckmässig erscheiut. Wir gehen dabei von dem Satze aus,
dass eine beliebige Gerade die Kegelschnitte K*K\ und die gegenüber liegenden
Seiten des Vierecks T YZF in Paaren einer Involution trifft Als solche beliebige
Gerade sei die Verbindungslinie von zwei Punkten — etwa AB — des einen Kegel-
schnittes gewählt. Dann projiciren wir die Involution aus einem der gemeinsamen
Punkte — etwa aus X — auf den anderen Kegelschnitt. Wir zeichnen ihren
Pol und suchen zu dem Strahle, welcher X mit dem Schnittpunkte cT der Geraden
AB und YZ verbindet, den entsprechenden Strahl. Auf ihm liegt P. Wir ziehen
also folgende Linien; XA^ XB, XJ, Ihre zweiten Schnittpunkte mit K\ seien
A*B*J*, -4* -B* trifft ^-B im Pole L der Involution. LJ* schneidet K\ in P.
** Die Figuren sind sämmtlich für drcnlare Curven dritter Ordnung gezeichnet.
YZ siud als imag^äre Kreispunkte gewählt, so dass die Kegelschnitte K^K\
Kreise werden.
102 Constructionen d. Carven dritter Ordnung ans nean gegeb. Punkten etc.
In analoger Weise wird Htm gefunden. Die Linie M8m trifft A^B^
und P2f« in zwei Punkten Jm and Lm- Den ersten Punkt projiciren wir
aus X auf K^y Die Projection 0« verbinden wir mit Lm^ Diese Ver-
bindungslinie schneidet K\ ein zweites Mal in Hfm*
Lassen wir in der erklärten Construetion an Stelle von M den Punkt N
treten^ so erbalten wir zuHIP die zugehörigen Punkte Hia^ H^i^n. Dann
sind HimHinf H\ntH\n zwei Paare einer Projectivität, welche P, (7, zu
Doppelpunkten hat Folglich geht durch P und den Schnittpunkt der
Geraden jffi„ iZ"*«, HimHm eine Linie, welche K\ in C, trifft
3, Ein üeberblick über die projectivischen Reihen, welche bei der
oben dargelegten Construetion auftreten, führt uns zu einer einfacheren
Darstellung des Zusammenhanges zwischen den Punkten H
und Hy
Bewegt sich H auf K* (Pig. 1), so durchlauft Fm auf Jf^ eine Reihe,
welche zu dem Büschel der Strahlen XH perspectivisch liegt. Zu dieser
Reihe Fm ist das Büschel der Pascallinien aus T perspectivisch. Das Büschel
der Linien AH liegt zum Büschel der Qeraden XH projectivisch. Also
ist das erstere Büschel auch zum Büschel der Pascallinien projectivisch.
In beiden Büscheln entspricht sich der Strahl AT selbst. Die Büschel
sind daher perspectivisch. Ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in
der Reihe der Punkte Gm' Mithin liegen diese Punkte auf einer Geraden ^a.
Sie geht durch P und den Punkt Mt, in welchem die Linie MB den
Kegelschnitt f zum zweiten Male schneidet.
Das Analoge gilt ftlr die Punkte &n. Sie liegen ebenfalls auf einer
Geraden ^r. Diese geht durch P und den Funkt Nt, in dem die Linie
NB den Kegelschnitt K^ zum zweiten Male trifft.
Zwei Punkte GmG-n) welche zu demselben Punkte H auf K^ gehören,
liegen auf einer Geraden durch A und H. Damit sind die Punkte Gm&m
einander perspectivisch zugeordnet. A ist Perspectivcentrum. Benutzen wir
diese Punkte an Stelle der Punkte H, so gestaltet sich die Construetion
eines entsprechenden Paares Hm Hm in folgender Weise (Fig. 2): Wir
suchen die zweiten Schnittpunkte Jlf^^^ der Linien BM^ BN mit JET'.
Die Verbindungslinien dieser Punkte mit P sind die Geraden gm i ffn* Dann
zeichnen wir die zweiten Schnittpunkte M^Nj. der Linien Züf, XN mitK\,
Die Verbindungslinien dieser Punkte mit P seien Zm, l». Eine beliebige
Linie m durch M schneide ^m, 2^, AiB^ in den resp. Punkten Gmy 2^«,
«i^iii(Fig. 1). Wir projiciren Jm aus X auf K\. Die Projection 0«, ver-
binden wir mit Lm» Diese Verbindungslinie trifft JT'i in Him» Sodann
projiciren wir (Fig. 2) den Punkt Gm aus A auf g^ und verbinden die er-
haltene Projection Gn mit N Diese Verbindungslinie n treffe A^B^y In resp.
in JnLn» Wir ziehen JnX, schneiden mit dieser Linie K\ und verbinden
den Schnittpunkt On mit X«. 0„Xn trifft K*^ in Hin.
Von Dr. Chr. Beybl. 103
Eine zweite beliebige Gerade durch M führt zu einem Punktepaar H\mf
Htn der Projeotivitftt auf K^^ und damit ist die Projectiyität bestimmt.
Diese Darstellung zeigt uns, wie durch eine Reihe von Schnitt • und
Soheinbildungen aus der Reihe der Punkte H die zu ihnen projectiyischen
Reihen der Punkte H\m^ Hin hervorgehen.
Wir bemerken noch, dass eine weitere Vereinfachung der Con-
struction erreicht wird, wenn wir die Geraden durch M resp. N nicht
beliebig wfthlen. Wir ziehen vielmehr durch M eine Gerade m, welche
den Schnittpunkt Lmi der Linien Im nnd A^B^ enthält (Fig. 2). Zu
dieser Linie m gehört ein Punkt JETimi der mit X zusammenfällt. Eine
zweite Gerade n* wählen wir so, dass sie N mit dem Schnittpunkte Lni
der Linien {„ und A^B^ verbindet. Auch dieser Geraden entspricht ein
Punkt j5f„, der in X liegt. Wir suchen nun Hin und Htm* Diese Punkte
correspondiren den in X zusammenfallenden Punkten JETi m » Hin . Ziehen
wir folglich in X die Tangente an f ,, so schneidet sie die Gerade HimBin
in einem Punkte der Perspectivachse. Verbinden wir diesen mit dem Doppel-
punkt P der Projectivität, so ist damit die Perspectivachse gefunden. Sie
trifft K\ zum zweiten Male im anderen Doppelpunkte der Projectivität, das
heisst in (7^.
4. Wir ziehen einige Schlüsse, welche uns zu neuen Formen der
Gonstruction aus neun Punkten führen. Wir knüpfen dabei an die
Projectivität an, welche zwischen den Punkten H des Kegelschnittes K^
und den Punkten Htm ▼on K\ besteht. Diese Projectivität wird durch
die Linie gm tind die Geraden m aus M vermittelt. Wir haben gesehen,
wie zu einer beliebigen Linie m der Punkt Hm gefunden werden kann.
Jetzt suchen wir zu einem beliebigen Punkte Him die entsprechende Linie m.
Eine Gerade durch H\m schneide K\ zum zweiten Male in Om (Fig. 1).
Sie treffe Im in Xm. Projiciren wir Om aus X auf AiBi^ so erhalten wir
einen Punkt Jm» Drehen wir nun die Gerade um Htm und zeichnen wir zu
jeder ihrer Lagen die zugehörigen Punkte Lmy •^mi so erkennen wir, dass
diese Punkte zwei projectivische Reihen auf Im und A^Bi beschreiben.
Die Verbindungslinien entsprechender Punkte dieser Reihen umhüllen also
einen Kegelschnitt. Im nnd AiB^ sind zwei Tangenten dieses Kegelschnittes.
Die Specialisirung der Gonstruction zeigt uns, dass auch die Linien ZP,
JfX, HimA^j HimB^ den Kegelschnitt berühren. Duch M geht an den-
selben eine zweite Tangente. Diese entspricht dem Punkte Him> Nehmen
wir umgekehrt eine beliebige Gerade durch j|£ an , so bestimmt sie mit Im^
AiB^^ XF und IfX einen Kegelschnitt. Construiren wir an ihn die zweite
Tangente durch A^ oder P^, so schneidet diese K*i zum zweiten Male in
dem entsprechenden Punkte H\m*
Führen wir diese Tangentenconstructionen mit Hilfe des Satzes von
Brianchon durch, so können wir den Schnittpunkt Bm der Linien J.^X und
MLmi (Fig. 1) als gemeinsamen Brianchonpunkt aller Kegelschnitte auffassen,
104 Constructionen d. Curven dritter Ordnung aus neun gegeb. Punkten etc.
welche Im^ A^i* ^^ ^^^ ^^ ^^ Tangenten haben. Dann schneiden sich
auf der Linie PBm — sie sei mit Tm bezeichnet — diejenigen Tangenten je
eines Kegelschnittes, welche durch A^ und M gehen. Daraus folgt:
Das Büschel der Linien durch M ist perspectivisch zu dem
Strahlenbüschel ausJli nach den entsprechenden Punkten jffm.
Tm ist die Perspectivachse beider Büschel.
Zur Construction von fm erwähnen wir noch, dass die Tangenten aus
Ä^ und B^ an einen Kegelschnitt der erwähnten Sohaar sich in einem
Punkte Him von K\ treffen. Zu den Kegelschnitten der Schaar gehOrt
auch derjenige, welcher MBi berührt. Durch den zweiten Schnittpunkt i2» i
dieser Tangente mit K'^^ geht also eine Tangente aus A^, Folglich muss
Bti auf Tm liegen. Mit anderen Worten heisst dies: Projiciren wir den
Punkt Bi aus M auf K\y so liegt diese Projection auf fm.
Die analogen Schlüsse gelten für N. Jeder Geraden durch 2f ent-
spricht ein Punkt Hm* Das Büschel aus A^ nach diesen Punkten ist
perspectivisch zum Büschel der Geraden durch N. Die Perspectivachse r«
geht durch F. Ein zweiter Punkt derselben wird erhalten, wenn wir B^
aus N auf K\ projiciren.
6. Wir zeigen jetzt, wie die Linien rmt fn zur Construction der C aus
neun Punkten benutzt werden können.
Zu jedem Punkte H von K^ gehört — wie wir oben sahen — eine
Gerade m durch M und eine Gerade n durch N^ m schneidet aus fm, n aus
Tn einen Punkt. Verbinden wir dieses Pucktepaar mit A^ , so treffen diese
Gerade den Kegelschnitt JT^j zum zweiten Male in den Punkten jETim» ^i«,
welche dem Punkte H correspondiren. Es entstehen folglich um A^ zwei
Strahlenbüschel, welche zu den Reihen der H^ perspectivisch liegen. A.lso
sind diese Büschel zu einander projeotivisch. Einer der Doppelstrahlen geht
durch P. Auf dem anderen liegt der gesuchte Punkt (7^. Um ihn zu
construiren, zeigen wir zuerst, dass die Beihen auf fm^nf welche durch die
entsprechenden Linien mn einander zugeordnet werden, perspectivisch sind.
Dreht sich nämlich m um If , so beschreibt diese Gerade auf gm und r^
perspectivische Reihen &„> -Bm* Wir projiciren die erste dieser Reihen
aus A auf ^„. Die hierdurch entstehende Reihe wird mit N verbunden.
Dann schneidet r» aus diesem Strahlenbüschel eine zu ihm perspectivische
Reihe Bn. Sie ist also zur Reihe der Punkte B^ projeotivisch. Weil in
beiden Reihen der Schnittpunkt der Träger sich selbst entspricht, geht die
Projectivität in perspectivische Lage über. Die Reihen haben ein Per-
spectivcentrum 8» Durch dieses geht der gesuchte Doppelstrahl der pro-
jectivischen Büschel aus ^|, welcher C^ enthält.
Damit sind wir zu einer zweiten Construction der C^ aus neun
Punkten gelangt. Sie erfordert nach dem Gesagten folgende Linien (Fig. 3) :
Wir suchen P und projiciren aus M und N den Punkt B
auf jK' und B^ f^xxi K\, Durch diese Projectionen und P ziehen
Von Dr. Chr. Bbtbl. 105
wir die resp. Linien gm9n^ fmrn» Dann wählen wir durch A
zwei beliebige Gerade aal^^ welche ^m^» resp. in OmG*m^ 0-nCr\
schneiden. Die zwei ersten Punkte projiciren wir aus M auf rmi
die zwei anderen aus N auf Tn» Sind Bmli*m9 BnB^n die resp.
Projectionen, so schneidet die Gerade BmRn aus S^m^n einen
Punkt /9| den wir mit ^^ verbinden. ^^/9 trifft JT', zum zweiten
Male in C^. Wir finden aus C^ den Punkt (7, indem wir den
Schnittpunkt Yon A^ 8 mit rm(rn) suchen. Diesen projiciren wir
aus M{N) auf gmiSn)» Dann liegt auf der Geraden, welche
durch diese Projection und A geht, der Punkt C.
Die Construction wird dadurch noch etwas vereinfacht, dass wir an
Stelle der beliebigen Linien aa* die Geraden AM und AN wählen. Sie
schneiden sofort rm^n in den Punkten Rm^^n tind wir müssen nur noch
W^mRn construiren.
6. Eine dritte Construction der C^ geht von den Linien m und n
aus y welche durch die resp. Punkte M und N gehen. Zu jedem Punkte H von
K* gehört ein solches Linienpaar. Es stellt die Geraden vor, welche den
Punkten M und N in der Beciprocität {ABH^) entsprechen. Die Zu-
ordnung dieser Linien wird durch A^ gmj g^ vermittelt. Jede Gerade
durch A schneidet aus gm und gn zwei Punkte, durch welche zwei Linien
m, n gehen. Folglich bilden diese Linien projectivische Büschel. Die
Schnittpunkte entsprechender Strahlen liegen also auf einem Kegelschnitt B*.
Vertauschen wir nun den Kegelschnitt K^miiK*^^ das heisst, lassen
wir einen Punkt JET^ den Kegelschnitt JT'i durchlaufen, so wird durch jede
Lage von jET^ eine Beciprocität (AiB^C^A^) festgelegt. Wir finden in dieser
Beciprocität die entsprechenden Linien fn^n^ zu üf, N, indem wir zwei
Linien gmi9ni benutzen. Sie gehen durch P und die zweiten Schnitt-
punkte der Geraden üfJ^j, NB^. mit K\. Die Gerade A^H^ trifft gmi9ni
in zwei Punkten, durch welche resp. fn^n^ gehen. Folglich werden auch
diese Linien durch A^^ gmi, ffm einander projectivisch zugeordnet und er-
zeugen einen Kegelschnitt B\>
Jeder der zwei Kegelschnitte B^B^i geht durch die drei Punkte iftf,
N und P. Folglich schneiden sich diese Kegelschnitte in einem vierten
Punkte U. Die Geraden , welche durch U und M resp. N gehen , ent«
sprechen den Punkten MN in zweiBeciprocitäten(J.^CA) und {A^B^C^A^).
Wir können daher MU und NU benutzen, um von diesen Beciproci täten
die Grundpunkte CC^ zu finden. Sie liegen auf der gegebenen Curve dritter
Ordnung.
Die bequeme Ausführung der Construction hängt von der Bestimmung
der Kegelschnitte J3^, B^^ ab. Wir bemerken daher zu dieser Bestimmung
Folgendes: Nach dem oben Gesagten wird ein Punkt von B* gefunden,
indem wir gm9n mit einer beliebigen Geraden durch A schneiden. Ver-
binden wir diese Schnittpunkte resp. mit M und IT, so treffen sich diese
106 Constrnctionen d. Curven dritter Ordnung aas nenn gegeb. Punkten etc.
Verbindungslinien in einem Punkte von 22^. Specialisiren wir diese Con-
struction für die Geraden AM und AN» so folgt, dass AM 9.na gn und
AN aus gm je einen Punkt von B^ schneidet. Diese zwei Punkte und
MNP bestimmen i?. In analoger Weise wird B^^ bestimmt.
Fassen wir schliesslich die Constructionslinien zusammen, so ergiebt
sich (Pig. 4) :
Wir suchen P und projiciren M und N aus B auf K* und
aus Bi auf K^^ (wie bei 5). Durch P und diese Projectionen
gehen die resp. Linien ^m^«; gmignu Sodann schneiden wir
gm mit AN und gn mit AM; ferner gmi mit A^N und gni mit A^M.
Die Punkte PMN bestimmen mit den ersten zwei Schnitt-
punkten einen Kegelschnitt JS' und mit den letzten zwei einen
Kegelschnitt B\. Wir construiren den vierten gemeinsamen
Punkt U. MU schneidet aus gm{gmi) and NU aus gmiffni) Punkte,
welche auf einer Geraden durch A{Ai) liegen. Diese trifft
K*{K*i) zum zweiten Male in C(C|).
7. Im Zusammenhange mit der Construction einer Curve dritter Ord-
nung aus neun Punkten steht die Aufgabe, den neunten Punkt aller
Curven dritter Ordnung zu finden, welche durch acht in all-
gemeiner Lage gegebene Punkte gehen.
Wir entwickeln eine LOsung dieser Aufgabe.
XYZy AB^ -^1-^1 ^^^ ^ s^^^Q eil® ^^^^ gegebenen Punkte. Wir
legen wieder, wie oben, durch XYZAB und XTZA^B^ zwei Kegel-
schnitte K^K\ und zeichnen den vierten gemeinsamen Punkt P und die
Linien gmfm (Fig. 5). Durch jeden Punkt H von K* wird eine Gnrve des
BOschels fizirt Sie schneide K^^ in Hi. Dann wird die Projectivität der
Punkte HH^ durch gmfm vermittelt (6).
Jede Curve des Büschels trifft die Linie A^B^ in einem dritten
Punkte Ty Er entspricht dieser Linie in einer Reciprocitftt (AB HA).*
Wir erhalten diese Punkte jT^, indem wir durch AB EX und den Schnitt-
punkt 8 von A^Bj mit XP Kegelschnitte legen. Ihre zweiten Schnitt-
punkte mit AiBi sind die gesuchten Punkte Tj. Benutzen wir zu dieser
Construction den Satz von Pascal, so können wir die Anordnung der
Punkte so festsetzen, dass alle Pascallinien durch den Schnittpunkt 0 der
Linien AB, ^,J&i gehen. Die Linien HA treffen XP je in einem zweiten
Punkte U einer Pascallinie. Schneiden wir diese Pascallinien mit BX^ so
gehen durch die Schnittpunkte L und die resp. H gerade Linien , auf denen
die Punkte I\ liegen.
Eine Linie HT^ schneidet K^ ausser in H noch in einem zweiten
Punkte F. Suchen wir F mit Hilfe des Sechsecks PXBAHF^ so finden
wir, dass 0{7 die Pascallinie ist, und dass F auf der Geraden PO liegt.
Vergl. die oben citirte Abhandlung S. 70 Nr. 4.
Von Dr. Chr. Beybl. 107
Daraus ergiebt sich aber^ dass alle Linien HT^ durch den Punkt F
gehen.
Das Resultat dieser Untersuchung Iftsst sich allgemein als Satz so fassen :
Der Kegelschnitt, welcher durch fünf Grundpunkte eines
Büschels von Curyen dritter Ordnung geht, und die Gerade,
welche zwei weitere Qrundpunkte verbindet, werden von jeder
Gurve des Büschels in einem Punktepaar geschnitten. Diese
Punktepaare liegen auf Geraden durch einen Punkt des
Kegelschnittes.
Wenden wir diesen Satz auf den Kegelschnitt K*^ und die Gerade A B
an, so folgt, dass jede Curve des Büschels aus K^^ und AB zwei Punkte
H^T schneidet, welche auf einer Geraden durch einen Punkt F^ von K*^
liegen. F^ ist der Schnittpunkt der Linie OF mit K\.
Die Projectivität, welche zwischen den Punkten HH^ besteht, über-
tragt sich auf die Strahlen FH^ ^i^v ^^^^^ bilden — weil der Strahl FF^
sich selbst entspricht — perspectivische Büschel. Folglich schneiden sich
entsprechende Strahlen der Büschel auf Punkten einer Geraden m. Die
Bedeutung von m ergiebt sich aus der Bemerkung, dass TT^ Sternpunkte
anf AB^ A-^i ^^ ^^^^ zusammengehörigen Reciprocitäten {AB HA)
{AiB^H^A^) sind. Daraus folgt*, dass sich die Linien HT^t H^T in
einem Punkte E derjenigen Curve C schneiden, welche durch die er-
w&hnten Reciprocitäten dargestellt wird. Wir schliessen daher; Jede
Gerade durch F{Fj) schneidet aus m, A^B^^ £'(*»} AB, K^^) drei
Punkte einer Curve dritter Ordnung des Büschels.
8. Auf ffi muss der neunte Punkt Jfj des Büschels liegen. Soll nttm*
lieh Ml allen Curven des Büschels gemeinsam sein , so muss M^ auch der-
jenigen Curve angehören, für welche die Gerade FM^ aus m, il|jB^, K*
drei Punkte schneidet. Einer dieser Punkte muss Jlf, sein; denn sonst
würden auf FM^ vier Punkte einer C liegen und diese Curve zerfiele in
eine Gerade und einen Kegelschnitt. Dies ist unmöglich, wenn die acht
Qrundpunkte — wie vorausgesetzt — in allgemeiner Lage gegeben sind.
Derselben Voraussetzung widerspricht es, dass M^ auf K* oder auf A^B^
liegt Im ersten Falle enthielte K^ sechs ; im zweiten Falle A^Bi drei
Ornndpunkte des Büschels. In beiden Fällen könnten die acht gegebenen
Grundpunkte sich nicht in allgemeiner Lage befinden. Es bleibt also nur
die Möglichkeit, dass M^ auf m liegt.**
Wir wenden uns nun zur Construction von n^ und My
M ist ein Punkt von m; denn läge M nicht in fti, so müsste die
Gerade FM vier Funkte einer Curve des Büschels enthalten. Wir haben
oben gesehen, dass dies unmöglich ist. Ein zweiter Punkt E von m wird
* Loco citato p. 70 No. 4 und p. 71 Nr. 5.
** Dass m zwei Gmndpunkte enthält, folgt auch aus der Umkehrong des in
7 bewiesenen Satzes.
108 Constructionen d. Cnrven dritter Ordnung aus neun gegeb. Punkten etc.
gefunden, indem wir ein entsprechendes Paar HH^ construiren und FH
mit FiBi^ zum Schnitte bringen. Wir wählen am besten an Stelle von
H den zweiten Schnittpunkt von AM mit K*. Durch diese Wahl wird die
Construction von gm überflüssig.
Um üf j auf m zu finden , bemerken wir , dass jede Curve des Büschels
aus JSr'(ÜL\) und m ein Punktepaar schneidet, welches auf einer Geraden
durch F(F^) liegt. Es gilt also für diese Punkte, was wir im Satze von
7 bewiesen haben. Wir können daher in ümkehrung der Beihenfolge die Figur
construiren, welche zu diesem Satze führte. Dann folgt, dass eine Gerade
durch F{F^ und den Schnittpunkt von m mit AB{Ay^ jB,) aus K^{K^^ einen
Punkt Pm(imi) schneidet, welcher mit XYZMM^ auf einem Kegelschnitt
liegt. Derselbe wird durch XYZMFm(Fm\) bestimmt und trifft m in Jtf^.
Fassen wir schliesslich nochmals die nöthigen Constructionslinien zusammen,
so ergiebt sich für die Construction des neunten Punktes Folgendes (Fig. 6) :
Wir suchen P, projiciren M aus Pj auf K*^ und ziehen
durch P und diese Projection die Gerade r^- Dann verbinden
wir P mit dem Schnittpunkte 0 der Linien AB^ -^x^i ^°^ con-
struiren die Schnittpunkte FF^ dieser Verbindungslinie mit
JT^ K^y Hierauf suchen wir den zweiten Schnittpunkt H von
MA mit K^ und den Schnittpunkt B von MA mit tm. BA^ schnei*
det K^^ zum zweiten Male in ^|. Wir ziehen durch üf und den
Schnittpunkt JE7 der Linien ^JET, F^H^ die Gerade m und suchen
ihren Schnittpunkt Om{Om\) mit AB{A^B^). FOmiF^Omx) trifft
K^{K^^) ein zweites Mal in Pm(Pfiii)* Endlich construiren wir den
neunten Punkt M^ als den zweiten Schnittpunkt der Linie tn
mit einem Kegelschnitt, welcher durch XY ZMPm{Bm\) geht**
In Figur 6 ist die Curve C^h des Büschels eingezeichnet, welche durch
das Punktepaar HH^ bestimmt wird. Sie geht durch E und die Schnitt-
punkte T, Tj von Ib mit F\H^ und 1^, mit J\ff.
10. Die Construction des neunten Punktes zu den acht Grnndpnnkten
eines Büschels von C lässt sich anwenden, um eine Curve dritter Ord-
nung aus neun Punkten zu zeichnen. Wir fassen je acht dieser neun Punkte
als Grundpunkte eines Büschels auf und construiren den neunten Punkt.
Alle diese neunten Punkte liegen auf C^
Der Gedanke, welcher zur Construction des neunten Punktes führte,
lässt sich aber noch in anderer Weise für eine vierte Construction
der C aus neun Punkten verwerthen.
Wir suchen wieder zwei Reciprocitfiten , durch welche sich C* dar-
stellen lässt und gehen dabei von^ zwei Curvenbüscheln aus, welche
XYZABA^By^ und M resp. JV zu Grundpunkten haben. Wir zeichnen
* In Figur 6 ist dieser Kegelschnitt ein Kreis, weil YZ die imaginären
Kreispunkte sind.
Von Dr. Chr. Bbybl. 109
für das erste Büschel die Linie itf, welche m mit dem nennten Punkte itf^
verbindet. Ferner suchen wir für das zweite Büschel die Linie n^ welche
durch N und den neunten Punkt J^7, dieses Büschels geht. Der Schnitt-
punkt E der Linien m und n muss auf der gegebenen C^ liegen. Die
Gerade FE schneidet nämlich aus K^ und J.|jB| zwei Punkte, welche einer
Curve des einen und einer Curve des anderen Büschels angehören. Keiner
dieser zwei Punkte kann Gruudpunkt eines der zwei Büschel sein, weil
acht Grundpunkte jedes Büschels in allgemeiner Lage gegeben sind. Folg-
lich müssen die in Rede stehenden zwei Curven dritter Ordnung mit der
gegebenen C^ zusammenfallen. CT^ sind zwei ihrer Punkte. Ein dritter
ist E. Die Gerade i^^ ^ schneidet aus j^'^ und AB zwei weitere Punkte C^ T.
ABCy Ä^B^Ci sind die Grundpunkte der gesuchten Reciprocitäten.
Zur Erklärung der Figur 7, welche die entwickelten Gedanken dar-
stellt; fassen wir die nöthigen Cunstructionslinien nochmals zusammen.
Wir suchen P, JP, jP^, r« und m wie oben (9 und Fig. 6). Dann
projiciren wir N aus B^ auf JT^, und ziehen durch P und diese
Projection die Gerade r„. AN schneide K^ in JET,, und Tn in Rn.
Wir construiren den zweiten Schnittpunkt Hin YonA^Bn mit K^^,
Die Verbindungslinie vonJVmitdem Schnittpunkte der Geraden
FHnt E^Hm ißt n. m trifft n in einem Punkte E von C^ FE,
F^E schneiden E^K\ resp. in C, C^ und AB, A^B^ resp. in TT^.
Schliesslich sei bemerkt, dass in der Figur auch die neunten Punkte iftf^i^i
gezeichnet sind. Wir projiciren die Schnittpunkte der Geraden AB^A^B^
mit ni und n aus F(F^ auf K^{K^^). Die Projectionen bestimmen resp.
mit XTZMf XYZN zwei Kegelschnitte. Der eine trifft m in üf^, der
andere n in J^|.
11. Die erklärten Constructionen der C^ aus neun Punkten behalten
für eine Reihe von Special fällen ihre Giltigkeit.
Zunächst sehen wir, dass je die Punkte XTZ, AB, A^B^, MN
dieselbe Rolle spielen. Wir dürfen daher die Punkte von jeder dieser vier
Gruppen unter einander vertauschen.
Femer können wir die Punkte der drei ersten Gruppen einander unendlich
nahe rücken lassen. Nehmen wir an^ dass die drei Punkte XTZ auf einer
Geraden unendlich benachbart liegen; so ist C^ durch eine Inflexionstangente,
ihren Berührungspunkt und sechs Punkte gegeben. Die Aenderung, welche
hierdurch in der allgemeinen Construction eintritt, beschränkt sich darauf,
dass sich die Kegelschnitte JT'iC', in X osculiren. Ebenso einfach gestalten
sich die Constructionen, wenn zwei oder drei Punkte XY, oder wenn die
Punkte AB, A^Bi als Berührungspunkte je einer Tangente zusammen-
fallen. Wir erhalten dann Constructionen für Curven dritter Ordnung,
welche durch acht Punkte und die Tangente in einem , durch sieben Punkte
und die Tangenten in zweien oder durch sechs Punkte und die Tangenten
in drei dieser Punkte gehen.
110 Constructionen d. Curyen dritter Ordnang ans nenn gegeb. Punkten etc.
Lassen wir aber M and N als Berührungspunkte einer Tangente xu-
sammenfallen, so versagen die bis jetzt abgeleiteten Constructionen. Die
Linien rmTn^ ffiugw' fallen zusammen und es tritt eine gewisse Unbestimmt-
heit ein.
Wir leiten daher eine fünfte Construction einer Curve 0' aus
neun Punkten ab.
Wir werden sehen , dass diese Construction auch dann Oiltigkeit hat,
wenn C^ durch fünf Punkte und die Tangenten in vier derselben gegeben
ist. Zugleich löst die Construction die allgemeine Aufgabe, den
dritten Schnittpunkt einer Qeraden mit C^ zu finden^ wenn
diese Gerade durch zwei gegebene Punkte der C^ geht
12. Für die Erklttrung der neuen Construction ist es bequem,
die nenn gegebenen Punkte der C^ mit XTZ, -^i-^n -^-^s« -^s^s '^
bezeichnen. Die Geraden Ä^B^^ ^-^29 -^3-^3 ^^^^^ resp. q, c,, c^ Wir
legen nun drei Kegelschnitte Z^^x-^S-^'s* ^el<^^6 die Punkte ZYZ gemein
haben und resp. durch Ä^B^, -^B^^ ^^B^ gehen.* Wir suchen hierauf
den vierten gemeinsamen Punkt P3 zwischen K^^K\ und den vierten ge-
meinsamen Punkt Pi zwischen K\K*^,
Durch die acht Punkte XTZ^ Ä^B^^ -^B^ und Ä^ wird ein Büschel
(7',g von Curven dritter Ordnung bestimmt. Jeder Punkt E^ auf K*^
fixirt eine Curve des Büschels. Sie schneidet K\ in einem sechsten
Punkte H^ und die Gerade c^ in einem dritten Punkte T,. Die Reihe der
Punkte H^ ist perspectivisch zur Reihe der Punkte T^ (Satz von 7). Das
Perspectivcentrum ist ein Punkt Fj auf K^y Femer ist die Reihe der
H^ projectivisch zur Reihe der H^. Die Projectivität wird durch zwei
Gerade g^r^ vermittelt, welche durch P3 und die zwei Schnittpunkte der
Linien J.1J.3, Ä^Ä^ mit den resp. Kegelschnitten K\K\ gehen (5).
Wir führen jetzt den analogen Gedankengang für ein zweites Büschel
von Curven dritter Ordnung C\^ aus, welches XTZ^ -^B^^ -^s-^s ^^^
Äi zu Grundpunkten hat. Die Curven dieses Büschels schneiden aus ^'2-^*3
und aus c^ Reihen von Punkten H^, H^, T\ Die ersten dieser zwei
Reihen sind zu einander projectivisch. Entsprechende Punkte werden
mit Hilfe von zwei Geraden g^r^ gefunden, welche durch P^ und die
zweiten Schnittpunkte der Geraden A^Ä^, A^Ä^ mit den resp. Kegel-
schnitten K\y K\ gehen. Die Reihe der H^ liegt perspectivisch zur Reihe
der r%. Perspectivcentrum ist ein in K\ liegender Punkt P,.
Wir ordnen nun die Reihen T^T*^ einander projectivisch zu. Durch
jeden Punkt H^ von K^i geht eine Curve C*,g, welche K\ in einem Punkte
H2 schneidet. Durch ihn geht eine bestimmte Curve C\^^ welche K\ in
einem sechsten Punkte H^ trifft. Auf diese Weise wird jedem Punkte S^
ein Punkt Ä,, und somit jedem Punkte T^ ein Punkt T\ zugeordnet.
* In Figur 8 sind K*iK\K^z Kreise, weil die Curve C drcular gew&hlt iat.
Von Dr. Chr. Bbybl. 111
Diese Pankte bilden also projecüvische Reihen. Die zwei Doppelpunkte
der Reihen haben verschiedene Bedeutnng.
Je zwei durch einen Punkt H^ einander zugeordnete Curren dritter
Ordnung C\^j C\ bestimmen ein Büschel von C, denn sie haben die
Punkte XTZ^ -^i-^st -^s« -^ und einen Punkt H^ auf K\ gemeinsam.
Bekanntlich gehen die Curven eines solchen Bttschels durch einen neunten
Punkt. In unserem Falle liegen sechs der acht gemeinsamen Punkte auf
dem Kegelschnitt E\ Mithin müssen die zwei anderen gemeinsamen
Punkte mit dem neunten Punkte auf einer Geraden liegen. Diese ist die
Linie Äi Ä^. Sie enthftlt alle neunten Punkte der erwähnten Curvenbüschel.
Folglich wird sie die Linie c^ in einem. Punkte V treffen, welcher ein
neunter Punkt für eines dieser Curvenbüschel ist. In ihm schneidet also
eine bestimmte Curve C^,, ihre entsprechende Curve C^^. Folglich ist V
einer der Doppelpunkte für die projeotiven Reihen T^T\. Zum anderen
Doppelpunkte W gehören zwei Curven C\2y ^^s« welche neun Punkte in
allgemeiner Lage gemein haben. Daraus folgt, dass diese zwei Curven
mit derjenigen G^ zusammenfallen , welche durch die neun gegebenen Punkte
geht W liegt also auf dieser C^.
Verbinden wir W mit F^F^y so schneiden diese Oeraden resp. aus
K^Kl zwei weitere Punkte C^C^. Sie bestimmen mit -ä^iJ^^, Ä^B^ zwei
Reciprocitäten, durch welche C^ dargestellt werden kann.
13« Indem wir die Ausführung dieser Construction besprechen,
gelangen wir noch zu einigen Abkürzungen.
Wir verfolgen zuerst den Linienzug, welcher von einem Punkte ^^ zu
dem entsprechenden Punkte H^ führt. Kennen wir g^ff^, g^r^^ so ziehen
wir JJtJ?|(5). Diese Gerade schneide g^ in ffj. G^Ä^ treffe r^ in JB3.
Wir ziehen B^B^, Diese Linie schneidet K^^ ^^^ zweiten Male in H^.
Sie treffe ^j in Cr,. G^Ä^ schneide r^ in 2?,. Verbinden wir schliesslich
Bi mit ^3, so schneidet diese Verbindungslinie den Kegelschnitt K*^ zum
zweiten Male in H^, Die Blcken des Linienzuges sind also:
fli — B, — ©3 — ilj — JB3 — ^j — ö, — il, — 2?i — B3 — 1/3.
Dieser Linienzug wird abgekürzt, wenn wir einmal an Stelle von H^
den Punkt P3 und dann an Stelle von H^ den Punkt P, setzen. Im ersten
Falle deckt sich H^ mit H^. Im zweiten Falle liegt H^ in ^3.
Zur Construction von W bemerken wir, dass die Büschel aus i^j-Fs
nach den resp. Punkten H^H^^ ^i^*i zu einander projectivisch sind. Sie
erzeugen also einen Kegelschnitt £^^ Er schneidet c^ in V und W. F^F^V
sind drei bekannte Punkte vod KK Zeichnen wir noch zwei weitere
Punkte auf den Linien F^P^^ F^P^t so ist damit der Kegelschnitt bestimmt.
Sein zweiter Schnittpunkt mit c^ ist TT.
Fassen wir schliesslich die Constructionslinien , wie sie in Figur 8 dar-
gestellt sind, zusammen, so ergiebt sich Folgendes:
112 Constructionen d. Curven dritter Ordnung etc. Von Dr. Chr. Betel.
Wir construiren P3P,, g^r^^ g^r^. Dann verbinden wir den
Schnittpunkt 0^ der Linien c^e^ mit P3. Diese Verbindungs-
linie trifft K\ zum zweiten Male in F^ Ferner ziehen wir
durch P, eine Gerade nach dem Schnittpunkte O3 der Linien c^c^,
Sie schneidet £^'3 zum zweiten Male inJF",. Hierauf construiren
wir zu P3 den entsprechenden Punkt ^3 durch den Linienzug
P3 — J?2 — 6r,— -ij— 2?i— J?g— H3. ZttPi finden wir den entsprechen-
den Punkt H^ durch den Linienzug Pi^B^—B^ — Ä^'-Oj^—Bi-'Hy
F^P^ schneide F^H^ in 8^. F^^ treffe F^H^ in S^. Ä^^ schnei-
det c^ in F. Construiren wir endlich den zweiten Schnittpunkt
▼ on c, mit dem Kegelschnitt, welcher durch F^F^YSiS^ geht, so
erhalten wir W. Die Linien F^W, F^W schneiden resp. Z^j-BT*,
zum zweiten Male in C^C^. Durch den Linienzug
Ci — Pj — ©3 — ilj - ZJj — Bj — Cj
"" """ C3-P3-P,-^3-e^-P,-Ci
wird C, gefunden, das heisst, der sechste Schnittpunkt der ge-
gebenen C mit K\.
Lassen wir in der erklärten Construction FmitZ, Ä^ mit P^, A^ mit
P2, Ä^ mit P3 als Berührungspunkte von Tangenten zusammenfallen , so
finden wir die Curve dritter Ordnung, welche durch fünf Funkte und die
Tangenten in vier dieser Punkte geht.
unsere üeberlegungen haben nun gezeigt , dass jiede beliebige Curve
dritter Ordnung durch zwei Reciprocitttten dargestellt werden kann. Wir
haben die Grundpunkte von zwei solchen Reciprocitttten in mancherlei Weise
und zwar stets mit dem Lineal allein* construirt. Die Beziehungen
dieser Reciprocitttten zu einander und die Untersuchung ihrer A wird uns
zu den Singularitäten der C^ und zu ihren speciellen Formen führen. Wir
treten jetzt auf diese Relationen nicht näher ein.
« Alle oben mit Kegelschnitten ausgeführten Constructionen sind linear.
Kleinere Mittheilungen.
IT. Zur Theorie der Determinanten höheren Ranges.
Eine Determinante r^^ Ranges und n\®^ Orades besitzt bekanntlich
n''- Elemente und (n!)*"""^- Glieder. Ein Element wird mit r-Indices versehen
und durch das Symbol von der Form aa^,a^.,,mr dargestellt, wobei jeder
Zeiger irgend eine der Zahlen 1 , 2 . . . n bedeuten kann. Wir nennen Ä;- Ele-
mente, bei welchen die gleichstelligen Zeiger eine Variation h^^ Klasse o.W.
aus den Elementen 1, 2.,.n bilden, Ä;- transversale Elemente, dann
bilden die n- Elemente irgend eines Gliedes, also auch des Anfangsgliedes
«1, !,.. !,<»«, ... »f- • •«»...»,» n- transversale Elemente.
Die adjungirte Unterdeterminante eines jeden Elementes ist bekannt-
lich eine Determinante r**** Ranges und (n — l)*«^ Grades.
r r
Es beseichne A^^ und Slj^'^Mie Anzahl der verschwindenden bezw.der nicht
verschwindenden Glieder — also die Gliederzahl — einer Determinante
f*^ Ranges und n^*^ Grades mit k transversalen Nallelementen , so bedeuten
r r
die Symbole A^^^ und %^^ die Anzahl der ersteren bezw. der letzteren
Glieder dieser Determinante ohne Nullelemente.
Es bestehen dann die Gleichungen:
1)
ii"'=o,
2)
5ai-)=[n !]'-«,
3)
giltig fOr ifc = ü, 1...«.
4-) + Äif )=[«!]-»,
r
Die Grösse A^^ kann durch den Ausdruck dargestellt werden
i(n) = im)^ + a,
wenn o die Anzahl der Glieder bezeichnet, deren Verschwinden durch das
Jc^ Nullelement hk bewirkt wird. Die Grösse c ist also gleich der Glieder-
zabl der ac^ungirten üuterdeterminante Bk des Elementes hk^ Bk ist aber
eine Determinante r*®»* Ranges und (n - l)*®** Grades, welche die (Ä-1)
ersten Nullelemente enthalt, mithin wird die Gliederzahl a von Bk durch
r
das Symbol ^Ij^^^j",^) ausgedrückt; es ist also
4) i]J'>=ij'l, + airi'>
giltig fftr A; = 1 , . . . n.
Zeiitohrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 2. Heft g
114 Kleinere MittheilaDgen.
Ersetzt man in 4) die OrOssen Ä mit Hilfe der Gleichung 3) durch
die entsprechenden Grössen ^, so ist
5) aV = «(^»i,-«t»r,*),
giltig fttr Jfc = 1 , . . . «.
Schreibt man in 5) t für Je und bildet daraus die für
r = (j) + l), {p + 2)...k
— wobei p = 0, 1 ... (Ä — 1) ist — sich ergebenden Ausdrücke , so er-
hKlt man nach Addition der letzteren folgende Formel:
6) i(;)=ai'')+2^?'^
giltig für ÄJ = 1 , . . • n und |? = 0, 1 ... (äj - 1),
Für 1) e= 0 folgt ans 6) mit Bücksicht auf 2):
7) [n!]-^ = SlJ•)+2^1?'"'^
giltig für &= 1, 2 . . .n.
Ersetzt man in 7) die Grösse ^J^") durch ihren aus 3) folgenden Werth,
so folgt: ^ t=k-lr
giltig für *=1, 2,...n. *7
um den Fundamentalsatz für Sl^") zu erhalten, bilden wir die Beihe
Bq, deren Glieder aus ihrem allgemeinen Gliede
für A s= 1 y 2 . . . (n + v) . • • erhalten werden.
Bildet man aus der Gleichung 5) für n = q + k^ 1 und ks=q die
Formel; r r r
so sieht man, dass das allgemeine Glied
der ersten Differenzreihe von der für qs= q^l entstehenden Beihe Bq^i
r
durch den Ausdruck: 3I<9+1-^) dargestellt wird , daher mit dem allgemeinen
Gliede r
der für q ^= q erhaltenen Beihe Eg identisch ist, woraus folgt, dass die
Beihe Bq die erste Differenzreihe der Beihe JB^.i ist» mithin Bq die
(^_])t« Differenzreihe der für ^ = 1 erhaltenen Beihe i?^ bildet. Man
erkennt ferner, dass die Beihe B^ die erste Differenzreihe der für ^ = 0
Kleinere Mittheilnngen. 115
hervorgehenden Reihe B^ darstellt, so dass die Reihe 2?, die q^ Differenz-
reihe der Reihe Rq ist; man hat also den Satz:
Die aas ihrem allgemeinen Qliede: 2l^+*-0 für
A = 1 . . . (n + v) . . .
hervorgehende Reihe:
deren auf einander folgende Glieder die Oliederzahlen der
Determinanten r**** Ranges von demÄ**" his zum n**°... Grade
mit je ^-transversalen Nnllelementen bedeuten, bildet die
k*^ Differenzreihe von der Reihe:
r
welche aus ihrem allgemeinen Gliede 9lj^^"'>= [(A — l)!]''"^ für
X = 1 , . . . n erhalten wird; wobei 31J»)= (0!/-^= 1.
Es folgt femer:
Die Gliederzahl 31^*+') einer Determinante r*®° Ranges und
(k + x)^^^ Qr^des mit ^-transversalen Nullelementen ist das
(« + !)*• Glied der **•" Differenzreihe von der Reihe:
(Oir-S (l!)--^..(nir"^..,
welche ans ihrem allgemeinen Gliede Sl^^"'^)^ [(X — 1)1]'""^ für
A = 1 , 2 . , .n erhalten wird.
In der Theorie der Differenzreihen erhttlt man für eine aus (n + 1)
Gliedern bestehende Haup treibe die folgenden Gleichungen:
giltig ftlrft = l, 2..,n; 1 = 1, 2... («+l-*)5i» -0, ...(*- 1);
11) Dfgr^i=^{l)t . Dt^^g,
<=o
gütig für *=:0,1...(«-1); r=l, 2...(r+A-l); i=l, 2 ..(n+l-*-f);
111) >'-^*fl''+«=^^(*+^)*-^*+*-i^'-'
giltig ftr * = 0.1...(n-l);r = l,2...(n-ifc);A = l,2...(«+l-Ä;-r);
IV)
giliig für ÄJ = 1, 2...n.
116 Kleinere Mittheilnngen.
In diesen Oleichnngen bedeutet allgemein {q)t den t^^ Binomial-
coefficienten der q^^ Potenz» and mit:
V) D«^i=a«-»=[(A-1)!]-»
das allgemeine Glied der Haaptreibe, mit
VI) D,g,=^i[^+^'^)
das allgemeine Glied der h^^ Differenzreihe bezeichnet ist
Mit Hilfe dieser Gleichungen könnte man yersehiedene Formeln fttr
r r
die Grössen %^^ und Ä^^^ herleiten, es soll aber nur die independente Form
derselben bestimmt werden.
Aus der Gleichung I) folgt fttr A = n+1— Ä:
9) i[-) =2^- !)'• (^ -p)^ ■ %" " '^
giltig für ÄJ != 1 , 2 . . . n und p = 0, 1 . . . (&- 1).
Aus 9) erhttlt man fttr p = 0 die independente Form von %j^");
es ist: ^ t^k
10) ^n)=.^(- 1)*. W,.[(n-t)!]-',
giltig für ^ = 0, 1 • . . n; der Werth X; = 0 ist zulässig, weil dafür die
r
Gleichung 10) den richtigen Werth 31^"^= (n!)'"-* liefert.
Aus 3) und 10) erhftlt man die independente Form von A^^;
es ist: ^ «»a
11) 4") 2'^-l)^(*)..[(n-r)I]-S
giltig für A; « 1 , 2 . . . n.
Für k^n folgt aus den Gleichungen 10) und 11):
und
. 13) Alf)^-^(-\y. {n),.[{n-x)lY- • n! . V(-l)*- K^TÄI!.
r r
Bezeichnet man mit F]["} und J^J^"^) die Anzahl der Glieder einer Deter-
minante r^^ Banges und n^*'^ Grades, welche Elemente eines gegebenen
Systems k ^ n- transversaler Elemente als Factor enthalten bezw. nicht ent-
halten, so bestehen die Gleichungen:
14) F[«)+F[-^^[n\Y'\
15) J'i") = ij^«),
16) hi^m
Kleinere Mittbeilungen. 117
giltig für X; s= 0, 1 . • . n; die Annahme ft = 0 ist in dem Sinne zu
definiren, dass, wenn alle Elemente des gegebenen Systems den Wertb
r r TT
Null haben, die Symbole F^^^ und W^^ bezw. ^J»> und Ä^^^ dieselbe Be-
deutung haben. ^
Infolge der Gleichungen 15) und 16) haben alle für A^^^ giltigen
r r r
Formeln auch für I^jp, und die für SIJ") auch für J<»> Giltigkeit.
Ordnet man die betrachteten transversalen Elemente in einer bestimmten
sonst aber ganz beliebigen Beihenfolge, so ist die Anzahl derjenigen Glieder
r
JEf'^^y in welchen keines der (A— 1) ersten Elemente vorkommt, dabei
aber jedes dieser Glieder das X^ Element enthält, durch den Ausdruck
gegeben :
17) i^;o==./Y>-i?\"2t=4"^-^ili = fe
giltig für A=l, 2. . .n.
Die Gleichung 17) enthält den Satz:
Ordnet man die betrachteten transversalen Elemente einer
Determinante r*®'^ Banges und n^^'^Grades in einer bestimmten,
sonst aber beliebigen Reihenfolge, so ist die Anzahl der
Glieder, in welchen keines der (iL^-l) ersten Elemente vor-
kommt, dabei a1i>er jedes dieser Glieder das l^* Element ent-
halt, gleich der Gliederzahl einer Determinante r^^^ Banges
und (n—l)*«" Grades mit (1 — 1) transversalen Nullelementen.
r
Substituirt man den aus 10} dadurch sich ergebenden Werth von 9^"J7]l))
dass darin (»— 1) für r und (A — 1) für Ä gesetzt wird , in die Gleichung 17),
r
80 erhält man I}^^ in independenter Form:
18) k-^^{-\Y. (A-l).. [(„-1-.)!]-.,
« = 0
giltig für A =s 1 , 2 • « . n.
Setzt man in 17) für A die successiven Werthe 1,2..«% und addirt
die erhaltenen Ausdrücke, so erhält man mit Rücksicht auf 8) die Formel:
19) i!t">=-Pi"> = 5^ii»>,
giltig für % = 1 , 2 ... n.
Ertheilt man den betrachteten transversalen Elementen den Werth Null,
so ist in 19) die Grösse A^jf^ durch die Anzahl der Glieder ausgedrückt,
deren Verschwinden durch die einzelnen , in bestimmter Reihenfolge geord-
neten Nullelemente bewirkt wird.
Die entwickelten Gleichungen sind insbesondere giltig bei r = 2 für
die quadratischen, bei r = 3 für die cubischen Determinanten.
Budapest Nicolaus von Szöts«
118 Kleinere Mittheilnogen.
V. lieber die Bestimmung der Anzahl der PrimsaUen bis xa
einer gegebenen Zahl N mit Hilfe der Primzahlen, welche
kleiner als j/N sind.
Die Aufgabe, die Anzahl der Primzahlen za bestimmen, welche kleiner
sind als eine gegebene Zahl N^ wird gewissermassen mechanisch gelOst
durch das sogenannte Sieb des Eratosthenes und durch directes Abzfthlen
der nicht weggestrichenen Zahlen. Um diese Frage durch Rechnung zu
beantworten, erscheint es der einfachste Weg, diese Methode der Aus-
schliessung der zusammengesetzten Zahlen in Bechnungen umzusetzen.
Hat man bei einer beliebigen Orenzzahl N die Anzahl Ä der auf-
zuschreibenden ungeraden Zahlen im Zahlenraum von 1 bis N einschliess-
lich bestimmt, so sacht man zunSchst für jede dabei in Betracht kommende
ungerade Primzahl 3^ 5^ 7^ ^^^ ^^^ p^<yN
die Anzahl (g^,, 95, g^, 9if*2py) cl®^ ungeraden Vielfachen derselben bis
zur Grenze N^ berechnet sodann für jede dieser Primzahlen pg die Menge
derjenigen Vielfachen, welche bereits als Vielfache der kleineren Primzahlen
3, 5, 7, lly..,pM-i
in Wegfall gekommisn sind und zieht sie von qg ab und subtrahirt zuletzt
Ton A die Summe der übriggebliebenen Vielfachen der einzelnen Prim-
zahlen. ^ j^ j
Ist N gerade, so ist J. = -j^; fElr ein ungerades ^ ist J. = — ^ — •
Betrachten wir die Zahl 1 nicht als Primzahl, so sind ii— 1 ungerade
Zahlen zu berücksichtigen; addiren wir za denselben gleich hier die einzige
gerade Primzahl 2, so sind die in Abzug zu bringenden Vielfachen der
ungeraden Primzahlen von Ä abzuziehen.
In der Beihe der ungeraden Zahlen kOnnen von jeder ungeraden Prim-
zahl nur die ungeraden Vielfachen TOrkommen und jede ungerade Zahl p
P+ !*•
nimmt in dieser Beihe die '=— ^ — Stelle ein. Um das Hinwegstreichen der
aufeinander folgenden Vielfachen der einzelnen Primzahlen als ein Dividiren
betrachten zu können, denken wir bei jeder Primzahl p die Beihe der
ungeraden Zahlen rückwärts über die Zahl 1 11m ^-5 — Stellen erweitert;
dann ist 1^ ~ 1 . P+1 -
denn, um diese Berechnung mit den spftteren in üebereinstimmung zu
bringen, denken wir uns zunftchst jede Primzahl selbst mit weggestrichen,
müssen jedoch zum Schlassresultat die Anzahl der in Betracht kommenden
ungeraden Primzahlen addiren. Es sind also, um die Anzahl (g,, ^,
97« 9n'"Qpp) der bei jeder Primzahl in Wegfall kommenden ungeraden
Zahlen zu finden, durch die aufeinander folgenden Primzahlen:
Kleinere Mittheilangen. 119
3, 5, 7. 11,. ..p^
die Sammen «9—1
4 + 1. Ä + 2, il + 3, A + 5,...A+^,
2
zn dividiren; die bei diesen Divisionen sich ergebenden ganzen Zahlen sind
die gesuchten Zahlen q^j q^, g^, Ql^^^'9p9'
Die schwierigere Frage ist nun die, wieviel von den bei der Prim-
zahl pg zu sireichenden Zahlen schon früher als Vielfache der kleineren
Primzahlen 3^ 5^ 7^ u\...l>«.i
in Wegfall gekommen sind. Die Zahl qg giebt die Anzahl der Glieder in
der Reihe der ungeraden Vielfachen von p« an. Verfolgen wir den weiteren
Verlauf der Untersuchung in der Reihenfolge der Primzahlen, so ergiebt
U + l):3 = g,
die Anzahl der in der Zahlenreihe von 1 bis N vorkommenden ungeraden
Vielfachen von 3, von denen noch keine weggestrichen waren,
(A + 2):b = q,
die Anzahl der in demselben Zahlenraume vorkommenden ungeraden Viel*
fachen von 5, das heisst des 1, 3, 5, 7, 9... (75 fachen; von dem Dreifachen
dieser Reihe an mnss jedes dritte Glied derselben den Factor 3 enthalten ;
es sind also entsprechend unserer ersten Ueberlegung von den q^ Vielfachen
von 5 bereits (ft+l):3
ungerade Zahlen als Vielfache von 3 in Abzug gebracht worden, so dass
bei der Primzahl 5 nicht 95, sondern nur
&-((?6+l)--3.
Zahlen zum ersten Male weggestrichen werden.
Die Division (Ä^ +1):1 ^q^ ergiebt die Anzahl der in dem betreffenden
Zahlenraume vorkommenden ungeraden Vielfachen von 7, das heisst des
1., 3., 5., 7.,...g/«;
unter diesen q^ Zahlen enthalten (q^ + 1) : 3 den Factor 3 und {q^ + 2) : 5
den Factor 5. Von den letzteren Fünffachen der Primzahl 7, nttmlich dem
1, 3, 5, 7, 9...{qj + 2) ;6fachen
sind unter den {q^ -f 1) : 3 Zahlen der Dreifachen von 7 schon
[(«7 + 2):5 + l]:3
Zahlen als Dreifache des Fünffachen von 7 enthalten, so dass als Fünffache nur
(g, + 2):5-[(«, + 2):5+l]:3
Zahlen, im Ganzen also für die Primzahl 7 nur
?7-{te7 + l)^3 + [((Z, + 2):6^((g, + 2):6+l):3]}
Zahlen zu subtrahiren sind.
Die Division (Ä + 5) illssq^^ ergiebt die ungeraden Vielfachen von 1 1 ;
unter diesen g|, Zahlen enthalten (g^| + 1) : 3 den Factor 3, (q^i + 2) : 5
120 Kleinere Mittheilnngen
den Factor 5, (ö'n + 3) : 7 den Factor 7; von den (q^^ +2) : 5 gehen als
Vielfache von 3 weiter [(ä'n + 2) : 5+ 1] :3 Zahlen in Absug; von den
toi + 3) : 7 fallen noch fort
(toi+3):7+l):3 + [(((Z,,+3):7+2):5-{((g,,+3):7+2):6+l|:3]^
Bei allen diesen Divisionen gilt als Besaltat die sich ergebende ganze Zahl.
Bezeichnen wir allgemein
1^1=3, ft=5> Ps^'^y 1^4= llf-JPy
die v^ ungerade Primzahl und verstehen wir unter dem Zeichen ^(Ny v)
die Menge detjenigen nngeraden Zahlen , welche in der Beihe der nngeraden
Zahlen von 1 bis N einschliesslich durch keine der Primzahlen
Pii Ä> Pt>"Pv
theilbar sind, so haben wir in der angegebenen Weise für jeden Quotienten g«
den Werth des Zeichens ^(2g«, x— 1) zu berechnen, um zu finden, wie-
viel von den bei der Primzahl pn in Abzug zu bringenden Zahlen qg
bereits durch die kleineren Primzahlen
Pif ft» Pz'-'Pm^i
in Wegfall gekommen sind; denn da der Quotient q, die Anzahl der Olieder
in der Beihe der aufeinander folgenden ungeraden Zahlen angiebt, so ist
die letzte ungerade Zahl 2g«— 1.
Bei diesen letzteren Berechnungen bieten uns einige bekannte, ein-
fache Ueberlegungen bedeutende Yortheile. Gelangen wir bei der Berech-
nung der durch eine kleinere Primzahl pn schon in Abzug gebrachten Zahlen
auf einen Quotienten Q^, dessen Doppeltes kleiner ist als das Quadrat der
vorhergehenden Primzahl 2 ^a < (jp* « i)*,
so sind von den ungeraden Zahlen im Zahlenraume von 1 bis 2Qk s^s
Vielfache der Primzahlen 3, 5, 7, 11...^a.i &Ue ausgeschlossen mit
Ausnahme der 1 und der Primzahlen, welche grösser als Ph-i und kleiner
als 2Qh sind. Hierbei wird 2Qk stets kleiner als die grOsste, bei der
ganzen Berechnung zu berQcksichtigende Primzahl pp sein, so dass wir
nur die Tafel der unbedingt nothwendigen Primzahlen zu benutzen brauchen.
Unter Anwendung des Zeichens 9>(ni), welches die Menge der Primzahlen
<Cw bedeutet, kOnnen wir diesen Satz folgendermassen schreiben:
W{2Qh, ä-1)«1 + 9>(2Cä)-(ä-1),
wenn {pa - 1)* > 2 ©a > Pa ist.
Erhalten wir femer bei einer solchen kleineren Primzahl pk einen
Quotienten Qny dessen Doppeltes kleiner als pjk und grOsser als pk^t ist,
so sind alle Zahlen ausser der Einheit ausgeschlossen; es ist
Bei noch kleineren Quotienten Qa^ so dass 2Qh<Pk--t ist, bedeutet
das Zeichen ^, es soll die Menge der ungeraden Zahlen im Zahlenraume
von l bis 2Qa gesucht werden, die durch keine aller ungeraden Prim-
Kleinere Mittheilangen.
121
zahlen zwischen 1 bis 2Qa) j& selbst durch keine grössere als 2Qa theilbar
sind; es kann in diesem Falle erst recht nur die Einheit übrig bleiben
and es ist ^[2Q,,, a + ip{2QM)] = l,
WO a ^ 0 und eine ganze Zahl ist.
Einige Beispiele werden sofort die Einfachheit und Kürze der Berech-
nungen erkennen lassen.
J\r=500; 1/5ÖÖ : 22.
3 500 : 2 = 250
5 (250+1): 3= 83
7 (250 + 2): 5= 50; 50-17 = 33
11 (50 + 1): 3 =17
13
17 (250 + 3):7= 36; 36 -(12 + 5) = 19
19 (36+1): 3 = 12
— 7 (36 + 2): 5= 7; 7-2 = 5
(7 + 1) : 3 = 2
256 : 11 = 23; 23- (8 + 3 +1) = 11
24 : 3 = 8
25:5 = 5; 5-2=3
6:3=2
26 : 7 = 3 =1
2.3 = 6<5»
..6:13 = 19; 19-(6 + 3 + l4l)= 8
20 : 3 = 6
.1:6 = 4; =3
2.4 = 8 < 3»
um 80 mehr für 7 =1
„11 =1
..8:17 = 15; 15-10 =5
.6:3 = 6
7:5 = 3; 6 =2
7, 11, 13 =3
. . 9 : 19 = 13 =3
.4:3 = 4
5:5 = 3, 6 =2
7, 11, 13, 17 =4
16 2
250 - 162 = 88
7
95
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
^"=1000; 1/1000 = 31.
1000:2 = 500
(600 + 1) : 3 = 167
502:5 = 100; 100-33 = 67
101 : 3 = 33
603:7 = 71; 71 -(24 + 9) =38
72: 3 = 24
73: 5 = 14 =9
15:3 = 5
..5:11 = 45 =21
lÖ . 6 : 3 = 15
.7:5= 9 =6
10:3 = 8
8:7 = 6, 12 =3
6:13 = 38 =17
9: 3 = 13
40: 5= 8-3=5
1: 7= 5, 10 =2
3:11= 3, 6 =1
8:17 = 29 =11
30: 3 = 10
1: 5= 6-2 = 4
2: 7= 4, 8 =2
4:11= 3 =1
13 =1
9 : 19 = 26 =9
7:3 = 9
8:5 = 6-2 = 3
9:7 = 4, 8 =2
11, 13, 17 =8
511 : 23 = 22 =7
-5- 3:3 = 7
4:5 = 4, 8 =3
5:7 = 8, 6 =1
11, 13, 17, 19 =4
514 : 29 = 17 =3
22 8:3 = 6
9:5 = 3, 6 =2
7,11,13,17,19, 23 =6
615 : 31 = 16 =2
20 7:3 = 6
8:5 = 3, 6 = 2
7
342
500 - 342 = 168
10
168
122
Kleinere Mittheilungen.
/^ — -
JY= 10000; V
= 100.
^10000
3
10000:2 = 6000
5016 : 31 = 161
= 67
5
6001:3 = 1667
162: 8= 64
7
...2:6 = 1000 = 667
3: 5= 32-11
= 21
11
... 1 : 3 = 333
4: 7= 23- 8
- 3
= 12
13
6:11= 15
80
7
17
3 : 7 = 714
881
7:13= 12
24
5
19
5 : 3 = 238
9:17= 9
18
2
23
6:5=143 48 = 96
19, 23, 29
3
29
6005 : 11 = 456
208
5018 : 37 = 135
«:47
31
466: 3 = 162
136: 3= 46
37
7: 6= 91-30 = 61
7: 5= 27-9 =
•18
41
8 : 7 = 66 =34
8 : 7 = 19 - 6 -
3 =
10
43
6 : 3 = 22
140:11= 12
24
6
47
7:5 = 13-4 = 9
1:13= 10
20
4
53
8 : 17 = 8
16
1
59
5006 : 18 = 385
160
19, 28, 29, 81
4
61
386: 3=128
67
7 : 5 = 77 - 26 = 61
5020 : 41 = 122
= 42
71
8: 7= 56 «30
128: 3= 41
73
6 : 3 = 18
4 : 5 = 24 - 8 r
16
79
7:5 = 11-4 = 7
6: 7= 17-6-
2 =
9
88
90:11= 35 =16
7:11= 11
22
6
89
6:3=12
8:18= 9
18
3
97
7:5= 7 - 2 = 6
6
24 8:7=. 5,10 = 2
5021 : 43 = 116
= 38
117: 3= 89
6008 : 17 = 294
111
8: 6= 23-8 =
15
295: 3= 98
9: 7= 17-6-
2 =
:9
6: 5= 69-20 = 39
120:11= 10
5
7: 7= 42-14- 5 = 23
1 : 18 = 9
3
9:11= 27-9-3-2:^13
7
800:13= 23, 46 =10
5028 : 47 = 106
107: 8= 36
= 34
6009 : 19 = 263
95
8: 6= 21-7 =
14
264: 3= 88
9 : 7 = 16 - 5 -
2 =
:8
5: 5= 63-18 = 35
111:11= 10 20
5
6: 7= 38-13- 6 = 20
2:13= 8 16
2
8:11= 24, 48 =12
8
9:i3= 20, 40 8
6026:53= 94
= 28
271:17= 16, 30 5
95: 3= 31
6: 6= 19-6 =
13
5011 : 23 = 217
77
7: 7= 13-4-
2 =
7
218: 3= 72
9:11= 9 18
4
9: 5= 43-14 = 29
100:13= 7 14
2
220 : 7 = 81 - 10 - 4 = 17
9
2:11= 20 40 9
5029:69= 85
= 24
3:13= 17 34 7
86: 3= 28
6:17= 13 26 4
7: 5= 17- 6:
= 11
6:19= 11 22 2
8: 7= 12 24
90 : 11 = 8 16
7
3
5014 : 29 = 172
60
1:13= 7 14
2
173: 3= 57
10
4: 5= 34-11=23
6080
61 = 82
= 22
6: 7= 25 8- 3-= 14
88
8 = 27
7:11= 16 32 8
4
6 = 16- 5.
= 11
8:13= 13 26 6
5
7 = 12 24
7
180:17= 10 20 3
7
11= 7 14
8
1:19= 9 18 1
8
13= 6 12
1
8:23= 7 14 1
11
E[l6inere Mittheilangen. 123
6083 : 67 = 76
76: 3 = 26
7: 6=16-
- 6 =
10
8: 7 = 11
22
6
80:11= 7
14
3
13
5036 : 71 = 70
71: 3 = 23
2: 6=14-
- 6 =
: 9
3: 7 = 10
20
6
6:11= 6
12
2
14
6036 : 73 = 68
69: 3 = 23
70: 6 = 14-
- 6 =
: 9
1: 7 = 10
6
3:11= 6
2
16
6039 : 79 = 63
64: 3 = 21
6: 6 = 13-
- 4 =
: 9
6: 7= 9
18
6
8:11= 6
12
2
16
Baatcen.
= 18
16
= 13
= 10
6041:
61:
2:
8:
6:
88 = 60
8 = 20
6 = 12-
7= 9
11= 6
- 4= 8
18 6
10 1
17
= 9
6044:
67:
8:
9:
89 = 66
3 = 19
6 = 11-
7= 8
- 4= 7
16 4
19
= 7
6048:
63:
4:
6:
97 = 62
3=17
6 = 10-
7= 7
- 3= 7
14 4
20
= 4
3796
6000-
3796 = 1205
24
1229
Dr. H. VOLLPRBOHT.
VI. BeweiB eineB Satses von Jacob Steiner ttber die ErttmmniigBkreiBe
einer EllipBe.
Jacob Steiner stellte den nachstehenden Satz über die KrfimmungskreiBe
einer Ellipse auf, den wir in Folgendem auf einfache Art beweisen werden.
„Durch jeden Pnnkt q einer Ellipse gehen drei
Erttmmnngskreise der Ellipsee und zwar liegen die
Oscalationspankte a, 6, c dieser Kreise mit dem Punkt 9
. auf einem Kreise und sind die Ecken eines grössten,
der Ellipse einbeschriebenen Dreiecks. **
In den Ecken eines beliebigen einem Kreise einbeschriebenen gleich-
seitigen Dreiecks ABC seien an den Kreis die Tangenten gezogen ; welche einen
beliebigen Durchmesser D dieses Kreises in den Punkten Äi, B^ und C^ treffen,
um Äy B^ 0 seien mit den Längen AA^^ BB^ und CO^ Kreisbögen be-
schrieben , die den Durchmesser D ein zweites Mal in den Punkten A^ , B^
und 0^ treffen. Es Iftsst sich dann auf elementare Weise zeigen, dass
^) AAft BB^ und CO^ sich in einem Pankte Q auf dem Kreise
schneiden; und
ß) die Oeradenpaare AB^ CQ^ AC^ BQ und BC und AQ gegen den
Durchmesser D gleich geneigt sind.
Drehen wir den Kreis um den Durchmesser D und projiciren die
ganze Figur auf die ursprüngliche Kreisebene, oder aber verkürzen wir
die Entfernungen aller Punkte vom Durchmesser 2) in bestimmtem Ver-
hftltniss , so sind , wenn wir die Projectionen der Punkte mit den gleichen,
124 Kleinere Mittheilnngen.
jedoch kleinen Buchstaben bezeichnen, allemal auch in der nenen Figar
a) ab und qc und ac und qb und ebenso bc und aq gegen den
Durchmesser D gleich geneigt;
ß) ebenso bilden die Geradenpaare aa^^ aa^; hh^^ hh^ und cc^^ cc^
mit dem Durchmesser D gleiche Winkel. Es folgt daraus aber unmittelbar,
dass auch die Punkte a, b, c und q auf einem Kreise liegen; denn bilden
zwei Oegenseiten eines Vierecks, das einer Ellipse einbescbrieben ist, mit
einer Achse der Ellipse, also hier mit 2), gleiche Winkel» so ist das
Viereck ein Kreis Viereck.
Da weiter das Dreieck ABC ein dem Kreise einbeschriebenes grOsstes
Dreieck ist, so ist auch ahe ein solches in Bezug auf die Projection des
Kreises, also in Bezug auf die Ellipse. Da femer z. B. die Geraden aa^
und aq auch in Bezug auf die Gerade D, die Hauptachse der Ellipse,
gleich geneigt sind, so geht der Krümmungskreis der Ellipse im Punkte a
durch den Punkt g, womit der Satz bewiesen ist.
Weingarten (Württemberg). Bbnedikt Sporbr.
vn. CombinatoriBcher Beweis des Wilson'söhen Lehrsaties.
Die in der Zahl {p — 1)\ enthaltenen Einheiten lassen sich durch die
sSmmtlichen Permutationen von p verschiedenen Elementen 1, 2,...p dar-
stellen, wenn die nur durch cyklische Verschiebung ihrer Elemente von
einander verschiedenen Permutationen als identisch betrachtet werden. Es
kann ja unter dieser Bedingung jede Permutation so umgestellt werden,
dass sie mit einem bestimmten Elemente, etwa mit 1, beginnt, so dass
alle wesentlich von einander verschiedenen Anordnungen nur durch den
Platzwechsel der (p — 1) übrigen Elemente entstehen.
Leitet man nun aus irgend einer Permutation a, 5, ..•!>, ...A dadurch
eine andere (a+1), {b + l)^..A,,,.{k+l) ab, dass man jedes Element
durch das ihm nach der ursprünglichen Anordnung (1, 2, ...p) folgende
ersetzt; wobei natürlich 1 als auf p folgend gilt, und wendet man auf die
erhaltene Permutation immer wieder dieselbe Operation an, so muss man
endlich einmal, spätestens nach p maliger Ausführung dieses Verfahrens,
wieder diejenige Anordnung erhalten, von der man ausgegangen isi
Geschieht dies nun zum ersten Male nach m Operationen, so wird es
immer wieder und nicht früher als nach m weiteren, das heisst, es wird
nach mt 2ni, dm... Verwandlungen stattfinden. Demnach muss m ein
Theiler von p sein.
SSmmtliche (p— 1)1 Permutationen werden durch dieses Verfahren
in geschlossene Gruppen zusammengefasst, von denen keine zwei irgend
eine Permutation gemeinsam haben können , da die Ableitung der übrigen
zu einer Gruppe gehörigen Permutationen aus einer derselben duroh eine
eindeutige Operation erfolgt.
Kleinere Mittheilangen. 125
Ißt nun p eine Primzahl, so bleiben ftlr m nar die beiden Werthe
1 nnd p mOglich, das heisst, es kann in diesem Falle nnr solche Per-
mataiionen geben, die durch die geschilderte Verwandlang tingeftndert
bleiben, und solche, die zu j^gliedrigen Oruppen zusammentreten. Die
Anzahl der ersteren ist leicht zu bestimmen. In der cyklisch angeordneten
Elementenreihe mnss bei ihnen der Abstand von a bis (a + 1) derselbe
sein, wie der von (a + 1) bis {a + 2) u. s. w., da sonst a..., (a + 1)**-»
(a + 2)... nicht mit (a+l).-, (a + 2)..., (a + 3)... übereinstimmen
konnte. Es sind daher nur die (p— 1) Fälle möglich, in denen dieser Abstand
1, 2, 3... oder (p— 1) Intervalle aasmacht, and diese Fälle kommen
ihatsftchlich sämmtlich vor, da die genannten Zahlen alle relativ prim za
p sind, so dass jedesmal gerade ein Element auf jeden Platz entföllt.
Die(j7 — 1)! vorhandenen Permatationen zerfallen also in (p^ 1)
einzelstehende and in Orappen von je p zasammengehörigen. Demnach
ist (p— 1)! in Bezog auf den Modal p mit (p— 1) oder (—1) congraent.
Ein einfaches Beispiel m5ge das (übrigens leicht geometrisch za ver-
anschaalichende) Beweisverfahren erläatem. Für pa=5 hat man die
Permutationen :
12 3 4 5
3 5 2 4
4 2 5
3
5 4
3 2
1 2 3 ö 4
5 2 3 4
3 4 5
2
3 2
4 5
12 4 3 5
12 4 5 3
4 2 3 5
2 5 3
4
4 5
2 3
13 4 2 5
12 5 4 3
5 4 2 3
5 3 4
2
4 5
3 2
14 3 2 5
13 6 4 2
5 3 2 4
4 3 5
2
3 2
5 4
15 2 4 3
Gotha.
_
Dr.
Ad. Schmidt.
ym. lieber einen zahlenfheoretiBchen Satz von Legendre.
Wie auf 8. 221 der Historisch- literarischen Abtheilang des 39. Jahrganges
der vorliegenden Zeitschrift angegeben ist, hat Herr Dr. Sehe ff 1er den
folgenden, von Legendre ausgesprochenen Satz zu beweisen versucht:
Ist eine Folge von h beliebigen ungeraden Primzahlen i>i , . . .pk
gegeben, und versteht man unter m das i^ Glied in der natür-
lichen Beihe der Primzahlen 3^ 5, 7, 1 !,..•, so giebt es unter
nk^i aufeinander folgenden Gliedern einer arithmetischen Pro-
gression, deren Anfangsglied und Differenz relativ prim sind,
mindestens eines, das darch keine der Primzahlen Pi^^'^Pk theil-
bar ist.
Nach einer brieflichen Mittheilung des Herrn Dr. K. Th. Vahlen in
Berlin hat zuerst Herr Dr. Piltz die Unrichtigkeit dieser Behauptung in
seiner Habilitationsschrift (Jena 1884) nachgewiesen; auf dem von Dr. Piltz
angegebenen Wege hat nachher Herr Prof. Bachmann (Zahlentheorie,
II. Bd. Anhang) an einem Beispiele die Unrichtigkeit des Legendr e'schen
Satzes gezeigt. Schlömilch.
126 Kleinere Mittheilungen.
IX. üeber eine Verallgemeinernng der Enler'sohen gp Funktion.
Es seien a nnd ß beliebige positive, n eine positive ganze Zahl,
F eine beliebige, fOr positive Brttche eindeutig definirte Function.
Wir definiren eine Function ^«^(n) durch die Gleichung:
I) q>aß{ny=: £F\-—y (m, n theilerfremd)
in welcher die Summation über alle irreductibeln, zwischen o und ß ge-
legenen Brüche — zu erstrecken ist.
n
Setzt man in I) für n alle Divisoren d von n und summirt, so erhält man :
II) ^^^v.ß(.^=^F{^y
Hl
wo die Summation rechts über alle reductibeln und irreductibeln Brüche —
n
zwischen a und ß zu erstrecken ist.
Setzt man in II) für n alle ganze Zahlen bis n und summirt, so er-
giebt sich:
ni) yj ßj^a/jW^yK« - «*]^ ß)' (». * theilerfwmd);
hier bezieht sich rechts die Summation auf alle zwischen a und ß gelegenen
irreductibeln Brüche , deren Nenner n nicht übersteigen.
Für i^(— j = 1 bedeutet q>aß{ff) die Anzahl der zwischen a und ß
gelegenen irreductibeln Brüche mit dem Nenner n.
Aus II) und III) folgt dann:
IV) y^«fi{d)=^[{a-ß)n],
^^ 2'[^]9'./»w=_^[(«-«*].
Für a~l, j3 = 0 ist 9>i,o(^) die Anzahl der zwischen 1 und 0 ge-
legenen irreductibeln Brüche mit dem Nenner fi, also 9>i,o(m) = <p(*»)«
Dann folgt aus IV) und V):
VI) 2^(e«)-n,
dF=n
von denen die erste Gleichung bekanntlich Gauss*, die zweite Sylvester**
aufgestellt hat
* Gauss, Disquisitiones arithmeticae Art. \
** Sylvester, Comptes rendns XCVI.
Kleinere Mittheil angeii. 127
Eine von Eisenstein* and Stern** betrachtete Function ergiebt
sich aus I) fttr ^( — ) = — ; einc( Gleichnng ^on Lagaerre*** aas IV) für
Berlin. K- Th. Vahlbn.
X. Die Transformation der quadratischen Formen.
Die Transformation der quadratischen Formen lässt sich auf Grund der
Ton Enklid zur Auflösung der quadratischen Oleichungen benutzten Methode
der quadratischen Ergänzung in folgender Weise ausftlhren.
^^ "^^ f-^£aikXiXk (t, fc = l, 2,...,n)
die zu transformirende Form. Giebt man ihr die Gestalt:
»11
und ergftnzt den ersten Theil zum Quadrat, so erhält man:
; = h -- ZatkXiXk, (*, * = J,...,n)
«II «11
wo a'ik'^aiiaik-auaik gesetzt ist.
Ebenso wird:
XiXk = — =^-= =^-^-7 h ~^^^ ik^i^kt
(f,fc = 3,...,H)
wo a'ik^='C^^aik'^ci'n(*\k ist; a. s. w.
Schliesslich wird also:
(g^gi + '-' + aiagn)* , {a\2Xi + '" + a\mXnY
wo a"\A= «"sa^^A — o^aiö'sfc u, s. w. ist.
um jetzt auf die bei der Transformation einer quadratischen Form
auf eine Summe von Quadraten übliche Form zu kommen, ist die An-
wendung eines einfachen Determinantensatzes nothwendig.
* Eisenstein, Monatsberichte der kOnigLpreass. Akademie d. Wissenschaften,
Berlin 1850; Jonmal für d. r. n. a. Mathematik Bd. 89.
** Stern, Jonmal fSr d. r. u. a. Mathematik Bd 65.
*^ Lagnerre, Bulletin de la socidt^ mathdmatiqae Bd. 1.
128 Kleinere Mittheilungen.
Die folgende Oleichnng:
«u, 0, 0, ..., 0
«ist Ö||Ö«2""Ö*1«; «ll««8""^i«18» .••»0||fl2»— «i«fliw
«Im; «1102111 — «ijölifi) «iiÖ3m — OjjaiDi, • • • i «iiO«m — fl*lw
«1« «II «rt «11 «i3 ••• 01102 m
WO a{ifc=aib< iat,
Oim a]ja2iii ajiGSM**« Oiiamm
die man erh<, wenn man in der ersten Determinante die mit atk molti-
plicirte erste Colonne zur Jc*^^ addirt, (für X;c=2,3, ...m), liefert den Satz:
I o'a I = Oll"*~*- \^ik\*
I, it = 2,. . ., m 'i A=: 1, 2, . . ., m
Die successive Anwendung desselben ergiebt:
OtfA = Oll'|Of«r I,
A = 1,2,A
«^& = o» • I «'<* I = o*ii • I OfA i • \<Hk\,
' = 2,5,^ < = 1,2 <^1,2.8,^
* = 2,3,A * = 1,2 ir = l,2,3,&
^ = «'«•1 «'<* I • I ö'ifc 1 = 0*11. 1 o<* !*• I «••* I • I «<* 1?
< = 2.3 / = 2,8,4,^ i=l,2 1 = 1,2.8 <=l,2,3,4,^
ir = 2,S * = 2,8,4,A * = 1,2 * = 1,2,3 fc=:l,2,S,4,A
durch Indnotion findet man, dass allgemein
ist, wenn \ \ a a a a a
< = l,2,..-,v-l,P
gesetzt wird. * = i,2»...ir-i»*
Setzt man diese Ausdrücke ftlr c^''^^^ in die transformirte Form f ein,
und beachtet^ dass
wird, so dass sich aus dem Z&hler und Nenner des v^^^ Oliedes der Factor
^f^ilf'"'.^^*''"*. ..-4;_2 forthebt, so bekommt man die quadratische
Form in der gewünschten Gestalt:
(|^- (|^ (|^ ^^_^_^_
/"" A "»" A A "»" A A T*"T-
A^ A^A^ A^A^ Am^\An
* Derselbe ist ein besonderer Fall des Sabdeterminantensatses, welchen
Herr G. Laiidsberg in der Arbeit: „lieber relatiy adjungirte Minoren*' (Bd. 10*
des Journals für die reine und angewandte Mathematik) aufgestellt hat
Berlin. K. Th. Vablkr.
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Neuester Verlas; Ton B, iu Ttnibner in Leipzig*
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BSberhnrd, iJr, T,, Prof* an der liniveraiitflfc tu Kömgthexg L Vt,. die Qruntl-
gpbUde 4er «beiie£i Oüomeirte. In 2 BäacSeu, L Hand. Mit t Fi^mtiii-
inff-lö, tSLVni IL 302 S.j gr- B. 18tß. ^k n. -J^ II*—
— ftlier ilie Zk'lt* und GrtiiiUlagett der Haanjlriire, Sepftriitab druck
atjs d^r Vocreile »u „clje Onmdgebilde iler Oeomt!t^k'^ [:if9 8] gr, S, 1^95
gek n, ^ IX'Ü-
Ouöd^lfiji^er, Sigmund, VürlesuD^eu ay« der imal^tiKclieii Geometrie
dwr K ' ' ' " ' '^^icMJricli Diiig^elde^f. Mit lai
den f f^K**t fBtLuUend Aat'iriibeii imd
HraliAkj Josef, k. k. Oberberi^'mth und Prc»fe«aor, practiöche Hilfatabelleo
filT 1 ^ ' f'he und andere Zahlorufeebmmg^ö. DnUe, abgekürzie Äuj^gaW,
(V ij jfr ö. im'*, tr^b. n. .# :i.-
iMutli} l'r, F,, L» rund läge II fdr di*? geotuotn'riche Anwendung der 1 n-
f variantentiiei^ri*? Mit ein^m Beglaifwcirtt» \im M* F*aae.h- [TT u. 152 8,|
8ob1e8in|E:ef j I*iof Dr. Iiudwjgj PriviiUlozont an der Ünivereitit üu ßt?rliw,
n ' h iler Tbcorie der liniaten Diffi^reiitialgloichungen, lu
■ 1 IJiind. [XX n. 487 S,J gi. 8, im&. n, -4 MV.—
WÜilöer. Adolph, Lcbrl>ijch der Exp^rimental^thyaik. Fn vier Blinde.
I, Barjrl' \ 1lL*^wf*in(:r rbysik und Akustik. 5. vielfach umgearl leitete iLud
verhf Mit 321 in den l'ext gedruckten Abbild iingen und Figirion
IJN HALT.
V. Homocitntrijsclm Bredjwng de« Liebt«« durcii das l*risjna, Ton VtüL Ür
L. BiniriciiTiJin in Mdnriicri i Tafel XI twid TB i ,*.-,, , Ö6
Vi, Heber die Wemiepolt^ einer kinenjatiicljen Kette. Von Prüf. F. Wittk^t-
mriot in GriiÄ (Tufttl IVi . , , . . . . . , . . . S*l
m. ConÄfmcüiinr'ii iler Ctjrvk'ii dritter Urda an g au« tjf?iiii l-ol^'I^^iku PiiTildj^n
on^i t des nenuieu Funktöa zn uclil i**«
Bii: V ►>« dritter Ordiiujig, Vnn Dr C((iiji V) 1*9
Kleinere 5f ittbeilungeu.
IV, Zttf Theorie der Detemiinanten höheren Ranges, Voa Nio*»LiU8 vom Sssi^r» IIJI
V. öeber die Beetimmimg der Anzahl der Priinzalilen bis zn eiaer ge-
fübenen Zahl N mit Hilfe der l'nnatthleü, welche kleiner als y'N sind
ÜB Dr H. VoLLi'tticuT ,....,*.- , . 1 18
V}, Beweis ^ineti Batzeir von Jacob Steinex Ober die Erümmangskreifle einer
Ellin«e. Von Bknicoimt SntKKH , . * , , , . , , l'iiJ
Vll. Conibiniitühscber Bawei» de» Wilion*Bchen Lehraataes, Von Dr. An^ScrtmiuT 124
VIIL tJebor einen aahlen theoretischen Satz Ton Legendre. Von SciiLfiMLLcn Tlö
IX, Üeber L^ine Vendlgenieinenrng der Euler*ecben (p Funktion. Von
K. TiL VAömjf -/......,.. . . im
X, Die Tnuiafi>rmatiün der quadratiflcbeii Formen. Von K. Th. Vaulek 1*i7
Historisch-literarische AbtheilttOg {besondera paginirt).
If ncccisionen:
IkuLiH, Fei*ii, The Evanaion CoUoquinm, Von R FtncKK tl
HKBunsB, Dr. Bek^oiaiib , Lebrbnch der Geomi^trie zum Qebrduch iiu
Ojmnasien. — Leiirbnch der analjtischen Geomtätrie der
; M. MlITSB .
GitilBfriiöif
\ , . .
ScuiTKiiD«» . Vau V, t^* .
I
Die Grumllviiren iler ebejieu O^melne* ?im
l!
.Ton.,
■ iitrir-.cij - i;.i"i;;oi]imnT.,riKrrn' i lirrni iiif
l^ctmitte in rtnn projectiter DehantlltiDg.
Fkjino, VvoL U.^ Notittiuiie de l<igi<|ue mutht^matiqn«. Von Cawi^ol
BrülUC-KvIlTI, Prof. (1, f.^tn'rj ^T:^^tM1|;lUt^U:, ViHl T.A
AN'Tnit
•ISO. ViiU CAXKilt ,
der Natur-
BüßTUüLt», l^r^r Mr!j:fht*^r Jobatm Fi*bncius tiud »Üf»
Btictciiti , n * KntwT f* ff ol uTi^ rl^w f » R ?t ite ^ r •
Von Caähiü ,
||aa\, D. BikitLXft i»ic, BöciwstdflVn. Von CjLarrtm
'^^
OiLLi , I r'*T. 1 ^r. ,p. n, , i ri>ii''jd<.ii- i vvmh. \ \ju '
iivTjuK h\mn}iJLsi\ ErmmTiiiig" au M hattiSlerti V>
Ki^tjusiu^TN, Ik, KvpMi.*-, Sy«toiuHtirtchc8 Veraeii^liniai der Ätib&atl^
biiigeij. Von i\xiun . , ......
Ri»iiHT5A* a, Hr pliil. C, Vii^THtcllige loganthnüach-trigooomtjtmctie
Tnfoin. Von Cjlntoh ^ . . .... Aft
K**nAi.j>j I>r, E., UeLuiT das Verdcherungimreaeii drr Bcoi^^ttK!*-
ßruderlftden. Vou (Umüh . , US
Hau»?., JoitÄSS U., 8y»op&b «ittr höher^a M
TrTAji?fA«Aiti, Jfis,, Hprechnnn^vriji RontMiiUii''
Aiiantiirö du Bu >« ». Von Oxxti>u . , t
Fn-s-P.ii-mi^K, J., aad Ciü^viuL^ ÜKuMtfR», EtamBes d'tLriihcätitiiiui
Vim r%^-Titif , . , ...
l.' • ' " Jtiim »fiati' • " ^' ■!]( ,
L o \lV»or . rnit ^r*
ÖoüHHAT, ' *lie InttgTutioii der i
[ nun^Hii erster ördwimg, Von W 1
KittmAXit« ' - ujid Ürenni mutete i'ines Linin
ÜAHTi, Hjiiucvjis, Die BmcUtmg Jes licblee üüier Ebene, Vtxn B,a%Bmii
Lühuimu, Fjuxz, Daa NivelÜreii Von B. Nköki, 7ö '
WjtTUDK, Heitiiy Wtr,LiAi*, A Ti-eatise od tixL* Ein^ik lliftory of
Gattf». Vc*ii B. NiiiiKi. , , . . ,
ZiwiiT» AiJutAÄOB», All elfm^Jitary tresitse on Üiec<retit;al mecliaBtefe
B. NKwxit - * . , .
BiblioirriLphia rom 1. Di^cfiinbi^r ld94 bis t^, IfVbruar IS!*.
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Zeitselirift
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Mathematik und Physik
hemusgegebea
Ton
Dr. O. ScUöiiülcli und Dr, M. Cantor.
40, Jahifganf . 3, Heft
Mit ZWO] HtkogT&phtrfcen Tufein.
Leipzig,
vorlag von B. O. Tfeuboer-
tft»B*tiyJMbiiejg itt l*eSj?3J8^
Soeben eifdricn im ^etlaiic ton 58. QJ. ^cu^itct in Sett^^ig;
J}r. Gustav Holzmaileri
3n biei Xctleii. gi. 8. 3« Snm, geb.
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Wfrbftt btirf, Tiidjt o!|ttc ©influH ouf b»f (ilfftaUung ber ^rfufjüdicn Üt^ipUini: flrbiirbai.
teil 0p. tittiUttn unH t^of^k^rerii ffeCvcn tvotn I* und !!• Zeil SreU
rcentHliirc furl^rQfunn 6rtiufd etitiiL (Hnfriliriiiii iiclift uu^FflbrUitiein Ornleiir
»i^n nxB Vetf. iu Xiciiftrii.
^^;--A^0^
vm.
Conforme Abbildungen, welche von der g'-Funotion
vermittelt werden.
Von
J. C. Kluyveb,
Professor an der UniTersitftt Leiden.
HierEQ Tafel VI Fig. 1—6.
^Wie ans den Untersnchangen des Herrn Schwarz hervorgeht, be-
wirkt das elliptische Integral erster Gattung oder dessen Umkehrung die
J7- Function, die Abbildung der inneren «^-Fläche eines Rechtecks, in ein-
zelnen Fällen auch eines geradlinigen Dreiecks auf die positive jer- Halb-
ebene.*
Ausserdem aber zeigte Herr Schwarz, dass ein solches Integral
zweiter Gattung das Innere eines Kreises auf das Aeussere eines Quadrates
abbildet. Dies veranlasste mich zu näherer Beschäftigung mit der Auf-
gabe der conformen Abbildung einer Süsseren Poljgonsflttche , insofern fUr
deren Lösung die {;- Function Verwerthang findet.
Die Herleitung der betreffenden Abbildungsformeln bildet den Gegen-
stand der nachfolgenden Seiten.
§ 1. Die Function w=^f{e), welche die äussere tc; -Fläche
eines g^eradlinig^en n-Ecks auf die positive ^er- Halbebene
abbildet.
Im Anschluss an die Schwarz'sche Lösung der Abbildungsaufgabe
fttr die innere Poljgonsfläche bildet auch im vorliegenden Falle die Unter-
suchung der Function:
* Ausser der Abhandlang des Herrn Schwarz: „Ueber einige Abbildung^-
aufgaben**, Qes. W. II 8. 66, mOgen hier angefahrt werden:
„Love, Vertex Motion in ceitain Triangles, American Jonm. of Math. XI
S. 158 (1889) *S
„Bnrnside, On a Problem of conformal Representation, Proo. of the London
Math. Soc. XXIV S. 187 (1893).
Zeitoohrift f. Mftfhenuitik u. Phytik. 40. Jahrg. 1806. S. H«ft. 9
-kl
130 Conforme Abbildungen, welche von der {;• Function yermittelt werden.
d dw
den Ausgangspunkt Unmittelbar erkennt man, dass die von Herrn
Schwarz nachgewiesenen Eigenschaften dieser Function theils ySUig nn-
ge&ndert bleiben; theils nur sehr unwesentliche üm&nderungen erfahren,
so dass wir , ohne darauf weiter einzugehen , nachstehende S&tze aufstellen
können.
1. In der Umgebung eines beliebigen Punktes w = w^ der ftusseren
PolygonsflSche gilt die Entwickelung
2. In der Umgebung eines beliebigen Punktes w^w^ der Begrenzung
3. In der Umgebung eines Eckpunktes w^^h mit dem inneren
Polygons Winkel In ist
falls der entsprechende reelle Punkt jer &= a im Endlichen liegt.
Ist dagegen a e= oo, so hat man zu setzen:
.,,._B^+',(l).
4. Ist dem Punkte jer s= oo ein gewöhnlicher Punkt w des Umfanges
zugeordnet, so gilt in der Umgebung des letzteren die Entwickelung:
.,,..i^.,(i).
Die Potenzreihen P(jir — jerj), pifi^ü^ sind für 5 = jer^ von Null yer-
schieden; sSmmtliche Coefficienten der Beihen p sind reell.
Die in diesen Stttzen zusammengestellten wesentlichen Eigenschaften
der Function J{ß) genügen fast vollständig zu ihrer expliciten Darstellung.
Man hat nur noch, wie wir jetzt thun wollen, das Verhalten von J{g) in
der Umgebung von w^s^co näher in Betracht zu ziehen.
Vorausgesetzt tr = oo entspricht der complexe jer-Werth 5 s= X;, so er-
fordert die Aehnlichkeit der Stellen f<;='00; jer = X;, dass die Ableitung
— (— j für jerssj; endlich und von Null verschieden ist.* Demzufolge
lässt sich — im Bereiche des Punktes jer = k entwickeln in eine Beihe von
der Gestalt - « (5 - lc)P{g - fc),
wo in der Potenzreihe P(0 — h) das constante Anfangsglied nicht fehlen darf.
* Wir betrachten nur solche Polygone, welche keinen unendlich weit ent-
fernten Eckpunkt haben.
Von J. C. Kluyvpr. 131
Man erhttlt hieraus:
1) J(«) = - ^+ (5 - fc)P(» - *).
Es hat also die Function J{g) ausser den Unstetigkeitspunkten ß^ a,
welche den Eckpunkten des Polygons entsprechen, im Punkte g^h einen
einfachen Pol.
Wir haben jetzt zu zeigen, dass J{ß) in die negative jer- Halbebene
fortzusetzen ist und im Punkte g^sh^^ wo h und h^ conjugirt compleze
Werthe sind, sich ganz wie im Punkte ß = k verhält.
In dieser Absicht grenzen wir einen Theil U der positiven jer- Halb-
ebene so ab, dass die vollständige Begrenzung dieses einfach zusammen-
hfingenden Stückes gebildet wird, erstens von einer Strecke iiJ? der Achse
des Beeilen, welche keinen der Unstetigkeitspunkte jer &= a enthält, zweitens
von einer sich nicht schneidenden Curve ACB^ die in der Umgebung von
0=zh verläuft, ohne den Punkt 0 = h selbst einzuschliessen.
In dem so erhaltenen Gebiete ü ist J{e) definirt als einwerthige
und stetige Function von ir, wobei hervorzuheben ist, dass ftir die reellen
Werthe, welche 0 auf AB annimmt, J{0) eine stetige Folge ebenfalls
reeller Werthe aufweist Man kann somit den bekannten Schwarz 'sehen
Satz anwenden und schliessen, dass die fttr U erklärte Function cTCjer) über
AB hinaus in das coigugirte Gebiet Uq derart fortzusetzen ist, dass zu
conjugirt complexen jer-Werthen auch conjugirt compleze Functionswerthe
gehören. Insbesondere nimmt daher fnodj{0) für entsprechende Punkte der
beiden Umgebungen von 0^k und 5 » X:^ gleich grosse Werthe an.
Durch diese Betrachtungen ist nun J{0) charakterisirt als eine in der
ganzen jer- Ebene einwerthige und bis auf einzelne jetzt völlig bekannten
Pole stetige reelle Function , welche für jP = oo verschwindet und die des-
halb nur ein rationaler Ausdruck sein kann, dessen Darstellung sich ohne
Weiteres aus den vorhergehenden Erwägungen ergiebt.
Für den Fall, dass alle den n- Eckpunkten zugehörigen i? -Werthe
endlich sind, hat man offenbar
2) J(«)
_Vl-A< _
^ JBT — a< 0^h 5 — Äo
Gehört aber zum Punkte 0 = 00 der Eckpunkt w = hn mit dem inneren
i — ln
Polygonswinkel Xnn, so bleibt in der Summe der Bruch einfach
weg. Da^^Afssn — 2, erhält man, wie es sein muss, fßr sehr grosse
132 Conforme Abbildungen, welche von der {;-Fanction yermittelt werden.
2 3 — A»
jBf-Werthe in der ersten Yoranssetzang 1 im zweiten Falle als
Hauptglied von J{fi).
Aus 1) folgt noch, dass das geschlossene Integral
J
0 — k
-dg^
genommen längs eines kleinen Kreises um den Punkt h hemm, ver-
schwindet. Indem wir in dasselbe für J{g) die rechte Seite von 2) ein-
tragen, ergiebt sich das wichtige Resultat:
3) ^l-ü^ — ^ _ 0
Namentlich ist durch diese Oleichung der Pol h festgelegt, so bald
man die reellen x?-Werthe a< als bekannt ansieht. In Bezug auf dieses
0 Bekanntsein ** der Grössen at wollen wir beilSufig bemerken , dass drei
nnter ihnen die übrigen bestimmen, wenn man nicht blos die Winkel Ik
als gegeben betrachtet, sondern die Abbildung eines Polygons von vor-
geschriebener Form verlangt.
Die Gleichung 3) für h ist ziemlich verwickelt und ihre directe Auf-
lösung möchte manche Schwierigkeiten darbieten. Sie ist, wie zu erwarten
war, gegenüber beliebigen linearen Transformationen invariant und Ifisst
sich auf verschiedene Weisen umformen. So z. B. ist sie zu schreiben in
der Gestalt: i»n ,
oder in ^ ^
woraus man, indem mit at die Amplitude von k^üi bezeichnet wird,
weiter ableitet die reellen Belationen:
y]{l-Xi)c082ai = 0, V(l- X<)Äi»2a, = 0.
Indessen kann man unschwer die Gleichung 3) geometrisch deuten.
Die Anwendung der Substitution
IG — a< =
liefert , ^
und damit gewinnt man den Satz:
Von J. C. Kluyveb. 133
Spiegelt man die Punkte ai an einem Kreise, der h zum Mittelpunkt
und die Strecke kk^^ zum Radius hat, so liegen die Spiegelbilder a\ auf
einem Kreise mit k^ als Mittelpunkt derart, dass A^ den Schwerpunkt
bilde der Massen 1 — X^, welche in den Punkten 0*4 enthalten sind«
Besonders für den Falles 3 Ist diese Aussage von Interesse , da wir
mit ihrer Hilfe zu der folgenden einfachen Gonstruction des Punktes k
geführt werden.
Um ein Dreieck PQB^ dessen Seiten sich wie die (Grössen 1— X^ Ter-
halten, beschreiben wir einen Kreis, auf welchem die Mitten ii^, A^^ A^
der Bogen QjR, SP, PQ verzeichnet werden. Wie man nun durch ele-
mentargeometrische üeberlegung zeigt, werden- die Massen 1 — A^, in den
Punkten Ai angebracht, den Mittelpunkt des Kreises zum Schwerpunkt
haben. Denken wir uns jetzt die gegebenen Punkte a^ auf der Achse des
Reellen so, dass a^ auf die endliche Strecke a^a^ fKllt, dann folgert man
leicht, dass die Winkel LoikOf und L<h^<^i i'^sP' ^^^ Winkeln A^ und il|
des Dreiecks AiA^A^ einfach gleich zu machen sind. Durch letztere Gon-
struction aber ist k unzweideutig bestimmt.
Nachdem wir hiermit die Eigenschaften der Function J{ß) und die
Beziehung des Poles k zum Punktsysteme der a< erörtert haben, wenden
wir uns nunmehr zu der Darstellung der Function ir.
Offenbar erhalten wir dieselbe aus 2) durch zweifache Integration,
wobei zwei beliebige Constanten A und B eingeführt werden; dann ent-
steht das Integral*
4)
welches, weil wir Xi<2 voraussetzten , nur in den Punkten k und k^
unendlich wird. Wie wir aber sahen , sind diese ünendlichkeitsstellen ein-
fache Pole, wenn nur k die Bedingung 3) erfüllt. Die Eindeutigkeit der
durch 4) definirten Function to unterliegt daher keinem Zweifel, so lange
0 sich in der positiven Halbebene bewegt. Für rationale Werthe der A<
ist das Integral 4) algebraisch und zwar von der zweiten Gattung; daneben
erscheint dann als zugehöriges Integral erster Gattung:
5)
Au + B ^ jdgYl{ß--ai)h''K
Dasselbe bildet, wie bekannt genug, das Innere eines n-Ecks auf
die IT -Halbebene ab; folglich bewirkt die aus 4) und 5) resultirende Be-
* In seiner Arbeit: „üeber gewisse geradlinig begrenzte Stücke Riemann-
Bcher Fl&chen«' (GOttinger Nachrichten 1892 S. 258, Note) benutzt Herr Schön-
flies dieses Integral in sehr allgemeiner Gestalt Die Abbildangsformel ist,
wie er mittheilt, von Herrn Klein in Vorlesungen dargelegt.
134 Conforme Abbildungen , welche von der ^- Function vennittelt werden.
Ziehung zwischen w und n die Abbildung einer äusseren PolygonsflSche
auf das Innere eines zweiten n-Ecks, welche beide Polygone entsprechend
gleiche Winkel besitzen.
Inzwischen hat auch die Frage nach den Bedingungen , unter welchen
die {;- Function für die Lösung unserer Aufgabe ausreicht, ihre Erledigung
gefunden , und können wir auf bekannte Resultate Bezug nehmen. So findet
man, z.B. von Briot und Bouquet (Theorie des Fonctions ellipüques,
1875 8. 390) angegeben*, dass nur in den folgenden vier Fällen die
Gleichung 5) eine einwerthige doppelperiodische Function von n definirt:
J^ A 1 1 ^ 1 1 TTT^ o 1 1 1 i
I) » = 4, A,= ^» gl gl ^; III) n = 3, A| = gi gi g;
II) » = 3, A| = j.> I» g; IV) n = 3, Xf = g, gt g-
Dazu kommt noch der Fall Y), in welchem 0 zwar doppelperiodisch
in u. aber zugleich zweideutig wird:
v) » = ö, *<=3^» g-» g^-
Wir werden nun in den folgenden Paragraphen daran gehen, diese
speciellen Fälle nach einander zu discutiren.
§ 2. Das Bechteck.
Im Falle I) handelt es sich um die äussere Fläche irgend eines
Rechtecks B. Wir wollen zuvörderst das Seitenverhältniss nicht als ge-
geben betrachten, vielmehr werden wir fdr sämmtliche vier Punkte Of auf
der Achse des Beeilen eine bestimmte Wahl treffen. Aus der fertigen
Abbildungsformel wird sich alsdann die Gestalt des Rechtecks ergeben.
Da ftlr alle Ecken A^ = ^ ist, erscheint das Abbildungsintegral § 1(4)
sofort als ein elliptisches. Wir nehmen nun, wie es angemessen sdieinti
fdr Ol, 0], 03 die mit dem negativen Zeichen versehenen Wurzeln ^i> c^, ^
irgend einer p- Function, lassen aber a^ ins unendliche rücken, sodass
der Factor (e — aji im Integranden wegzulassen ist.
Substituiren wir ausserdem noch
1) je? = -i)tt,
so erhalten wir schliesslich
2) Adw^du ^ ^
{pu + hnpu + k^)^
* Man vergleiche auch die citirten Schriften der Henen Love und Bnrn-
aide, oder: Appell-Goursat, Theorie des Fonctions algäbriqaes et de lenn
Integrales (1894) S. 246.
Von J. C. Klütvbb. 135
Einerseits wird nan durch 1) die positive ir- Halbebene abgebildet auf
die innere u-FlSche eines zweiten Bechtecks 12' mit den vier Eckponkten
&'iss0, tt, o>'\ m\ andererseits wird dnrch 2) eine analoge Beziehung
zwisdien dieser «-Fl&ehe und der Süsseren ir-Flftche des Bechteoks B
hergestellt, derart, dass die Ecken h'i von JB" mit dexyenigen ft| yon JR
übereinstimmen.
Es erübrigt noch die Auffindung des Poles h. Dazu kann man yer-
schiedene Wege einschlagen. Entweder kann man nach Einsetzung der
Werthe der o^ und der U die Lösung yersnchen einer der in § 1 für ft
abgeleiteten Gleichungen, oder man kann, was auf dasselbe hinauslauft,
die Bedingungen aufstellen, unter welchen die Besiduen der rechten Seite
von 2) fttr die Pole j?t« = — Ä?, ptt = — *o einzeln zum Verschwinden ge-
bracht werden kOnnen. Am einfachsten verf&hrt man jedoch, indem man
den in § 1 bewiesenen Satz benutzt
Weil A in allen Ecken denselben Werth hat, werden jetzt diesem
Satze zufolge die Spiegelbilder a'i der ai an einem Kreise mit h als Mittel-
punkt in die Ecken eines Bechtecks ?erlegi Das aber erfordert, dass die
Strecken a^a^ und a^a^ aus h durch rechte Winkel projicirt werden, wo-
mit ersichtlich "k den Werth
erhSlt. Dem ünendlichkeitspunkte der ic^- Ebene ist also in der t«- Ebene
der Mittelpunkt des Bechtecks K zugewiesen, wie mit Bücksicht auf die
Symmetrie zu erwarten war (Fig. 1).
Die Gleichung 2) Iftsst sich nun ohne Mühe integriren. Ersichtlich
besitzt die Function rechter Hand, jetzt von der Gestalt
CO , CO -^ DO
die vier zweifachen Pole + -g-i + — ^ — ^'^^ ^w viör zweifachen Null-
steilen 0, (», o', m, folglich unterscheidet dieselbe sich nur um einen
Constanten Factor von dem Ausdrucke
i^(2tt-a)")-ej.
Indem wir der willkürlichen Constanten A einen geeigneten Werth
ertheilen, erhalten wir demnach
- — =l,{2«-.)-e,.
und schliesslich:
136 Conforme Abbildungen , welche von der ^> Fanction vermittelt werden.
Dieses particnläre Integral liefert in Verbindung mit 1) die vollstSn-
dige Lösung der gestellten Aufgabe.
Die Frage nach der Beschaffenheit des Rechtecks B wird nun dadurch
erledigt, dass man durch Substitution aus 1) und 3) die den Edten zu-
kommenden ir-Werthe hi bestimmt. Das Resultat ist in nachstehendem
Schema enthalten:
£r-Ebene: j8r = a,- s= — «I, ~^i •~^8> °^>
tt-Ebene: u es &'j=a), w", w', o,
IT-Ebene: «; = 6^ = n+e^m^ ff'+ «gw", ff+ e^ju', o.
Bei dieser Folge der Ecken werden die Ränder von B und R im
positiven Sinne durchlaufen. Sind also^ wie üblich, «o und -r reell und
positiv, so können wir beilftufig schliessen, dass fär jede |)- Function
positiver Discriminante die reellen Grössen i^ + e^m und -zii^'+e^m') eni-
gegengesetzte Vorzeichen besitzen. ThatsSchlich aber ist fi + e^m stets
positiv, die Seitenlängen {|, Z, des Rechtecks erhalten somit die Werthe:
Z, = -l(V+e,öi').
Dem entsprechend hat man vorab die |)- Function zu bestimmen, falls
ein gegebenes Rechteck zur Abbildung vorgelegt ist.
Das geschieht mit Benutzung der beiden Formeln*:
2«»'^ 3*f 2«» , ,
Dieselben führen zu den Gleichungen
(4^^+^(,)-4»J'
2»» ,,
4)
welche zur Auswerthung von q und cd und damit zur endgiltigen Be-
stinunung der p -Function dienen können.
Es fragt sich , ob unter umständen die Rechtecke JS und B^ einander
ähnlich werden. Alsdann würde eine einzige Formel 3) — wenigstens,
* Schwarz: „Formeln und Lehrsätze" S. 86 Formel 12.
Von J. C. Kluyvbr. 137
wenn man darin w durch den mit einem passenden Factor mnltiplicirten eon-
jngirt complezen Werth Wq ereetst — ohne Weiteres genügen , nm eine in-
direot conftHrme Abbildung der äusseren Flftche B auf das Innere desselben
Rechtecks darzustellen.
Man könnte diese Beziehung gewissermassen eine j, Spiegelung am
Rechtecke" nennen. Selbstverstftndlich ist bei jedem Rechtecke eine der-
artige Spiegelung zu erreichen, jedoch ist dabei dann eine vermittelnde
Abbildung der äusseren wie der inneren Fläche auf die ir- Halbebene un-
umgänglich.
Wir sichern nun die Aehnlichkeit der beiden Rechtecke, indem wir
setzen: •, j. i» «» m
iy T" Cj CO CD
— — 7-, r*= ~~rt
V+ ««^ ö>
oder , , / i o
o = aiiy-t- mti + de^»m.
Etwas einfacher gestaltet sich diese Bedingung, wenn man von der
Legendre'schen Bezeichnung Gebrauch macht Wir setzen also
K^»y;r^, i;--^±^
*«-^i:^.
«1-^
und bestttigen daa& leicht, daas obige Gleiohnng casammengesogan werden
kann in djKK') „
Die im Intervalle 0<^^<^1 stets positive Function KK\ unendlich
sowohl für h^ssO als auch ifirJf^l^ besitzt muthmasslioh daselbst nur ein
einziges Minimum, welches auf Orund der Symmetrie in der Mitte des
Intervalles, also bei %> = -^f zu suchen ist Hieraus würde aber folgen, dass
nur für e, B= 0, too = »' die Forderung der Aehnlichkeit erfüllt wird, und dass
daher lediglich beim Quadrate eine einzige Abbildungsformel die Spiegelung
unmittelbar bewirkt.
Am Ende wollen wir noch nebenbei bemerken, dass die hergeleiteten
Abbildungsformeln im Orenzfalle, wo die Discriminante der elliptischen
Functionen verschwindet, nicht länger anwendbar sind, weil wir die
sämmtlichen K^-Werthe bi endlich voraussetzten. Die Ergebnisse dieses
Paragraphen zusammenfassend, lautet das Resultat:
Die Gleichungen
stellen die conforme Abbildung dar der positiven f- Halbebene auf die
138 Conforme Abbildungen, welche von der (-Function vermittelt worden.
äussere K^-Flftche eines Rechtecks H mit den Seitenlängen 2| und l^ unter
der Bedingung, dass die Veränderliche u sich bewegt im Innern eines
Rechteckes B' mit den Eckpunkten 0, cd, m'\ w'. Die Bestimmungsstfioke
q und CD der p- Function genügen den Gleichungen 4).
§ 3. Das rechtwinkelige gleiohschenkelige Dreieck.
Im Falle II) ist 111
^'=4' 4' r
Für die drei willkürlichen reellen Grössen Oj machen wir die Annahme:
01=1, -1, 0.
Die allgemeine Abbildnngsformel erscheint hiermit in der Form:
1) ^,«,^ifM!Eil^
Bevor wir das Differential zu reduoiren versuchen, wollen wir den
Werth von k mittelst der in § 1 angegebenen Construction bestimmen.
Demgemäss construiren wir ein Dreieck PQB mit den Seiten
p(l - X,) = 3, 3, 2,
und halbiren die Bogen QBf JBP, PQ des umgeschriebenen Kreises durch
die Punkte Ä^^ A^^ Ä^. Weil jetzt a^ den Mittelpunkt bildet der end-
liehen Strecke 0^0^ sind die Winkel La^kti^j La^küi resp. den Winkeln
A^y A^ des Dreiecks A^A^A^ gleich zu machen (Fig. 2).
Aus dieser Construction erhellt sofort
dgLa^ka^ = dgLa^ka^ = '^g^^'* r 2 '
sodass man einfach findet k^^iy -^'
unter Einführung dieses Werthes für k^ setzen wir nunmehr
wodurch die Bifferentialgleichung 1) die Oestalt annimmt:
Adt 1^
j/üTTii (3^-1)«
Hiermit ist schon auf die lemniscatische j7- Function mit den reeUen
Wurzeln 1, 0, —1 hingewiesen. Demnach ersetzen wir t durch pu oder,
was auf dasselbe hinauskommt, durch pu-^e^^ woraus hervorgeht:
2)
3) A
Von J. C. Klüyv«r. 139
dz _
dic pu
du p'^u
Die Gleiehnng 2) definirt, wie wir einstweilen hervorheben , die
Variable b als eindeutige Function des complexen Argumentes u.
In Betreff der geometrischen Bedeutung der Gleichungen 2) und 3) er-
kennt mau leicht folgendes. Durchläuft ß die positive Halbebene, so giebt
es einen eindeutig bestimmten Werth des Argumentes m, der sich bewegt
im Inneren eines Dreiecks D' mit den Eckpunkten b'j = 0, 2a>, m' resp.
den reellen «-Werthen o^s^l, —1, 0 entsprechend. Die Gleichung 2)
bildet also die ir- Halbebene auf das Innere von 2/ ab, während 3) eine
ähnliche Beziehung zwischen letzterer Fläche und der äusseren k;- Fläche
eines Dreiecks D vermittelt (Fig. 2).
Wir werden diese letztere Beziehung endgiltig festsetzen, indem wir
3) integriren. Das erfordert die vorhergehende Zerlegung der doppel-
periodischen Function rechter Hand:
^ ' p ^u
Diese Function ist sicherlich, weil iv ein elliptisches Integral zweiter
Gattung vorstellt, durch eine Summe von |)* Functionen darstellbar, mit
anderen Worten, sie besitzt nur zweifache Pole und für jeden Pol ver-
schwindet das Residuum. Ersichtlich sind diese Pole der vier Wurzeln
+ a, +ß der Gleichung p"us=sO und eine kurze üeberlegung genügt
sonach, um zu zeigen, dass F{u) bis auf einen constanten Factor mit der
Summe f(u-a)+p(u + «) +p{u- ß) +p{u + ß)
identisch ist.
Indem wir für Ä einen geeigneten Werth wählen, können wir daher
setzen _^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ß^^^^^^ ß^^
eine Gleichung, deren particuläres Integral
f0^i{u^a) + i{u + a) + i{u^ß) + i{u + ß)^Hu+^
wir als Abbildungsformel benutzen wollen.
Durch Substitution der u-Werthe &'<==0, 2», o»' findet man für die
entsprechenden Ecken des Dreiecks D die w-Werthe ^«»O, 817, ^f{\
Hieraus ersieht man ohne Mühe, dass dieses Dreieck D in der That recht-
winkelig gleichschenkelig ist« Offenbar gehört nun zum ünendliohkeits-
punkte der ic^-Ebene diejenige Wurzel a der Gleichung p"u^ 0, welche im
Inneren des Dreiecks If liegt Dieser 1« -Werth ist also bestimmt durch
jia = + 2/^0 ' ^A8 heissty der Punkt a befindet sich auf der Strecke cott".
140 Conforme Abbildungen, welche von der (-Function vermittelt werden.
Den bisherigen Betrachtungen entnehmen wir jetzt folgenden Satz:
Die Gleichungen
pu ^(pu-e,)(pu-«3)
(|>'*M = 4|>^u — 4|>u)
stellen eine conforme Abbildung der positiven ler- Halbebene dar auf die
Süssere w-Fl&che eines rechtwinkeligen gleichschenkeligen Dreiecks 2> unter
der Bedingung, dass die Veränderliche u sich bewegt im Inneren eines
Dreiecks D' mit den Eckpunkten 0, 2», an".
§ 4. Das gleichseitige Dreieck.
Wir wiederholen in Kurzem für den Fall III) die Rechnung des vorigen
Paragraphen. ZunSchst setzen wir in die allgemeine Abbildungsformel
a,= -l, 0, +1,
wodurch wir erhalten
Die schon mehrfach benutzte Construetion des Poles h lehrt hier un-
mittelbar, dass aus diesem Punkte die Strecken a^a^ and c^o, durch
Winkel von 60^ projioirt werden, dass also fOr h den Werth iy^ ^^~
zutragen ist
Wir reduciren weiter das Differential in der letztgefundenen Gleichung
unter Benutzung einer p- Function negativer Discriminante, bestimmt durch
mit den beiden Perioden 2cd2 and 2io\y zwischen welchen die Relation
a>,t = »3 1/3 stattfindet
In dieser Absicht setzen wir
' p u
und mithin
_6
wodaroh wir eine Gleichung von der Form
Von J. C. Elottsb. 141
'^ ^d« -(!,'«« + 3)» (^,.„_p,,2«.y
erhalten.
unschwer sieht man ein, dass die Oleichnng 1) die eindentige Ab-
bildnng der positiven 5 -Halbebene auf die innere u-Flftche eines gleich-
seitigen Dreiecks D' vermittelt, dessen Eckpunkte h'i = 2€9^ 0*^9 0, -^
resp. den reellen jjr-Werthen a< = — I, 0, +1 entsprechen (Pig. 3).
Die Gleichung 2) wird wiederum das Innere von B' auf die Süssere
«^-Fiftche eines gleichseitigen Dreiecks D abbilden. Dem Werthe to^co
/T 2m
gehört iBT = Ä;=3f T/5-1 und deshalb auch der u-Werth « = — ^^idas
heisst der Mittelpunkt des Dreiecks D\
Es erübrigt nur noch die Integration von 2). Die zu integrirende
2 m' 2 m 2 f»
Function besitzt die sechs zweifachen Pole i — ^-^-i + -s^» ± —^
2» 0 6
und die drei vierfachen Nullstellen 0, + — g-^* unter Berttcksiohtigang der
speciellen Eigenschaften der hier gebrauchten elliptischen Functionen —
wir erinnern hier insbesondere an die Relationen
piu=sipu, ptu^pu^ J;ius=«>ftt —
zeigt man mühelos, weil für alle Pole das Besiduum verschwindet, dass
die Function der rechten Seite von Gleichung 2) bis auf einen constanten
Factor durch den Ausdruck
za ersetzen ist.
Sonach ist es gestattet, die Gleichung
als die gesuchte Abbildungsformel zu betrachten.
Eine leichte Umrechnung giebt indessen dieser Formel die einfachere
Gestalt: ^ 3p*upu '
142 Conforme Abbildungen, welche von der (-Function vermittelt werden.
Hieraus erbSlt man durch die Substitutionen
u = 6,= 2(»3 ^, 0, -^
unmittelbar io=^hi^ -- 4sij^^ 0, 4^7,, welche Functionswerthe, wie es
sein muss, in der «r- Ebene ein gleichseitiges Dreieck bestimmen. Für
ein solches Dreieck gilt also der Satz:
Die Gleichungen
stellen eine conforme Abbildung dar der positiven ir- Halbebene auf die
äussere I9- Fläche eines gleichseitigen Dreiecks D unter der Bedingung,
dass die Veränderliche u sich bewegt im Inneren eines Dreiecks 1/ mit
den Eckpunkten 2m^ 5-^1 0, -w^'
§ 5. Bas Dreieck mit den Winkeln -g-i -^> ^*
Nur wenig umständlicher gestaltet sich die Rechnung im Falle lYX
wo man hat « — n J. 1
**=2* 6* 3'
and wo es sich handelt nm die Oleiehong
Zur Bestimmung des Poles h auf geometrischem Wege construiren
wir das Dreieck PQB mit den Seitenlängen ^(1 — Aj) = 3; 5, 4 im Kreise
(Fig. 4). Das Dreieck Ä^A^Ä^ der Bogenhalbirungspunkte erhält erstens
einen Winkel ^, = -j ; ein zweiter Winkel Äi ist offenbar bestimmt durch
Es wird hier sber La^ha^s=: A^, I'd^^^^' Ä^^ mithin ergiebt sieb
sofort Ä = — 1 + ».
Wir verwerthen wiederum hier die p- Function des §4 zurBeduetion
der Differentialgleichung, indem wir setzen:
1) . ,==__^!!L_,
1 + P *^
und somit:
Von J. C. Klutybr. 143
d0
3 „_/_
r+4)»(»+l)*
Zugleich {Qhren wir statt des Poles k das Argament a ein , bestimmt
darch die Gleiohang:
und gelangen schUeBslich zu einer Oleichnng Yon der Form:
o^ A^^ p*up*u
^ rftt (p *tt-y»«)»(p'«t«-i>'»«o)"
in welcher wir nnter a^ den zu a conjngirten complezen Werth verstehen.
Es geht nunmehr aus einer einfachen üeberlegung henror, dass die
Gleichung 1) eine beiderseitig eindeutige Abbildung der positiven ir- Halb-
ebene bewirkt auf die innere n-Flftche eines Dreiecks D' mit den Ecken
&\= »3, 0, -^ und den inneren Winkeln ^» g« ^> so dass also die
Gleichung 2) in analoger Weise das Innere von D' auf das Aeussere des
Dreiecks D in der icr- Ebene bezieht.
Letztere Beziehung ist nun durch Integration von 2) zweckm&ssig zu
fiziren.
Von der doppeltperiodischen Function rechter Hand, welche offenbar
die zw01f zweifachen Pole + «, ± ««, d: «*«f ± «o» i '^o* ± ***o ^
sitzt, ist von vornherein bekannt » dass die Residuen sämmtlicher Pole ver-
schwinden. Eine sehr leichte Rechnung genflgt daher, zu zeigen, dass
die Function bis auf einen Constanten Factor einfach durch die Summe
der zwOif p- Functionen: p{u^a)^ P(^ + «) Q« 8. w. dargestellt werden
kann.
Wir können also die Gleichung
1 -»-j;(t*-«o)+f(«+«o)+£(«-««o) + Uw+««o) + f(«*-«*«o)+{;(t«+«"«o)
ansehen als ein particulftres Integral von 2), welches sich auch in der be-
quemeren Form: pup''u{\0p^u^6)
schreiben lasst ^ "
Für iis=5'i = o)3, 0, — ^r-^ folgt aus dieser Abbildungsformel
w = 6^=4iy^(l-c), 0, 81;,;
den Ecken des Dreiecks 2/ sind also diejenigen eines ihm indirect ähnlichen
Dreiecks D in der 19 -Ebene zugefttgt
144 Conforme Abbildungen; welche Ton der (-Function yermittelt werden.
Hiermit ist nun für das vorliegende Problem folgende Löenng ge-
funden :
Die Oleichungen
(p'»M = 4i>«u+l)
stellen eine conforme Abbildung dar der positiven i?- Halbebene auf die
9K 9B 9E
äussere tr-Fl&che eines Dreiecks D mit den Winkeln -^f -^1 -0- unter
der Bedingung, dass die Veränderliche u sich bewegt im Inneren eines
Dreiecks D' mit den Eckpunkten (»s» 0, — ^*
§ 6. Das Dreieck mit den Winkeln ^> ^ |^-
Wie schon gesagt, unterscheidet sich der Fall V) von den übrigai
dadurch, dass es nicht gelingt, die YerSnderliöhe 0 als eine in der ganzen
u- Ebene eindeutige Function des Argumentes u darzustellen.
Wir setzen in die Grundformel ein:
a, = 0, +1, -1,
^'3' 6' 6'
wodurch die Olmchung entsteht:
Zur Bestimmung von % haben wir jetzt im Kreise ein Dreieck PQR
zu construiren mit den Seitenlangen p(l--il<) s= 2, 5, 5 (Fig. 5). Das
Dreieck ^jil^ils der Bogenhalbirungspunkte wird gleichschenkelig , ftr den
Winkel A^ gilt offenbar ^
^^ sinQ Y o
Man hat hier aber /.Os^^i^-^t La^^a^^A^^ das hat mithin zur
Folge Ä;s= tl/-5-'
Die Beduction des Differentials gelingt jetzt durch die Subatitution
1) ,= 2V^.
wo noch immer
p'*us= 4j>^M + 1.
Von J. C. Klüyvbb. 146
Man findet auf diesem Wege:
3 _ A de
und schliesslich erscheinen, indem noch:
_l _3
1 -*« ~ 5
p'»« =
gesetzt wird, die Variabein u and w verbanden darch eine Gleichung von
der Form: ,
^' ^ du~ {p'*u-p'*a)*
Wir betrachten zanichst die Gleichung 1). Sie definirt e als zwei-
deutige Function von u mit den Verzweigungspunkten
Diese Zweideutigkeit aber wird g&nzlich aufgehoben, wenn wir das
Gebiet der Veränderlichen u beschränken auf das Innere eines Dreiecks If
2(0
mit den Eckpunkten }>i^= — 0^* 203, 0, weil innerhalb D' kein Ver-
zweigungsponkt angetroffen wird. Wenn wir nnn überdies festsetzen, dass
für alle reellen t«-Werthe auf der Dreiecksseite "b^b'^ der Veränderlichen
a die Amplitude +n zukommen soll, ist dadurch e eindeutig und völlig
bestimmt. „
Dieser Voraussetzung gemäss erhält i; für u = h't =■ — 0^' ^oos» 0
die reellen Werthe a<s=0, +1) -"l* Sine eindeutige Abbildung des
2ä it «
Inneren des Dreiecks D' mit den Winkeln ~o-> -?> 7- ist dabei er-
000
reicht worden, indem es aus den besonderen Eigenschaften der p- Function
sofort erhellt, dass immer ein, aber auch nur ein einziges Argument u
innerhalb D' einem gegebenen positiv complezen iP- Werthe entspricht. So
z. B. gehört zu dem Pole A; das Argument o , wofür wir jetzt in ganz be-
stimmter Weise finden können.:
'"=-tÄ' ^'« — V\'
Nach diesen Erörterungen kehren wir zu der Gleichung 2) zurück,
welche die Abbildung der äusseren ir- Fläche des Dreiecks J) auf das Innere
von D' bewirken soll. Die rechte Seite besitzt die sechs zweifachen Pole
± a^ ±€o, ± s*<^9 für welche die Residuen verschwinden. Letzterem
Zeitmhrift f. Mathematik n. Phyiik. 40. Jahrg. 1895. S.Heft 10
146 Conforme Abbildungen, welche von der (-Function Termittelt werden.
umstände Rechnung tragend, überzeugt man sich bald davon, dass die
Function, ungerechnet einen constanten Factor, sich auf die einfache
Summe der sechs jp - Functionen p(u — o), p{u + a) u. s. w. reduciren Iftsst.
Indem wir daher der Constanten Ä einen passenden Werth ertheilen, er-
balten wir das particulftre Integral:
IT = J:(f»-«) + ((u + a) + f(t*- 6«) + t(t# + e«) + f(u-e««) + f (!# + «««).
oder auch SOp'up'u
lOp^u+1
Aus dieser Abbildungsformel ersieht man sofort, dass to die Werthe
hi = 4fi^j 4iyj(l— «), 0 resp. annimmt fdr « = &'<=s-^, 2w^, 0, dass
also das Dreieck D der ir- Ebene dem Dreiecke D' indirect fthnlich ist.
In Betreff dieses Dreiecks D lautet mithin das Schlussresultat:
Die Gleichungen
w
au . 30p«wpw 2j/p^u , ,^ . g , ,,
stellen eine conforme Abbildung dar der positiven ;?- Halbebene auf die
äussere «r-Flftche eines Dreiecks D mit den Winkeln -~q-' ^' ? unter der
Bedingung, dass die Veränderliche u sich bewegt im Inneren eines Dreiecks
2a>
D' mit den Eckpunkten —^t 2m^^ 0. Für reelle u -Werthe ist dabei m
die Amplitude +n zuzuweisen.
§ 7. Zuiammengesetzte Figuren.
Herr Burnside* hat darauf aufmerksam gemacht, dass aus jeder
Lösung der Abbildungsaufgabe für eine innere PoljgonsflSche einfach dureh
algebraische Elimination neue Abbildungsformeln hergeleitet werden können.
Letztere beziehen sich alsdann auf die Figuren , welche aus dem Ursprung-
liehen Polygone entstehen durch Anlegung von Spiegelbildern an den Seiten.
So z. B. betrachtet Herr Burnside das Dreieck AB'ä mit den Winkeln
-^—9 ^' ^ als hervorgegangen aus dem Dreiecke ABC mit den Winkeln
o OD
•H-» -^> -o indem er an der kürzesten Seite AC des letzteren das Spiegel-
o o ^
bild ACJß anlegt. Diese Betrachtung gestattet nun sofort aus der Ab-
biidungsformel des Dreiecks ABC diejenige für AB ff zu ermitteln.
Gleiches gilt gewissermassen für äussere Polygonsflächen, was hier an
dem Beispiele des regelmässigen Sechsecks 8 dargelegt werden möge.
* Man sehe die citirte Schrift S. 194.
Von J. C. Klüyvbr. 147
In der «-Ebene lassen wir das Sechseck 8' durch eine fünfmal
wiederholte Spiegelung und Anlegung entstehen aus dem gleichseitigen
Dreiecke I mit den Ecken:
e>i = 0, &, = Jw3 g-» a = -^,
derart, dass nach einander zum Ausgangsdreiecke I die Dreiecke II bis
VI hinzugefügt werden (Fig. 6).
Das Dreieck I wurde durch die Gleichung ler = r- auf die positive
i;- Halbebene abgebildet (§ 4), den Ecken h\y b'^i ^ entsprachen die reellen
5-Werthe aj == 0, o, = — 1 , *=»+!.
Es fragt sich, welche Erweiterung das j9- Gebiet erfährt, wenn das
Gebiet von u zufolge der erwtthnten Construction sich allmählich über die
ganze Flftche von ff ausdehnt.
Ersichtlich überschreitet 0 die Achse des Beeilen zwischen den Punkten
+ 1 und — 1 bei jedem Durchgange von u durch die Radien ab'fu ah\^
ah\; überschreitet aber u die Radien cch\i ob'g, ah\i so geht 0 zwischen
den Punkten + 1 und 0 aus der negativen in die positive Halbebene über.
Die innere «-Fläche von 5" findet daher ihre Abbildung auf sechs zu-
sammenhängende Halbebenen; drei unter ihnen, die positiven, entsprechen
den Dreiecken I, III, V, die drei negativen sind den Dreiecken II, IV,
VI zugewiesen.
Man überzeugt sich nun bald davon, dass dieses System von Halb-
ebenen eine dreiblättrige Windungsfläche B^ bildet mit dem Windungspunkte
iP s + !• Alle üebergangslinien fallen zusammen in die Strecke 0, + 1,
längs welcher also die Blätter cyklisch an einander geheftet sind; der
Band der Fläche JSg aber besteht aus den drei Doppelgeraden 0, — 1.
um letzteren Umstand zu veranschaulichen ist auf B^ eine in sich selber
zurücklaufende Linie gezeichnet, welche die Abbildung vorstellt einer hart
am inneren Bande von 8' verlaufenden geschlossenen Curve (Fig. 6).
Man ersieht hieraus, dass die den Ecken h\ von ff entsprechenden
Punkte Oi sich zu dreien über einander lagern, dass also 01=^053=05 = 0,
ag = 04 = Oe = — 1.
Wir erreichen nun unser nächstes Ziel, die conforme Abbildung auf
eine Halbebene der inneren «-Fläche ff, indem wir die ir- Fläche B^ ein-
deutig auf diese f- Halbebene beziehen.
Letztere Beziehung findet ihren analytischen Ausdruck in einer
algebraischen, in 0 linearen Gleichung f{tf 0)caO^ in welcher nur reelle
Coefficienten vorkommen, da e fQr jeden reellen ^-Werth einen ebenfalls
reellen, zwischen — 1 und 0 gelegenen Werth annimmt. Wie am Ende
diese Gleichung sich gestaltet, geht aus der folgenden üeberlegung hervor.
Wir überdecken B^ mit einer zweiten ihr congruenten Fläche B^ und
yerbinden beide längs der Strecke — 1, 0, je ein Blatt von B^ mit einem
10*
148 Conforme Abbildungen, welche von der (-Function vermitielt werden.
von JT, verknflpfend. So entsteht eine geschlossene seehsblftttrige Fliehe B^
mit Ewei in 5 = + 1 flbereinander liegenden Windungspnnkten zweiter Ord-
nung, während in jer = 0 und 5 = — 1 je drei einfache Windungspnnkte
auftreten (Fig. 6). Diese Fläche i^ ist nun der .T- Fläche JB'q, welche Yon
der Diederirrationalität*:
*('^)=«(r ri'-O
auf die X- Ebene conform abgebildet wird, vollkommen ähnlich. Die Aus-
nahmepunkte Yon iS'g aber, die auf B^ den Punkten «»+ 1, 0,-1
entsprechen, sind /= 0, + 1> ^\ folglich geht B^^ durch die Substitution
in B^ über, woraus wir schliessen, dass die Function X ( j die Fläche
Sg auf die lückenlose X- Ebene eindeutig bezieht. Die positive X- Halbebene
kann offenbar dabei als das Abbild unserer ursprünglichen Fläche B^ an-
gesehen werden. Indem wir noch die sehr unwesentliche Substitution
2k = t+l in der bekannten Gleichung der Irrationalität l vornehmen,
ergiebt sich nunmehr die Relation f{0^ Q = 0 in der Form:
1) 1 - i? : - 25 : i? + 1 = (^'+ 3)» ; <«(*«- 9)«: 27(<«-- 1)«.
Jeder der sechs Halbebenen von B^ entspricht jetzt ein beetimmies
von Geraden und Kreisbogen begrenztes Stück der ^- Halbebene. Den
f-Werthen Ot gehören nach einander die ^-Werthe c^ = 0, —1, —3, x>,
+ 3, + 1 ; der Windungspunkt j? = + 1 ist in ^ = t }/3^ verlegt. Wir er-
setzen in der Gleichung 1) 0 durch -, — und erhalten als Abbildungs-
formel** für die innere u- Fläche des regelmässigen Sechsecks S'i
2) 1 +p'u : -f 2 : p'f» - 1 = ((« + 3)« : fi{fi^9)*: 27(<»- 1)*.
Damit jedoch die Beziehung zwischen u und t eine beiderseitig ein-
deutige sei, hat man stete Bttcksicht zu nehmen auf die Eintheilung der
beiden Flächen in entsprechende Bereiche (Fig. 6).
Ausgerüstet mit dem oben gewonnenen Resultate können wir nun end-
lich die Abbildungsfrage für die äussere tc;- Fläche eines regelmässigen
Sechsecks 8 ohne Mühe lösen*
Wir gehen dabei aus von der Bemerkung, dass die Gleichung 2) und
die Abbildungsformel: ^
3. Au + B + f . ^^
* Klein- Fricke: ,, Theorie der elliptischen Modnlfanctionen *' I, 8. 65—71.
*' In etwas abweichender Form von Herrn BnrnBide angegeben.
Von J. C. Elutvbr. 149
gleichbedeutend sein müssen. Betrachten wir nun zu gleicher Zeit das
Integral
4) Aw + B^f^'^'^^-^^^'^-^y
welches die Abbildung bewirkt der äusseren K^-Fl&cbe eines bestimmten
gleichwinkeligen , aber nicht nothwendig gleichseitigen Sechsecks 8^ so liegt
die Vermuthung nahe, das dieses Integral 4) unter Zuhilfenahme von 2)
auf ein elliptisches reducirt werden kann.
Ehe wir jedoch diese Beduction versuchen können, haben wir wie
früher den Pol % zu ermitteln. Alle Bechnung Ittsst sich dabei vermeiden,
indem wir bemerken, dass die Punkte ef = 0, —1, —3, oo, +3, +1
durch Spiegelung an einem Kreise mit dem Mittelpunkt »j/S und dem
Radius 2%}/% in die Ecken e'i eines regelmässigen Sechsecks übergehen,
dessen Mittelpunkt den ^-Werth — t ^3 zukommt. Die Anwendung des in
§ 1 bewiesenen Satzes ergiebt dann unmittelbar das Besultat:
Es handelt sich also um die Einführung von u in die Gleichung
Aus 2) und 3) findet man:
d^ = - 1 dtt ^<(<«-l)(f»-9),
yfi{i^-\)\fi-9Y 2 pu
(<« + 3)« ■" 3 \+pu
so dass wir in der That w durch u ausdrücken können und zu der Gleichung
,du) 2pu ( 2w- \
du 1 + p u \ o /
gelangen. Die gesuchte Abbildungsformel ist also:
/ 2a),\ .2
oder: ,
^ ^2 pw
Substitution der sechs u-Werthe Vi liefert für die Ecken des Sechs-
ecks S: 2 4 2
«7 = ^=0, 2i?3-gij,, 21^3, -gl?,, 2i;i, 2iyi— g-1/,;
das Sechseck 8 erweist sich also als regelmttssig, womit wir den Satz
gewonnen haben:
150 Conforme Abbildongen eto. Von J. C. Eluyveb.
Die Oleichungen
1+pu : + 2 :/w - 1 = (/«+ 3)»: *«(<»- 9)«: 27(^-1)«,
(i>'«u = 4p»w+ l)
stellen die conforme Abbildung dar der äusseren tr-Flftche eines regel-
mässigen Sechsecks 8 auf die positive ^- Halbebene unter der Bedingung,
dass die Veränderliche u sich bewegt im Inneren des Sechsecks S^ mit
den Eckpunkten
0, 2w8 ^, 2fl)3, ^wj,, 2«!, 2«! ^.
IX.
Ueber den Besohleiinigungspol der zusammengesetzten
Bewegung.
Von
Prof. F. WiTTENBAüEB
in Oras.
Hierzu Taf. Vü Fig. 1—7.
Der Beschleunigungspol ist fQr die Eenntniss des Beschleunigungs-
zustandes eines in ebener Bewegung begriffenen starren Systems von hervor-
ragender Bedeutung; um ihn gruppiren sich die Beschleunigungen aller
Sjstempunkte sowohl der Grösse wie auch der Richtung nach in so über-
sichtlicher Weise, dass man sagen kann: mit der Angabe dieses Punktes
gewinnt man mit einem Schlage einen üeberblick über den Beschleunigungs-
zustand des Systems.
Zu dem kommt, dass, wenn ausser dem Beschleunigungspol die Be-
schleunigung eines Systempunktes gegeben ist, die Beschleunigung jedes
anderen Systempunktes in sehr einfacher Weise construirt werden kann.
Die Lösung des wichtigen und für die Zukunft der Kinematik be-
deutungsvollen Problems: die Beschleunigung jedes Punktes einer
kinematischen Kette in Bezug auf jedes beliebige Olied der-
selben zu construiren, lässt sich vom allgemeinen Gesichtspunkte aus
nur so erreichen, dass man zunächst zeigt , wie der Beschleunigungs-
pol jedes Gliedes in Bezug auf jedes andere Glied der Kette
construirt werden kann.
Die folgenden Untersuchungen sollen die Lösung dieser Frage vor-
bereiten; sie sollen zeigen, wie man den resultirenden Beschleunigungspol
eines Systems finden kann, das eine bekannte Eigenbewegung besitzt und
überdies gezwungen wird, die Bewegung eines fremden Systems mitzu-
machen.
]. Der BeweguDgszustand eines ebenen Systems £^ sei darch Angabe
des Drehpoles 0^, des Wendepoles Ogi ^^ Beschleunigungspoles GFj, der
Winkelgeschwindigkeit »g und der Winkelbeschleunigung A, = --r-^ vollständig
bekannt (Fig. 1).
152 üeber den Beschlennigungspol der zusammengesetzten Bewegung.
Dieses System, das gefUhrte, werde gezwungen, die Bewegung eines
anderen Systems £^y des führenden, mitzumachen. Die Bewegung dieses
letzteren sei durch die Angabe der analogen Punkte und Intensitäten
(2 CO.
^1 «^1 ö^i > '^'i > ^1 ^ T* volls^i^^ig bestimmt.
Es sei der Beschleunigungspol Q- der resultirenden Bewegung des
Systems £2 ^^ bestimmen. Die Lösung ist folgende: Man suche zuerst
den Drehpol 0 und den Wendepol J der resultirenden Bewegung, ziehe
über OJ als Durchmesser den Wendekreis und construire den Winkel
JOG sa qf' im Schnitte der Linie OQ mit dem Wendekreise liegt der ge-
suchte Beschleunigungspol Q (vergl. Fig. 3).
Die Bestimmung des Wendepoles J habe ich in meiner Abhandlung:
,,Die Wendepole der absoluten und relativen Bewegung^ gelehrt* Man
ziehe die Linien O^J^, O^J^j OJ^^ femer
02r||0,Ji, OLWO^J^. LMN\\0,0,, Njo\\KL,
dann liefert der Schnitt der Linien MK und NJ^ den Punkt J^, das ist
den resultirenden Wendepol bei Ausserachtlassung der Winkelbeschleunig-
ungen l^ und Xy Der wirkliche Wendepol J liegt mit J^ in einer Senk-
rechten auf 0^0^ und zwar ist, wie ich a. a. 0. gezeigt habe,
ß =^ JJ^ =: h' -^^ h.tang<p,
worin co = m^ + to^ die resultirende Winkelgeschwindigkeit, it = A| + A,
die resultirende Winkelbeschleunigung und 5 die Strecke OB bedeutet
(Fig. 4) , wobei die Punkte 0 und B die barycentrisohen Ausdrücke besitzen :
wO= (ö,0, + »gOj, AjB=iliOi + X,Oj
Beachtet man die aus Obigem folgenden Relationen:
«1+ & • flg— & : a = A3: Aj : A,
worin 0^0=: a^^ 00^=^ a^^ 0^0^^ a bedeuten ; femer die bekannten
Beziehungen: 1 1 1
worin fp(pi<Pfi die Winkel JOG, JiO^Q^, «^a^^ö^j bezeichnen, so ergeben
sich die Oleichungen:
1) fxflta/ng 9 = afii^tang (p^ + m\.tang (p^^
2) b . fxfltang q> = a^ m\ iang^p^ + a, ia\tang fp^ ,
oder:
* Zeitschrift fflr Mathematik und Physik 36. Bd.
Von Prof. P. WiTTBNBAÜER. 153
3) a*. iangtp = a^.tangfp^ + a\.tangip^y
4) h . a*. tang 9 = aj a\ tang g>i + »j a'^ tow^ ^j.
Diese Relationen können zur Constraction von 5 nnd q> zweckmässig
in folgender Weise verwendet werden (Fig. 1). Man übertrage die Bögen
F^Ei=^ G^Jii ^2^2= ^8 «^2 ^^^ ziehe die Linien E^O^ nnd E^O^ bis zu
den Schnitten 1 und 2 mit einer Geraden, die im Punkte V auf OjOg
senkrecht errichtet wird, 7 ist der Vertauschungspunkt der Strecke 0^0 02^
das heisst. es ist: O.V^a,, VO.^a,.
Es ist dann -. ^ ^o
und
Fläche 0, 1 2 Og = -g- a*, tett^ ^1 "1" o" **i • '^^"^ 9*8'
Zieht man nun 23 || 0,1 , 34 || 0^0^, so ist nach 3)
Fläche 40^0^ = '^ä^iang(p^
«^™* < (40,0,) = 9.
Zieht man ferner 25||02 0|, 5jB||40, so erhält man auf 0^0^ den
Punkt B und damit die Strecke 5.
Errichtet man nun CB±0^0^ und zieht C0J?||40,, so ist
BC^h.tangq>^ß = JJ\
Hierdurch ist der resultirende Wendepol J bekannt. Beschreibt man
über OJ als Durchmesser einen Kreis und überträgt den Bogen FE^sJO-^
80 hat man damit den resultirenden Beschleunigungspol G gefunden.
2, Die im vorigen Artikel angegebene Construction des Beschleunigungs-
poles ist zwar sehr einfach, verlangt aber die üebertragung von Winkeln,
was wohl umgangen werden kann.
Es soll deshalb hier noch eine andere Construction des Beschleunigungs-
poles mitgetheilt werden, welche diese üebertragung überflüssig macht
und bei welcher auch die Construction des Wendepoles J^ nnd der
Strecke h vermieden werden kann.
Zieht man (Fig. 2) ^i J*! «^i || OjO, und bringt diese Gerade zum
Schnitte E^ mit F^Qi, der Linie, welche den Beschleunigungspol Q^ mit
dem zweiten Schnittpunkte Fj des Wendekreises mit der Polgeraden 0^0^
verbindet , ftllt E^ «i J. il| 0 bis zum Schnitte «i mit der Geraden J| F^ ±. 0^ 0„
Führt man dieselbe Construction am zweiten Wendekreise durch, so ist
«/jtg = a^.tangfp^.
Es kann nun gezeigt werden, dass der resultirende Wendepol J den
barycentrischen Ausdruck besitzt:
154 TJeber den Beschleunignngspol der ztiBammengesetzten Bewegung.
das heisst« dass er aas den Punkten iii^O^ durch dieselbe Constmetion
gefunden werden kann, wie J^ aus JiJ^O^ gefunden wurde. Beachtet
man nämlich, daäs J^ den barycentrischen Ausdruck besitzt
und bezeichnet die Abstände der Punkte J'itTgeT'^ *iH<^ ^^^ der Polgeraden
0^0^ mit PiPsP» ^i^a^y so liefert die Differenz obenstehender Ausdrücke:
oder, da _-
g— !> = //"= b.iangq}y ffi — l>i = Jiii = öitofi^g>i,
welche Gleichung mit 2) übereinstimmt.
Man construirt also zunächst die Punkte i^i^ und aus ihnen anf ge-
wöhnlichem Wege den Wendepol JT; die Constmetion der Strecke JJ^
entflKlli
um den Beschleunigungspol G zweckmässig zu construiren, beachte
man nun folgenden Hilfssatz, auf den ich schon bei anderer Gelegenheit
aufmerksam gemacht habe:*
Bewegen sich n mit den Gewichten |>| . . ,p» behaftete Punkte in
einer Ebene derart, dass sie stets in einer parallel zu sich fortrückenden
Geraden verbleiben, jeder derselben aber eine beliebige, gegen die erst-
genannte unter dem Winkel a„ geneigte Gerade beschreibt^ so bewegt sich
der Schwerpunkt dieser Punkte ebenfalls in einer Geraden, fCbr deren
Neigung a zur fortrückenden Geraden die Beziehung besteht:
cotctnga.Zpn = Z.pn.cotangun*,
Dieser Hilfssatz gestattet im vorliegenden Falle eine bemerkenswerthe
Anwendung. Bezeichnet man (Fig. 2) mit FF^F^ die zweiten Schnittpnnkte
der Wendekreise mit der Polgeraden 0^0^^ so ist F der Schwerpunkt der
Punkte F^F^O^y wenn in ihnen die Gewichte co^i, od',, 2o>|Cd^ aogebracht
werden; denn zu allen Wendepolen J^J^y die beziehungsweise auf den Geraden
JiF^y J^F^ angenommen werden, liegt der resultirende Wendepol auf der
Geraden JF.
Zieht man nun die Geraden F^GF^, F^G^^ O^A^ und lässt die Pol-
gerade 0^0^ parallel zu sich fortrttcken, sucht in irgend einer neuen Lokge
derselben ihre Schnittpunkte D^B^Dq mit den eben erwähnten Geraden und
bringt in ihnen die Gewichte (o\y co',« 2o()ia)g an, so gilt für die Gerade,
in welcher der Schwerpunkt D dieser drei Punkte liegen muss, nach obigem
Hilfssatze die Gleichung:
* „Ueber gleichzeitige Bewegungen eines ebenen Systems", Zeitschrift für
Mathematik und Physik 33. Bd.
Von Prof. P. WiTTENBAUBB. 155
m*cctangas= cü\€Otanga^+ af^,€oianga^+ 2<Oim^cotangaQ^
oder:
Vergleicht man hiermit Gleichung 1), so folgt er » 90 — 9), das heisst,
die Grerade DJP, in der sich der Schwerpunkt D bewegt, geht durch den
Beschleunigungspol Q.
Die Bestimmung des Punktes B aus D^B^B^ kann in folgender Weise
vorgenommen werden (Fig 5) :
Man suche die Schnittpunkte:
Äj von O^B^ und O^B^,
8t
n 0,J),
» O^Dt,
Äi
n 08,
n AA.
B.
n OS,
n AA.
T
n 0,S,
. 0,Bt,
D
, OT
. DtDt,
dann ist B der gesuchte Schwerpunkt; denn es bestehen zwischen den
Punkten die barjcentrischen Ausdrücke:
somit a)«D= co«,2),+ a,\B^+ 2a>^ü^BQ.
Diese Construction wird besonders einfach, wenn man die Polgerade
bis zum Schnitte von zweien jener drei Geraden BiF^^ -2)22^21 -^0^2 ^^^'
schiebt» z. B. bis C^C^ (Fig. 2); hier fallen CqC^B^ zusammen und es ge*
nügt| folgende Schnittpunkte zu bestimmen:
5, von OjCi und O^Cq,
C ^ OT „ C,C,,
dann ist C ein Punkt der Linie BF^ die durch den Beschleunigungs-
pol Q geht.
Die Construction dieses Poles nimmt also folgenden Verlauf: Man
suche zuerst die Punkte i^i^^ sodann den Wendepol / und ziehe den Wende-
kreis ttber OJ. Hierauf ermittle man den Punkt 0 (oder allgemein B)
und verbinde ihn mit F^ dem zweiten Schnittpunkt des Wendekreises mit
der Polgeraden ; dann schneidet OF diesen Kreis im Beschleunigungspol G.
3. Ausser dem Wendekreis, dessen Punkte keine Normalbeschleunigung
besitzen und deshalb Wendepunkte ihrer Bahnen durchlaufen, dient noch
ein anderer Kreis dazu, den Bewegungszustand eines ebenen Systems in
ganz ausgezeichneter Weise darzustellen. Es ist dies der zweite der
156 üeber den Beschleunigungspol der zusammengesetzten Bewegung.
Bresse'schen Kreise (Gleichenkreis nach Burmester*, Tangentialkreis nach
Proell**). Die Punkte dieses Kreises besitzen keine Tangentialbeschleunig-
ung und legen somit in zwei aufeinander folgenden Zeitelementen gleiche
Wegelemente zurück.
Der Tangentialkreis enthält den Drehpol 0 und den Beschleunigungs-
pol Q (Fig. 3) ; sein Mittelpunkt liegt auf der Poltangente und schneidet
diese ausser in 0 in einem zweiten Punkte H, den wir Tangentialpol
nennen wollen.
Zwischen den Durchmessern des Wendekreises d und des Tangential-
kreises e besteht die Beziehung:
5) dta^^eX.
Der Tangentialpol spielt bei der Bestimmung des Beschleunigungspoles
eine ähnlich wichtige Bolle, wie der Wendepol. Auf diesen Punkt hat zuerst
W. Schell aufmerksam gemacht***; er nennt ihn Mittelpunkt der Winkel-
beschleunigung.
Es soll hier die Aufgabe gelöst werden, den Tangentialpol H der
resultirenden Bewegung zu finden, wenn die Tangentialpole Hi und E^
der fahrenden und der gefUhrten Bewegung gegeben sind.
Der Tangentialpol ist jener Punkt^ um welchen die augenblicklich
auftretende Winkelbeschleunigung zu drehen sucht.
Die um H^ auftretende Winkelbeschleunigung X^ (Fig. 6) kann in
folgender Weise ersetzt werden:
a) durch eine Translationsbeschleunigung e^l^ in der Richtung des
Wendedurchmessers O^Ji^^^ d^ und
b) durch eine Winkelbeschleunigung X^ um 0^
Ebenso kann die um H^ auftretende Winkelbeschleunigung X^ ersetzt
werden :
c) durch eine Translationsbeschleunigung e^X^ in der Richtung des
Wendedurchmessers 0^J^=^ d^ und
d) durch eine Winkelbeschleunigung A, um 0,.
Anderseits sind beide Winkelbeschleunigungen X^ und X^ zusammen
einer dritten iL = A^ + ^ ^^i «^ äquivalent, wobei A den barjcentrischen
Ausdruck hat: XA=X,H,+ X^H^.
Die Winkelbeschleunigung A um ^ kann in folgender Weise ersetzt
m:
e) durch eine Translationsbeschleunigung --y.X senkrecht zu ^JEr = y,
f) durch eine Translationsbeschleunigung eX in der Bicbtang des
Wendedurchmessers Oj=d,
* Lehrbuch der Kinematik S. 809.
** Givilingenieur 1872.
*** Zeitschrift für Mathematik und Physik 19. Jahrgang.
Von Prof. F. Wittbnbaueb. 157
g) durch eine Translationebeschlennigung hl, senkrecht zu OBs^h nnd
h) durch eine Winkelbeschleunigung X um B.
Die unter a) bis d) angeftthrten Beschleunigungen müssen den unter
e) bis h) aufgezfthlten ftquivalent sein; nun sind aber in Folge des Aus-
^'^®^®« IB = X,0,+ X^0^
die unter b) und d) erwShnten ohnedies der unter h) angeführten Be-
schleunigung äquivalent; es müssen also auch die Translationsbeschleunig-
ungen a) und c) jenen e), f) und g) fiquivalent sein, das heisst, es
muss die Gleichheit der geometrischen Summen bestehen:
ei.Aj-f ^.l,= e.A + S.A — y.A.
Benützt man die imaginäre Einheit «, um anzudeuten, dass die
Strecke ih durch Drehung der Strecke h um 90^ im Sinne der Winkel-
beschleunigung iL entsteht, so ist mit Berufung auf Gleichung 5) :
Vergleicht man hiermit die in meiner Abhandlung: „Die Wendepole
der absoluten und relativen Bewegung'^ gegebene Gleichung 2):
so folgt unmittelbar: ^ _??i®L _ ^^ ^^
und zwar ist diese Strecke senkrecht zur Polgeraden 0^ 0^ =^ cl»
Hieraus folgt der Satz:
Der Tangentialpol H der resultirenden Bewegung
liegt in einer Senkrechten, die man aus dem Theilungs-
punkte^ der Geraden H^H^ auf die Polgerade 0^0^ fällt.
Der Theilungspunkt Ä theilt die Strecke^iH^ im um-
gekehrten Verhftltniss der Winkelbeschlennigungen XjAg.
Dieser Satz kann mit Vortheil zur Construction des Beschleunigungs-
poles verwendet werden.
Zieht man nSmlich in Figur 1 BI)\\OiH^ bis zum Schnitte mit
O^Hij sodann DäWO^H^ bis zum Schnitte mit H^H^^ so ist A der
Theilungspunkt und die von ihm auf 0^0^ gefällte Senkrechte trifft die
Poltangente OHl^Oj im Tangentialpol H der resultirenden Bewegung.
Sind beide Bewegungen, die führende wie die geführte, dauernde
Botationen, so fallen die Wendepole und Tangentialpole mit den zu-
gehörigen Drehpolen zusammen. Der Theilungspunkt A fällt dann nach B.
Dieser Specialfall hat insbesondere Bedeutung für kinematische Ketten ;
wie hier die Tangentialpole zu construiren sind, soll in einer folgenden
Arbeit gezeigt werden.
4. Zum Schlüsse möge noch der Beweis erbracht werden, dass die
angegebene Construction des Beschleunignngspoles einer zusammengesetzten
158 üeber den Beschleanigungspol etc. Von Prof. F. Wittbkbaubr.
Bewegung in völliger üebereinstimmong steht mit dem Coriolis'scheii
Satze über die Beschleunigong der relativen Bewegung eines Ponktes.
Es seien wieder (Fig. 7) O^O^O^ J^J^J, Q-^Q-^Q die Drehpole, Wende-
pole nnd Besohleonigungspole dreier Bewegungen: der führenden, der ge-
führten und der resuitirenden aus beiden.
Nennt man die Abstände eines beliebigen Punktes M der Ebene von
den drei Drehpolen q^Q^q^ von den drei Beschleunigungspolen r^r^r^ so
ist die Beschleunigung y des Punktes M zusammengesetzt aus reo* in der
Sichtung MQ und aus rl senkrecht zu MQ^ oder
y = ?.(»• — i.rA.
Diese beiden Beschleunigangen können in folgender Weise in Com-
ponenten zerlegt werden:
somit _
y^Qio^+ddf+ja.Gf-i.MB.X + ihX-i.Oa.l.
Nm ist ja==i.OG.tangg>^i.OO'\^
ar
Femer ist lu-© , i _i_ i
^flj* = (o(pjO)i + 9,0^) = (>j m\ + (>ja>* + »1 (»i(pi + ^2);
endlich nach vorigem Artikel:
Die geometrische Summe, welche y darstellt, geht somit über in:
y = ?i «0*1 + 9t o>*j + «1 a>j(5| + 92 + 5) + ^1 a*i + ^o)%— «?i ^1 — »?t^
und da die Strecke a die Richtung 0^0^ besitzt:
7 = (^1^*1 + dyfo\ -t^iA,) + (^,Q)«2 + ^ö)*2-»?a^) + 2^2 «1 «8-
Nun ist aber die Beschleunigung des Punktes M in Bezug auf das
führende System: '
y\ = n o>^ -^^ih = ^Xi + ^Xi+ /iffi w*i-«ei*i— ♦•Ol©! -Xi
und da auch hier gilt: =r-pz , . jr^ , ^
71 = e, »1* + d^ ««1 -i?.Aj.
Ebenso ergiebt sich für die Beschleunigung des Punktes im geftLhrten
System: - t i~^ % - 1
somit bleibt - , - , o-
y = yi+ys+2?2-»iw»»
der bekannte Satz von Coriolis.
X.
Deber einige besondere Curven des dritten Grades
und solche der dritten Klasse.
Von
Benedikt Spobeb
« in Ulm a. D.
I.
1. Sind die Eegelfichnitte C* eines BttBchels von Kegelschnitten,
B(C^ durch vier Qrundponkte p^ p^^ p^ and p^ and zwei beliebige Ge-
raden Q and H gegeben, so bestimmt jeder Kegelschnitt C^ auf der
Geraden Q zwei Punkte x^ und x^ und auf der Geraden H zwei Punkte y^
und y,* I^arch irgend einen Kegelschnitt C^ sind dadurch vier Gerade xy^
nKmlich die Geraden a;,y|, Xj^g, x^y^ und x^y^^ bestimmt» und zwar gehen
durch jeden Punkt x auf der Geraden Q zwei Gerade xy^ die im All-
gemeinen Yon Q verschieden sind; die Gerade xy fällt aber auch einmal
auf die Gerade Q selbst und zwar für den Punkt x^x^j den der Kegel-
schnitt C\ des Büschels durch den Schnittpunkt a^^o ^®' Geraden Q
und H mit Q ausserdem gemein hat. Ebenso f&Ut xy auch einmal auf
die Gerade ff, oder wir erhalten:
Der Ort der Geradena;y ist eine Curve der dritten Klasse,
jEC', mit G und H als einfachen Tangenten, und zwar werden
die letzteren von der Curve K^ in den Punkten berührt, in
denen der Kegelschnitt C\ des Büschels, der durch den
Schnittpunkt a der Geraden Q und H geht, diese nochmals
schneidet.
2. Yon der Curve K^ lassen sich (ausser den Geraden Q und H) eine
Beihe von Tangenten angeben oder leicht zeichnen, so z. B.:
o) Die Tangente des Kegelschnitts C^q im Paukte a.
/}) Die sechs Verbindungslinien der vier Grundpunkte Pi^ Pt^ p^
und p^.
y) Die Geraden xy^ die durch die zerfallenden drei Kegelschnitte
des Büschels bestimmt sind,
üeberdies können die Schnittpunkte der Ortscurve K^ mit jeder der
Geraden Q und H bestimmt werden. Die mit der Geraden Q sind die vier
1 60 üeber einige besondere Curven des dritten Grades .etc.
Punkte, in denen die zwei Kegelschnitte des Büschels > welche die Gerade
H berühren , die Gerade Q schneiden. Für jeden dieser vier Schnittpunkte
fallen nämlich zwei Geraden xy auf einander und die Tangenten in diesen
Punkten an f schneiden sich also zu zweimal zwei auf Gr, oder wir finden,
dass die Tangenten in diesen Punkten an K^ paarweise durch die Doppelpunkte
der Involution auf H gehen , die auf H durch die Schnittpunkte der Kegel-
schnitte C^ bestimmt ist Gleiches gilt auch für die Gerade IT.
3. Irgend zwei Kegelschnitte (7* bestimmen im Ganzen acht Geraden
xy^ welche mit den Geraden 0 und H zusammen zehn Tangenten der
Curve f sind und wir schliessen daraus, das wir dieselbe Curve K^ er-
halten, wenn wir durch die vier Punkte 2x und 2y auf dem ersten Kegel-
schnitt C^ einen beliebigen Kegelschnitt M*^ und ebenso durch die vier
Punkte 2x und 2y auf dem zweiten Kegelschnitt einen beliebigen Kegel-
schnitt M\ legen und an Stelle des Kegelschnittbüschels JB (C^ das durch
die Kegelschnitte M^^ und M\ bestimmte Büschel setzen. Die Curve K^
ist also nichts Anderes, als die Einhüllende der zerfallenden Kegelschnitte
des Netzes, das durch zwei Kegelschnitte (7* und die Geraden Q und E^
zusammen als Kegelschnitt angesehen, bestimmt ist; K^ ist also die
Caylej'sche Curve dieses Netzes.
4. Die Kegelschnitte irgend eines Büschels B{C?) bestimmen auf einem
Kegelschnitt N^^ der dem Büschel nicht angehört, Gruppen von via*
Punkten z, deren sechs Verbindungslinien die zum Netz, das tlurch N*
und das Büschel bestimmt ist, gehörige Curve f umhüllen. Soll die
Mitte einer Sehne des Kegelschnitts 1^ auf einer Geraden L gelegen sein,
so ist aber der Ort dieser Sehne eine Parabel P^. Diese hat mit der Orts-
curve K^ im Allgemeinen sechs Tangenten gemein und auf einer beliebigen
Geraden L liegen also im Allgemeinen die Mitten von sechs Sehnen, die
JV^ mit Kegelschnitten des Büschels gemein hat, oder:
Der Ort der Mitten aller Sehnen, welche die Kegelschnitte
des Büschels B{C^) mit irgend einem Kegelschnitt N^ gemein
haben, ist eine Curve des sechsten Grades ^.
Die Tangenten der Curve K^ sind zu drei und drei parallel und es
liegen also die Mitten von je drei parallelen Sehnen auf einem Durch-
messer von N\ Da durch den Mittelpunkt von N^ ebenfalls drei Tangenten
von K^ gehen, so ist dieser dreifacher Punkt des Ortes S^, FOr jede
Sehne parallel einer Asymptote von S^ fftllt die Mitte auf die unendlich ferne
Gerade Q^^ das heisst, die Curve S^ hat in den unendlich fernen Punkten
des Kegelschnittes N^ mit diesem drei Punkte gemein. In den weiteren
sechs gemeinsamen Punkten von 8^ und N^ wird N^ von je einem Kegel-
schnitt C^ berührt und es giebt also auch im Allgemeinen immer sechs
Kegelschnitte eines Büschels, die einen dem Büschel nicht angehangen
Kegelschnitt C^ berühren. Von der Curve 8^ lassen sich weiter noch die
18 Punkte bestimmen, die Mitten solcher Sehnen von N^ mit je einem der
Von Bbhbdikt Spobbb. 161
Mr&Uenden Eegelsohnitte des BflBohels sind. Tritt an Stelle des Kegel-
schnitts 2P ein Oeradenpaar, so berflhrt die obengenannte Parabel P* die
Geraden nnd P' nnd K^ haben ausser diesen nur noch vier weitere Tangenten
gemein, das heisst, 8^ zerfUli in diese Geraden nnd eine Cnrre des vierten
Grades 8^.
5. Ist das Bflsehel Kegelschnitte P(O^) ein Bfischel doppelt berflhrender
Kegelschnitte, so erleiden die Carven JT' und 8^ folgende Aenderangen:
o) Die Curve £' hat die gemeinsame Berührungssehne B zur Doppel-
tangente, und berührt ausserdem die gemeinsamen Tangenten in den Be-
rührungspunkten. Durch irgend vier Punkte 2x und 2y auf den Geraden
G und H ist dann allemal ein neues Büschel von Kegelschnitten P(C^i)
bestimmt imd jeder dieser Kegelschnitte C\ bestimmt auf der Geraden B
zwei Punkte I die die gemeinschafklichen Berührungspunkte eines Büschels
doppelt berührender Kegelschnitte des Netzes sind, und die Ortscurre K^
kann jetzt durch die Tangenten erzeugt werden, die man an die einzelnen
Kegelschnitte C\ in ihren Schnitten mit B ziehen kann. Die Curve K^
ist also dann die besondere Curye, die wir bereits früher (siehe diese
Zeitschrift Bd. 38 S. 34 — 47) eingehender untersucht haben.
ß) Ist insbesondere die Berührungssehne B die unendlich ferne Ge-
rade ff«; die Gerade ff« also der Ort aller Asymptoten eines Büschels
J9((7*i), so berührt die Curre K^ die Gerade ff« in zwei Punkten. Zudem
hat sie auch die beiden Asymptoten irgend eines Kegelschnitts N^ des
Netzes zu Tangenten. Ihre gemeinschaftlichen sechs Tangenten mit der
Parabel P' (siehe 4) bestehen ako aus der doppelt zu zfthlenden Geraden
&o» niid den beiden Asymptoten des Kegelschnitts N* und zwei weiteren
Tangenten. Die zu dem Kegekchnitt N* des Netzes gehürige Curre 8^
zerflült also in die doppelt zu zfthlende Gerade ff«, die beiden Asymptoten
von if' und eine Curre 8^^ das heisst, wir haben:
Das Büschel Kegelschnitte P(C^i), das durch zwei Ge-
raden als Asymptoten bestimmt ist, hat mit einem festen
Kegelschnitt Sehnen gemein, deren Mitten auf einem Kegel-
schnitt 8^ gelegen sind.
Irgend ein Kegelschnitt dieses Büschels bestimmt auf dem Kegel-
schnitt N^ vier Punkte q und die drei Verbindungslinien der Mitten der
G^enseiten des Yollstftndigen Vierecks dieser Punkte q schneiden sich dann
allemal in einem Punkt 8 und halbiren sich in diesem Punkt, und zwar
ist der Punkt 8 der Schwerpunkt der Funkte g. Diese drei Verbindungs-
linien sind aber zugleich Sehnen des Kegelschnitts 8^ und der Punkt 8
muss nothwendig Mittelpunkt dieses Kegelschnitts sein, oder:
Jeder Kegelschnitt (7'| des Büschels P((7*|), das durch
zwei Geraden als gemeinsame Asymptoten bestimmt ist, be-
stimmt auf einem Kegelschnitt N^ vier Punkte, die einen un-
yeränderlichen Punkt 8 zum Schwerpunkt haben.
Zeitschrift f. Mathematik n. Fhyiik. 40 Jahrg. 1895. 8. Heft. 1 1
162 üeber einige besondere Carven des dritten Qrades etc.
Sind also irgend zwei Kegelschnitte N^ und C^ gegeben nnd halten
wir den einen dieser Kegelschnitte, etwa N^ fest, nnd lassen den andern
sich andern y doch so, dass er seine Asymptoten beibehält, so bestimmt er
anf N^ immer vier Pnnkte g, die denselben Punkt S zum Sohwerponkt
haben. Halten wir ebenso den Kegelschnitt C* fest nnd lassen gleicher-
weise den Kegelschnitt N^ sich &ndem, so dass die Asymptoten dieses
Kegelschnitts dieselben bleiben, so folgt, dass auch jetzt die yier gemein-
schaftlichen Pnnkte des Kegelschnitts j^' mit dem Kegelschnitt G^ dieselben
bleiben, oder, dass wir jeden der Kegelschnitte N^ nnd C^ durch einen
anderen ersetzen dürfen, der jedoch mit N^ resp. 0^ die Asymptoten ge-
mein hat. Solche Kegelschnitte sind aber auch die Asymptotenpaare von
N^ und 0^ selbst; das heisst, wir finden:
Der Schwerpunkt der gemeinschaftlichen Punkte zweier
Kegelschnitte fällt mit dem Schwerpunkt der vier Pnnkte
zusammen, welche die Asymptoten des einen Kegelschnitts
auf den Asymptoten des anderen bestimmen.
Da weiter concentrische Kreise ebenfalls ein Büschel von Kegelschnitten
sind, die auf der unendlich fernen Oeraden G^ sich doppelt berühren, so
folgt daraus noch:
Beschreibt man um einen festen Punkt als Mittelpunkt
beliebige Kreise, so haben die vier Punkte, die jeder dieser
Kreise mit einem Kegelschnitt gemein hat, einen festen Punkt
zum Schwerpunkt.
Der Kegelschnitt 8^ wird für diesen Fall zur gleichseitigen Hyperbel,
die auch durch die Fusspunkte der yier vom Kreismittelpunkt auf den
Kegelschnitt gefällten Lothe, den Kreismittelpunkt, den Mittelpunkt des
Kegelschnitts und durch die unendlich fernen Punkte der Achsen des
letzteren geht
II.
1. Soll ein Kegelschnitt durch drei Punkte a, 5, o gehen nnd ge-
gebene Achsenrichtungen haben, so geht er stets noch durch einen Punkte
auf dem Umkreis des Dreiecks ahc\ alle Kegelschnitte, welche den ge-
gebenen Bedingungen gehorchen, bilden also ein Büschel B{C^ Ton
Kegelschnitten und der Ort der Mittelpunkte aller dieser Kegelschnitte
ist eine gleichseitige Hyperbel H^, deren Asymptoten den gegebenen
Achsenrichtungen parallel sind.* Diese Hyperbel H^ geht durch die
Mitten der Seiten des Dreiecks ahc und den Mittelpunkt des Umkreises
* Es folgt dies aus dem Umstand, dass die Seiten eines KreisTiereokS| das
einem Kegelschnitt einbeschrieben ist, gegen die Achsen desselben gleich geneigt
sind; der Ort der Mittelpunkte der Kegelschnitte des Büschels durch die rier
Ecken des Ereisvierecks ist dann nach einem bekannten Sats eine gleichseitige
Hyperbel, die durch den Mittelpunkt des Kreises als eines Kegelschnitts des
Bflschels geht
Von Bbnkdikt Bporbb. 163
des Dreiecks aba, Geben wir also den Achsen aller Kegelschnitte durch
die Punkte ahe nach und nach alle Sichtungen, so gehört zu jeder
Richtung eine Hyperbel H^ und alle diese Hyperbeln H^ bilden ein
Büschel B{H^) von gleichseitigen Hyperbeln durch vier Punkte. Unter
allen diesen Kegelschnitten sind aber auch Parabeln mit inbegriffen und
zwar sind die Achsen dieser Parabeln die Asymptoten dieser Hyperbeln H^.
Diese Achsen umhüllen also eine Curre der dritten Klasse mit &« als
Doppeltangente, oder wir finden:
Der Ort der Achsen aller Parabeln, die durch drei Punkte
gehen, ist eine Curye der dritten Klasse P^ mit (7« als Doppel-
tangente.
2. Jede der Hyperbeln H^ bestimmt auf einer festen Geraden G zwei
Punkte 0?; ziehen wir durch diese Punkte x Parallelen zu den Asymptoten
der Hyperbel, so erhalten wir (nach I., 1) als Ort dieser Parallelen eine
Curve der dritten Klasse mit G und der Oeraden G^ als einÜMhen
Tangenten, indem die Gerade (7« an Stelle der Geraden ^getreten ist, oder:
Soll ein Kegelschnitt durch drei Punkte gehen und seinen
Mittelpunkt auf einer Geraden G haben, so ist der Ort der
Achsen aller diesezKegelschnitte eine Curye der dritten Kl asseJ^^i
mit der Geraden G und der unendlich fernen Geraden als ein-
fachen Tangenten, und die yier Asymptoten dieser Curven
schneiden sich zweimal zu zweien rechtwinklig auf der Ge-
raden G in den Doppelpunkten der Involution, die durch die
gleichseitigen Hyperbeln durch die drei Punkte auf der Ge-
raden G bestimmt ist. Die Berührungspunkte der Curye K\
mit den Geraden G und (7« sind durch die Hyperbel bestimmt,
die durch den Schnittpunkt der beiden Geraden G und &oe geht,
das heisst, die Gerade G wird yon K^^ in der Mitte zwischen
den Doppelpunkten obiger Involution und die Gerade Ga> in
einem Punkte berührt, dessen Richtung senkrecht zur Bich-
tung der Geraden G ist
und hieraus:
Soll ein Kegelschnitt durch drei Punkte abo und eine seiner
Achsen durch einen festen Punkt p gehen, so ist der Ort
seines Mittelpunktes eine Curye des dritten Grades P^ mit p
als Doppelpunkt.
Durch jeden Punkt p gehen niUnlich drei Tangenten des Ortes JE^^,
oder auf G liegen drei Punkte, die Mittelpunkte von Kegelschnitten sind,
yon denen eine Achse durch p geht. Auf jeder Geraden durch p liegt
femer nur noch ein Punkt yon P\^ indem jede solche Gerade Achse
eines einzigen Kegelschnitts durch abc ist, der Punkt jp ist also Doppel-
punkt yon P\ und zwar wird er zu einem solchen für den Kegelschnitt
durch abc^ der p zum Mittelpunkt hat, und die Achsen dieses Kegel-
11*
164 üeber einige besondere Cnrren des dritten Grades etc.
schnitte sind Tangenten an P^, nnd die Tangenten an P\ im Doppel-
punkt stehen also senkrecht anf einander.
3. Von den Ortscurven P^, K\ nnd P\ lassen sich eine Reihe tod
Tangenten resp. Punkte angeben oder doch leicht bestimmen, so:
o) Die Gurye P^ berührt die Verbindungslinien der Mitten der Seiten
des Dreiecks a&r, in dem jede dieser Geraden als Achse einer Parabel
durch ahe angesehen werden kann, die aus zwei parallelen Geraden be-
steht;' ebenso berührt die Curve P^ die Halbirungslothe der Seilen dee
Dreiecks ahe und zwar ist jede dieser Gerade Achse einer eigenüidien
Parabel durch abe. Die gleichseitigen Hyperbeln H* bestimmen weiter
auf Qao eine Rechtwinkel -Involution und die Curve P^ berührt GP« in den
Doppelpunkten dieser Involution, also in den unendlich fernen Kreispunktoi
auf ff«. Die Mittelpunkte aller Hyperbeln JEP liegen auf dem Feuer-
bach'sehen Kreis des Dreiecks ahe und Tangentenpaare von P\ die auf-
einander senkrecht stehen, schneiden sich also auf diesem Kreise.
ß) Die Curve K^^ berührt ausser den drei Verbindungslinien der
Mitten der Seiten Dreiecks ahe und den drei Halbirungslothen der Seiten
dieses Dreiecks noch die auf diesen sechs Geraden in ihren Schnitten mit G
errichteten Lothe, indem jedes dieser sechs Geradenpaare, die ihren Schnitt
auf Q- haben, die Achsen eines zerfallenden resp. eigentlich Kegelschnitts
durch ahe sind.
y) Die Curve P^^ geht durch den Mittelpunkt des dem Dreieck ahe
umschriebenen Kreises, die Mitten der Seiten des Dreiecks ahe^ die Punkte,
in welchen die Parallelen durch p zu den Seiten des Dreiecks die
Halbirungslothe zu diesen Seiten treffen, durch die Fusspunkte der Lothe
von p auf die Verbindungslinien der Seitenmitten des Dreiecks ahe und
die zwei Punkte auf jeder Seite von abc, in welchen die Tangenten von
den Gegenecken an den Kreis die Seite treffen , der p zum Mittelpunkt hat
und die Seite berührt. Alle diese Punkte sind nSmlioh Mittelpunkte ein-
zelner Kegelschnitte durch a5c, von denen eine Achse durch p geht.
Wählen wir für den Punkt p eine besondere Lage in Bezug auf das
Dreieck a5c, so zerfällt die Curve P\ und wir erhalten z. B.:
Auf der Verbindungslinie a^e^ zweier Seitenmitten des
Dreiecks ahe {a^ auf he etc.) sei ein Punkt p angenommen; Ton
p werde auf die Geraden, welche aj nnd e^ mit der Mitte h^ von
ae verbinden, die Lothe pa und pß gefällt, ebenso auf die
Halbirungslothe 0|ff» und a^m von ah und he die Lothe pi nnd
py] nm p werden weiter die Kreise JT«, £5, JT«, beschrieben,
welche die Seiten des Dreiecks ahe berühren {Km die Seite bc
u. s. f.) und die p zum Mittelpunkt haben; von a werden an Km
die beiden Tangenten gezogen, welche bc in a^ und Og schnei-
den, und ebenso von c an den Kreis Ko die beiden Tangenten,
die auf ah die Punkte c^ und c^ bestimmen und endlich, von l
Von Benedikt Spobbb. 165
ans an den Kreis Eh die Tangente, die zu ac nicht parallel
ist, nnd die auf ac den Punkt ^ bestimmt Es liegen dann
allemal die Punkte p, a, /?, y, 4, der Mittelpunkt m des Um-
kreises des Dreiecks abc, der Halbirungspunkt bj Yon ac^ die
Punkte Ol, o,, ^, c^ mit c^ auf einem Kegelschnitt, der die
Gerade a^c^ in p senkrecht durchschneidet.
Und:
Auf dem Halbirungslothe aifn der Seite ic eines beliebigen
Dreiecks ahc sei ein beliebiger Punkt p angenommen und
um denselben seien als Mittelpunkt die Kreise Ka, K^, Ko be-
schrieben, die die Seiten des Dreiecks ahe berühren. Von dem
Punkte a seien an Ka die Tangenten gezogen, welche auf he
die Punkte o, und 03 bestimmen, von 5 ebenso an Kreis Kh die
Tangente gelegt, die (im Allgemeinen) mit he und ae kein
gleichschenkliges Dreieck bildet und die ae in h^ trifft, und
endlich sei Yon e auch an Ko die Tangente gezogen, die mit he
nnd ae kein gleichschenkliges Dreieck bildet und die ah in Cg
trifft; auf die Halbirungslothe &|ff» und Cjffi der Dreiecksseiten
ae und ah und die Verbindungslinien der Seitenmitten a^ von
hc mit den Seitenmitten yon ah und ae seien von p die Lothe
i^^f Pß% Py ^^^ Pi gefSllt. Es liegen dann immer die Punkte
P9 ^1 ßi 7i '9 ^9 ^3> ^i ^iid ^i> <lio Mitten &| und c^ von ac und
a& auf einem Kegelschnitt, der das Mittelloih von he in p
senkrecht durchschneidet.
4. Sind femer irgend vier Punkte ah cd gegeben, so können wir ans
diesen zwei Gruppen von drei Punkten ahe und ah 6 auswShlen« Zu jeder
dieser Gruppen und einem Pankt p gehOrt dann eine Ortscurve P'^. Die
gemeinsamen Punkte dieser Curven setzen sich dann aus folgenden Punkten
zusammen:
o) Dem Punkte jp, als Doppelpunkt bei den Curven vierfach zShlend.
ß) Dem Halbirungspunkt von ah,
y) Dem Fusspunkt des Lothes von p auf das Halbirungsloth von ah.
6) Drei weiteren Punkten, welche solchen Kegelschnitten angehören,
die durch die vier Punkte ahci gehen und von denen eine Achse
durch p geht; das heisst wir finden:
Der Ort der Achsen der Kegelschnitte eines Bttschels durch
vier Punkte ist eine Curve der dritten Klasse A\
unter den Kegelschnitten eines Büschels sind weiter zwei Parabeln.
Es folgt daraus;
Die Curve A^ hat die unendlich ferne Gerade zur Doppel-
tangente, sie ist also von der vierten Ordnung und unter den
Acbsen aller dieser Kegelschnitte sind keine zwei parallel.
166 üeber einige besondere Curven des dritten Grades etc.
Die Corve Ä^ berührt die Halbimngslothe der Seiten dos ToUstSndigen
Vierecks der vier Pankte nnd die drei Oeradenpaare, welche die Winkel
der Gegenseiten dieses Vierecks halbiren. Sind die Kegelschnitte des
Büschels alle gleichseitige Hyperbeln, oder ist jeder der Gmndpnnkte
Höhenschnitt des Dreiecks der andern, so ist die Cnrre P' der GnrTe Ä*
congrnent nnd die drei Bttokkehrpnnkte beider Cnnren bilden zwei gleich'
seitige Dreiecke , die die Mittelpunkte gemein haben, und von denen das
eine gegen das andere nm 180^ gedreht ist.
III.
1. unter den Curven C eines Büschels von Curven des dritten
Grades B{C^) giebt es im Allgemeinen immer vier solche, die eine Ge-
rade Q berühren. Ziehen wir an jede der Cnrven C^ in ihren drei Schnitt-
pnnkten mit G die Tangenten, so erhalten wir als Ort dieser Tangenten
eine Cnrve der fünften Klasse &^ mit 0- als vierfacher Tangente, indem
durch jeden Punkt auf Q nur eine einzige solche Tangente geht, die von
Q verschieden ist, diese Tangente aber auch viermal auf Q- zu liegen
kommt. Ist ausserdem noch ein zweites Büschel von Curven des dritten
Grades B{C\) gegeben , und ziehen wir auch an die Curven dieses Büschels
in ihren Schnitten mit derselben Geraden G die Tangenten, so ist anch
der Ort dieser Tangenten eine Curve der fünften Classe mit G als vier-
facher Tangente. Beide Curven haben ausser G selbst noch 5.5 — 4.4 = 9
Tangenten gemein, oder:
Soll eine Curve C^ eines Büschels' von Curven durch neun
Grundpunkte eine Curve C\ eines zweiten Büschels durch neun
andere Grundpunkte berühren, so ist der Ort des Berührungs-
punktes eine Curve des neunten Grades S^.
Durch jeden Grundpunkt des einen Büschels geht eine Curve des an-
deren Büschels, und die Curve 8^ geht also namentlich auch durch die
Grundpunkte beider Büschel.
2. Haben die beiden Büschel sieben Punkte gemein , so giebt es immer
eine Curve C^, welche beiden Büscheln zugleich angehört. Jeder Ponkt
dieser gemeinsamen Curve beider Büschel kann aber als ein Punkt an-
gesehen werden, in dem eine Curve des einen Büschels eine Curve des
anderen Büschels berührt; das heisst, die Curve 8^ zerfällt in diese
gemeinsame Cnrve C^ beider Büschel und in eine Curve des sechsten
Grades 8^^ oder:
Haben zwei Curvenbüschel B{C^) und B{C\) sieben Pankte
gemein, so ist der Ort der Punkte, in denen eine Curve des
ersten Büschels eine solche des zweiten Büschels berührt, eine
Curve des sechsten Grades 8^.
Irgend ein Punkt dieses Ortes 8^ bildet aber mit den sieben gemein-
schaftlichen Grundpunkten der beiden ersten Büschel acht Grundponkte
Von BfiMBDiKT Sporbr. 167
eines nenen Bttschels und zwar berühren sich in diesem achten Punkte
zwei Curyen 0^ nnd C\y die dem nenen Büschel angehören und somit
alle Cnnren dieses Büschels, unter diesen Curyen ist aber auch immer
eine solche, die in diesem gemeinsamen Berührungspunkt einen Doppel-
punkt hat, das heisst, wir finden;
Soll eine Curye des dritten Orades durch sieben Punkte
gehen und einen Doppelpunkt haben, so ist der Ort dieses
Doppelpunktes eine Curve des sechsten Orades, nämlich die
Curye Ä« (Steiner's G. W. Bd. 2 8. 526)*
Da jeder der sieben Pankte selbst Doppelpunkt einer Curye 0^ durch
diese sieben Punkte sein kann, so folgt daraus noch:
Die Curye 8^ hat die sieben festen Punkte zu Doppel-
punkten.
Die Curye 8^ geht ausserdem durch die 42 Punkte, in denen die
Verbindungslinien yon je zwei Punkten der Kegelschnitte durch die übrigen
fünf Punkte treffen, indem jede dieser Geraden mit dem zugehörigen Kegel-
schnitt als zerfallende Curye des dritten Grades mit zwei Doppelpunkten
angesehen werden kann.
3. Sind irgend sechs Punkte jp gegeben , so können wir jeden Punkt x
der Geraden 0- als Doppelpunkt einer Curye des dritten Grades ansehen;
diese Curye bestimmt dann auf einer zweiten Geraden H drei Punkte y
und durch jeden Punkt x auf G gehen also drei Geraden xy. Die Ge-
rade xp fKllt aber auch yiermal auf die Gerade 0- selbst, nämlich für die
Punkte Xq^ in denen die zu den sechs Punkten jp und dem Schnittpunkt a
yon Q und H gehörige Ortscurye 8^ die Gerade G ausser in a noch
schneidet. Der Ort der Geraden xy ist also eine Curye der siebenten Klasse
mit Q als yierfacher Tangente. Lassen wir G und H zusammenfallen, so
fällt eine der drei Geraden xy auf die Gerade G und die anderen werden
zu Taagenten im Doppelpunkt x auf &, und wir erhalten:
Soll eine Curye des dritten Grades durch sechs Pankte
gehen und auf einer Geraden G einen Doppelpunkt haben,
so ist der Ort der Tangenten in diesem Doppelpunkt eine
Curye der siebenten Klasse G'' mit G als fünffacher Tangente.
Durch jeden Punkt q ausserhalb G gehen also sieben solche Tangenten
einzelner der Curyen C^ mit Doppelpunkt darch die sechs Punkte p, die
C^ in emem Doppelpunkt berühren, der auf G liegt, oder:
Soll eine Cure des dritten Grades durch sechs gegebene
Pankte p gehen, einen Doppelpunkt haben, und soll die eine
* Gans ebenso findet man allgemein:
Soll eine Car?e des n^en Qrades durch -(n - l)(n +4) Punkte gehen
and einen Doppelpunkt haben, so ist der Ort des Doppelpunkte eine
Curye des d(n-l)ten Grades.
168 lieber einige besondere Cnrven des dritten Grades etc.
der Tangenten in diesem Doppelpunkt durch einen gegebenen
Punkt gehen, so ist der Ort dieses Doppelpunktes eine Curre
des siebenten Grades Q'' (Steiner a.a.O.).
Jede Gerade G kann fttnfmal zu einer Tangente im Doppelpunkt einer
Curve C^ durch sechs Punkte werden und auf jeder Geraden durch q liegen
also ausser q nur noch fdnf weitere Punkte des Ortes Q^, oder q ist selbst
Doppelpunkt dieses Ortes. Ziehen wir in ^ an die Curve G^ mit Doppel-
punkt, welche durch die sechs Punkte p geht und den Punkt q lum
Doppelpunkt hat, die Tangenten ^ so wird jede dieser Tangenten nur noch
von vier weiteren Curyen 0^ berührt, die auf diesen Tangenten einen
Doppelpunkt und die diese Geraden selbst zu Tangenten in diesem Doppel-
punkt haben; diese beiden Tangenten sind also auch Tangenten an Q^ im
Doppelpunkt A.
Auch Ton dieser Curve lassen sich eine Beihe von Punkten leicht an-
geben; legen wir z. B. durch ftlnf der sechs Punkte p einen Eegebchnitt,
so liegen auf diesem 14 Punkte des Ortes , nämlich die beiden Schnitt-
punkte der Geraden von q nach dem sechsten Fnuktp und die Berfihmngs-
punkte der zwei von q an den Kegelschnitt gelegten Tangenten, indem
diese ebenfalls als Doppelpunkte von Curven 0^ auftreten, die in diesen
Kegelschnitt und eine Gerade von einem dieser Berührungspunkte nach dem
letzten Punkt p zerfallen. Ausser diesen vier Punkten und den ftknf
Punkten p kann auf dem Kegelschnitt kein weiterer Punkt des Ortes Q''
liegen, das heisst, die Punkte p sind Doppelpunkte des Ortes. Auf jeder
Geraden qp liegen ausser dem zweifach zählenden Punkt q und den Sehnitt-
punkten mit dem Kegelschnitt durch die übrigen fünf Punkte p nur
noch der sechste Punkt jp; dieser ist also dreifach zu zählen, oder die
Geraden qp sind ausserdem noch Tangenten in den Doppelpunkten p des
Orts Q\
4. Zu irgend zwei Punkten q und q^ gehören in Bezug auf die obigen
Curven C^ (durch dieselben sechs Punkte p) zwei Ortscurven Q'' und Q''^.
Die gemeinsamen Punkte dieser Curven setzen sich zusammen ans 24 Punkten,
die in die sechs Punkte p^ aus fünf, die auf die Gerade qq^ fallen und
aus zwanzig weiteren Punkten, das heisst wir finden:
Soll eine Curve dritten Grades C mit Doppelpankt durch
sechs Punkte gehen und sollen die Tangenten im Doppel-
punkt an C^ durch zwei feste Punkte q und q^ gehen, so giebt
es im Allgemeinen 20 Lösungen.*
Und:
Soll eine Curve des dritten Grades C^ mit Doppelpunkt
durch sechs Punkte p gehen und soll die eine Tangente im
* Steiner giebt 25 Lösungen an, indem er wohl die fünf Ponkte von Q'
und Q\ auf qqi übersah in Abzug zu bringen.
Von Bbmbdikt SpoftBfi. 169
Doppelpunkt dieser C^ dnrch einen festen Punkt q gehen, so
ist der Ort der anderen Tangente in diesem Doppelpnnkt eine
Curye der zwanzigsten Klasse ^.
Jeder Tangente von q an diese CarTe (^ entspricht eine Gnrve C,
die anstatt einem Doppelpunkt einen Rttckkehrpnnkt hat. unter den
zwanzig Tangenten von q bxl (jl^ sind aber die zwei mit inbegriffen, die
an die (7' gezogen sind, die q selbst zum Doppelpunkt hat, und wir
finden also in üebereinstimmung mit Steiner:
Soll eine Cnrye 0^ mit Doppelpunkt durch sechs Punkte i^
gehen und soll die eine Tangente in diesem Doppelpunkt durch
einen festen Punkt q gehen, so sind unter der Sohaar von
diesen Curyen dritten Orades im Allgemeinen 18, die einen
BQckkehrpunkt haben; und soll eine G^ dnrch sechs Punkte
gehen und einen Bttckkehrpunkt haben, so ist der Ort der
Bfickkehrtangente eine Curyo der 18. Klasse B^.
5. Wir sahen oben» dass es im Allgemeinen fünf Curyen C durch
sechs Punkte jp giebt, die auf einer Geraden G einen Doppelpunkt und Q
za dem zur Tangente in diesem Doppelpunkt haben , und es giebt also auch
fünf solche Curyen C^ durch sechs Punkte p^ die auf 0« einen Doppel-
punkt haben und Q^ zugleich zur Tangente in diesem Doppelpunkt. Jeder
dieser fünf Doppelpunkte auf Ga^ kann aber als Mittelpunkt einer C^ an-
gesehen werden, die durch die jp geht, und wir schliessen daraus:
Soll eine Curye C^ durch sechs Punkte p gehen und einen
Mittelpunkt haben, so ist der Ort dieses Mittelpunkts eine
Curye des fünften Orades M\
Diese Curye M^ geht namentlich durch jeden der Punkte p selbst,
durch die Mitten der 15 Verbindungslinien yon je zwei dieser Punkte,
durch die Mittelpunkte der 30 Kegelschnitte, die durch yier Punkte p
gehen und ihren Mittelpunkt auf der Verbindungslinie der letzten zwei
Punkte p haben, und durch die Mittelpunkte der Kegelschnitte durch je
fünf der Punkte p,
6. Die in 3. gefundene Ortscunre G'^ hat mit der Geraden G ausser
den fünf Berührungspunkten zwölf weitere Punkte gemein, indem ihr Grad
gleich 6 . 7 — 5 • 4 = 22 ist Jedem dieser zwölf Punkte entspricht aber
eine Curye C\ die auf G einen Bückkehrpunkt hat, oder:
Soll eine Curye des dritten Grades durch sechs Punkte p
gehen and einen Bückkehrpunkt haben, so ist der Ort dieses
BUckkehrpunkts eine Curye des zwölften Grades, B" (Steiner
a. a. 0. S. 526, findet eine Curye B^.
Die Curye Ifi hat die Punkte p zu yierfachen Punkten und geht ausser-
dem dureh die 80 Punkte, in denen die Verbindungslinie yon je zweien yon
170 üeber einige besondere Carven des dritten Grades etc.
einem Eegelscbnitt dnrch die übrigen vier berührt wird, sowie dnrck die
zwölf Berühmngspnnkte der Tangenten von jedem Ponkt p an den Eegel-
scbnitt durch die anderen fünf Punkte p^ indem alle diese Punkte (ausser
den Punkten p selbst), Kückkehrpunkte einzelner (zerfallender) Oorven C
durch die sechs Punkte p sind.
7. Die oben (in 2.) entwickelte Ortscar?e 8^ zerfUlt für beaondere
Lagen der gegebenen sieben Punkte jp. Sind insbesondere drei der sieben
Punkte in einer Geraden gelegen, so kann jeder Punkt dieser Geraden als
Doppelpunkt einer zerfallenden Curve C^ angesehen werden oder dieee Ge-
rade ist ein Theil der Curve S^, Sind also sechs der gegebenen Punkte jp
die Schnitte von je zweien von vier Geraden , oder sind sechs Punkte p die
Ecken eines vollständigen Yierseits, so enthält die Ortscurve 8^ die Seiten
dieses Yierseits, zerfällt also in diese vier Seiten und in eine Curve des
zweiten Grades. Die letztere muss also den siebenten Punkt p zum Doppel-
punkt haben, zerfällt also selbst wieder in zwei Geraden L und L^^ die
zu dem in dem siebenten Punkte p Tangenten an eine solche CP durch
die sechs Ecken des Yierseits sind, die den siebenten Punkt p zum
Doppelpunkt hat, oder:
Soll eine Curve des dritten Grades C^ mit Doppelpunkt
durch die sechs Ecken eines vollständigen Yierseits und
einen siebenten beliebigen Punkt jp^ gehen, so ist der Ort des
Doppelpunkts aus den Geraden L und L^ zusammengesetzt,
die Tangenten in p^ an die besondere der Curven C^ in p^ sind,
die p^ zum Doppelpunkt hat.
Wir sahen weiter, dass auf der Curve 8^ die Punkte liegen, in denen
ein Kegelschnitt durch fünf der gegebenen Punkte die Yerbindungslinie der
letzten zwei Punkte p schneidet, oder wir finden:
Legen wir durch je zwei Paare von Gegenecken eines voll-
ständigen Yierseits und einen beliebigen Punkt |7 Kegelschnitte,
so schneidet jeder dieser Kegelschnitte die Yerbindungslinie
des dritten Paares von Gegenecken des Yierseits in zwei
Punkten a und die so erhaltenen sechs Punkte a liegen dann
allemal auf zwei durch den Punkt p gehenden Geraden, nämlich
den Geraden L und L^,
8. Auch die Curve M^ kann in Curven niedrigeren Grades zerfaDen;
liegen z. B. irgend drei der gegebenen Punkte p auf einer Geraden, so
hat diese Gerade nach Obigem mit M^ mehr als fünf Punkte gemein, ist
also ein Theil von M^ und dieser Ort besteht somit aus dieser Genden
und einer Curve des vierten Grades M\ Sind die sechs Punkte p %,B.
zu je drei auf drei Geraden gelegen, so folgt daraus:
Werden auf den Seiten PtPfj PiP^ und p^p^ eines Dreiecks
PiP^Pt ^^^^ beliebige Punkte p^, p^ undp^ angenommen und sind
Von Benbdikt Sporbb. 171
9sy 9$ ^nd 9i die Mitten der Seiten des Dreiecks PiP^p^^ so liegen
allemal die Mitten der Seiten des Dreiecks PiP^Psf die Mitten
YOn PiPij PtPii PzPe ^i^d <3io Schnittpunkte von q^q^ mit p^Ps^ QiQ^
mit p^Pq und q^q^ mit p^p^ anf einem Kegelschnitt H^ nnd dieser
ist der Ort der Mittelpunkte aller Cnrven des dritten Grades
mit Mittelpunkt dnrch die sechs Punkte jp.
Schneiden sich die Geraden i^^p^, p^p^ und p^p^ in einem Punkt, so
geht der Kegelschnitt H^ auch durch diesen Punkt.
Liegen die sechs Punkte p auf vier Geraden, oder sind dieselben die
Ecken eines yoUstftndigen Yierseits, so serfllllt M^ in die Seiten dieses
Vierseits nnd in eine Gerade, welche durch die Mitten der drei Diagonalen
des Vierseits geht. Da diese Gerade zugleich der Ort der Mittelpunkte
aller Kegelschnitte ist, die dem Vierseit einbeschrieben sind, so folgt
daraus noch:
Soll eine Curve des dritten Grades durch die sechs Ecken
eines Tollständigen Vierseits gehen und einen Mittelpunkt
haben, so ist der Ort des Mittelpunktes diejenige Gerade,
welche durch die Mitten der drei Diagonalen des Vierseits
geht und jede dieser Curyen hat also auch mit einem Kegel-
schnitt, der die Seiten des Vierseits berührt, den Mittelpunkt
gemein.
IV.
1. Durch jeden Punkt x gehen im Allgemeinen zwei Kegelschnitte
eines Systems 8{C*) yon Kegelschnitten, die vier Gerade berühren. Lassen
wir den Punkt x sich auf einer Geraden & bewegen und ziehen wir in x
an jeden durch x gehenden Kegelschnitt 0^ die Tangenten , so ist der Ort
dieser Tangenten eine Curve der dritten Klasse G'|, indem durch jeden
Punkt auf Q zwei der obigen Tangenten gehen, diese aber auch einmal
mit G zusammenfallt und zwar fCLr den Punkt, in dem 0 von einem Kegel-
schnitt C^ berührt wird. Zudem berührt die Ortscurve die vier Tangenten
der Schaar und zwar in ihren Schnitten mit 0- und ebenso die drei
Diagonalen des Vierseits der Schaar. Durch jeden Punkt ausserhalb G
grehen also auch drei Tangenten an einzelne C*, die ihren Berührungspunkt
auf G haben. Wir folgern daraus:
Ziehen wir an alle C* der Schaar von einem Punkt ^^ die
Tangenten, so ist der Ort des Berührungspunktes eine Curve
des dritten Grades P^
Durch Pq selbst gehen zwei Kegelschnitte C', das heisst, P^ hat den
Punkt Pq zum Doppelpunkt und zwar sind die beiden Tangenten in Pq an
diese Kegelschnitte auch Tangenten im Doppelpunkt von P^, indem auf
jeder dieser kein weiterer Punkt des Ortes liegen kann. Die Curve P^
172 üeber einige besondere Curren des dritten Grades etc.
geht femer auch durch die sechs Ecken des Vierseits, das heisst wir
finden :
Die Geraden L und L^ (vergl. III.) sind Tangenten in p^ an
die zwei Kegelschnitte, die dem Vierseit einbeschrieben sind
nnd die dnrch p^ gehen.
und hieraus wieder:
a) Soll eine Gnrve des dritten Grades dnrch die Ecken
eines vollständigen Yierseits gehen nnd anf einer Geraden G
einen Doppelpunkt haben, so ist der Ort der Tangenten ein
Doppelpunkt an diese Curve die obige Curve (r^; soll dagegen
die Tangente im Doppelpunkt durch einen festen Punkt jp^ gehen,
so ist der Ort des Doppelpunkts die Curve des dritten Grades,
die durch die sechs Ecken des Yierseits geht und jp^ zum
Doppelpunkt hat.
Und:
b) Geht eine Curve des dritten Grades mit Doppelpunkt
durch die Ecken eines vollständigen Yierseits und durch einen
siebenten Punkt j>09 ^^ ^^^ ^^^ Ort der Tangenten im Doppelpunkt
aus zwei Curven der dritten Klasse zusammengesetzt, nftmlich
aus den Curven Q\y die zu L und L^ gehören.
Ziehen wir von p^ an alle Kegelschnitte der Schaar die Tangenten, so
bilden diese ein involatorisches Büschel mit den Geraden L und X|.
Irgend ein solches Tangentenpaar bildet mit einer Seite s^ des Yierseits
ein Dreieck, das einem Kegelschnitt umschrieben ist. Da aber auch das
Dreieck aus den fibrigen Seiten s^y «3, 8^ des Yierseits demselben Kegel-
schnitt umschrieben ist, so geht durch die sechs Ecken beider Dreieeke
stets ein Kegelschnitt. Alle auf diese Art erhaltenen Kegelschnitte haben
aber vier Punkte, den Punkt p^ und die drei Ecken des zweiten Dreiecks
aus s^j 03, «4, gemein, bilden also ein Büschel von Kegelschnitten.
Diese Kegelschnitte bestimmen aber auf der ersten Seite $^ eine
Involution von Punkten, die von p^ durch das obige Strahlenbttschel projieirt
werden. Die Doppelpunkte dieser Involution sind aber die Punkte, in
denen s^ von Kegelschnitten des Büschels berührt wird, oder:
Legen wir durch einen Punkt p^ und die Ecken jeden
Dreiecks, das drei der vier Seiten eines Yierseits bilden, die
zwei Kegelschnitte, welche die vierte Seite berühren, so liegen
die so erhaltenen acht Berührungspunkte auf zwei Geraden,
nämlich auf den Geraden L and L^.
V.
1. Kehren wir wieder zu der in I. erhaltenen Curve f zurück und
halten wir eine der Geraden, etwa (7, und irgend einen Punkt g fest, so
Von Benbdikt Spobbb. 173
finden wir, da für jede beliebige Gerade H durch den Punkt q drei
Tangenten der su Q und H gehörigen Curye K^ gehen, und wir erhalten:
Verbinden wir die Schnittpunkte eines verftnderlichen
JCegelschnitts C^ durch vier Orundpunkte ji und einer festen
Geraden G mit einem Punkte g, so ist der Ort der zweiten
Schnitte r dieser Verbindungslinien mit dem zugehörigen Kegel-
schnitte 0^ eine Gurye des dritten Grades (^,
Der Punkt r fällt auch in den Punkt q und zwar für die zwei Schnitt-
punkte des Kegelschnitts C durch q mit der Geraden Q ; der Punkt q ist
also Doppelpunkt der Curve Q'. Ausserdem geht die Ortscurve durch die
Tier Grundpunkte p und die sechs Punkte auf den Verbindungslinien der
vier Punkte p, die sich aus den drei zerfallenden Kegelschnitten C ab-
leiten lassen. Die Verbindungslinie der zwei Punkte r geht weiter —
nach einem bekannten Satz über die Curven dritten Grades — durch einen
festen Punkt 8 auf der Curye Q'.
2. Geht eine beliebige Curye des dritten Grades durch sechs Punkte
(4p und 2r) und hat in einem siebenten Punkte q einen Doppelpunkt, so kann
ans dem Obigen folgende Construction der Tangenten im Doppelpunkte ab-
geleitet werden.
Durch yier der gegebenen Punkte und je einen der übrigen zwei
(durch die 4i> und je einen r) legen wir einen Kegelschnitt und yerbinden
jeden der letzten zwei Punkte (r) mit dem Doppelpunkt g, so schneidet
jede dieser Verbindungslinien den zugehörigen Kegelschnitt nochmals in
einem zweiten Punkt, wodurch wir zwei neue Punkte {x und x{) erhalten.
Die Verbindungslinie dieser letzten Punkte (xx^ ist die oben auftretende
Gerade Q. Der Kegelschnitt durch die yier gemeinschaftlichen Punkte der
beiden Kegelschnitte und den Punkt q schneidet dann die Verbindungslinie (o^d?,)
in zwei Punkten, die auf den Tangenten der Curye dritten Grades im Doppel-
pnnkt liegen. Die Construction der Curye selbst ist damit ebenfalls gegeben.
3. Es ist nur eine Folgerung aus Obigem, wenn wir sagen:
Soll eine Curye C durch die sechs Ecken eines vollständigen
Vierseits gehen und einen siebenten Pnnktp^ zum Doppelpunkte
haben, so liegen auch die Projectionen der drei Diagonal-
Bchnitte von p^ auf die Gegenseiten des Dreiecks der drei
Diagonalen auf der Curve C^
Es ist hierbei eine Diagonale zur Geraden Q und der Punkte p^ zum
Punkt q gewählt worden.
4. Aus den hier allgemein entwickelten Eigenschaften können wir
folgende Sätze als specielle Fälle ableiten:
a) Projicirt man jeden Schnittpunkt der sechs Seiten eines
vollständigen Vierecks mit einer Geraden Q von einem Punkt q
auf die Gegenseite des Vierecks, so liegen die sechs Pro-
174 üeber einige besondere CniTen des dritten Grades etc.
jeotionen mit den vier Eoken des Vierecks auf einer Curve des
dritten Grades mit dem Punkte q als Doppelpunkt, und ist um-
gekehrt irgend einer Curve des dritten Grades mit Doppelpunkt
irgend ein Viereck einbeschrieben, so liegen allemal die Pro-
jectionen der weiteren Schnitte der Vierecksseiten mit der Curve
vom Doppelpunkte auf die Gegenseiten des Vierecks in einer
Geraden. Die Verbindungslinien der ersteren Projectionen von q
auf den Gegenseitenpaaren schneiden sich zudem in einem Punkte,
der gleichfalls auf der Curve liegt.
Liegt der Punkt q auf einer Seite ab des Vierecks ahed^ so zerfftllt
die Curve dritten Grades in eine Curve des zweiten Grades und die Seite ab
des Vierecks und es folgt daraus:
b) Projicirt man von einem beliebigen Punkt q auf eine
Seite eines Vierecks die Schnitte der übrigen fünf Seiten
desselben mit einer Geraden auf die Gegenseiten des Vierecks,
so liegen die fünf Projectionen mit den beiden Ecken des
Vierecks, die mit dem angenommenen Punkt nicht in einer
Geraden liegen, auf einem Kegelschnitt und die Verbindungs-
linien der zwei Paare der fünf Projectionen, die auf Paaren
von Gegenseiten liegen, schneiden sich allemal auf der an-
genommenen Seite des Vierecks. Der Kegelschnitt berührt
ausserdem die Gerade, welche q mit dem Schnittpunkt der
Gegenseite der angenommenen Seite mit der Geraden ver-
bindet und zwar in q.
Hierbei ist q als eine der obigen fünf Projectionen angesehen.
Ist der Punkt q der Schnittpunkt zweier Gegenseiten ab und ed des
Vierecks, so zerfllllt die Carve dritten Grades in drei Geraden und man
erhttlt:
c) Projicirt man von dem Schnittpunkt q zweier Gegen-
seiten eines Vierecks die vier Schnitte der übrigen vier
Vierecksseiten mit einer Geraden Q auf die Gegenseiten, so
liegen die vier Projectionen auf einer Geraden j?, welche
ausserdem durch den Schnittpunkt der Geraden G mit der
Verbindungslinie der Schnittpunkte der Gegenseitenpaare des
Vierecks, die nicht durch q gehen', geht.
5. Geht eine Curve des dritten Grades durch fünf Punkte p und hat
dieselbe einen sechsten Punkt q zum Doppelpunkt, so können wir durch
die fünf Punkte p einen Kegelschnitt C^ legen und ebenso durch vier
Punkte p und *den Punkt q einen zweiten Kegelschnitt 2>'; schneidet die
Verbindungslinie von q mit dem fünften Punkt j9, der nicht auf JD^ Hegt,
in einem Punkt r, so bestimmt eine beliebige durch r gehende Gerade
(als Gerade G) auf D' zwei Punkte y und i^ , so dass qy und qy^^ Tangenten
Von Bbnbdikt Spobbr. 175
im Doppelpunkt an eine der mOglicben Gurren C sind. Da unter den
Geradenpaaren qy und qpi auch zwei solche sind, die zasammenfallen, so
finden wir:
Durch fünf Punkte p gehen unendlich yiele Curven C\ die
einen sechstenPunkt^ zum Doppelpunkt haben unddieTangenten-
paare an diesem Doppelpunkt an alle Curven C^ bilden eine In-
volution und unter den Curven sind auch immer zwei, die den
Punkt q zum Bückkehrpunkt haben.
VI.
1. Sind irgend zwei Büschel Ton Kegelschnitten B{C^ und B{B^)
gegeben, die auf einer Geraden O dieselbe Involution von Punkten be-
stimmen, giebt es also unter den Kegelschnitten C* und Ifl dieser Büschel
unendlich viele solche, die die Gerade O zur Sehne haben, so erhalten
wir für die letzten zwei Schnittpunkte x und x^ zweier Kegelschnitte C*
und 2)*, die auf & dieselben Punkte bestimmen, einen Ort, den wir wie
folgt ableiten können: Zu jedem der Büschel gehört in Bezug auf die
Gerade G und eine zweite Gerade H (nach I.) eine Curve K\ Diese beiden
Curven JT' haben die Geraden G und H zu Tangenten und zwar berühren
sie die Gerade G in demselben Punkte, in dem die beiden Kegelschnitte
beider Büschel durch den Schnittpunkt a von H und G auf G noch den-
selben zweiten Punkt bestimmen. Die Gerade G ist also zweifach als ge-
meinsame Tangente und die Gerade H einfach als solche zu rechnen. Die
übrigen sechs gemeinsamen Tangenten ordnen sich zu drei Paaren von Ge-
raden, die von gemeinsamen Punkten von Kegelschnitten C^ und J)' auf
nach den gemeinschaftlichen Punkten dieser Kegelschnitte auf G gehen.
Der Ort der letzten Punkte x und x^ der Kegelschnitte CP und D' ist also
eine Curve des dritten Grades X\ Diese Curve geht femer durch die
Grnndpunkte beider Büschel und die Gerade xx^ dreht sich — nach einem
bekannten Satz über die Curven dritten Grades — um einen festen Punkt
auf X^', das heisst wir erhalten:
Bestimmen die Kegelschnitte zweier Büschel auf einer
Geraden G dieselbe Involution von Punkten, so ist der Ort der
letzten gemeinsamen Punkte x und x^ zweier Kegelschnitte der
Büschel, die auf G dieselben Punkte bestimmen, eine Curve
des dritten Grades, X\ die durch die Grundpunkte beider
Büschel geht und die Verbindungslinie xx^ dreht sich um einen
festen Punkt dieses Ortes.
2. Insbesondere folgt daraus:
Sind ahcd und a^b^c^di zwei Vierecke, deren Seiten sich paar-
weise auf einer Geraden G schneiden, so liegen die Schnitt-
punkte:
176 lieber einige bee. Cnnren des dritten Orades etc. Von Bbnbdikt Spoebr.
X von ah mit C|d|, x^ Ton a^bi mit cd,
mit den Ecken der beiden Vierecke anf derselben Gar?e
dritten Grades und die Geraden xXi, y^i and j^jet, schneiden sich
in einem Punkte dieser Carve.
Und:
Haben zwei Vierecke abed^ ^i^i^i^i zwei Seiten, etwa ad
and a^di anf einer Geraden liegend, so liegen die fibrigen
Ecken &, c, h^ und d^ mit den Schnitten x und d?| von at mit
c^dij a|&| mit cd^ y and y^ von ac and Z^i^i, a^e^ and &d aaf
einem Kegelschnitt and xXi and f^ff] schneiden sich aaf äd.
Kleinere Mittheilungen.
XI. Ein neuer Satz über die Determinanten einer Katriz.
Es Bei gegeben eine Matrix
»11 • • • »1«
1)
Mt
0mfl
{n>m).
unter | i|, tg. . .tml werde, wenn die i irgend welche Indices aus der
Reihe 1 • . • n sind, die ans den Colonnen t\, ig. • .im gebildete Deter-
minante m*^ Orades verstanden. Wir wollen nun voraussetzen, dass von
allen ( j Determinanten m*^ Orades n — «n + l verschwinden, so swar,
dass, wenn wir dieselben in der oben angegebenen Bezeichnung schreiben
und etwa i x : :. l ^ Q
2)
»11» »Jl '
Hl» H« •
.ti»|>
0
|««l,i«s...««« |=»0
haben, wo 8 zur Abkürzung für n—m+l gesetzt ist, sich eine solche
Anordnung treffen lässt, dass von den Indices jeder Zeile in 2) gerade
tn-— 1 in den vorhergehenden Zeilen schon vorkommen. Wir wollen an-
nehmen, dass in dem obigen Schema diese Anordnung bereits getroffen
ist und ferner, dass die neu hinzutretenden Indices in jeder Zeile an erster
Stelle stehen. Man sieht, dass alsdann in der ersten Horizontal- und der
ersten Verticalreihe von 2) alle n Indices vorkommen.
Wenn wir nun noch die weitere Voraussetzung machen , dass in jeder
der 8 Matrices, welche von den Colonnen U2, Us • • • Um (^ = 1 • • •^) ge-
bildet werden, unter den je m Determinanten (m— 1)*®° Orades wenigstens
eine von 0 verschiedene ist, so müssen alle Determinanten m*^^ Orades der
Matrix M verschwinden* — Der Beweis hierfür ergiebt sich leicht folgender-
massen : ^
Zoitichrift f. Mathematik a. Fbyiik. 40. Jahrg. 1895. S. Heft 1 2
178 Kleinere Mittheilangen.
Der Relation
3) \x, i,8, i|8---»im| = 0
wird offenbar genügt durch xs=i^^^ i^j, i^^^ i^,...«!«» also durch allein
den beiden ersten Zeilen von 2) vorkommenden Indices, und zwar folgt
dies für die Indices i^ und iji ^^s ^^^ beiden ersten Gleichungen Ton 2)«
während für die anderen Indices die Relation 3) eine Identität ist. Wählen
wir von diesen m + 1 Werthen für ic irgend m Werthe aus , welche wir
mit i|, ig ... «m bezeichnen wollen , stellen für diese die m Determinanten-
gleichungen von der Form 3) auf und entwickeln jede derselben nach den
ünterdeterminanten der ersten Colonne, so haben wir offenbar ein System
von m linearen homogenen Gleichungen in Bezug auf die m Determinanten
(m — 1)*~ Grades der aus den Colonnen i^^, 1,3... i]m gebildeten Matrix.
Da nun wenigstens eine dieser Determinanten (m — 1)*®° Grades nach unserer
Voraussetzung von 0 verschieden ist, so muss also die Determinante des
Systems linearer Gleichungen verschwinden; dies ist aber nichts Anderes als:
Bilden wir also irgend eine Combination zu m Elementen von den in
den beiden ersten Zeilen von 2) vorkommenden Indices, so verschwindet
die aus den durch diese Indices bezeichneten Colonnen gebildete Deter-
minante m^^^ Grades. Es verschwindet daher auch die Determinante
I !^' ha %8 " * *3m I ^^^ jedes ^, welches in den beiden ersten Zeilen von 2)
bereits vorkommt, da ja %,, i^. ..hm dort auch schon vorkommen« Hier-
nach und nach der dritten Gleichung von 2) folgt, dass der Gleichung
Genüge geleistet wird durch die Werthe y = Hif i^ - "itm^ Hiy hv Wählen
wir also irgend m dieser fn + 2 Indices aus und bilden für sie die Deier-
minantengleichungen von der Form 4), so erhalten wir offenbar wieder ein
solches System von m^ linearen homogenen Gleichungen in Bezug auf die
m Determinanten (m — 1)^^ Grades der aus den Colonnen i^, ^ . • . t3«
bestehenden Matrix. Da nun von diesen Determinanten (m-— 1)'^ Grades
nach unserer Voraussetzung wenigstens eine von 0 verschieden ist, so
muss die Determinante des Gleichungssystems verschwinden, d. h« also: jede
aus m der Colonnen «j^, ii^. . »iimt hu ^t gebildete Determinante ist = 0.
Dies geht offenbar so fort und es folgt, dass jede Determinante ntf^ Grades
der Matrix M verschwindet.
Dieser Satz lässt nun eine Reibe geometrischer Anwendungen zu, von
denen wir einige anführen wollen. Wenn nämlich die Grössen Xi^yt^ ßi, tr,-,
• = 1, 2, 3 die homogenen Coordinaten von drei Raumpunkten sind, so sind
in der Matrix
«I
yi
»i
»1
««
9%
«.
»i
«s
Vi
h
«"«
Kleinere Mittheilnngen.
179
die drei Determinanten dritten Grades ^ welche die letzte Colonne enthalten ,
im Wesentlichen die Projectionen des von den drei Punkten gebildeten
Dreiecks auf die Coordinatenebenen, und wir erhalten durch Anwendung
unseres Determinantensatzes das bekannte Resultat, dass, wenn zwei der
Projectionen eines Dreiecks auf die Coordinatenebenen verschwinden, die
dritte auch verschwinden muss.* Sehen wir dagegen in dieser Matrix die
Elemente der einzelnen Colonnen als Bichtungscosinus von Geraden an,
welche durch einen Punkt gehen, so kommen wir zu dem Satz, dass,
wenn drei durch einen Punkt gehende Gerade x^ y, e in einer Ebene
liegen und eine vierte Gerade w mit zwei der fraheren x, y gleich-
falls in einer Ebene gelegen ist, alsdann alle vier Geraden in derselben
Ebene liegen müssen, ausser wenn die beiden Geraden x^ y coincidiren. .
Gehen wir von dieser Matrix von drei Zeilen und vier Colonnen zu
einer solchen von vier Zeilen und fünf Colonnen über:
»1 a?8 ^3 ^4
Vi Vi y% Vi
Wi HO.
w.
W. IV.
und verstehen unter den Xij yi, Zit Wt homogene Punktcoordinaten ^ so
liefert unser Determinantensatz das Resultat, dass, wenn vier Punkte
(1, 2, 3, 4) in einer Ebene liegen und ein fünfter (5) mit drei (1, 2, 3)
dieser vier wieder in einer Ebene liegt, alle fünf Punkte in derselben
Ebene gelegen sind, ausser wenn die drei Punkte (1, 2, 3) auf der
Schnittcurve zweier Ebenen, einer Geraden, liegen. Ein entsprechender
Satz iSsst sich natürlich für Flächen zweiter Ordnung aus der Matrix
^1* «2* «11*
«1^1 «8^8 «11^11
«1^1 «2^« • • • • • «11^11
X^iOi X^fV^ «11^11
Pi* y%^ Vn
Vx^x y%H yii^ii
yi«>i y%^% yxi^xx
^1 *i ^11
»X^l h'^% »XX^IX
K K '^n
herleiten, und man erhält so:
* Auf diese geometrische Anwendung machte mich Herr Prof. Staude be-
reits im Sommer 1894 gütigst aufmerksam.
12*
180 Kleinere Mittbeilnngen.
Wenn zehn Punkte (1, 2... 10) auf einer Fl&che zweiter Ordnung
gelegen sind nnd ein elfter Punkt (11) mit 9 (1...9) der zehn Punkte
gleichfalls auf einer Flftche zweiter Ordnung liegt, so liegen alle elf
Punkte auf derselben FlSche zweiter Ordnung, ausser wenn die neun
Punkte (1 ... 9) auf der Durchsohnittscurve zweier Flächen zweiter Ord-
nung liegen.
Allgemein ergiebt sich natürlich der Satz: Wenn
(n + lKn + 2)(n + S)
^^""^^ 17273
Punkte auf einer Fläche n^"* Ordnung liegen und ein weiterer Punkt liegt
mit N{n) — 1 dieser Punkte auf einer Fläche n*^ Ordnung, so liegen alle
N(n) + l Punkte auf derselben Fläche n^ Ordnung, ausser wenn die
N{n) — 1 ausgezeichneten Punkte auf der Sohnittcurve zweier Fl&ehen
t>tor Ordnung (resp. auf ein- oder mehrfach unendlich vielen solchen
Schnittcunren) liegen.
Bo stock. W. Ahbens.
Xn. Beiträge zur Integralrechnung.
1. üeber den zweiten Mittel werthsatz.
Im Folgenden will ich einen neuen Beweis für den zweiten Mittel -
werthsatz der Integralrechnung geben, der ihn als Consequenz des ersten
erscheinen lässt, sobald noch die Stetigkeit des bestimmten Integrals, als
Function seiner oberen Grenze angesehen, zu den Voraussetzungen tritt
Die gebräuchliche Form des Satzes lässt sich (vergl. Harnack: DifTerential-
und Integralrechnung S. 270) sofort aus der besonderen Form
Jf{x)(p{x)dx^f{a^Jq>{x)dx K:^« ^«)
«0
ableiten, wie sie zuerst 0. Bonnet (Liouv. Journ. XIV) angestellt hat;
und diese Form wollen wir beweisen.
Wir setzen voraus, dass f{x) von a^ bis h stets positiv und ab-
nehmend und (was keine Beschränkung involvirt) für x ^ a^ gleich 1 sei
Die Integrale
X X
Jfp{x)dx, ff(x)<p(x)dx K^*<*)
sollen eine Bedeutung haben.
Wir bezeichnen mit a|, Og, a^, ... die Punkte ^ in denen q>(x) zwischen
ÜQ und b verschwindet, in denen also die Gurve y <» q>{x) die jc- Achse
schneidet. Zur Abkürzung sei ferner:
Kleinere Hittheflangen.
181
1)
ff{x)q>{x)dx - ir(a:); fq>{x)dx - L(x);
fq>(x)dx
«1
— Ji(fl5), {ai<x^ öi+i); «^2(a;i+i) — «7i
gesetzt Um die Anschaaungen zu iixiren, nehmen wir an, dass q>(x)
zwischen Oq und a^ positiv sei Dann ist:
2) L{aik-\'%) — X(fl«*+i) •=• — t^2*+i,
Hak)^Jo-Ji + J, + (-i)*-v*«i.
Der erste Mittelwerthsatz gilt dann ftir jedes iL « 0, 1, 2, ... in der
Ausdehnung: « x
ff{x)q>{x)dX'^Bx{x)f<p{x)dx (öi^a^<aA+i)
3) «i a'i
' «a(^) - /*[«A + H^ - ax)] (0 < ^ < 1).
Der Abktlrzung halber setzen wir
4) Bi{ai^i) « sx
und können aus der Annahme, f sei positiv und abnehmend, den Schluss
ziehen y dass
seL
Gesetzt nun, die den zweiten Mittelwerthsatz darstellende
Gleichung
6) K{x)'^L(jKf) {aQ<af<x<:b)
Ware für alle x von a^ ab bis zu einer Grenze o; » 1^ zu der
^ '^ i' gehört, richtig, dann würde sie im Allgemeinen auch noch
weiter über o; » | hinaus richtig sein. Denn, wenn für wachsende x
die linke Seite von 6) zu- oder abnimmt, kann man bei hinl&nglich kleinen
Aenderangen auch x! nach der einen oder der anderen Seite sich so ftndern
lassen, dass L{af) ebensoviel zu- oder abnimmt.
Nor in folgenden Fällen könnte die Fortsetzbarkeit durch stetige
Aendemng des xf unterbrochen sein:
I. £ liegt zwischen (hx—i und aji, -£^(0;) nimmt also mit wachsen-
dem X ab; I' ist '^ <hk(Jc <Ck)j -^(^) ^^cL ^bo bei wachsendem
nnd abnehmendem af grösser.
n. £ liegt zwischen a^x tind a^x-^i, ^{x) nimmt also mit wachsen*
dem X zu; |' ist » aik^i(h < l)y L{pi) wird also bei wachsen-
dem und abnehmendem oi kleiner.
Man erkennt, dass, wenn 6) überhaupt noch weiter gilt, der Werth
a/ sich in den beiden Fällen sprungweise ändern muss.
182 Rleinere Mittheilimgen.
Wir behandeln den Fall L; der zweite l&sst eich genau ebenso durch-
führen. I. wird offenbar durch die Gleichung
dargestellt.
Sind hier beide Seiten positiv, dann ist die rechte Seite
<Jo—Ji-\ \- ^u-i — X(af i-i).
Lässt man nun a/ von a^k—i abnehmend bis Gq laufen, dann gebt
dabei X(a;') von X(a2*-i) bis L{a^ — 0 über, gelangt also einmal za
einem 2'(S")i welches der linken Seite von 7) bei J" < i' gleich ist; ist
dieses i" das letzte, welches af in der Richtung von au^i bis o^ passirt,
so kann |" nicht — asjk sein, weil sonst dieselbe Schluss weise noch auf
ein £'" < I" führen würde. Gleich Gq kann aber i" offenbar auch nieht
werden. Wir haben also das §' in 6), welches eine stetige Fortsetzung
nicht zul&sst, durch ein kleineres |" ersetzt, bei dem eine stetige Fort-
setzung möglich ist.
Zweitens mögen in 7) beide Seiten negativ oder Null sein. Wenn
dann eine der Ungleichungen
e^at— J%k+l+ «?«*+2— «^2*H-8< 0,
8)
J'%k — Jik-^-l H h «^8A~2 — Jj2-x(Ö < 0
erfüllt ist, so kann man a/ in 6) von dsit an wachsen lassen; zuerst
ist dann die rechte Seite von 6) nach Hinzufügung von + J%k grösser
als die linke von 7), dann einmal wegen 8) kleiner als die linke von 7),
also giebt es ein £", fOr welches 6) auch erfüllt ist, und welches zwischen
i' und X ==» ^ liegt. Nimmt man das in dieser Richtung zuletzt auf-
tretende, so kann es nicht wieder ein a^k sein, und also ist die Fort-
setzung von S" aus möglich; oder die Voraussetzung 8) ist ungiltig.
Es ist daher nur noch zu untersuchen, was eintritt,| wenn keine der
Ungleichungen 8) erfüllt ist. Dann folgt aus
dass, wegen 5), ^tk- J,k-^x^O
ist, femer aus '"'^^ " ^"+i'^"+^ > ^
Jik — «7a*+i + J%k+2 — «Tsifc+s ^ 0,
wiederum wegen 5), dass
> ^%k+s(/fik — «^jt+i + eTsA+a — Ji*+«)
>0
ist, und in derselben Weise weiter. Folglich ist:
Kleinere Mittbeilangen. 183
das heisst, man bekommt für die linke Seite von 7)
9) K{a,) < K(^) < 0.
Für dieses ak<C^ gilt aber der Yoraassetzong gemttss der zweite
Mittelwerthsatz, und da auf dem Wege von x — >^ bis rr — aj^ die Function K
von Nnll bis K(ak) l&nft, so giebt es dazwischen ein in der eingeschlagenen
Richtung letztes 1^ mit zugehörigem l'^, für welches
jr(l)-ir(|,)-x(i'i) (l'xSI»<l)
wird. Da femer K(ak) noch kleiner als K(j^) wird, so ist auch in diesem
Falle die Fortsetzbarkeit der Gleichung 6) nachgewiesen, da ja K(J^^ + d^J,
X(J'i + Ä|'i) noch geringere Werthe annehmen. Wir erkennen dabei, dass
auch hier die Aenderung des Werthes $' sprungweise erfolgt.
Die Gleichung 6) gilt also in jedem Falle auch noch über den
Punkt a; —> £ hinaus, und da sie zwischen a^ und a^ selbstverständlich ist,
so hat sie für das ganze Intervall von üq bis h hin Giltigkeit. Ueber
die Anzahl der Stellen a^ , Oj , ... ist keine beschränkende Voraussetzung
gemacht worden.
2. Berechnung bestimmter Integrale aus der Summen-Definition.
In den Lehrbüchern der Integralrechnung wird nach der Besprechung der
bestimmten Integrale als Grenze von Summen meist nur als einziges Beispiel
b
dafür abgeleitet, dass die Definition auch zu wirklicher Berechnung des
Integral -Werthes benutzt werden kann. Am Ausführlichsten ist noch das
Werk von G. F. Meyer, welches ausser dem Angeführten auch die
beiden Integrale f, „
Jd^dx^ flog(l— 2a cos X + a*)dx
a 0
behandelt. Es ist deshalb vielleicht nicht ohne Interesse zu sehen, dass die
Definition » b
Jf{x)dx — Km^(rc2 +1 — xx)f(J^x), (xx < & < ari+i)
« a
zur Berechnung jedes Integrals verwendet werden kann, falls das unbestimmte
Integral ff(x)dx bekannt ist.
Es sei ( /
ff(x)dx^F{x)--F{a)^y,
dann ist: ^ ^ " ''(^>' « - 9>(0),
184 Eleinere Müfheilnngeii.
9(0)
ff{x)dx - iJ - [q>({k + 1)*) - g>(kd)] . f{kS + dxS), (0 < öi^ 1).
Nnn setzen wir:
Daraas folgt
/;r(a;)«i* - lim£[ip({X + l)i) - 9(l*)];'(li);
a
nimmt man daher |ji— A^ + d;i^, so geht die Summe über in
liimM - »d - JP(6) - F(a).
So hat man z. B. fOr
0 ^
b
2 2 v/rZTpi
N™^«* |«»»W<li<«n(X + l)rf,
Icosid > yi - S»i > CO» (i + l)a,
2A + 1
und da — ^ — zwischen l tmd A + 1 liegt, kann man li so «&Uen, das«
wird. Dies ergiebt dann
/• dx d ^**2 ^2
j/|/l^a;2 2 d d
•= arc sinh. 2 2
In derselben Weise kann man yiele Integrale behandeln, s. B.:
b b
r_dx_ r dx
J cos^x J \ + x^
0 0
Id anderen Fällen, in denen die inverse Function des unbestimmten
Integrals nicht einfach genug ist, kann man mitunter auf folgende Weise
zum Ziele gelangen.
Kleinere Mittheilnngen. 185
Es sei ^(x) die inyene Function yon f(x) nnd a •» ^(a). Dann
nehmen wir:
und erbalten:
ff{x)dx - Km2?[i(;(« + (^ + 1)J) - t|;(a + A«)](a + Xi)
n— 1
- ft/^C^) - af(a) - lim *2'*(*' + '^*)-
Sobald also die 8amme in dem letzten Ausdrucke sieb bilden Iftsst,
haben wir den Wertb des bestimmten Integrals.
Beispielsweise sei gegeben: i
Jlogxdx.
Hier Wird a:i-e«+^^ A&)-« + Ad,
flogxdx - 6»(V& - ato^a - limd(d^ + e«'+ . .. + e<— ^J^e«
— ft lö^ & — a Z<)^ a — (6 — a).
Ebenso eigiebt sieh für
6
farcsinxdx « &arc5tnl) — Iimd[^d + ... -|- 5in(n — l)Jj
— 6 arc sin 6 — 2«w* ^ {arc sin b)
-&arcsm6 + 1/1-6* -1.
Giessen. Prof. E. Netto.
Xm. Zur Wärmeleitung in der Erde.
Im vorigen Jahrgänge dieser Zeitschrift S, 124 flg., dann S. 192 und in
diesem Jahrgange S. 60 flg. sind thermische Studien -Ergebnisse von mir
mitgetheilt worden, welche ich jetzt, nach völliger Durchnahme der vor-
züglichen Vorlesungen Kirch ho ff *s (herausgegeben durch Planck) noch
fortsetze, aber auch unter den speciellen Titeln, die das spfttere Wieder-
auffinden solcher Notate erleichtern sollen.
In der zweiten Vorlesung (§ 2) handelt Kirch hoff von der Anwendung
der bekannten Gleichung
186 Kleinere Mittbeilangen.
dt ^^ dz^
auf das Erdinnere nnd vergleicht deren Ergebnisse mit Beobachtungen,
welche Quetelet in Brüssel angestellt hat. Das Integral
Iftsst ersehen, dass sich das Maximum oder Minimum der Periode x in die
Tiefe $ fortpflanzt mit der Geschwindigkeit 2aj/ —'
Quetelet fand für die tSgliche Periode (r = 1) diese Oeschwindigkeit
gleich 1 Meter und in der Tiefe ^ ^ -r Meter als Amplitudenverhältniss
(verglichen mit der Erdoberfläche) 1 : 6. Aus
o i/^ 1 j 1 Meter
2a 1/ — = 1 oder a = — ■=■ r-
r r 2/n Tag!
wird also das genannte VerhÄltniss e"^«*, odere"-^*'', oder e'J, oder 1 :3,5,
das ist beinahe doppelt so gross als 1 : 6.
j, Zuverlässiger sind die Beobachtungen der jährlichen Periode* rs=365,
wofür Quetelet die Geschwindigkeit 0,0464 Meter pro Tag fand. Die
Theorie liefert demnach
2a/g=g = 0.0464 oder a = -^,
05
was dem vorigen Werthe a = -7= nur um 12 Procente nachsteht
yn
Ich berechnete nun mit ersterem Werthe von a die Amplituden der
obigen zweiten Gleichung für die jährliche Periode und für die von Kirch-
hoff nach Quetelet angegebenen Tiefen
Meter 0,188 0,75 1,95 3,90 7.80
und fand beziehungsweise
1 : 1,07 1 : 1,32 1 : 2,07 1 : 4,27 1 : 18.
Angegeben sind die jährlichen Schwankungen der Temperatur
Grade: 13,28 11.30 7,69 4,49 1,43.
Es muss also beispielsweise für das erste Paar der beiden letzten
Zahlenreihen 1,32 : 1,07 = 13,28 : 11,30, oder überhaupt, es mttssten die
Quotienten je zweier Zahlen dieser Reihen gleich sein. Diese sind aber
beziehungsweise 142 14^9 15^9 ]9^2l 25,7!
Man sieht, dass eine ziemlich gute Uebereinstimmung nur herrscht in
den drei ersten dieser fünf Producte, aber nicht mehr hinsichtlich der beiden
letzten. Kirchhoff hat vielleicht nur bei jenen eine Controle vorgenommen,
da er diese Unterscheidung nicht macht.
Kleinere Mitiheilongen. 187
Oder ich will einmal annehmen, dass statt der letzten Reihe ein nnd
dieselbe Zahl ]^5
zutreffen wfirde; so würden statt der vorletzten Reihe durch Mnltiplication
der 15 mit den betreffenden Zahlen der drittletzten Reihe kommen
Grade: 14,0 11,4 7,2 3,6 0,8.
Die im Buche erwfthnten „wenigen Zehntel von l^C.** als Abweichung
treffen also auch nur wenig zu.
XIY. Erwärmung des Wassers durch Zntammendrttoken.
Geschieht diese Erwärmung adiabatisch , was bei genauer Betrachtung
ohnehin vorausgesetzt werden muss, so findet die Thermodynamik
K.Cp dt
wo pvT den Druck auf die Fläche 1, das specifische Volum, die absolute
Temperatur, Cp die specifische Wärme des KOrpers bei constantem Druck
und X das mechanische Wärmeäquivalent bedeuten.
Kirchhof fs Vorlesungen bringen diese Gleichung in VI § 7 kurz
vor dessen Bchluss, und in VII § 2, am Schlüsse dieses Paragraphen,
werden Joul es Versuche mit Wasser angeführt, bei welchen dj» = 25
Atmosphären war und beobachtet wurde
dT « - 0,008 C. , + 0,020, + 0,054
T= 274,2, 284,7 303,0,
„in fast völliger üebereinstimmung mit der Theorie^.
Es interessirte mich, diese theoretische Rechnung anzustellen, und ich
werde hierüber jetzt berichten.
Da sich bei diesen Resultaten unterschiede von vier Promille als
gegenstandslos erweisen , so nehme ich Cp = 1 in den drei Fällen, und
da auch ein Prozent nichts gilt, so sei auch das Volum von ein Kilo-
gramm Wasser durchweg t; = 0,001 Cubikmeter; dasselbe kommt durch
\vdt)'
herein, worin ich für die eingeklammerte Grösse den aus der Volkmann-
schen Tabelle bei der Temperatur -Erhöhung um P von den drei fraglichen
Temperaturen aus sich ergebenden Ausdehnungs • Coefficienten setze
««-0,00003, +0,00011, +0.00047.
Für eine Atmosphäre ist 10334 gesetzt und x = 425; das bei beiden
herzusetzende g (Erdbeschleunigung) entfernt sich aus dem Ausdrucke.
Der für die drei Fälle constante Factor
— 'V.dp oder ^jj^- 0,001.25.10334
x.Cp 425
ergiebt den Logarithmus (mit unnöthig vielen Decimalen)
188 Kleinere Mittheilungen«
0,783819^1
und; das Prodnct der je zwei sich ändernden Factoren T.aXsiol^o oben)
hinzugefügt, es findet sich nach der Delogarühmimng beziehungsweise
dT berechnet = — 0,005 , + 0,019 , + 0,087.
Vergleicht man diese Zahlen mit den beobachteten, die oben angegeben
sind, so findet man eine „fast völlige üebereinstimmung^ bei der mittleren,
während die beiden anderen berechneten um fast gleichyiel höher sind
(60 Procent) als die beobachteten.
Oleichwohl kann man auch da noch von einer gewissen üeber-
einstimmung sprechen (hinsichtlich der Vorzeichen und der Decimalstellen),
und, dass die Beobachtung hinter der Berechnung zurückbleibt, ist bei der
Schwierigkeit der anzustellenden Messungen nicht verwunderlich.
Interessant ist auch noch für den gegenwärtigen Betreff, was Kirch-
hoff sogleich im nächsten Paragraphen (VII §3) folgen lässt über die
Abkühlung von Drähten durch Zug und das durch Joule ziemlich bekannt
gewordene Gegentheil beim Kautschuk, wovon ich unter besonderem Titel
noch handeln will.
XT. Abkühlung von Drähten dnrch Zug.
Unmittelbar auf die Formel von der (adiabatischen) Erwärmung eines
Körpers durch Druck folgt in Kirchhoff^s Buch (herausgegeben von
Planck) die Formel (VII §3)
KCp dt
wo Plt den Zug (nicht auf die Fläche 1, sondern absolut), die speci-
fische Länge, die absolute Temperatur, Cp die specifische Wärme des Körpers
bei constantem Druck und x das mechanische Wärmeäquivalent bedeuten.
Clausius hat dieselbe Gleichung in VIII §9 seiner „mechanischen
Wärmetheorie ** (2. Aufl. 1876) und sagt, dass „ihre Richtigkeit durch Ver-
suche von Joule bestätigt** wurde (1859). Kirchhoff berichtet genauer,
dass die Formel in „besonders auffallender Weise an Streifen vulkanisirten
Kautschuks bestätigt^ wurde. Hierbei konunen bekanntlich negative ther-
mische Längsdehnungs^Goefficienten zum Vorschein, und die somit
gemäss der Formel resultirende Erwärmung statt der Abkühlung dureh
Zug hat sich experimentell ergeben.
Aber Kirchhoff Pkhrt fort: „Was die Grösse der beobachteten
Temperaturänderungen betrifft, so stimmte diese, auch bei den MetaUen,
nicht ganz mit den theoretisch berechneten überein; ja bei den Versuchen
mit Metalldrähten fand Edlund diese Temperaturänderungen nur etwa
gleich zwei Drittel der theoretisch berechneten. Der Grund hierfür ist nodi
nicht aufgeklärt.^ Und nun folgen acht Zeilen Text über die muthmass-
liehen störenden Einflüsse.
Kleinere Mitttieilangen. 189
Dazu kann ich nan Zweierlei hinznftlgen«
Fürs Erste habe ich auch bei den von Kirch hoff erwähnten drei
Messungen Joules über die Erwärmung des Wassers durch Druck nach-
gewiesen, dass zwei derbelben ein Zurückbleiben der beobachteten Tem-
peraturänderung hinter der berechneten ergeben haben und zwar zuföllig
auch gerade um denselben Betrag.
Zweitens kann man bei den gezogenen Drähten noch ganz bestimmt
eine Ursache angeben, welche die beobachtete Temperatur -Minderung kleiner
macht, als die nach obiger Formel berechnete« Durch den Zug nach der
Länge des Drahtes werden nämlich die Querdimensionen desselben ver-
mindert, also gewissermaassen zusammengedrückt und der Draht in Folge
dessen auch erwärmt. Dieser Einfluss kommt von der durch die Formel
berechneten Wirkung in Abzug.
Dürfte man für die zweite Elasticitätsconstante , die sogenannte Qaer-
contraction, genauer deren Verhältniss zur Längsdilatation, die Zahl -^
1 *
rechnen, so wäre das für den Querschnitt vom doppelten Erfolge, -^t und
es ergäbe sich ab Resultat der Erkaltung und Erwärmung eine Erkaltung
halb so gross als die oben genannte theoretische. Bei geringerer Quer-
contraction, wie sie an den schon mehrmals gezogenen Drähten nicht anf-
fftllig ist; wird der besprochene Abzug -0- und noch weniger der theoretischen
Erkaltung betragen. Abgesehen von den sonstigen Gründen, welche die
Beobachtung hinter der Theorie zurückbleibend erwarten lassen.
Ich benutze diesen Anlass , um für die Aufnahme der zweiten Elasticitäts-
Constanten neben der ersten (dem Elasticitätsmodul) in die Phjsikbücher
neuerdings das Wort zu nehmen (siehe die letzten Jahrgänge des im
Jahre 1891 abgeschlossenen Bepertoriums der Physik). So z. B. reproduciri
n. A. auch der Leitfaden der Physik von Beetz-Henrici (11. Aufl. 1893)
die Yergleichung der thermischen mit der mechanischen Längsdehnung
(§ 161). Und doch haben beide nur diesen äusseren Schein, möchte ich
mich ausdrücken , gemein. Denn thermisch ist mit der Längsdehnung auch
dieVergrOsserung, mechanisch dagegen die Verkleinerung der Querdimensionen
verknüpft
Wenn man einen solchen Vergleich anstellen will , wie er ja didaktisch
ganz empfehlenswerth ist, so muss man die cubische thermische Aus-
dehnung mit der mechanischen bei dreiseitigem und gleichem Normalzug
des isotrop und etwa würfelförmig gedachten Körpers vergleichen. Man erhält
dann einerseits a\l + Kt) oder a»(l + 3*0,
wo K der cubische und h der lineare Ausdehnungs - Coefficient ; andererseits
"■['^^'(-D}
190 Kleinere Mittheilungen.
wennp, wie der Elastieitfttsmodnl e, beispielsweise Kilogramme durch Qua-
dratmillimeter und n > 2 die zweite Elasticitfttsconstante bedeutet.
Bei gleich gross gedachter Volamzanahme ist dann
,(l-^) = e*.;
die Nichtberücksichtigang von n bedentet die Annahme n = oo, ausserdem,
dass hier der Zug p auf alle drei WUrfelseiienpaare ausgeübt wird. Bei blos
einem dieser Züge würde der Factor 3 bei p wegfallen; aber wie schon gesagt
sind dann der thermische und mechanische Vorgang wesentlich verschieden.
XVI. Hachtrag zur barometriflclien Höhenmessnngtformel
(im Yorigen Jahrgänge der Zeitschrift).
Kohlrausch giebt in seinem Leitfaden der praktischen Physik als An-
nSherungsformel, bis zu 1000 Metern giltig,
Ä = 16000^^^--
In einer Mittheilung über diesen Gegenstand (Rep. d. Phjs. 1889) setzte
ich einfacher statt des Nenners 2&^; dann wird im ftussersten Falle
1000 = 8000.^^^ oder K^h^j^i^ ^ = |-V
Setzt man dagegen 2^^ im Nenner, so wird
1 7
Der Unterschied dieser beiden Werthe von h^ beträgt also höchstens
10 Millimeter, wenn Iq über 700, also der Unterschied der obigen Formel von
Ä « 8000-^5ZA, oder von Ä = 8000^^7^^
Ol Oq
höchstens 5 Millimeter.
In einer späteren Mittheilung (Rep. d. Phjs. 1890) kam ich auf diese
Annäherung nicht zu sprechen; desgleichen nicht in der letzten, die ich
im vorigen Jahrgang dieser Zeitschrift veröffentlichte. Diesem Nachtrage
füge ich heute noch den Temperaturfactor
(1+0,0040
für die rechte Seite der Gleichung von h bei.
Augsburg. Prof. Dr. Kürz.
XVII. Preisaufgaben der mathematisch -naturwissenschaftlichen Section
der Fürstlich Jahlonowski'schen Gesellschaft in Leipiig.
1. Für das Jahr 1895.
Die Gesellschaft wünscht
eine kritische Zusammenstellung der bisherigen Haupt-
ergebnisse über die anKrystallen beobachteten kflnst-
Kleiner» Mittiieiloiigen. 191
lieh erzeugten und natttrlieh Torkommenden Aetz-
erscheinungen, sowie die Ausführung weiterer Unter-
suchungen, welche geeignet sind, das Zustandekommen
und die speciellere Ausbildungsweise derselben zu er-
läutern, und insbesondere die Beziehungen zwischen
Aetzerscheinungen und Molecularstructur aufzuklttren.
Preis 1000 Mark.
2. Für das Jahr 1896.
Wenn man sich heute — und es geschieht das mit Recht — einer
besseren und tieferen Eenntniss der Entwickelungsgeschichte berühmt, als
man sie früher besass, so gilt das doch zunächst nur in Bezug auf die
äussere Erscheinung und die Reihenfolge der Vorgänge, welche den Auf»
bau des thierischen Organismus ermöglichen. Die physiologischen Be-
dingungen dieser Vorgänge sind bis bis jetzt erst wenig erforscht worden.
Nur so viel steht fest, dass letztere nicht ausschliesslich durch gewisse
Grundfun'ctionen bestimmt sind, sondern auch von äusseren Reizursachen
abhängen I und durch Veränderung derselben in dieser oder jener Weise
selbst abgeändert werden.
In der Hoffnung nun, die physiologische Morphologie zu fOrdem und
zur Lösung ihrer Probleme anzuregen, wünscht die Gesellschaft
eine durch Darstellung der bisher gewonnenen Ergeb-
nisse eingeleitete Eiperimentalnntersuchung über den
Einfluss, den die verschiedentlich abgeänderten Lebens-
bedingungen auf die Entwickelungsvorgänge eines
(höheren oder niederen) Thieres ausüben.
Preis 1000 Mark.
3, Für das Jahr 1897.
Die von Monge, Ampere und Darboux herrührenden Integrätions-
methoden der partiellen Differentialgleichungen zweiter und höherer Ord-
nung finden bekanntlich nur für solche Gleichungen Anwendung, die mit
anderen Gleichungen Lösungen gemein haben, welche nicht nur von arbiträren
Constanten abhängen. Es geht andererseits aus Lie's Untersuchungen
über unendliche Gruppen hervor, dass Gleichungen, die eine unendliche
Gruppe von Berühmngs- Transformationen gestatten, im Allgemeinen zu
anderen Gleichungen in der soeben besprochenen Beziehung (Involutions-
beziehung) stehen.* Die Gesellschaft wünscht,
dass die aus dieser Bemerkung fliessenden Integrations-
methoden entwickelt und an möglichst instructiven
und vollständig durchgeführten Beispielen illustrirt
werden.
Preis 1000 Mark.
* Vergl. Darboux: Jonmal de T^cole normale 1870. — Lie: Berichte der
königl. Sachs. Gesellschaft der WiBsenschailen 1891 — 1894.
192 Kleinere Mittheilangen.
4. Fflr das Jahr 1898.
Da die von Poisson, Green, Oanss, Diriohlet n. A. gogebeoe
Theorie der dem New ton 'sehen Qesetze entsprechenden Erftfte einen der
wichtigsten Theile der ganzen mathematischen Physik reprSsentirt, anderer»
seits aber die absolute Giltigkeit des New ton 'sehen Gesetzes (namentlich
für sehr kleine und für sehr grosse Entfernungen) mancherlei Bedenken
ausgesetzt ist, so liegt der Gedanke nahe, die Theorie der Femwirkungen
in grösserer Allgemeinheit zu entwickeln und dabei, neben dem Newton-
sehen auch andere Gesetze der Femwirkung in Betracht zu ziehen.
Ein solcher Versuch ist schon im Jahre 1832 von Green gemacht
worden in seinen Mathematical Investigations concerning the Laws of the
Eqnilibrium of Fluids analogous to the Electric Fluid.* Statt der New*
ton'schen Krftfte vom (besetze -? werden dort ganz allgemein ErüAe rom
1 ^
Gesetz — in Betracht gezogen. Doch zeigen sich in jener ebenso wich-
tigen wie scharfsinnigen Abhandlung mancherlei Lücken und ünklarheiteii,
auf welche Green zum Theil schon selbst aufmerksam gemacht hat Auck
sind daselbst gewisse Aufgaben (wie z. B. die Aufgabe der elektrischeB
Vertheilnng in einem Ellipsoid oder in einer Ereisscheibe) nur ganz bei-
läufig besprochen worden. DemgemSss wünscht die Gesellschaft
eine wirkliche Lösung dieser von Green in seiner Ab-
handlung nur angedeuteten Aufgaben, sowie auch die {
Au^üllung und Aufklärung der in der genannten Schrift ^
vorhandenen Lücken und Dunkelheiten.
Preis 1000 Mark.
Die anonym einzureichenden Bewerbungsschriften sind, wo nicht die
Gesellschaft im besonderen Falle ausdrücklich den Gebrauch einer ander»
Sprache gestattet, in deutscher, lateinischer oder franiösischer
Sprache zu verfassen, müssen deutlich geschrieben und paginirt, ferner
mit einem Motto versehen und von einem versiegelten Umschlage
begleitet sein, welcher auf der Aussenseite das Motto der Arbeit
trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers angiebt. Jede
Bewerbungsschrift muss auf dem Titelblatte die Angabe einer Adresse eni*
halten, an welche die Arbeit für den Fall, dass sie nicht preiswürdig l
funden wird, zurückzusenden ist. Die Zeit der Einsendung endet mit den
30. November des angegebenen Jahres, und die Zusendung ist ta
den Secretär der Gesellschaft (für das Jahr 1895 Geh. Bergrath Professoi!
Dr. F. Zirkel, Tbalstrasse Nr. 33) zu richten. Die Besultate der PrüfuBg
der eingegangenen Schriften werden durch die „Leipziger Zeitung '^ im Min
oder April des folgenden Jahres bekannt gemacht. Die gekrönten Be
Werbungsschriften werden Eigenthum der Gesellschaft.
Hofrath Prof. R. Lbuckart, Prftses*
* TransactioDB of de Cambridge Philos. Society 1883, wieder abgedruckt i
den Mathematical Papers of G. Green p. 117 — 183.
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71
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Zeitschrift f. Mathematik u. Phy
Verlag vqü MoJ>^11(^ü für den boWren tinttht*matiAcbeii IJiiU*rricKi
voa L, Brill iu UarmHtaiU,
Durch obige Verln^hAnfiltiHk
beziehen:
Drei Cartonmodelle
KrllmmDig der Flächen.
Kftch ilen tili dtir Grossli* b<*di sehen tcch-
tiißcbem Hocht^f*^-^- "-^ k.^; ,^,4,^ unter
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an flur t««(]|iii HoolfAf^rnil« vti Kitrlfnili«
emer Fläche iu der I ■ ' eiot^s Fui' ^^1 tluri:li
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IfeM ' genden Fall in AbsttitidL'n \l>i) j>j Ifi'^ auf Liniintkr Icd^eti. -
Dtc Ti »üe Müh? r-itier t-lliptisch (iK^aitif), h^i^erli cd i«cb (iiügaÜT)
und piiniböüHCfj gtkrumint-cni Flrichcimtelle.
Ein*? kurze Abhandlung i^t heigefflgt
Pr«li 4er Serfe l0Mk«| exd, Emballage üntl Versendungskostön (i Mk
Die K;
die deti Noi
lEoflelle
tips, lesEfEggeitelleit mit SeideifadeQ, ans Drabt, Eessingblecb etc.
l*}(* Mixielle TOii fiiebeii dieser Serien siöd t niich den ira math.
löslitiii der königt teeJiD liocbschnle in Mimcb* ji h llteo Originalen untttr
LmttiDg der Heirrn Professoren Dr. Brilij, Dr. Kk%H uud Dr. Difck; weitere Serien
von di'n Herren l*rüt'i^i?B4)ren Dr, Kummrr in Berlin, Dr. Ne4>vius in HeljHiogixirs,
Dr Tff in lliioiiuver, Dr J^tthn in Dresden, I>r. Sddeffd in Hagen i. W ,
Gt'i . Pr^r. Dr.lFtVn^ in Kar^Hrnb^:'. fV^t' l> H Wt*^ntr)Tt IMrm^tfldt 11 a.öL
Vua tier Serien abg'ii'M»})]«?»^ «ind ' * hlmt.
Dem weitfuiÄ j;rrj«Htvii Theil der Mode?
I>ie Prii
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und U4JJM V
sich excl. Eudnillaßf^ uijii yer-^iJiutiii^Hko: ti n
erl&ngen ^frutia und franco, — Von den iii.s geflammt 249 Num-
iltni verj.ig3 sind 173 Modelle aus Gipg bor ' '" ■ ^ ^irnfildan,
t n 8, w. Sie berühri?n t'aat alle Gebjet« ■ äjrdhin
Ut:omel.rie, KrummuiigBtheorie, maih. 1X> .-m a , i ui^^li - lu-Mtits n s, w
MoilelUünteräUtxß ans Höh, .schwarz gebejÄ^ xuTHeratellüßgeinefcbesfiereo
Attfiagurs filr dio Modelle in Kugel- und Ellipsoidtorm.
Allr {Ii0de]lc kUnneii tm In«^ laod Aunlniid«^ dlreei van ilür V«rlttK«kiiii4lliiiif
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Biuiai8-a. a. PreUMk. 450.-
Kahoret tmt^r A.A. 100 an den Verbig diese? Zeitsohrift
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INHALT
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Vivi. f^ni \\ INI
Von HK\E,iiiiiT SrojiKu in Ulm n* D, * . , ,
Kl^itiere Mittheilutigen.
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Vnn IVöf. 11 NcTTd . , , . ,
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XV, Abkiililüog Tuu .
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öovaki" seilen Gesell hc halt in Lnsipzig, Von Uofraiti Prof Ü Lkt
Historlscb-Iiterarisßbe AbtheiloEg (beiioadtt» {u^pcin)
RecetiHiaiieii:
htnuk^ A. E. H^ A tnmtiBe ou tlie matbamaiieal tkeorie af ullk^^
Von ß. Kfe^BKL .,...,..
Toimu^rrii, U^hv, A biaf>ry of tb** tJieorie of
"* '^^' * materialfi from GfilOei l\^ i-iv |ri>.c»vij.
WiisivR«A*N-. , ... ...^ . e' r.>>>irp von der E1f'5:tT^i"it'^t Vr^n T?
BiiMZ¥.vNT»i, LtTiwio, Vii über M>!
tiicität \uv\ 'i Von l'
Vi 1-. j j^timn , Li,» Di^'
Hf . in, Bexk*^. Ai.
Wiut, E,^ (in. MbU'arülo^ie uir bübwu Öcbuirj
Äum ■ ht. Von II Ns^unu . . ♦
WitvnAürn, Jakuw i,» Klt^ui*ire Schriften und Bntfo t
Mejer. VriTi n. Nrm^T. ...
Scusi'i'LEM » Dt
DttPft(iczyi>^ R., VuileHUij;^L:n über ZdlileiitbuüJic voa T, Ü. l,.
Dinchlet, Von W, FK.4?tz M^y£ei . . . , . ^
;^ • . H,, Lehrbiicb der höheren Arm ly bis. VonW^Fii
t K,, Demartret^. Von W, Fiiaxä Mstkh . , .
insK^MAKM, ir ' sur It* calcul dis lat gt*nÄmliÄ*t3eu
W. J v,n . ..,,...,., ^
KiixtKa. W., 1. ijiiMiMung in illtJ örundlagoa der Ge^invtric
W. Fb\sx Meve» . . ..,.,»..
K<^uN, K., nnd Fm-pj f-« ^ ' , Lehrbuch der darstellenden Q©ori
Von W, I VKH . * , . , ....
HrrTnt<*H->^ Prot K. . --::eii5chaft und ihr«i Sprache, V^.t^ >
VriM^i. Wsi.iiKE.ii, f.-i;;k. Von Cantoie
i ^!^ , 'J., nijd St III uMin Hl 0., Lehrbuch der unalytiBchen '
V<in Cantor * - . , .
GAKTiLft, Prof, Dr. H„ und Kübio, Prof. Dr. F., Pt^ KJ-
aualjtiächen Geometrie der Ebene, ^
Stsokk^xn« Prüf i>r. M., Grundriss der Dißi'fi t
ri'chuuu^, V^oij iUirrüit .....,, »
SifJTW, BcvKv JtJtiJi Stkpue5, The collected mfllht^tniiHrjil p
Von Cun Oft
UM3XBcit33L^ Clkmkjss, Froiitinua. Von C421T
Oif K^it A itcn ^ Prof, Fkhp cn a pfi> J o a., Monge . ^ / 1
Bililiogfüt^bit* vnm l, MrtrTT bU 50. Aijril 18^5: Pen- ■
' ' Angewandt'^ Maihematlk — lJajf*4J
Muthem:
'thhändluagsregiiter. xmk. Erste BUlB^^
all
Btiukli iroD B. O. Tfiat»A«r In DtüdAa.
Zeitschrift
(tlr
Madieiuatik und Physik
iister drr t «mstw örtlichen Ked^ction
von
Dr. O. Sciüömilob tmd Dr. M- Cantor.
40. JaUrgang* 4. Heft.
Mit einer Htliai»rft f*hirtßii Tni'el
Leipzig,
Yerlag von B. G, Tenbner.
1895.
JUtJaüagmdrOfl Sw4imuA toto in Stettgärt
fcnester Verlag Ton B. ö. Te«i)iier in Leipzig.
1895. IV.
Fior?Ttf MfttteOt Brd* und Himmelagloben « ihre Q«8chiohte tind Xoa*
A:,. . . diigimn. [Vi u. 181 S] gr. Ö. gi'h. e. •-* 4.—
Klein t F*. Vorträge Über ausgewählte Fragen der BJemefHargean:
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I. Riu.l Mil Kroiiecb'f i Btldiiir^s. | IX u. 484 S. ] gr. 4. gdi n. JT 23^.«
Pliirlct*^r*», Julius^ ges&ini3:ieUe wisBenaohaftUüh€s AbhluidUuigeii* Im
.\ ! ' ' " ' ''\ der WiBSLii^cbatteii zu Qutt' = , ' ' *^ii
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Bd, IL Mit 30 7*ejcttitjtirni u. 16 Uthogr Taßln, Brosch. U Jf. In J' -^ |
Die eraU' Anfljige bereits Iteapnw^h «^ Z, iZeif.-i4 iiriff für ' .»d
PKvuik, Brl. XIV, Heft 1) HofrutU Vrut Schlümi).
Ret'en?üt t(lfiubt nit'bt äu irren, wei^n er das ron ;
neuor»> Lelirlmch der rtirspoktive erklürt.
I hen Untt^rnclil :
XI.
Metrische Strahlenoongruenzen bei einer oubisohen
Baumcnrve.
Von
Dr. H. Kbüger
In Plets O.-S.
Bei einem Kegelschnitt liegen bekanntlich die Mitten paralleler Sehnen
auf einer Geraden, nnd die Oesammtheit dieser Geraden bildet das Strahlen-
büschel der Darchmesser. In analoger Weise gelangt man zu gewissen
Strahlencongmenzen, wenn man die singulären Pankte von Schnittpunkts -
dreiecken einer cabischen Banmcnrve betrachtet, deren Ebenen einander
parallel sind. Als ausgezeichnete Punkte eines Dreiecks bezeichnen wir dabei
1. den Schwerpunkt,
2. den Höhenpnnkt (Schnittpunkt der drei Höhen),
3. den Mittelpunkt des Umkreises.
I. Schwerlinie, Höhenpunktslinie^ Hittellinie
einer cubiscben Ranmcorve.
1. Der Theorie der Kegelschnitte entnehmen wir folgende Sätze:
In einem System Poncelet'scher Dreiecke, die einem
allgemeinen Kegelschnitt & eingeschrieben und gleichzeitig
einer Parabel $^ umschrieben sind, beschreiben 1. dienHöhen-
punkte, 2. die Schwerpunkte, 3. die Mittelpunkte der Umkreise
je eine Gerade.^)
Im Fall 1 erhalten wir bekanntlich als Ort der Höhenpunkte die Leit-
linie der Parabel. Um den Fall 2 zu beweisen, setzen wir vorerst als
umschriebenen Kegelschnitt & einen Kreis voraus. Nun theilt der Schwer-
punkt jedes Dreiecks den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Umkreises
nnd dem Höhenpunkt im Yerh<niss 1 : 2 (die drei singulären Punkte liegen
auf der Euler'schen Geraden). Da also die Höhenpunkte auf einer Ge-
raden liegen, so erfüllen auch die Schwerpunkte aller Poncelet'schen
Dreiecke eine zweite Gerade, welche der Leitlinie parallel läuft und ihre
Entfernung vom Mittelpunkte des Umkreises im Verhältniss 1 : 2 theilt.
Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg 1 895. 4. Heft. 1 $
194 Metrische StrablencoDgrnenzen bei einer cubischen Baamcurve.
Projicirt man jetzt die ganze Figur in der Ebene s^ durch Parallelstrahlen
auf eine andere Ebene a^, so geht der umschriebene Kreis in eine Ellipee,
die Parabel in eine andere Parabel über, und jeder Schwerpunkt eines
Dreiecks in £, wird in den Schwerpunkt des entsprechenden Dreiecks in e^
projicirt. Folglich bleibt die Eigenschaft der Schwerpunkte, eine Gerade
zu bilden, auch für eine umschriebene Ellipse erhalten, und wir k5nnen
sie nach dem Princip der Continuität auf einen allgemeinen Kegelschnitt aus-
dehnen.
Der Höhenpunkt und der Schwerpunkt beschreiben weiter auf ihren
bezüglichen Geraden zwei projectiv fthnliche Punktreihen, und die Enler-
schen Geraden, welche je zwei entsprechende Punkte verbinden, umhülle
daher eine Parabel, zu deren Tangenten die Schwerpunktslinie und Höhen-
punktslinie gehören. Die Mittelpunkte der Umkreise aller Dreiecke liegen
aber derart auf den Eul er 'sehen Geraden, dass der Schwerpunkt den Ab-
stand zwischen Kreismittelpunkt und Höhenpunkt im VerhSltniss 1 : 2 theilt
Folglich beschreiben diese Mittelpunkte eine dritte feste Tangente der
Parabel, womit auch der Fall 3 bewiesen ist.
2. Die vorstehenden Sätze lassen sich jetzt unmittelbar auf eine
cnbische Baumcurve C^ übertragen, als welche wir im Allgemeinen eine
cubische Hyperbel mit drei reellen unendlich fernen Punkten o«) b<», c«
voraussetzen. Legt man zu einer beliebigen Ebene e ein Büschel paralleler
Ebenen, so schneidet dieses aus C^ eine Schaar Dreiecke aus. Wir pro-
jiciren die letzteren von einem unendlich fernen Punkt o« der Baum-
curve C^ auf die feste Ebene £, dann bilden die Projectionsstrahlen den
einen (hyperbolischen) Cylinder, welcher sich durch C^ legen Iftsst, oder
die cubische Baumcurve wird in einen Kegelschnitt (S* (Hyperbel) in c
projicirt, die Schnittpunktsdreiecke auf 0^ aber in ein System von jenen
bez. congruenten Dreiecken, welche dem Kegelschnitt & eingeschrieben
sind. Die Seiten der Schnittpunktsdreiecke auf der Baumcurve C Bind
Secanten derselben, welche zu der Ebene b pai*allel laufen, das heisst ihre
unendlich ferne Gerade g^ schneiden ; die Seiten erzeugen daher eine Begel-
fläche vierter Ordnung B* mit C^ als Doppellinie.^) Diese Begelfläche ff
wird aber von dem Doppelpunkte a<» aus in einen parabolischen Cylinder
zweiter Ordnung projicirt, das heisst, die Seiten der Schnittpunktsdreiecke
umhüllen einen parabolischen Cylinder, ihre Projectionen in e folglich eine
Parabel $^. Das räumliche System der Schnittpnnktsdreiecke auf C ist
somit übertragen in ein congruentes ebenes System Poncelet^scher
Dreiecke, die dem Kegelschnitt Q} eingeschrieben und der Parabel $' um-
schrieben sind. Mit den Dreiecken werden aber zugleich ihre singulSren
Punkte bezüglich projicirt, so dass wir für diese aus dem unter 1. be-
wiesenen Satze folgern: die Schwerpunkte, Höhenpunkte und Mittelpunkte
der Umkreise in den Schnittpunktsdreiecken auf C^ liegen in je einer
Ebene durch ao». Derselbe Schluss wiederholt sich für den zweiten nn-
Von Dr. H. KrOgbb. 196
endlich fernen Punkt h^ der Raamcarve C als Projectionscentram^ die
drei Linien, welche die drei aasgezeichneten Pankte der Schnittpunkts-
dreiecke erftlllen^ gehören auch je einer Ebene durch 6« an. Die so con-
struirten drei Ebenenpaare durch a« und 6« schneiden sich bezüglich in
drei Geraden, und wir erbalten den Satz:
Ein Büschel paralleler Ebenen schneidet ans einer cubi-
schen Baumcurye C^ ein System von Dreiecken aus. Die Schwer-
punkte, die Höhenpunkte, die Mittelpunkte der Umkreise in
den Schnittpunktsdreiecken beschreiben dabei je eine Gerade,
die wir kurz bezüglich als Schwerlinie s, Höhenpunktslinie h und
Mittellinie m bezeichnen.')
Diese drei Geraden bilden drei Erzengende eines hyper-
bolischen Paraboloids, dessen andere Regelschaar die Euler-
schen Geraden der Schnittpunktsdreiecke darstellt, und die von
jenen drei Geraden im Verhftltniss 1:2 getheilt wird«
n. Das System der Sohwerlinien einer cnbisclien Banmourve.
1. Jedem Büschel von Parallelebenen oder auch jeder Achse x^^ eines
solchen in der unendlich fernen Ebene «go ist nach I, 2 eine Schwerlinie 8
der Baumcurve C^ zugeordnet. Die Gesammtheit der Schwerlinien bildet
daher eine oo' Mannigfaltigkeit im Baume oder eine Strahlencongruenz.
Um den Charakter derselben zu ermitteln^ projiciren wir in der obigen
Weise das veränderliche System der Schnittpunktsdreiecke , welches das be-
liebige Parallelebenenbüschel [x^] aus der Curve C^ ausschneidet, sowohl
von ihrem unendlich fernen Pankte a«, als auch von ihrem unendlich
fernen Punkte (oe auf eine beliebige, aber feste Ebene f. Das Projections-
bild in t ist dann bez. a« eine Schaar Poncelet'scher Dreiecke, die einem
Kegelschnitt &a eingeschrieben und einer Parabel $'« umschrieben sind,
und deren Schwerpunkte eine Gerade a^ beschreiben, anderseits bez. b»
eine entsprechende Schaar von Dreiecken, die einem Kegelschnitt (Pi ein-
geschrieben und einer Parabel $^a umschrieben sind mit der Schwerpunkts-
geraden &{. Und zwar sind die Geraden a^ und h^ die Projectionen der
Schwerlinie s^^ welche dem Ebenenbüschel [x^] zugeordnet ist, oder um-
gekehrt: die Schwerlinie 8^ ist die Schnittlinie der Yerbindungsebenen
(OaoOs) and (boo&j).
Lassen wir jetzt die Achse x» in der Ebene i^ sich verändern, so
bleiben die beiden Kegelschnitte (S^a ^ad 6% fest als Durchschnittsfiguren
der Ebene £ mit den beiden Cylindem, die von a^ und b« aus durch die
Baumcurve C^ gehen. Dagegen verändern sich die beiden Parabeln $a und
$( als Projectionen der veränderlichen Begelfläcbe 22^, die x^ zur Leitlinie
hat (vergl. I, 2) und mit ihnen die beiden Schwerlinien a^ und b^. Dabei
bleiben für jede Parabel !ßa einerseits und $( anderseits ausser der unend-
lich fernen Geraden g^ ihrer Ebene e noch je zwei Tangenten unverändert:
13*
196 Metrische Strahlencongrnenzen bei einer cubiscben Baumcnrre.
die Asymptote der Eanmcnrre (P in a^^ tt schneidet n&mlich den Kegel-
schnitt (S'a ii^ einem Punkte a, nnd die beiden Strahlen von a ans nach
den unendlich fernen Punkten des Kegelschnitts (S'a bilden mit^^o die
Projection des Schnittpunktdreiecks ^Jb^ia^y berühren daher die Parabel iß«;
das Analoge gilt für die Parabel $(. Die einzelnen Parabeln $« nnd $t
sind also je einem festen Dreiseit eingeschrieben oder bilden je ein specielles
Kegelschnittgewebe, so dass die Glieder der beiden Gewebe eindeutig auf
einander bezogen sind. Ferner entspricht, wie leicht ersichtlich, jeder
Schaar ($a) ^^i^^ Schaar (^^b)j zwischen den beiden Parabelgeweben be-
steht daher eine colUneare Verwandtschaft. Durch die beiden so definirten
Parabelgewebe werden nun auch die den einzelnen Parabeln $« und ^
zugeordneten Schwerlinien a^ und hi^ welche das Strahlenfeld der Ebene e
erfüllen, projectiv auf einander bezogen, indem jeder Parabelschaar {^^
und ($() ein Strahlenbttschel (oj) und {J>^ entspricht. Das Letztere folgt
daraus y dass zunächst die Leitlinien einer Parabelschaar (die einem Dreiseit
eingeschrieben ist) ein zu ihr projectives Strahlenbüschel bilden, was die-
selbe Eigenschaft für die Schwerlinien der umschriebenen Poncelet'schen
Dreieckssjsteme nach sich zieht. Die beiden Strahlenfelder i{a^ nnd ^{b^
sind somit collinear verwandt; folglich gilt dasselbe für die sie projiciren-
den Ebenenbttndel a^^Co^) und 6ao(&s). Für die Schnittlinien entsprechender
Ebenenpaare der beiden collinearen Bündel, das heisst für die Schwer-
linien $1 der Banmcurve C^j gilt daher der Satz:
Die Schwerlinien «^ einer cubiscben Banmcurve (P bilden
eine Strahlencongruenz erster Ordnung und dritter Klasse oder
das Secantensjstem einer anderen cubiscben Banmcurve S^.
2. Die gefundene Leitcurve S^ geht zunächst durch die Mittelpunkte
Ooo und boo der beiden collinearen Bündel, daher nach Analogie auch durch
den dritten unendlich fernen Punkt €« von C®. Femer gehört zu ihren
Secanten die singulare Schwerlinie, welche die Schmiegungspunkte der
beiden einzigen parallelen Schmiegungsebenen von C^ verbindet, da eine
Schmiegungsebene die Banmcurve C^ in einem Null- Dreieck mit coincidentem
Schwerpunkt schneidet. Diese besondere Schwerlinie ist also zugleich
Secante der Banmcurve C^\ sie geht durch den Mittelpunkt m derselben
und soll kurz als Mittelsecante von C^ bezeichnet werden.
Für die Lage der Leitcurve S^ ergiebt sich demnach:
Die Leitcurve 5^ hat mit der ursprünglichen Banmcurve C^
die drei unendlich fernen Punkte und die Mittelsecante gemein.
Zur vollständigen Bestimmung der Curve 8^ genügt es, noch ihre
Schnittpunkte mit der Mittelpunktsebene ^ von C^ aufzusuchen (Ort der
Mittelpunkte aller der Banmcurve C^ eingeschriebenen Flächen zweiter
Ordnung). In der Ebene fi besteht folgende Configuration von Punkten^):
Die Ebene fi schneidet die Banmcurve C^ in drei Punkten Ooi bo, Cq nnd
Von Dr. II. Kbügbb. 197
ihre Asymptoten tat f»» ^c ^ez. in drei Punkten a^, (j; Cj, so dass die
beiden Dreiecke ao^o^o ^^^ ^i^i^i ^° Bezog auf ihren gemeinsamen Schwer-
punkt m (den sogenannten Mittelpunkt von C^) perspectiv liegen, und
zwar verhält sich:
n
mQi:mao= mbi : mbo= mCj: mCo=l:— 3.
Die Gerade a^a^ ferner (ebenso ^Qi^ und c^Cj), von Schröter als
Durchmesser'' von C^ bezeichnet, ist der Schnittlinie der entsprechenden
Asymptotenebene r^ mit fooi Iraf«! conjugirt und enthält die Mittelpunkte
aller zu ta paralleler Sehnen der Raumcurve CK Jede Ebene | durch einen
solchen Durohmesser ÜQa^ trifft daher die Curve C^ in einem Dreieck,
dessen Schwerpunkt auf dem Durchmesser ^a^ liegt, das heisst, dem zur
Ebene | parallelen Ebenenbüschel ist eine Schwerlinie .<?£ zugeordnet, welche
den Durchmesser üqQx schneidet. Anderseits muss eine derartige Schwer-
linie 8^ in foo der zu a^Oi conjugirten Geraden |ra€aD| begegnen, auf
welcher der harmonische Pol der unendlich fernen Geraden von | in Bezug
auf das Dreieck aoobooC« liegt (der Grenzfall des Schwerpunktes). Dreht
man jetzt die Ebene ^ um den Durchmesser a^a^ als Achse, so durch-
bohren die entsprechenden Schwerlinien s^ die beiden Geraden Ootti und
l^aSool i° zwei projectiven Punktreihen und beschreiben daher die eine,
zweifach schneidende Regelschaar eines hyperbolischen Paraboloids , welches
durch die Leitcurve SP der Schwerliniea geht.
Folglich gehört a^ai und analog (o^it ebenso wie CqC^, zu den Geraden,
welche die cubische Baumcurve £^' in je Einem Punkte treffen, das heisst,
die drei Durchmesser enthalten die gesuchten Schnittpunkte der letzteren
mit der Ebene fi.
Weiter ist jede Asymptote ta der Raumcurve C^ als eine besondere
Schwerlinie derselben zu betrachten : eine beliebige Ebene n durch fa schnei-
det nämlich die Curve C^ noch in einem endlichen Punkte p, und für das
singulare Schnittpunktsdreieck Oooaoop stellt jeder Punkt auf fa den Schwer-
punkt dar, während die zur Ebene n planparallelen Schnittpunktsdreiecke
sftmmtlich ihren Schwerpunkt in a« besitzen. Die Asymptote fa von C^ ist
daher eine Bisecante der Raumcurve S^^ und da diese Secante die einfach
schneidende Gerade a^di in dem Punkte a^ trifft, so liegt Oi auf der Curve iS^
und nach Analogie gilt dasselbe von den Punkten b| und C|, das heisst:
Die Leitcurve S^ schneidet die Mittelpunktsebene (i von C^
in den drei Punkten a^ (|, c^, worin die drei Asymptoten der
Raumcurve C^ der Ebene fi begegnen.
Durch diese drei Punkte, in Verbindung mit den drei unendlich fernen
doD» b«,» c« ist somit die cubische Raumcurve S^ eindeutig bestimmt, und
zwar ergiebt sich aus der perspectiven Lage der beiden Dreiecke a^b|C|
und Oobo^o folgender einfache Zusammenhang der beiden Raumcurven 8^
und C':
198 Metrische Strahlencongraenzen bei einer cabischen BaumeurTe.
Die Leitcurve S^ und die ursprüngliche Raamcnrye C
werden yon ihrem gemeinsamen Mittelpunkt m aus darcb ein
nnd denselben Kegel dritter Ordnung K^ projicirt, so dass die
Projectionsstrahlen in m nach dem constanten Yerhftltnias
1 : — 3 getheilt werden, oder, anders ausgedrückt:
Die beiden Baumcurven S^ und C^ sind ähnlich und ähnlich
gelegen in Bezug auf den gemeinsamen Mittelpunkt tn, so dass
sich entsprechende Strecken wie 1: — 3 verhalten.
3. Noch von anderer Seite her gelangt man zu der Leitcurre S\
wenn man von den drei Asymptoten der Baumcurve C^ ausgeht. Ein
Büschel Yon parallelen Ebenen schneidet die letzteren in Dreiecken, deren
Ecken drei projective^ und zwar ahnliche Punktreihen durchlaufen. Daraus
folgt ohne Weiteres: die Schwerpunkte dieser Schnittpunktsdreiecke be-
schreiben ebenfalls eine Gerade, eine Schwerlinie in Bezug auf die drei
Asymptoten fa, hj ff ^^^ so definirte Gerade hat aber mit der ent-
sprechenden Schwerlinie bezüglich der cubischen Baumcurye C den unend-
lich fernen Punkt und ausserdem den diesem unendlich nahen Punkt auf
der Geraden gemeinsam; die beiden Schwerlinien sind daher identisch, oder:
Das System der Schwerlinien in Bezug auf die cubische
Baumcurye C ist identisch mit demjenigen bezüglich ihrer drei
Asymptoten tay ih^ h>^)
Im Anschluss daran ergeben sich noch die Sätze:
Eine beliebige Ebene schneidet eine cubische Baumcurye
und ihre drei Asymptoten in zwei cobarycentrischen Dreiecken,
das heisst mit gemeinsamen Schwerpunkt.
Jede Schmiegungsebene einer cubischen Baumcurye schnei-
det die drei Asymptoten derselben in einem Dreieck, dessen
Schwerpunkt der zugehörige Schmiegungspunkt auf der Baum-
curye ist.
Legt man jetzt eine Gerade ^, welche die drei Asymptoten fa^ hj t^ bez.
•in Ti 9i j trifft, so stellt die Punktgruppe (t^)) mit ihrem Schwerpunkte
ein in eine Gerade degenerirtes Schnittpunktsdreieck der drei Asymptoten
yor« Jede Ebene durch g begegnet daher nach vorigem Satze der Baam-
curve C^ in einem Dreieck, dessen Schwerpunkt mit iS zusammenfällt, oder
auch: Die co^ Schwerlinien, welche dem Ebenenbüschel g{i) durch eine
solche Gerade g zugeordnet sind, gehen sämmtlich durch d. Der Punkt d
ist hiernach ein singulärer Punkt der durch die Schwerlinie von CP ge-
bildeten Strahlencongruenz und liegt auf der Leitcurve 8^ derselben.
Dies führt zu dem Satze:
Die Geraden g^ welche die drei Asymptoten einer cubischen
Baumcurye C^ schneiden, bilden die eine Begelschaar eines
Hyperboloids AK Dabei beschreibt der Schwerpunkt ^ sa je
drei Schnittpunkten einer Erzeugenden g mit den Asymptoten
Von Dr. H. KrOgbb. 199
eine zweite cubisohe Baumearve 8^^ die Leitcurve zu dem System
der Schwerlinien von C^.
Die Leitcnrve 8^ liegt a]&o aaf dem Asymptoten -Hyperboloid Ä\ und
zwar trifft sie die Erzeugenden^ einfach, dagegen die drei Asymptoten bez.
ausser in ihren unendlich fernen Punkten in den drei Durchbohrungspunkten
der Mittelpunkisebene fA. Die letzteren sind daher zugleich die Mitten der
drei Strecken, welche durch je einen dieser Punkte gehen und die betreffenden
beiden anderen Asymptoten schneiden.
Damit ist zugleich eine neue Construction einer cubischen
Baumcurve (Hyperbel) gewonnen: als barycentrische Curve einer
Regelschaar mit drei festen Leitlinien.
Das erhaltene Besultat Ittsst sich noch in anderer Weise ausdrucken;
wie folgt:
Durch einen Punkt p im Baume lässt sich im Allgemeinen
Eine und nur Eine Ebene legen, die aus der cubischen Baum-
curve C ein Dreieck mit p als Schwerpunkt ausschneidet.
Durch jeden Punkt d dagegen auf der Leitcurve S^ der
Schwerlinien gehen die Ebenen yon oo^cobarycentrischen Schnitt-
punktsdreiecken, die alle ihren Schwerpunkt in d haben, und
zwar bilden diese Ebenen ein Büschel um eine Achse g^ welche
die drei Asymptoten yon C" schneidet.
4. Wir können jetzt auch die projectiye Verwandtschaft der Strahlen-
congruenz der Schwerlinien von C^ mit dem Strahlenfelde der unendlich
fernen Ebene c« nfther begründen. Die Schwerlinie 8^^ welche nach 1. der Achse
x^ zugeordnet ist, schneidet die Ebene t^ in dem harmonischen Pole r« der
Geraden x^ in Bezug auf das Schnittpunktsdreieck aoebaDC«- Die Beziehung
zwischen Pol r« ^nd Polare »^ ist dabei quadratisch, das heisst, wenn die
Gerade o?« sich um einen festen Punkt in f^ dreht, so beschreibt der zu-
gehörige Pol T» einen Kegelschnitt X*, der dem Fundamental «Dreieck
aoobeoC« umschrieben ist.^) Die entsprechenden Schwerlinien gehen mithin
durch die Punkte des Kegelschnitts X*, und da sie anderseits Secanten der
Leitcurve 8^ sind, so folgt daraus:
Jedem Strahlenbüschel in der unendlich fernen Ebene «« ist
im Allgemeinen eine Begelschaar zweiter Ordnung von Schwer-
linien zugeordnet.
Liegt insbesondere der Mittelpunkt eines solchen Strahlenbüschels in
dem unendlich fernen Kegelschnitt des Asymptoten -Hyperboloids Ä*, so
degenerirt die entsprechende Begelschaar in einen durch die Leitcurve 8^
gelegten Kegel zweiter Ordnung.
Die Ebenen eines beliebigen Ebenenbttschels sind dadurch projectiv
bezogen auf die Erzeugenden einer Begelschaar zweiter Ordnung als con-
jugirte Schwerlinien, und das Erzeugniss beider Gebilde ist somit eine
Baumcurve dritter Ordnung, oder:
200 Metrische Strahlencongrneiizen bei einer cubischen Raamcarre.
Die Schwerpunkte aller Schnittpanktsdreiecke einer cabi*
sehen Banmcurve (7^, deren Ebenen darch eine endliche Gerade 2
gehen, erfüllen eine andere oubische BanmcnrTe, welche mit
der ersteren die drei anendlich fernen Punkte gemein hat und
die Gerade l zweifach schneidet
Ebenso ergiebt sich als Erzeugniss eines Ebenenbündels und der dazn
projectiven Congruenz der Schwerlinien Yon C^ eine Fläche dritter Ord-
nung, oder:
Die Schwerpunkte aller Schnittpunktsdreiecke einer cubi-
schen Baumcurve C^, deren Ebenen durch einen festen endlichen
Punkt )> laufen, beschreiben eine Fläche dritter Ordnung, welche
durch den Punkt p geht und die drei unendich fernen Punkte
yon C^ zu Knotenpunkten hat.
Es mögen noch die beiden dualen Sätze dazu hier Platz finden:
Die Ebenen aller Schnitt punktsdreiecke einer cubischen Baumcurve C^
deren Schwerpunkte auf einer Geraden l liegen, osculiren eine cubische
Parabel, welche l zum Schmiegungsstrahl hat.
Die Ebenen aller Schnittpanktsdreiecke einer cubischen Baumcurre C^,
deren Schwerpunkte in einer Ebene s gelegen sind, umhüllen eine Fläche
dritter Klasse, welche die Ebene s berührt und die unendlich ferne
Ebene foo zur Doppelebene hat
m. Das System der Höhenpunktslinien
einer cubischen Raumourve.
1. Projiciren wir in der obigen Weise unter I 2. ein System yon
Schnittpunktsdreiecken, das ein Parallelebenenbüschel aus C^ ausschneidet,
von 0« auf eine Ebene e des Büschels, so wird die entsprechende H9hen-
punktslinie h von C^ in die Directrix d der dort gefundenen Parabel $'
projicirt Die Directrix d trifft nun den Kegelschnitt &f das Projections-
bild der Baumcurve C\ in zwei Punkten p und q, die zugleich Höhen«
punkt und Ecke von zwei Po ncele tischen Dreiecken vorstellen; das heisst,
p und q sind die Spitzen der beiden einzigen rechtwinkligen Dreiecke in
der Poncelet'schen Figur. Die beiden Punkte p und q sind aber ent-
standen durch Projection von zwei entsprechenden Punkten p' und q' auf
der Baumcurve C\ die daher ebenfalls die Spitzen von zwei rechtwinkligen
Schnittpunktsdreiecken von C^ ergeben. Jede Höhenpunktslinie einer Baum*
curve C^ ist folglich gleichzeitig Secante derselben, oder:
Die Höhenpankte einer Schaar planparalleler Schnittpankts-
dreiecke einer cubischen Baumcurve C^ erfüllen eine Secante
derselben. Die Schnittpunkte der letzteren mit C^ sind die Spitzes
der beiden einzigen rechtwinkligen Schnittpunktsdreieeke an
der Schaar.
Von Dr. H. Kbügbr. 201
2. Sei jetzt g eine beliebige Secante der Banmcarve C^ welche der
letzteren in den Panktetf p und q begegnet, so wird C^ von den beiden
Punkten ans bez. durch zwei quadratische Kegel )>' und q' projicirt Die
Ebenen, welche diese beiden Kegel in rechten Winkeln oder aus der Raum-
curve C^ rechtwinklige Dreiecke schneiden , umhüllen daher je einen Kegel
zweiter Klasse p' und q', welche ihrerseits die unendlich ferne Ebene
£« in je einem Kegelschnitt cj und i\ treffen.^ Den vier gemeinsamen
Tangenten der letzteren entsprechen folglich vier Paar parallele Tangential-
ebenen der Kegel p' und q', oder:
Jede Secante der Baumcurve C^ ist gemeinsame Höhen-
punktslinie zu vier Schaaren planparalleler Schnittpunkts-
dreiecke von C.
Da durch jeden Punkt im Baume Eine und nur Eine Secante an die
cubische Baumcurve C^ geht» so folgt daraus:
Durch einen beliebigen Punkt r lassen sich im Allgemeinen
vier Ebenen legen, deren Schnittpunktsdreiecke mit einer
cubischen Baumcurve ihren gemeinsamen Höhenpunkt in r
besitzen.
Durch einen Punkt p auf der Baumcurve C^ gehen oo^ recht-
winklige Schnittpunktsdreiecke (deren Höhenpunkt in p liegt), deren
Eibenen einen Kegel zweiter Klasse p umhttllen.
3« Die Congruenz der Höhenpunktslinien einer C" ist mithin identisch
mit dem Secantensystem derselben und den Geraden der Ebene €» derart
zugeordnet, dass jedem Strahl x» in f« als Achse eines Parallelebenen-
büschels Eine Secante h von C^ als HöhenpnnktsHnie entspricht, dagegen
umgekehrt zu jeder Secante h vier Geraden in c« gehören, das heisst, die
Höhenpunkt'Slinien h von C^ sind ein- vierdeutig auf das Strahlenfeld der
Ebene f» bezogen, oder bilden mit diesem eine Correspondenz [1,4].^ um
den Orad dieser ein-vierdeutigen Verwandtschaft zu ermitteln, betrachten
wir ein Strahlenbttschel ^(x») in der Ebene c«. Jeder Geraden rc« ent-
spricht als Höhenpunkt bez. des unendlich fernen Schnittpunktsdreiecks
aoobooCoB von C^ ein Punkt r« von folgender Construction:
Die Gerade x<c mag die Seiten Cooa« und Coob« bez. in xo und t)
treffen. Zu jedem dieser beiden Punkte ist dann auf Xi» bez. des
imaginSren Kreises &% je ein Punkt Xo und )>' conjugirt, und die beiden
Verbindungslinien a«^' und \im>\o treffen sich in dem zu Xm zugeordneten
HOhenpunkte x«. Dreht sich jetzt der Strahl ^r« um p«, so beschreiben
die Punkte "o und \q je einen Kegelschnitt 93' nnd SB', deren Punkte
projectiv auf einander bezogen sind. Der Strahl Xm geht nftmlich durch
den, beiden Kegelschnitten gemeinsamen Punkt )>«> und schneidet daher
beide Cnrven in projectiven Punktreihen. Die Geraden a»))' und («to',
^eelehe bez. nach den entsprechenden Punkten der beiden projectiven
202 Metrische Strablencongruenzen bei einer cabischen Raumcurve.
krummlinigen Pnnktreihen 9)^ und SB* gehen, beschreiben daher bei der
Bewegung des Strahles x» zwei Strahlenbüschel von der Correspondenz [2,2].
Das Erzeogniss derselben oder der Ort des HShenpunktee t» ist folglich
eine Curve von der Ordnung 2 4* 2 » 4 , ^, welche ersichtlich die drei
Punkte a», b«; c« zu Doppelpunkten hat:
Jedem Strahlenbüschel in der unendlich fernen Ebene c« ist als Ort
der zugehörigen Höhenpunkte in Bezug auf das Schnittpunktsdreieck a«o6«»c«
der Baumcurve C^ eine Curve vierter Ordnung (sechster Klasse) ^^^ mit drei
Doppelpunkten in a», 6«, c« zugeordnet | oder auch:
Die Qeraden der unendlich fernen Ebene ;« bilden mit den
Punkten derselben als entsprechenden Höhenpunkten bez. des
Dreiecks aaDbwCoD eine vier-eindeutige Verwandtschaft vierten
Grades, in der a«>(«p€«o ein Fundamentaldreieck vorstellt.
In dieser Verwandtschaft ist insbesondere der imaginSre Kreis Sl» sich
selbst zugeordnet» so dass jeder Tangente desselben ihr Berührungspunkt
mit St% entspricht.
Die entsprechenden Höhenpunktslinien der Raumcurve C^ erhalten wir
jetzt, indem wir an diese von den Punkten einer derart ermittelten Curve ^
bezüglich die Secanten legen. Letztere erfüllen als Gerade ; die einer Curve
vierter Ordnung $^ einfach und einer Baumcurve dritter Ordnung (P
zweifach begegnen, eine Begelfläche vom Grade 4.4 = 16; indessen er-
niedrigt sich der Gi^ad durch die drei Doppelpunkte der Curve $4 : a«,
600, Cdo, die auf C^ liegen, um 3.2.2 = 12, das heisst:
Die Höhenpunktslinien der Baumcurve C^ die einem
Strahlenbüschel ^(x») in der unendlich fernen Ebene e« zu-
geordnet sind, beschreiben eine Begelfläche vierten Grades i2^(A)
mit der Baumcurve C^ als Doppellinie.
Die so erhaltene Begelfläche JS^(^) ist zugleich der Ort der Höhenpunkta in
den Schnittpunktsdreiecken von C^, deren Ebenen durch den Punkt f>«
gehen, oder:
Die Höhenpunkte aller Schnittpunktsdreiecke der Baumcurve C, deren
Ebenen einer festen Geraden parallel laufen, erfüllen eine Begelfläche vierten
Grades mit der Baumcurve C^ als Doppellinie.
Anderseits schneidet jedes Ebenenbüschel durch eine Gerade g die un-
endlich ferne Ebene £« in einem Strahlenbüschel pixai)^ welchem als
Höhenpunktslinien bezüglich der Baumcurve C^ die Erzeugenden einer
solchen Begelfläche B^{h) zugeordnet sind. Jeder Ebene s durch g ent-
spricht daher eindeutig eine Erzeugende h der Fläche B^{h) als Höhen-
punktslinie, welche die Ebene e in dem Höhenpunkt ihres Schnittponkts-
dreiecks mit der Baumcurve C^ trifft Das Erzeugniss des Ebenenbfischels
g{E) mit der eindeutig darauf bezogenen Begelschaar E^(h) ist aber eine
Baumcurve von der Ordnung 1 + 4 s=s 6, H^t so dass sich ergiebt:
Von Dr. H. Krüger. 203
Die Höhenpnnkte der Schnittpnnktsdreiecke der Ranm-
carye C\ deren Ebenen durch eine feste, endliche Gerade g
gehen, beschreiben eine Raumcurve fünfter Ordnung, H\
Dieselbe schneidet die unendlich ferne Ebene €» in den beiden Punkten,
in welchen die beiden Berührungscibenen durch die Gerade g an den ima-
ginären Kreis fti diesen berühren und ferner in den drei unendlich fernen
Punkten der Normalen zu den drei Ebenen, welche die Gerade g mit den
drei unendlich fernen Punkten a«, i», c« von C^ yerbinden.
4. Insbesondere muss auch die Raumcurve H^ der Raumcunre C^ be-
gegnen, da sie mit dieser auf derselben Regelfläche E' (^) liegt Um die
Schnittpunkte beider Curyen zu ermitteln, projiciren wir die Raumcurve C
von einem ihrer Punkte x durch einen Kegel zweiter Ordnung r*. Dieser
Kegel y* triflEt die Raumcurve H^ in 2.5= 10 Punkten, von denen zwei
auf den beiden Erzeugenden der Regelfläche B^{h) liegen, die von dem
Punkte X auf C ausgehen. Die übrigen 10 — 2 s= 8 Punkte stellen da-
gegen die den beiden Curven C^ und H^ gemeinsamen Punkte vor (als
Schnittpunkte von je zwei Secanten der Raumcurve (7'). Das einem solchen
Punkte entsprechende Schnittpunktsdreieck von C^ hat folglich seinen Höhen-
punkt in einer Ecke oder ist rechtwinklig, das heisst:
Durch eine Gerade g gehen die Ebenen von acht rechtwinkligen
Schnittpunktsdreiecken der Raumcurve C^ was zu dem Satze führt:
Alle Ebenen, welche aus einer cubischen Raumcurve C^
rechtwinklige Dreiecke ausschneiden, umhüllen eine Fläche
achter Klasse, ^.
Dieselbe enthält die drei unendlich fernen Secanten der Raumcurve C^
als zweifache Gerade, die unendlich ferne Ebene als sechsfache Berührungs-
ebene (durch eine unendlich ferne Gerade gehen die Ebenen von zwei
rechtwinkligen Schnittpunktsdreiecken, vergl. III, 1).
In dieser Fläche (Z^ stellt femer die zugehörige Raumcurve C eine
singulare Curve vor, indem der Tangentialkegel von jedem Punkte der
Raumcurve C^ an die Fläche (Jfi in einen Kegel zweiter Klasse und einen
solchen sechster Klasse zerfällt (vergL III, 2). Insbesondere osculirt die
Raumcurve C^ die Fläche <Z>^ in den acht imaginären Funkten auf C,
deren Tangenten den imaginären Kreis ft|> treffen (gleich werthig mit8.3 = 24
gemeinsamen Ebenen): Denn die Schmiegungsebene in einem solchen aus-
gezeichneten Punkte { von C^ als Null -Dreieck derselben aufgefasst, hat
ihren entsprechenden Höhenpunkt in dem Schmiegnngspunkte { selber.
5. Wir gelangen damit zu einem Grenzfall des Höhenpunktes, der,
80 viel ich weiss, noch nirgends behandelt worden ist und der auch bei
jeder anderen Curve sich darbietet. Drei unendlich nahe Punkte ))|y p,* iPs
einer (ebenen oder räumlichen) Curve bilden nämlich ein Null- Dreieck der-
selben, für das der Mittelpunkt des Umkreises bekanntlich in das Krümmungs-
centrum m übergeht (Schnittpunkt von zwei sich folgenden Normalen der
204 Metrische Strahlencongnienzeii bei einer cubischen Raamcorve.
Carve). In analoger Weise gehört aber auch zu jedem Null -Dreieck {^^^^jl^s
ein Höhenpankt 1^, den wir kurz als „Krümmungshöhenpnnkt** be-
zeichnen wollen: der Schnittpunkt der beiden unendlich nahen Loihe bez.
von pi auf die benachbarte Tangente p^Ps ^^^ ^^^ P» ^^^ ^^® unendlich
nahe 8ecante p^p^. Da femer der Schwerpunkt eines solchen Null- Dreiecks
mit dem betreffenden Curvenpunkt p zusammenf&llt , so fUhrt der Enler-
sche Satz über die drei singulttren Punkte eines Dreiecks zu folgendem
Ergebniss :
Jedem Punkte p einer Baumcurve ist in seiner Schmiegungs-
ebene ein ErümmungshOhenpunkt 1^ zugeordnet (als HGhenpunkt
des entsprechenden Null -Dreiecks). Derselbe liegt auf der Haupt-
normalen der Curve in py und zwar in entgegengesetzter Rich-
tung Tom Krümmungsmittelpunkt m, so dass sich verh<
pm 2p]^=» 1 :-2.
Eine Schmiegungsebene einer cubischen Baumcurve 0' wird hieroach
Yon der ihrer unendlich fernen Oeraden conjugirten Höhenpunktslinie in
dem zugehörigen Krümmungshöhenpunkt geschnitten, und wir erhalten
folgende einfache Construction des letzteren, sowie des Krümmungs-
mittelpunktes :
Sei n die Schmiegungsebene einer cubischen Baumcurve C
im Punkte p, so legt man eine Parallelebene zu n und sucht
den Höhenpunkt r des Schnittpunktsdreiecks mit CK Die
Secante von): an die Baumcurve C trifft dann die Schmiegungs-
ebene n in dem gesuchten Krümmungshöhenpunkt 1^^ und die
Verlängerung von \)p um die H&lfte dieser Strecke ergiebt
den Krümmungsmittelpunkt m« Diese Construction iSsst sich noch
vereinfachen, wenn man die drei Asjmptotenrichtuugen von C^ als bekannt
voraussetzt.
Die Krümmungshöhenpunkte der Baumcurve C^ erfüllen eine gewisse
Curve , deren Ordnung sich wie folgt ermitteln lässt. Die Schmiegungsebeneu
der Baumcurve C^ treffen die unendlich ferne Ebene c« in den Tangenten
einer Curve dritter Klasse ^^ denen als Höhenpunkte in Bezug auf das
Schnittpunktsdreieck a«>b«€«{> von C^ in der oben behandelten Verwandt-
schaft vierten Grades die Punkte einer Curve 3.4 = 12. Ordnung, @^, zu-
geordnet sind mit a« , i»^ c« als sechsfachen Punkten. Daher beschreiben die
entsprechenden Höhenpunktslinien , das heisst die Secanten von den Punkten
der Curve S^^ an die Baumcurve C^ eine Begelfl&che, deren Grad in Folge
der drei sechsfachen Punkte von &^ auf C^ sich auf 4.12—3.6.2=12
erniedrigt. Jede Erzeugende dieser Begelfläche zwölften Grades B^* ist als
Höhenpunktslinie auf eine Schmiegungsebene von C^ eindeutig bezogen
und trifft sie in dem zugehörigen Krümmungshöhenpunkt ; der geometrische
Ort der letzteren ist somit eine Baumcurve von der Ordnung 12 -f 3 = 15,
das heisst:
Von Dr. H. Krüger. 205
DieErümmüngshöhenpaiikte einer cabischen Bäumen rve (7^
erfüllen eine Banmcnrye fünfzehnter Ordnung, C^^.
Die 80 erhaltene Curye C^^ begegnet offenbar der unendlich fernen
Ebene f« in denselben 6 + 3.3 Punkten, in denen diese 7on der Carve
der Erümmungsmittelpunkte geschnitten wird, und beide Cunren haben
überdies noch mit der Baumcurve C^ die nämlichen acht Punkte f gemein,
deren Tangenten den imaginären Kreis fti treffen.^^)
6. Wir bestimmen endlich noch den Ort der HOhenpunkte eines Bündels
Yon Schnittpunktsdreiecken. Die Ebenen durch einen festen endlichen
Punkt p schneiden die Baumcurve C^ in Dreiecken, deren Höhenpunkte
eine Fläche erfüllen, welche die Baumcurve C^ als Doppellinie enthält;
denn durch jede Gerade, die p mit einem Punkte x von C' verbindet,
gehen zwei rechtwinklige Schnittpunktsdreiecke mit x als Spitzen. Ander-
seits ist jede Secante von C^ der Ort der Höhenpunkte für vier Büschel
bezüglich einander paralleler Schnittpunktsdreiecke, das heisst, jede Secante
von C^ trifft die fragliche Fläche der Höhenpunkte ausser in den beiden
als Doppelpunkten 2u zählenden Schnittpunkten mit C^ noch in vier an-
deren Punkten. Wir schliessen daraus:
Die Höhenpunkte aller Schnittpunktsdreiecke einer cubi-
schen Baumcurve (7^ deren Ebenen durch einen festen endlichen
Punkt p laufen, erfüllen eine Fläche achter Ordnung, F^.
Dieselbe hat den Punkt p zum vierfachen Punkt, enthält die Baum-
curve C^ als Doppellinie und schneidet die unendlich ferne Ebene ausser
dem imaginären Kreise ft« einmal in dem unendlich fernen Schnittpunkts-
dreiseit von C^ und ferner in dem Polardreiseit des letzteren in Bezug
auf fti.
lY. Das System der Mittellinien einer cubischen Raumonrve.
1. Die Mittelpunkte der Umkreise von einer Schaar planparalleler
Schnittpunktsdreiecke der Baumcurve C^ erfüllen nach I, 2 eine Gerade,
die als Mittellinie bezeichnet wurde. Die umschriebenen Kreise selber
aber beschreiben dabei eine durch die Baumcurve C^ gehende Begelfläche
zweiter Ordnung JF'^ oder ihre Ebenen bilden das eine System cyklischer
Ebenen von J^^. Denn die unendlich ferne Achse des entsprechenden
Büschels von Parallelebenen schneidet den imaginären Kreis .Q«, in zwei
Funkten, und durch diese geht Eine Begelfläche F^, welche die Baum-
curve C^ enthält, und die von den Parallelebenen in Kreisen geschnitten
wird. Wir gelangen damit zu folgender neuer Definition der Mittellinie:
Die Mittellinien der Baumcurve (7' sind identisch mit dem
System von Durchmessern, die den cyklischen Ebenen aller
durch C^ gelegten Flächen zweiter Ordnung in Bezug auf diese
conjugirt sind.")
206 Metrische Strablencongrnenzen bei einer cubischen Banmcnrye.
Die Verhältnisse der dadurch bestimmten ßtrablencongmenz sind dem-
nach wesentlich complicirter, als die oben abgeleiteten, nnd wir begnOgea
nns damit, blos Ordnung und Klasse der Congruenz festzustellen.
2. £in beliebiger Punkt p des Raumes ist Mittelpunkt eines eon-
centrischen Eugelbüschels , das auf einer Raumcurve C^ eine InFolution
sechsten Grades erster Stufe einschneidet.^') Die Ebenen, welche je drei
Punkte einer Gruppe von sechs Punkten verbinden, umhüllen daher (nach
dem Princip von der Erhaltung der Anzahl) eine Gurve yon der Klasse
5.4.3
., \^' = 10. Folglich gehen durch den Punkt p zehn Durchmesserebenen
von Kugeln des Büschels, das heisst:
Ein Punkt p ist im Allgemeinen gemeinsamer Mittelpunkt
von zehn Kreisen, welche bezüglich eine cubische Raum-
curve C^ in je drei Punkten schneiden.
Zu jedem dieser zehn Kreise ist aber eine Mittellinie durch p con*
jugirt, woraus folgt:
Die Congruenz der Mittellinien einer cubischen Raum-
curve ist zehnter Ordnung.
3. Um auch die Klasse derselben zu ermitteln, beschränken wir uns
auf die Untersuchung der Mittelpunktsebene fi von der Raumcurve C Die
Ebene f* enthält die drei Durchmesser aottj, bob|, CqCi von C\ die sich im
Mittelpunkte m der Raumcurve begegnen. Ein solcher Durchmesser a^a^
ist der Ort für die Mittelpunkte aller zu der entsprechenden Schmiegnngs-
ebene r^ parallelen Sehnen an die Raumcurve C; jeder Punkt auf a^a^
ist aber zugleich Mittelpunkt einer durch die Raumcurve C gelegten
Fläche zweiter Ordnung. Das Strahlentripel der drei Durchmesser in der
Ebene f* stellt daher den vollständigen Schnitt der letzteren mit der Fläche
dritter Ordnung F^ vor, welche die Mittelpunkte des durch die Raum-
curve C^ gelegten Flächenbündels zweiter Ordnung enthält.
Und zwar ist jeder Durchmesser OoQi Mittelpunktslinie eines Büschels
von Flächen zweiter Ordnung, die durch die Raumcurve C^ gehen, da
alle Flächen F^ mit dem Mittelpunkt auf d^a^ die Secante Oqü« an C^
gemeinsam haben. In jeder Fläche F* des vorliegenden Büschels giebt es
nun sechs cjklische Richtungsebenen und dementsprechend sechs dazu con-
jugirte Durchmesser oder Mittellinien, die sich in dem Mittelpunkte voa
F^ auf doCti schneiden. Soll daher eine solche Mittellinie m in die Ebene ^
fallen, so muss der unendlich ferne Punkt von m auf die unendlich ferne
Gerade gf der Ebene (i zu liegen kommen, oder die Ebene fn zu einer
cyklischen Ebene in Bezug auf eine Fläche F* des Büschels conjugirt sein.
Die Pole der Ebene (i bezüglich der Flächen des Büschels, das dem Dorch-
messer aoOi zugeordnet ist, beschreiben nun in der unendlich fernen Ebene
foo eine gerade Punktreihe a, nämlich die Durchschnittslinie der Schmiegongs-
ebene r^ (in a«) mit der Ebene c«. Anderseits schneiden die cjUisehen
Von Dr. H. Krüger. 207
Ebenen des FlScbenbOschels in f« eine Cnrye dritter Klasse ft' ein: das
Secantensystem , welches dem entsprecbenden Kegelsebnittbüschel in c«» mit
dem imaginären Kreis St% gemeinsam ist, sodass jeder Flftebe F^^ bezüg-
licb ibrem Kegelscbnitt in f«,, sechs Secanten oder Tangenten von ^ ent-
sprechen. Da weiter von jedem Punkte anf a drei Tangenten an die
Curve S^ aasgeben, so wird dadurch eine Verwandtschaft [3,6] unter den
Tangenten von ft' begründet. In dieser Correspondenz giebt es 3 + 6 == 9
Coincidenzen, das heisst, 9 mal gebt eine cyklische Ebene einer Flftche JP*
durch den Pol der Ebene fi in Bezug auf dieselbe Fläche. Davon sind
indessen als illusorisch auszuschliessen die beiden Asjmptotenebenen des
hyperbolischen Cylinders a« durch die Baumcurve C, welche die Ebene e«
in den beiden Secanten aooboo, a«,Cao treffen.
Dementsprechend bleiben 9 — 2 = 7 Mittellinien, die von dem Durch-
messer üqCLi ausgehen und in die Ebene (i fallen. Derselbe Schluss wieder-
holt sich für die beiden anderen Durchmesser boB| und CqCi, so dass im
Ganzen 3.7 8 21 Mittellinien der Ebene fi angehören. Indem wir dies
Ergebniss für eine beliebige Ebene verallgemeinem, gelangen wir zu
dem Satz:
Die Gongruenz der Mittellinien einer cubischen Raum-
curve ist 21. Klasse.
V. Besondere Sohnittpunktsdreiecke einer onbisohen Eaumcnnre.
1. Die oben behandelten Strahlencongruenzen fahren schliesslich dazu,
die Gestalt der Schnittpunktsdreiecke auf der Baumcurve G^ in ihrer Ab-
hängigkeit von der Lage der Schnittebene zu ermitteln. So ergab sich
anter III, 4 als Ort der rechtwinkligen Sohnittpunktsdreiecke eine
Fläche achter Klasse, <2^. Ebenso lässt sich die Enveloppe der Ebenen
bestimmen, die gleichschenklige Dreiecke aus der Baumcurve C^ aus-
schneiden, indem wir als Kriterium dafür feststellen: Die Eni er 'sehe
Gerade, das heisst die Verbindungslinie von Schwerpunkt und Höhenpunkt,
geht durch eine Ecke (die Spitze) des Dreiecks, ohne dass diese selber
HOhenpunkt ist.
BetTaehten wir zu dem Zwecke ein Ebenenbüschel durch eine be-
liebige Gerade {, so beschreiben die Schwerpunkte der betreffenden Schnitt-
pnnktsdreiecke mit der Baumcurve C^ eine Baumcurve dritter Ordnung
S^t, die mit C^ die drei unendlich fernen Funkte a«, b», c» gemein hat
(II, 4) , dagegen die bezüglichen Höhenpunkte eine Baumcurve fünfter Ord-
nung H^ (111,3). Durch das Ebenenbüschel 2($) sind die Funkte beider
Raumcurven perspectiv auf einander bezogen, die Verbindungslinien ent-
sprechender Punktepaare auf S^i und H^^ das heisst die Euler*schen
Oeraden der Schnittpunktsdreiecke, erzeugen daher eine Begelfläche vom
Orade 3 + 0=^8^ Ifi, welche die Gerade l zur Leitlinie hat und drei un-
endlich ferne Erzeugende bezüglich durch o», boo, c» besitzt. Die Begel-
208 Metrische Strahlencongruenzen bei einer cubischen Baumcunre.
fläche IP schneidet jetzt die Baumcunre C^ ausser den drei gemeinschaft-
lichen unendlich fernen Punkten in 8.3 — 3 = 21 Punkten. Von diesen sind
acht die Spitzen der acht rechtwinkligen Scfanittpunktsdreiecke , deren
Ebenen durch die Gerade l gehen, es bleiben also übrig: 21—8=3 13
Punkte als Spitzen gleichschenkliger Schnittpunktsdreiecke ^ mit anderen
Worten:
Alle Ebenen, die aus einer cubischen Baumcurve C^ gleich-
schenklige Dreiecke ausschneiden, umhüllen eine Fläche
13. Klasse, 0^\ Dieselbe enthält die drei unendlich fernen Secanten yon C^
als dreifache Gerade , die unendlich ferne Ebene als neunfache Berührungs-
ebene (in jedem Parallelebenenbüschel giebt es folglich vier
gleichschenklige Schnittpunktsdreiecke mit der BaumcurveC^).
Endlich gehört die Baumcurve C^ selber durch ihre Schmiegungsebenen der
Fläche (pi» an.
2. Von besonderem Interesse ist hierbei noch der Fall der gleich-
seitigen Schnittpunktsdreiecke, deren Ebenen ersichtlich eine dreifaclie
Curve in der Fläche 0^^ bilden, da ein gleichseitiges Dreieck auf drei-
fache Art gleichschenklig ist. Ein gleichseitiges Dreieck ist dadurch ge-
kennzeichnet, dass sein Schwerpunkt und Höhenpunkt zusammenfallen, und
die vorliegende Frage lässt sich somit dahin formuliren : Den Ort der Ebenen
zu finden, für welche die zugeordnete Schwerlinie und Höheupunktslinie
sich schneiden. In dem fraglichen Ort zählt zunächst die unendlich ferne
Ebene £<» vierfach, das heisst, es komnt viermal vor, dass für eine Gerade
in e« der zugeordnete Schwerpunkt und Höhenpunkt in Bezug auf das un-
endlich ferne Schnittpunktsdreieck a«obaDCao coincidiren; denn aus einem
Dreikant wird, wie leicht zu zeigen, durch eine Ebene in vier verschiedenen
Stellungen ein gleichseitiges Dreieck ausgeschnitten.
Legen wir jetzt durch einen Punkt p der unendlich fernen Ebene ein
Strahlenbüschel ))(^«{>), so beschreiben die den Geraden x« in Bezug auf
die Baumcurve C^ zugeordneten Schwerlinien eine Begelfläche zweiten
Grades JB^(5), dagegen die zugeordneten Höhenpunktslinien eine BegelflScb«
vierten Grades R^{h) (II, 4 und III, 3). Die beiden Begelflächen lP{s) und
i2^ (Ä) schneiden sich dann in einer Carve von der Ordnung 2.4 = 8» C*,
so dass jede Erzeugende 8 von B^{8) vier Punkte, jede Erzeugende k von
I^{h) zwei Punkte mit der Curve C^ gemein hat. Da nun die Erzeugenden
s und h durch das Strahlenbüschel ))(^oo) eindeutig auf einander bezogen
sind , so entsteht zwischen den entsprechenden Punkten auf der Baumcurve (^
eine Correspondenz [4,2] mit 4 + 2 = 6 Coincidenzen , das heisst, für sechs
Strahlen durch einen Pankt p in der Ebene f«» schneiden sich bezüglich
die zugeordnete Schwerlinie und Höhenpunktslinie in einem Punkte auf
der Baumcurve C\ Eine Ebene, die einen solchen singulären Strahl mit
dem entsprechenden Coincidenzpunkte auf C^ verbindet, schneidet folglick
die Baumcurve C^ in einem gleichseitigen Dreieck.
Von Dr. H. Krügbb. 209
Wir sobliessen daraus:
Durch einen unendlich fernen Punkt gehen die Ebenen von sechs
gleichseitigen endlichen Schnittpunktsdreiecken , und da die unendlich ferne
Ebene selber als yierfache Schmiegungsebene der gesuchten Raumcurve
gilt, so ergiebt sich als Endresultat:
Alle Ebenen, die aus einer cubischen RaumcurYe gleioh-
seitigeDreiecke ausschneiden, umhüllen eineBaumcurve zehnter
Klasse, welche die unendlich ferne Ebene vierfach osculirt.
Der letzte Satz ist übrigens nur ein specieller Fall von der all-
gfemeinsten Aufgabe dieser Art, deren Lösung aber andere Mittel als die
oben angewandten erfordert, nftmlich: n^en Ort der Ebenen zu finden,
die aus einer cubischen Raumcurve Dreiecke von constanter Qestalt (die
einem gegebenen Dreiecke tthnlich sind) ausschneiden*.
Literatur.
1. Die angeführten Sätze sind zuerst von Weill in den Nouyelles
annales de math6matiques, IV s^rie, t. XIX, p. 367 analytisch bewiesen.
Der nachfolgende synthetische Beweis dürfte sich durch Einfach-
heit empfehlen, wenn er auch zunllchst nur für die umschriebene
Ellipse gilt.
2. Beye: Geometrie der Lage II, 15. Vortrag.
3. Der erste Theil dieses Satzes von der -Schwerlinie stammt in seiner
allgemeinsten Form von Hurwitz (vergl. die bez. Mittheilung von
Geisenheimer: |,Die Erzeugung polarer Elemente* u. s. w. in der
Zeitschrift für Mathematik und Physik XXXI, 4, S. 211); der Be-
weis von Hurwitz ist mir jedoch nicht zugänglich gewesen. — Einen
besonderen Fall der HOhenpunktslinie ferner, nämlich wenn dieselbe
senkrecht auf den Ebenen des betreffenden Parallelebenenbüschels steht,
erwähnt schon Beye in der Abhandlung: „Der gegenwärtige Stand
unserer Kenntniss der cubischen Baumcurven^ in der Festschrift der
mathematischen Gesellschaft in Hamburg. 1890. S. 56.
4. Geisenheimer a. a. 0. S. 207.
5. Schröter: „Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Baum-
curven dritter Ordnung '^ § 39. Die in diesem Werke durchgeführte
Bezeichnung habe ich ebenfalls angenommen.
6. Dieser Satz ist ein besonderer Fall einer allgemeinen, für jede Baum-
curve giltigen Beziehung, die Geisenheimer nach Analogie eines
Satzes von Chasles abgeleitet hat, a. a. 0. S. 205.
7. Vergl. Beye: „Geometrie der Lage" II, 16. Vortrag.
Zeitschrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1896. 4. Heft. 14
210 Metrische Strahlencongrnenzen etc. Von Dr. H. Kbügeb,
8. Der reciproke Fall zu einem bekannten Steine raschen Satze ans der
. Theorie der Kegelschnitte; yergl. auch Beje: , Geometrie der Lage* I,
2. Aufl. S. 184.
9. Für die üntersnchnng dieser nnd der weiterhin gebrauchten Correspon-
denzen war massgebend:
B. Sturm: »Die Gebilde der Liniengeometrie* I, S. 16 flg.
10. Yergl. Sturm: „ Metrische Eigenschaften der cubischen Baumcunre*,
Zeitschrift für Mathematik und Phjsik, 40. Jahrgang, 1895, 1. Heft, § 6.
11. Den Zusammenhang der cjklischen Ebenen und ihrer Kreise betrachten
von anderen Gesichtspunkten aus: Sturm, a. a. 0. und Timerding:
„üeber die Kugeln, welche eine cubische Baumcurre mehrfach oder
mehrpunktig berühren*. Inaugural • Dissertation. Strassburg 1894.
12. Sturm a. a. O.« § 14; yergl. auch Salmon-Fiedler: j^Analjtiache
Geometrie des Baumes '^ II, 3. Auflage, Literatur -Nach Weisungen,
Nr. 271.
Fiese, 24. December 1894.
XU.
Metrische Eigensoliafteii der oubischen Baumcurven.
Von
R. Mehmre
In Stuttgart.
Im 26. Bande der „Mathematischen Annalen'' S. 293 (1885) hat
n. Schröter eine grosse Anzahl von metrischen Eigenschaften derjenigen
Baumcurven dritter Ordnung, für welche die anendlich ferne Ebene
Schmiegnngsebene ist, also der sogenannten cnbischen Parabeln, abgeleitet.
Da es bei diesen Eigenschaften sich wesentlich um die Bauminhalte von
Tetraedern handelt, welche zn einer cubischen Parabel in bestimmter Be-
ziehung stehen , der Inhalt eines Tetraeders aber bei projectiven Umformungen
bis auf gewisse, yon der Lage der Ecken des Tetraeders abhängende
Factoren erhalten bleibt, so ist von vornherein klar, dass jene Schröter -
sehen Stttze projectiv yerallgemeinerti das heisst auf eine Form gebracht
werden können, in der sie fflr jede Baumearve dritter Ordnung gelten,
wobei an Stelle der unendlich fernen Ebene eine beliebige Schmiegungs-
ebene der Gurve tritt Diese Verallgemeinerung könnte auf ziemlich
mechanische Weise mit Hilfe der fär jede CoUineation bestehenden Trans-
formationsformeln ffir projectiy- metrische Grössen vorgenommen werden.
Ich ziehe jedoch eine directe Entwickelung vor, weil ich die frag-
lichen Sätze von Schröter nicht blos zu verallgemeinem, sondern durch
eine Beibe neuer Sätze verwandter Art, in denen zum Theil ausser Baum-
inhalten bezw. Massen und Abständen auch noch andere metrische Grössen
vorkommen, zu vermehren wünsche. Vielleicht darf ich auf die in den
Paragraphen 7, 8 und 9 mitgetheilten üebertragungsprincipien besonders
hinweisen, durch deren Anwendung sich aus jeder Beziehung zwischen
Strecken einer und derselben geraden Linie etliche metrische Eigenschaften
einer beliebigen cubischen Banmcurve ergeben«* Das Princip der Beci-
* Nachdem ich (vor einigen Jahren) diese Üebertragungsprincipien gefunden
hatte, wurde durch das „Jahrbuch der Fortschritte der Mathematik'* meine Auf-
merksamkeit auf eine Abhandlung des Herrn GinoLoria: „Su alcune pro-
prietä metriche della cubica gobba osculatrice al piano airinfinito** (Rendiconti
della B. Accademia delle Scieuze Fis. e Mat. di Napoli , Dicembre 1885) gelenkt Herr
Lioria war so liebenswürdig, mir einen Abdruck derselben zn schicken, aus
-welchem ich ersah, dass ihm das dritte der fraglichen Üebertragungsprincipien,
w^enn auch in der speciellen Form, die es bei der cubischen Parabel annimmt,
schon bekannt war.
212 Metrische Eigenschaften der cubischen BaamcorYen.
procitttt oder Daalität, welches in Schröter 's Arbeit nicht zum Aosdriick
gekommen ist, wird hier volle Berücksichtigung finden. Aehnliche ünter-
sachangen, wie die folgenden, kann man schon bei den Kegelschnitten
and weiterhin bei den Caryen n^*' Ordnung im Raum von n- Dimensionen,
dann auch bei den Flächen zweiten Orades u. s. w. anstellen, woranf ich
anderwärts näher eingehen werde.
§ 1. Bezeichnungen.
Wir wollen Funkte immer mit kleinen lateinischen, Geraden mit grossen
lateinischen, Ebenen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen.
Es bedeute — ich werde im Folgenden Grassmann 's Rechnung mit
Punkten, Geraden und Ebenen anwenden* — \p\j |&|, |e| den Coeffi-
cienten (metrischen Werth oder das Gewichi) des Punktes p bezw. der
Geraden G^ der Ebene £, so dass
p g f
den Funkt p bezw. die Gerade &, die Ebene e mit dem Gewicht Eins ver-
sehen vorstellt. Femer bezeichne ps die Entfernung des Punktes p tob
der Ebene £; momGO-^ das Moment der beiden Geraden G und är^^;
^ff^^^^ PPi y g das Moment der als Kraft aufgefassten Strecke jpp^ in Besag
auf die Gerade G als Achse; mom s^i» g die zur vorhergehenden dua-
listische Grösse, nämlich das Product aus dem sin des von den Ebenen c
und i^ gebildeten Winkels und dem Moment ihrer Schnittlinie in Bezug
auf die Gerade G, welche Grösse das Moment des Flächenwinkels le^ in
Bezug auf G genannt werden mag; pPiP^p^ den sechsfachen Rauminhalt
des Tetraeders mit den Ecken 1?; Pi , i^g* Ps? ^^^ dualistisch dazu sin cf,f,^
den „ Sinus ^ des durch die vier Ebenen €, c^, f|, f, gebildeten Yierfliiehs,
welcher u. A. gleich dem Product aus den sin der Flächenwinkel an irgend
zwei gegenttberliegenden Kanten des Yierflachs und dem Moment diese
Kanten ist. Auf die Bestimmung der Vorzeichen dieser metrischen Grössen
einzugehen^ ist fttr das Folgende nicht nöthig. Wenn wir mit Grass-
mann bei äusseren Producten eckige Klammern bentltzen, so erhalten wir:
[effj^mowffffi.iei.iffj,
\pPiG] = m<mipp^, G.\p\.\p,\.\G\,
* Siehe Grassmann^s „Ausdehnungslehre** von 1862 (Gesammelte Werke
I. Bd. 2. Theil) 1. Abschnitt, Kapitel 6.
** A. Gayley, Comptes rendus de TAcademie des Sciences t 61 p. 829, 1865:
„Je nomme moment de deoz droites la distance perpendicnlaire de ces drmtes,
moltipli^e par le sinus de leur iaclinaison mntuelle.**
Von R. Mbhmkr. 213
[ppiPiPsl ^ pPiPiPzA p\'\ Pi\'\ Pi\'\ PhI
Hat man irgend eine Oleichnng zwischen Sasseren Prodacten, welche
in Bezog auf alle in ihr enthaltenen Punkte , Geraden und Ebenen homogen
ist, und führt man statt der äusseren Producte die zugehörigen metrischen
Grössen ein, so heben sich offenbar die alsFactoren heraustretenden Gewichte
jener Punkte, Geraden und Ebenen gegenseitig auf, das heisst, man
kann in jeder solchen Gleichung ohne Weiteres die äusseren
Producte durch die entsprechenden metrischen Grössen er-
setzen. Hierauf beruhen alle Ergebnisse der vorliegenden Abhandlung. Wie
Orassmann schon in seiner „ Ausdehnungslehre ** von 1844 (Gesammelte
Werke Band 1, Theil 1, § 165) bemerkt hat, bleibt jede Gleichung der
besprochenen Art bestehen, wenn statt der darin vorkommenden Elemente
die entsprechenden Elemente eines beliebigen coUinear- verwandten Systems
gesetzt werden. Daher sind alle metrischen Eigenschaften der
allgemeinsten cubischen Baumcurven, die ich im Folgenden
ableiten werde, projectiv.*
§ 2. Darstellung der Cnrve, ihrer Tangenten
und Schmiegongsebenen.
Eine beliebige Baumourve dritter Ordnung lässt sich durch die Gleichung
1) x = a + 3Xh + 3X^c + X^d
darstellen , in welcher x einen mit dem Parameter l veränderlichen Punkt
der Curve bezeichnet. Die Punkte a und d gehören der Curve an — sie
entsprechen den Werthen 0 und oo des Parameters — und können beliebig
auf ihr gewählt werden. Es ist h der Punkt, in welchem die in a an die
Curve gelegte Tangente ah die zum Punkt d gehörige Schmiegungsebene
hcd der Curve schneidet, ebenso c der Schnittpunkt der zum Punkt a ge-
hörigen Schmiegungsebene ahc mit der Curventangente cd zum Berührungs-
punkt d, oder es bilden die Punkte a, b, c, d ein sogenanntes Schmiegungs-
tetraeder der Curve (Schröter a. a. 0. S. 294).**
* Ich verstehe hier unter projectiven Eigenschaften geometnacher Gebilde
dasselbe, wie Poncelet, der Schöpfer dieses Begriffs, Möbios und Andere.
Behr mit Unrecht, wie mir scheint, wird gegenwärtig von vielen Geometem das
Wort projectiv im Sinne von „descriptiv, graphisch, situell, lagengeometrisch"
angewendet, also um dfis Gegentheil von metrisch anszndrficken , während man
doch eine Unzahl projectiver Eigenschaften und Ausdrücke kennt — ich erinnere
blos an das Verhältniss der Gaus stachen Erümmungsmaasse zweier sich berühren-
den Flächen im Berührungspunkt ~ die entschieden metrischer Natur sind.
•♦ Vergl. Möbius: „Barycentrischer Calcul** (Gesammelte Werke Bd. 1) § 98.
214 Metriscbe Eigenschaften der cnbischen Baamcarren.
Onrch Ableitang der Qleichong 1) nach il erhält man
und durch Süssere Maltiplication dieser Gleichungen mit 1), wenn man noch
ir dxl ^ ir dx d^xl ,
setzt: äl^^Ur^^ TsU^-äT^r^
2) X = [aft] + 2X[ac] + A«fad + 36c] + 2k^[bd] + k^[ed],
3) S = [ahc] + X [ahd] + X^[acd] + X^hcd].
Offenbar ist X die Tangente, § die Schmiegnngsebene , welche die Cnrre
im Punkt x hat. Wir setzen nun
4) [ti6c] = a, [abd] = 3ß, [acd]^Sy, [bcd]=^d.
Werden die Punkte a, 5, c, d alle mit einer und derselben wiUkfir-
liehen Zahl multiplicirt, so ändert sich die Lage dieser Punkte nicht, nnd
ebenso wenig die Lage des durch die Gleichung 1) gelieferten Punktes x,
seiner Tangente X nnd Schmiegnngsebene £. Wir dürfen daher Toraus-
setzen, die Gewichte der Punkte a, hy c, d, anf deren YerhSltnisae es
allein ankommt, seien so gewählt, dass das Süssere Prodnct [abed]^ welches
nicht Nnll sein kann, irgend einen bestimmten Werth erhält Wir machen
die Annahme:
5) [abcd] = 3.
Unter Berücksichtigung derselben ergiebt sich aus den Gleichungen 4)
durch Süssere Multiplication :
I [«/J] = [a5], [ay] = M, [a6] = 3[&c],
ferner: ^ ^IßY^^^M. [^6] = [M], [y6] = [c(i];
4') [«/Jy] = a, [«j8d]-35, [«yd] = 3c, [/Jya] = d.
Die Gleichungen 3), 2), 1) können jetzt in der neuen Form geschrieben
werden:
r) ^^a + 3Xß + SX^y + X^Ö,
2-) Z = [aß] + 2X[ay] + X^[aö + 3/Jy] + 2X^ßö] + X^[yil
3') X = [aßy] + Xlaßd] + X^ayS] + X^ßyö].
Es stimmen die Gleichungen 1) und 1'), 2) nnd 2'), 3) nnd 3') der
Gestalt nach vollständig überein, woraus wir schliessen, dass tn jedeft
durch eine Gleichung zwischen äusseren Producten darstellbaren Beziehong
zwischen irgend welchen Punkten, Tangenten und Schmiegungsebenen der
cnbischen Banmcnrve *— und dieser Art sind alle metrischen EigenaefaalleB
der allgemeinsten cubischen Baumcurven, die später entwickelt werden
Von B. Mbhmkb. 215
sollen — eine dualistische vorhanden ist, die dadurch ans der ersten ab-
geleitet werden kann, dass man. statt eines jeden Punktes der Curve die
zugehörige Schmiegungsebene, statt einer jeden Schmiegungsebene ihren
Berflhrungs- oder Anschmiegungspnnkt setzt, eine jede Tangente der Cunre
aber beibehSli* Natürlich muss zugleich statt der Entfernung zweier
beliebigen Punkte der sin des Winkels der entsprechenden Ebenen, statt
des sechsfachen Inhalts eines Tetraeders der rin des entsprechenden Vier-
flachs u. s.w. genommen und, falls in dem betreffenden Satz das Schmiegungs-
tetraeder ahed vorkommt, h mit j3, c mit y und umgekehrt vertauscht
werden.
§3.
Da eine Baomcarre dritter Ordnnng bestimint ist, wenn von ihr ein
beliebiges Schmiegnngstetraeder abcä ond noch irgend ein Punkt x ge-
geben sind, so mfissen sich beim Hinzutreten der Tangente X nnd der
Schmiegungsebene | der Curre in diesem Punkt bereits Beziehungen er-
geben, um solche zu finden, mnltipliciren wir zunBchst Gleichung 1) der
Reihe nach mit den Seitenflächen, Gleichung 2) mit den Kanten, Gleichung 3)
mit den Ecken des Schmiegungstetraeders alcd, wodurch wir erhalten:
Uxlcd] = [abed], [axed] = 3l[abcd], .
^^ l[aft«d] = 3i*(aftcd], [abcx] ^ l^[abed];
[abX] = l*[abc((], [acX] = -2A»[a6c<rj,
[adX] = 3i»[o6cd], [bcX] = l*[abcd\,
[bdX] = -2i[abed\, [cdX] = [ahed\;
[all = l'[ahcd], [bl] = - X*[abed],
[c|] = i[a6cd], [dl) = - [a Jcfl.
Wir fBgen noch die aus 4) und 7) folgenden Gleichungen
y l[««] = -l»[o6c«f], [xßl^l*[abed\,
\ [«y] = - l[abcd], [xd] = [abei[
hinzu, sowie die aus 4) durch äussere Multiplication mit a, &| e, d her-
Torgehenden:
10) . [aS\ = - 3[6y] = 3[cfl = - [da] = {abcä[.
8)
9)
* Offenbar ist die Ebene «, welche aus den Ebenen «, /9, y, d mittelst der-
selben Zahlen (Goordinaten) abgeleitet wird, wie ein beliebiger Punkt p aus den
Punkten a, &, c, d die Nullebene des Punktes p in dem durch die betrachtete
Raiimcnrve dritter Ordnung bestimmten Nullsystem. Es erweisen sich auch manche
der sp&ter aufzustellenden S&tze bei näherer Betrachtung als besondere Fälle
von metrischen Sätzen über Nulhysteme, worauf jedoch hier nicht eingegangen
werden soll.
216 Metrische Eigenschaften der cnbischen Baamcnrven.
Aus den Gleichungen 7) bis 10) folgt:
{da] -" [Cß-] - [6y] - ^ las-]
aixhcd]\a^] = - laxcd]lhfi = [ahxd][c^] = - 3[a&ca:][d5]
(=:3A8[a6cdP),
^2[ahX'][cdX] = 3[acX] [6dZ] = 4[a(iX][6cX]
(=12A*[a6c(r]»),
6[a6X][ca[(ia = 3[acX] |6a[da = 2[adX][b^-]lc^]
= 6[6cZ][aS][dS] = 5[hdX][ai][c^] = 6[c(IZ][ay [6S]
(=:-.6Xß[a6c(f]«).
Da diese Gleichungen alle homogen sind, so dürfen (nach § 1) die
Susseren Froducte darin durch die zugehörigen metrischen Grössen ersetst
werden; auch versteht es sich nach § 2 von selbst, dass die dualistischen
Gleichungen ebenfalls gelten. Wir haben somit den Satz:
Bei jeder Baumcurve dritter Ordnung ist, wenn x einen
beliebigen Punkt derselben, Zdie Tangente, £ dieSchmiegungs-
ebene in diesem Punkt, ahcd irgend ein Schmiegungstetraeder,
von welchem die Ecken a und d auf der Curve liegen, und «, ß,
yy 8 beziehentlich die der Ecke d, c, b, a gegentlberliegende
Seitenebene dieses Tetraeders bezeichnet:
da cß hy o8
3 ojdcd . ai = — axcd . fej = a bxd . c| = — Sahcx . dj;
12fnom a5, Xmomcdj X= 3momac, Xmom &d, X» 4i}iomad, Xnwm 5c, X;
12mamaß^ Xmom Y9}Xe=imamaY, Xmomßö^X^Amamaö^ Xmamßy, X]
ömomabj Z.c$.d|ss3fnomac, X.b^.d^ = 2momady X.b^.ci
^GmombCfX.a^.di^Smombd^ X.a|.cS = 6momcd, Z.ag.5|;
6fnofnaj?,X./d;.da; = 3fnomay, X.ßx.öx = 2momai, X.ßx,yx
s 6 momßy, X,ax,dx = Smom ßöfX,ax,yx=^Q mom yi^ X.ax.ßx.
Anmerkung. Die erste der obigen Reihen von Gleichungen, welche
übrigens dualistisch zu sich selbst und der folgenden gleichwerthig ist»
kann dazu benützt werden, die Schmiegungsebene in einem gegeben^i
Punkt X der Curve oder den Berührungspunkt einer gegebenen 8chmiegiing8>
ebene i zu construiren, da sie die Verhilltnisse der Abstttnde der Ebene |
von den Ecken des als bekannt angesehenen Schmiegungstetraeders ahed
Von B, Mbhmke.
217
bezw. die Verhältnisse der Abstftnde des Punktes x yon den Seitenebenen
jenes Schmiegnngstetraeders, kennen lehrt. Aehnliohes gilt für die übrigen
Gleichungen.
§4.
In diesem and dem folgenden Paragraphen wollen wir eine Reihe
metrischer Eigenschaften der cubischen Baamcunren zusammenstellen, in
welchen ausser einem beliebigen Schmiegungstetraeder ab cd der Curve noch
zwei willkürliche Punkte derselben mit den zugehörigen Tangenten und
Schmiegungsebenen yorkommen. Einem beliebigen Werthe fi des Parameters
entspreche auf der Curve der Punkt y, und es sei 7 die Tangente, i; die
Schmiegnngsebene in diesem Punkt Schreibt man in den Gleichungen l),
2), 3) f* statt l und verbindet die neuen Gleichungen mit den ursprüng-
lichen durch Süssere Multiplication, so ergiebt sich:
12) [Xr] = (^-A)*[a6c(q.
Mit Hilfe der Gleichungen 7) bis 12) und derjenigen, die aus 7) bis
10) durch Vertauschung von X mit f«, x mit y u. s. w. entstehen, bilden
wir folgende Proportionen:
13)
14)
15)
[xu][dr,]A'>ß][cri] . [xy][bn] . [xS][afi]
[da] ■ [cß] • [by] • [ai]
:N]
- [ad] • [hy] • [c/J] • [d«] -ly^J
= 1» : - 3iV 5 3if»« : - |t» : (1 - (i)»;
\_xhcä\\ai^] : [oa;c<f] [6i;] : [o6«d][cij] : [a6c«][dij] : \a'bcd'][xfi\
= laletf] [dl] : [abyäj [cS] : [aycd\ [6|] : [pbcä] [a|] : [abcd][i,i]
= H» : - 3fi«l : 3^i* : - A» : (ji - i)8;
[abX][edT] : [acX][bdT]: [adX]lbcT] : [bci:][adT]
: [bdX][acI] : [cdX][abT] : [abed]lXT]
= X* : 4iV : 3 AV* : 3AV* : 4-1^» : |»* : (i - p.)*;
\abX][cv][dri] : laeX][bri][d,,] : [adX][bri][en]
16) : [beX] [ati] [dt,] : [bdX] [at,] [et,] : [cdX] [av] [bf{]
= A* : 2iV : 3lV* = ^V : 2i(i» : ,*♦.
Man kann ans diesen Proportionen anf eine Anzahl verschiedener
Arten X nnd f» eliminiren, indem man die einzelnen Glieder lediglich durch
Maltiplieation verbindet Die sich ergebenden Gleichungen sind homogen,
weshalb sofort metrische GrOssen statt der äusseren Prodncte eingeführt
werden können. Wo sich durch Anwendung des Princips der Beciprocitilt
neue Gleichungen ergeben, fUgen wir diese hinzn, lassen dagegen solche
Gleichungen weg, die ans bereits vorhandenen entweder durch Vertauschung
218 Metrische Eigenschaften der cobischen Ranmcarven.
von x^ Xj ^ mit y, T^ ti^ oder durch Vertaaschung Ton ä mit d und
gleichzeitige Vertaaschung Ton 5 mit e, a mit 5, ß mit y abgeleitet werden
können. Wir erhalten so:
Ist ahcd irgend ein Schmiegungstetraeder einer RaumeurTe
dritter Ordnung allgemeinster Art, wobei die Ecken a und d
diejenigen sein mögen, welche auf der Curve selbst liegen, and
die den Eckend, c, b, a gegenttberliegenden Seitenebenen des-
selben beziehentlich mit a, /3, y* ^ bezeichnet werden sollen;
sind ferner x und y zwei beliebige Punkte dieser Carye, J
und Ybezw. £ und ti die Tangenten bezw. Sckmiegangsebeneo
der Curye in jenen Punkten, so hat man:
xa.äfj.y^.aö = yd.a^.Xfi.da^
xß.cri,yi,hy=^yY.hi.xrj.cß,
9xa,xd .arj ,dfi,hY.cß = xß.xy,hri.Cfi.ad .da^
3xa,xy. bti.dticß^ = xßKcri^. by .da^
xbcd ,ari.y^ = ahcy .d^.xri,
sinißyö .sty .i^a: = sinaßyvi.dx.^yy
axcd .bfj.yi^ abyd . c^ . ä?i;,
sina^yd .ßy .fix=> sinaßtiö .yx.^y,
Qxbed.abcx.afi.dfi == axcd.abxd.bti.eii,
Qsin^ßyd.sinaßyi.ay.öy^ sina^yd .sinaß^ö .ßy.yy^
3xbcd.abxd.afi.cfi « axcd^bfi*,
Ssin^ßydsinaß^ö.ay.yy = sina^yö^ßy^^
nwmady Xmofnbc^ Y = mofnbCj Xtnofnad^ F,
ifiomod, XfMtnßy, r= mofnßyt Xtnofnad^ T,
16itiofna5, Xwofnad^ XmofnbCy Ymamcd, T
= 3(tnomac, Xmom&d, T)\
Ißfnotnccß^ Xfnofnaö^ Xfnomßy, Tmomyö, T
= 3(moinory, XfnomßS^ F)*,
nwfnad^ X.&17. ci} = Smoni bc, X.aij.dfiy
niomaö^ X.ßy.yy = 3i»om/Jy, X.ay.öy^
imomabf Xfiumad^ X . ciy^ = Smomac, X^bi^ . di^,
4inoma/3, Zfnomo^, Z.yy^sSmomo^, X*ßy .öy^
Von B. Mbhmkb. 219
(xa . dfj \ / numah^ Xmomed, Y \ ^ / mamaß, Xmamyö. T
x^.da / \ ahcdmom Xf / \ sinaßyömomXT
2« / xa.xö .afj.dri \'_ / motnad, Xmom hc, Y \^
N «iy*ad.da / V abcdmomXY /
_/ tnomaS, Xmomßyj Y \
Die gefandenen Sfttze gelten natdrlicb auch für die cubische Parabel;
einige besondere, dieser letzteren eigentbttmliche Sätze ergeben sieb aber,
wenn man die Scbmiegungsebene ij ins Unendliche rücken Ittsst, was zur
Folge hat, dass die Verhaltnisse der Abstände ari^ htij ei}, dt} den Grenz-
werth 1 annehmen and daher diese Abstände in gewissen der obigen Gleich-
nngen sich gegenseitig aufheben. Weitere Beziehnngen erhält man durch
Diirision der ursprünglichen Gleichungen mit den neuen. Die Ergebnisse
sind folgend^:
Bezeichnet ahed irgend ein Schmiegungstetraeder einer
cubiscben Parabel, von welchem die Ecken a und d der Curve
angehören, a, /3, y, ö beziehentlich die der Ecke <i, c, 5, a gegen-
überliegende Seitenebene dieses Tetraeders, x einen willkür-
lichen Punkt der Curve, rj eine willkürliche Scbmiegungsebene
derselben, so ist:
dxa .xö .hy.cß ^ xß »xy.aö .da,
3xa .xy, cß* = xßK hy.dcc,
9xhcd . abcx = axcd . ahxd,
3 axcd . ahxd = axcd?^
arj . dri =ihri , cri.
motnad^ X = Smombc, X,
4mamah, Xmamadj X = Smomac, X^.
§5.
Auch durch Addition bestimmter Glieder der Proportionen 13), 14)
nnd 15), oder gewisser Wurzeln aus denselben , kOnnen auf mannigfache
Weise X und ft eliminirt werden. So erhält man z. B. aus 14), wenn man
gleich die betreffenden metrischen GrOssen nimmt:
^xbcd.arj irabcx.dfi^ r a&ci .a?iy = f4 : — X: (f* — X),
also: 3 _____ 8, _______ 8 ________
Vxbcd . ati + y abcx .dti = Vabed . xti,
22() Metrische Eigenschaften der cnbischen Ranmcnrren.
welches die projective Verallgemeinerung eines Satzes von Schröter ist
(siehe a. a. 0. S. 298). Die Gleichungen 13) werden wir meistens un-
berücksichtigt lassen, weil sie doch nur eine andere Form Ton 14) dar-
stellen. Im IJebrigen aber in der bisherigen Weise Torgehend, üksaen wir
die Ergebnisse zusammen wie folgt:
Bei jeder oubischen Baumcurve ist, wenn a&cd irgendeines
ihrer Schmiegungstetraeder vorstellt, Ton welchem die den Ecken
d, c, h, a gegenüberliegenden Seitenebenen beziehentlich o, /3,
y^ 8 heissen und die Ecken a und d auf der Curye liegen mögen;
wenn ferner x einen beliebigen Punkt der Curve, 17 eine be-
liebige Schmiegungsebene derselben, X die Curventangente io
x^ Y diejenige in tj bezeichnet:
Vxbcd . atj + Vahcx . dri = Vahcd . «1/,
(Verallgemeinerung eines Satzes von Schröter, a. a. 0. S. 298),
ysinTßyö.'^+ Ysinaßyl.dy =» Ysinaßyö.ly^
3a;bc(l.aij + axcd.hti =* 3 ^xbcd^ati^ahcd.xti^
Ssinjßyd . ^ + sinalyö . /?y = ^ Vsin ^ßyö^ay^sinaßyö . |y ,
Sxbcd . ari — ahxd . cti = 3 Vxbcd . avi . abcd^xif
.yVxbcd.aij — Ka&c«.diy),
dsinißyö.ay-- sinaßiö.yy = SV sinißyd.aysinaßyö^^y^
.{ysin^ßyd.ay— y^sinaßy^.dy)^
axcd bfi + abxd.eti = 3Vxbcd.abcx,abcd.ati.dfi.Xfi^
(Verallgemeinerung eines Satzes von Schröter, a.a.O. S. 300),
sina^yd.ßy + sinaß^d .yy ^ Vsin^ßyd.sinaßyi.sinaßyS.ay.öy.^yt
ferner a. === =- a. == rr==r-
Y mom ab f X mom cdf Y— ymomcd, Xmamab, Y
=Vabcdmom XY,
Amamab^XfHomcd^ Y-^momac, Xmombd, Y
= AVmamab^X^inofncdj Y^abcdmamXY^
SmomabjXmomcd^Y — momad^ Xmofnbc, Y
= iyfnomahfXmomcd, YV abcdmom XY
\ymomab^Xm(>mcd^Y+ Ymomcd^Xmomah,Y),
Von B. Mbhmkb. 221
Smomac^ Xmamhd^ Y—imomady Xmomhc^ T
= 12 rmow «6, Xmomcd^ YVmomcdfXfnomab^ YmomXY.abcdy
3(mamac, Xmomhd^ Y—mambd, Xmomac^ Y)
= AfSmomady Xmombc^ Y VabcdtnomXY
.\Ymomab,Xinomcd, r+ Vmomedf Xmomab, r),
zn welch' letzteren fünf Beziehungen die reeiproken dnrch Yertauschung
Yon a, by c, d mit a bezw. /?, y> A erhalten werden können.
Es ist wieder zu bemerken, dass man specielle, nur für die cubische
Parabel giltige Sätze erhält, wenn man die Schmiegnngsebene tj ins Un-
endliche verlegt, wodurch die Abstände aiy, 6iy, cti^ dfl> ^V ^° Wegfall
kommen und die Bedeutung der Grössen mom X Y u. s« w. sich etwas ändert,
weil 7 ebenfalls ins Unendliche rückt, also dnrch eine Stellung ersetzt
werden muss (vergl. den Schlussparagraphen).
§6.
Die Einführung der Momente in Bezug auf die beliebige Tangente X
der cubischen Baumcurye lässt sich umgehen, wenn man, wie dies
H. Schröter a. a. 0. gethan hat, die Schnittpunkte von X mit den zu den
Punkten a und d gehörigen Schmiegungsebenen abc=^(ic und bcdssi
— wir wollen dieselben x^ und o^ nennen — in Betracht zieht. Da X
proportional [x^x^ ist, so kann bei allen in Bezug auf X homogenen
Gleichungen [x^x^] an Stelle von X treten, wodurch z. B. das äussere Pro-
duct [a2)X] sich in das, dem Inhalt des Tetraeders abx^x^ proportionale
labx^x^ verwandelt. Auf diese Weise folgen z. B. aus den in § 4 ge-
fundenen Beziehungen
mamad,X.bri,cfi = 3mombc, X.ari.dri,
Amamab, Xmomadj X.cri^^ ^momac^ X^bti.dri
die gleichwerthigen
adx^x^ . &i} . C17 c= Sbcx^x^ .ari.dti
und
Aabx^x^ . adXiX2 . cif = Sacx^x^^bti . dijj
welches Verallgemeinerungen Schröter'scher Sätze (a. a. 0. S. 302 und 303)
sind. Natürlich leisten in dem besprochenen Falle zwei beliebige Punkte
der Tangente X dieselben Dienste, wie die ganz speciellen Xi und x^t aber
wir können nach Schröter 's Vorgang auch Sätze aufstellen, bei denen
das nicht zutrifft.
Für die Punkte x^ und x^ kann man die Ausdrücke nehmen:
^ l x^=b + 2kc + X^d.
222 Metrische Eigenschaften der cabischen Baamcnrven.
Denn, weil ^ ,
1 dx
ist, so liegt dieser Punkt jedenfalls auf der znm Punkt x gehörigen Tan-
gente X, und wegen der offenbar yorhandenen Beziehung
auch der Punkt a?|, während andeirerseits der Anblick der Gleichungen 17)
lehrt I dass x^ in der Ebene ahc^ x^ in der Ebene hcd sich befindet
Multiplicirt man die obigen Gleichungen beide mit der Schmi^gnngs-
ebene i^, so ergiebt sich, da nach 9)
igt: [^^] = - [«^^fl
Weiter folgt aus den Gleichungen 17) durch Süssere Multiplication mit
hcd, ead u. s. w.: r , ,t r ^ r i. ^
[ax^cd] = [ahx^d] = 2X[ahci\,
[ahx^d] =■« [ahcx^ == l^[ahcd].
Daher hat man die Proportionen:
[Xibcd][ari] : [ax^cdjlpri} : [abXid][cri] : [aJ)cd][Xii{\
19) = [ax^cd][bri] : [a6fl:2d][ciy] : [abcx^][difi\ : [abcdßlx^ri]
= ^»:~2Af4:A«:(f4-A)^
Femer liefern uns die Gleichungen 8), wenn wir darin [d^o^] statt
X schreiben und 18) benützen:
[cdx^x^][afi}[bri] : [bdXiX^][ari][cri] : [bcXiX^][ari][dri]
: [adx^x^][bri][cri] : [acx,x^][bri][dri\ : [abx^x^] [ci?]M : [abcd][x^fi][x^i{\
= f»* : 2 Afi« : IV* •• 3AV' : 2AV • ^* : (f* - ^)*.
Man kann wieder auf mannigfaltige Art k und jü eliminiren und, weil
die entstehenden Gleichungen homogen sind , ohne Weiteres fQr die Sasseren
Producte Tetraederinhalte bezw. Abstände einführen. Es ergiebt sieh so
folgende neue Beihe Yon Beziehungen:
Wenn irgend eine Tangente einer beliebigen cabischen
Baumcurve die zu den Punkten a und d gehörigen Schmiegangs*
ebenen abc und bcd eines beliebigen Schmiegungstetraederi
abcd derselben in den Punkten x^ und x^ trifft, während i| eine
willkürliche Schmiegungsebene jener Curye bezeichnet, so
ist a. A.:
Von B. Hbhmkb.
223
Xihcd.ati.x^fl SS aXiCd.hfi.Xifiy
ax^cd.bvi.XiTi = abx^d.Cfi.Xitij
ahx^d.Cfi .x^fi = abcXf.dvi.Xifi,
^Xibcd.ahcx^.ari.dfj === axicd.abx^d.bfi.cfi^
^Xibcd.abXid.ati. cti = ax^ccPbif,
^ax^cd.abcxg.bti.dri = abx^cPeti^j
Vxibcd.afi.x^fl — Vabcx^.dfi.Xyti = Vabed.x^ri
(Verallgemeinerang eines Satzes von Schröter, a. a. 0. S. 802),
Vxibcd.afi — Vabx.d.Cfi = Vabcd.Xiti,
Yax^ed.bri— Vabox^.dri = Vabcd.x^rif
2 x^bcd . ari + ax^cd .bfi = 2yxJ>cd,abcd.airi.x^ifi^
2 ax^cd .bfi + abx^d . cri = 2fax^cd,abcd.bifi.x^ri^
axxcd.bri + 2abxid.cifi = —^Vabxid.abcd. cij.iCiiy,
abx^d. Cfi + 2abox2.dfi = —^VabeXft.abcd.dfi-x^ri,
VcdXiX^.ari.bri— Vabx^x^, cri.dri = r aftcd-Äji^ .OJ^iy,
(Verallgemeinerang eines Satzes von Schröter, a. a.0. S. 302),
bdXiX^.ari .dri — acXiX^.bri .dri
= 2YbcXiX^.afi ,dnY abcd . x^vi.x^ri
XVcdx^x^.afi.bfi+Vabx^x^. cti. di^j,
2cdXiX^.afi,bfi — bdx^x^.ari.cti = 2V cdXiX^^abcd.ari^bti^Xiti.Xitiy
bdXiX^.ari.Cfi ~ 2bcXiX^.arf,dri
= 2VcdXiX2>ari.bri VabXiXi^cri .dri .abcd .x^r^^x^r^^
I cdx^x^.ari ,bfi — bcx^x^.ari .dri
==VcdXiXi , ari .briV ab cd . x^Ti . x^rj^V cdXiX^ . ari ,bfi + Vabx^X2 . Cfj , drj^
2cdXiX2-ari.bri — acXiX^.bri.dri
= 2 Vcdxi Xi . a^cd -ati.bfi.Xii], x^ri
.{y cdxix^.ari.bfj + y bcXiO^.afi .dfi + y abXiX^.cti.dfi).
224 Metrische Eigenschaften der cnbischen Ranrocnryen.
Ans jedem der obigen Sätze folgt eine besondere, nur fGLr cubische
Parabeln giltige Beziehung darch Weglassen der auf die Ebene i} besflg-
lieben Abstände (yergl. den Schluss von § 4). Die ersten drei Gleichungen
z. B. ergeben
Xihcd == ax^cd, axicd = abx^d^ abxid ^ abcx^f
und letztere im Verein mit jenen:
arj : 5i/ = 61^ : ciy = ci/ : diy == Xiti : x^fi»
um schliesslich noch die zu den obigen dualistischen Sätze formaliren
zu können I muss man die Yerbindungsebene'n §| und |^ der Tangente
X=^XiX^ mit den Curvenpunkten a und d einführen. Bei Benützung der
früheren Bezeichnungen ist dann z, B.:
sini^ßyd. ay . I^y = sina^^yö . ßy . ^^y, u. b. w.,
Vsin^ißyd.ay — Vsinaß^^ö.yy ^^Vsinaßyd .^ly^ u.s. w.,
fsinyö^i^^.ay.ßy-'Vsinttß^^^iyy.öy = J^^tnajSyd. |,y. ^y, u.8,w.
Mit Hilfe der Gleichungen 4) und 10) könnte übrigens ein Theil aller
dieser Sätze auf eine andere Form gebracht werden, so dass nur Abstände
zwischen Punkten und Ebenen vorkämen; der erste mit seinem reciproken
z. B. auf die folgende:
Xiö .ari ,x^ri. &y = x^y .bff .Xiti^aö,
Ixd.ay .l^y,ßc=- ^iC . ßy . i^y . ad.
§ 7. Erstes TJebertragungsprincip.
Zufolge 11), 9) und 9^) hat man
T-ferir = -fJrÄT = (»» - A)»[a»c«r]-«,
[xd][r,d] [l<f][yd] vt- ' L j •
oder, da nach § 1 [a;ij] = «i; . | a; | . 1 1) | n. s. w. ist,
, xd.t,d.\d\.\d\ ^d.yd.\d\.\5\ ^'^ /L . J .
also:
21) }^ ^% -?^-#i {^-l)P'\d\.\S\.ial>cd\-K
' xö • fid ' sd.yo
Wir bilden nun die betrachtete Baumcurye dritter Ordnung auf eine
gerade Linie ab, indem wir auf letzterer einen Anfangspunkt und die
positive Richtung beliebig wählen und dem zum Parameterwerth it gehöriges
Punkt X der Curve denjenigen Punkt x' der Geraden zuordnen , dessen Ent-
fernung vom Anfangspunkt gleich l ist. Bezeichnet ebenso y das Bild das
zum Parameterwerth jü gehörigen Curvenpunkts y, so ist demnaoh die Eat-
fernung der Bildpunkte x' und y gleich (jü — A). Sieht man d als eineB
Von R. Mbhmkb. 225
festen Punkt der Cnrye an , so erscheinen die Gewichte | d \ und | d | als
Constanten und es wird folglich die Strecke xy den in 21) angegehenen
dritten Wurzeln proportional. Wir haben somit folgendes
1. üebertragungsprincip: Aus jeder homogenen Beziehung
zwischen Strecken einer und derselben Geraden ergiebt sich
ein Satz über die cubische Baumcurye, wenn man statt einer
beliebigen Strecke xy der Geraden den Ausdruck
oder den ihm gleichen
xd . r^d
^ Id.yh
setzti wo X und y zwei beliebige Punkte der Curye, \ und f{
ihre Schmiegungsebenen in diesen Punkten sind, d dagegen
einen willkürlichen festen Punkt der Curve, d die Schmiegungs-
ebene in demselben bezeichnet.
Betrachten wir das einfachste Beispiel für die Anwendung dieses
Princips. Bei n beliebigen Punkten 1, 2, 3,...n einer Geraden ist
12 + 23 + 34+. . + *n: = o.
Dies liefert den Satz:
Sind x^^ ^, 0^3,.. .07^1 d (n + 1) beliebige Punkte einer Baum-
curve dritter Ordnung und £,^ i^^ $8i-*-^"> ^ ^^® zugehörigen
Schmiegungsebenen derselben, so ist:
j/ ^ +^ ^^ +... + // ^-^g" +7y_M_^o.
Durch die vorhin eingeführte Abbildung der Curve dritter Ordnung
auf dine Gerade werden offenbar beide Linien projectiv auf einander be-
zogen, so dass Gleichheit zwischen dem Doppelverhältniss von vier be-
liebigen Paukten x^^ x^, x^^ x^ (oder den zugehörigen Schmiegungsebenen)
der Curve und demjenigen ihrer Bildpunkte besteht. Schreibt man aber
mit Hilfe des gefundenen Debertragungspriucips den Ausdruck hin, welcher
dem Doppelverhältniss von vier Punkten einer Geraden entspricht, so heben
sich darin die auf d und ö bezüglichen Abstände gegenseitig auf und man
erhält für denselben:
Augenscheinlich ist der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen linker
Hand z. B. gleich dem Doppelverhftltniss , welches die Punkte x^ , x^ und
die Schnittpunkte der Geraden x^x^ mit den Ebenen ^, {4 (oder auch die
Verbindungsebenen der Punkte jC, , x^ mit der Schnittlinie von I3 und $4
ZeitBchrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 4. Heft. 15
226 Metrische Eigenschaften der cabischen Banmcnnren.
sowie die Ebenen §3 und I4) zusammen liefern. Wir wollen dasselbe das
Doppelverhältniss der vier Elemente x^x^^^^^ nennen und können dann
folgenden Satz aussprechen:
Das Doppelverhältniss von vier beliebigen Punkten einer
cubischen Baumcurve, oder dasjenige der zugehörigen
Schmiegungsebenen (das heisst das DoppeWerbältniss der vier Ebenen,
durch die jene vier Punkte aus irgend einer Sehne der Curye projiciit
werden, bezw. das DoppeWerhältniss der vier Punkte, in denen jene
Schmiegungsebenen von irgend einer „Achse" — Schnittlinie zweier
Schmiegungsebenen der Curye — geschnitten werden), ist gleich der
Cubikwurzel ans dem Doppelverhftltniss, welches die ersten
beiden Curvenpunkte zusammen mit den Schmiegungsebenen
in den beiden anderen, oder die ersten beiden Schmiegungs-
ebenen zusammen mit den Anschmiegungspunkten der beiden
übrigen bestimmen.*
§ 8. Zweites TJebertragungsprinoip.
Aus den Gleichungen 12) und 8) folgt, wenn man die zuin Punkt d
gehörige Tangente cd der Curve mit D bezeichnet:
— — = =: = (tt— A)* aftcdj"*
[XD][YD] m<mXDfnomYD.\D\^ vr / i j t
oder:
/^— =^^ = ('^ - ^)h^nachä]-\
22)
^ momXJD mom YD
Durch eine ähnliche Betrachtung, wie die im vorhergehenden Par»-
grapbeu angestellte, findet man daher folgendes
* Man kann diesen Satz einfacher und directer beweisen, wenn man dit
Punkte a und d, die ja zwei beliebige Punkte der Curye sind, und zwei be-
liebige andere Punkte x und y dereelben zusammen betrachtet. Durch äussere
Multiplication der Gleichungen
a; = a-f 3X6-f 3i«c + X'd
und
y = a -f 3^6+ 3/[t*c-f ^'(2
mit der Sehne ad der Curve erhält man
[adx] = -3X{[ahd] + X[acd]),
lady] = -S(i([abd] + (i[acd]),
das heisst das Doppelyerhältniss der yier Punkte a, d^ x^ y ist gleich ß : l
Multiplicirt man aber jene Gleichungen mit der Schnittlinie bc der zu den Panktec
a und d gehdrigen Schmiegungsebenen a^^ahc und d^bcd, so kommt
[6ca;] = [a5c] + Z«[&c?d],
lbcy] = [abc]+ii'[bcd],
wonach das 'durch die Elemente a^ d^ x,y bestimmte Doppel verh<niss den Wertb
fi» : 1» hat.
Von B. Mbbmkb. 227
2. üebertragnngsprinoip: Ans jeder homogenen B.eziehnng
zwischen Strecken eioer nnd derselben Geraden ergiebt sich
ein Satz über die cnbische RanmcurTe, wenn man statt einer
beliebigen Strecke der Geraden den Ausdruck
4i
f:
momXT
mom XD mom TD
setzt, wo X und Y zwei beliebige Tangenten der Curye sind
und D eine willkfirliche feste Tangente derselben bezeichnet.
Dabei hat man, ^ie leicht einzusehen ist, den zu zwei Tangenten-
paaren Zr und X^ 7^ gehörigen vierten Wurzeln dann und blos dann gleiches
Vorzeichen zu geben, wenn eine veränderliche Tangente, die stetig und
ohne umzukehren an der Curve so hingleitet, dass sie aus der Lage X in
die Lage T ohne üeberschreitung der Lage D kommt, durch dieselbe Be-
wegung auch aus der Lage Xi in die Lage F| gelangen kann, ohne durch
die Lage D hindurchgehen zu müssen.
Benützen wir als Beispiel wieder die einfachste Streckenbeziehung , zu
der n Punkte einer Geraden Anlass geben. Wir erhalten den Satz:
WennZ^, X,, X3, . . . Z», 2> (n + 1) beliebige Tangenten einer
Baumcurve dritter Ordnung yorstellen, so ist
1/ mom Z| X^ , 7/ mamX^X^
^ «MAMA 7. 71 «M/MM 7 7) ^ «MAfn 7- n«n/im
momXtDmamX^D ^ momX^DmomX^D
^j/ momXnX, ^^
' momXnDmomX^D
Ist die Streckengleichung» von der man ausgeht» in Bezug auf die
Endpunkte der darin vorkommenden Strecken homogen, so werden in dem
SatZ| den das besprochene üebertragungsprincip liefert, die Momente in
Bezug auf die feste Tangente D herausfalleu« So ergiebt z. B. die bekannte
Beziehung 12.34 + 13.41+14.23 = 0
zwischen vier beliebigen Punkten 1, 2, 3, 4 einer Geraden den Satz:
Zwischen vier beliebigen Tangenten X|, X^, Z3, X^ einer
cubischen Baumcurve besteht die Beziehung
y momX^ X^mom Z3Z4 + y mom X^X^ momX^X^
+ymomXiX^ mom X^ = 0.
(Dieser Satz kann übrigens leicht auf den vorhergehenden zurückgeführt
werden und ist eigentlich schon in § 5 vorgekommen.)
Endlich erhalten wir noch (vergl. den Schluss von § 7) den Satz:
Das Orassmann'sche Doppelverhäitniss von vier beliebigen
Tangenten einer Baumcurve dritter Ordnung ist gleich der
16*
228 Metrische EigensohAften der cnbigchen BaamourTen.
vierten Potenz des Doppelverhältnisses der xugehörigen Be>
rttbrungspunkte (oder der vier Schmiegungsebenen, in welcben
jene Tangenten liegen).*
§ 9. Drittes Uebertragongsprincip.
Wenn x und y zwei beliebige, den Parameter wertben A und (jl ent-
sprechende Punkte der untersuchten Baumcurve dritter Ordnung sind, so
wollen wir den sechsfachen Inhalt des zur Sehne xy gehörigen Schmiegongs-
tetraeders der Curve mit V{xy) bezeichnen. Um .zunächst für die beiden
noch nicht bekannten Ecken dieses Tetraeders^ die wir Xß und y^ nennen
wollen, eine Darstellung zu finden, schlagen wir folgenden Weg ein. Jeder
Punkt der in x an die Curve gelegten Tangente X lässt sich in der Form
dx
schreiben. Damit dieser Punkt in der zum Punkt y gehörigen Sohmiegvngs-
ebene ri liegt, muss sein Süsseres Product mit ti Yerschwinden, lUso
sein. Nach 11) ist aber r ^ , ,Nor x ^i
also:
mithin:
[äf^]^^t^^^ = -^^'*^^^'t^^'^^'
Ebenso findet man fUr den Schnittpunkt der zum Punkt x gehörigen
Schmiegungsebene | mit der Curventangente Y im Punkt y den Ausdruck:
* Zu dem von Grassmann aufgestellten Doppelverhältniss von vier la
einander windschiefen Geraden Tergleiche man die interessanten Ausführimgeii
von E. Study in Grassmann's gesammelten Werken Band 3 Theil 1 S. 409
(Anmerkung zu S. 272). Man beweist übrigens den obigen Satz am einfadislefi
so: Wie wir in der Anmerkung auf S. 226r sahen, ist das DoppelTerhäitnias der
vier beliebigen Curvenpunkte a, d, x^ y gleich/»: X. Durch äussere Multiplication
der Gleichung 2) und der entsprechenden fQr Y mit den zu den Punkten a und
d gehörigen Tangenten A=.[ah] und D = [cä\ erhält man aber
[AX] = l*[ahcd] , \XD] = \ahcd],
[AY]=:it,^[ahcd\, [YD]=^[ahcd\,
also ist das Doppelverhältniss der vier Geraden A^ D, X, F, nämlich:
[AX] . [AY] _ momAX, momÄY
[XD] ' [YD] momXD^ momYD'
gleich (i^ : X*. Wie ich nachträglich bemerkt habe, hat Sturm den frag^licbcB
Satz, als von Voss herrOhrend, in etwas anderer Form schon in „Crelle's Journal
für die reine und angewandte Mathematik** Bd. 86 S. 130 (1879) miigetheill.
Von B. MsHiiEfi. 229
mit ^_
Q =■
3
Das Sassere Prodact der Ecken des fraglichen Scbmiegangstetraeders
wird daher
r*«;.wy] = [*(« + P ^) (y+ «^)y] = - f4*^«'lf]'
also, weil nach § 2
nnd nach 12) „ i>4r t. ji
ist,
[xi^ßyxy] = (/* - A)«[a&cd]-
Bestimmen wir noch die äusseren Prodacte der Punkte Xfk und yx mit
der Schmiegnngsebene d. Nach 9') ist
folglich
nnd daher r »i r »i r ^ -.i
Denselben Werth bat offenbar [yx^\
Also wird
^j^M^ ^J!y)_ i^-inahcd]-\
oder j
23) 1/ - -^^J:JL ='(^-i)f|a|«[al>cd3-».
r xö . XßO .yio .yo
Wir erhalten somit (vergl. die beiden vorhergebenden Paragraphen)
folgendes
3. üebertragnngsprincip: Aas jeder homogenen Beziehung
zwischen Strecken einer und derselben Geraden ergiebt sich
ein Satz über die cnbische Baumearve, wenn man statt einer
beliebigen Strecke der Geraden die sechste Wurzel aus dem
Inhalt eines beliebigen Schmiegungstetraeders der Curve,
dividirt durch die sechste Wurzel aus dem Product der Ent-
fernungen der Ecken dieses Tetraeders von einer willkarlichen
festen Sohmiegungsebene der Gurve, oder dualistisch die
sechste Wurzel aus dem Sinus des Schmiegungstetraeders,
dividirt durch die sechste Wurzel aus dem Product der Ent-
fernungen der Seitenebenen des Tetraeders von einem will-
kürlichen festen Punkt der Gurve, setzt.
230 Metrische Eigenschaften der cubischen Baumcuryen.
üeber die Vorzeichen der fraglichen sechsten Wurzeln Ifisst sich eine
ähnliche Regel, wie in § 8, aufstellen.
Wir beschränken uns auf ein Beispiel, das dem ersten der in d»
§§ 7 und 8 vorgeführten entspricht.
Sind Xiy x^j XQ.,.Xuy d (n + 1) beliebige Punkte einer Baum-
curve dritter Ordnung und g^, §,, Sj...!«, 8 die zugehörigen
Schmiegungsebenen, bezeichnet ferner Fiti resp. jSswa/ den sechs-
fachen Inhalt resp. den Sinus des zur Sehne XkXi (oder dem
Schmiegungsstrahl ^^) gehörigen Schmiegungstetraede rs;
Xki resp. ^ki den Schnittpunkt der Curventangente in xm mit
der Schmiegungsebene ^ resp. die Verbindungsebene jener
Tangente mit dem Punkt X/, so ist
i7=^C= + v'=^c= + ■ •
r X^Ö.Xi^Ö.X^iÖ.X^S V X^Ö.Xf^Ö ,X^2^'^i^
+v-—:-- 0-
Y Xn^ >Xti\0 ,XitiÖ • XgÖ
i/~_^^i I r/ g*^!? I
y ^id.it,d.i^id,i,d r ^^d.i^d.^d.^^d
y iud.inld.^ind.i,d
Bei der cubischen Parabel, welche unter ihren Schmiegungsebenen die
unendlich ferne Ebene hat, kann man letztere statt der beliebigen
Schmiegungsebene i nehmen, wodurch bei der Anwendung des ersten Theils
des obigen üebertragungsprincips die Entfernungen der Ecken der Schmiegongs-
tetraeder von d in Wegfall kommen (yergl. den Schluss von § 4). Man
erhält so das specielle üebertragungsprincip, das Gino Loria in seiner,
in der Einleitung angefahrten Abhandlung ausgesprochen hat, und welches
auch leicht aus einem Satz von Schröter (a. a. 0. S. 308) folgt
§10.
üeber die Inhalte bezw. Sin der Schmiegungstetraeder einer cnbisehen
Baumcurve sollen jetzt noch einige Sätze abgeleitet werden, die zum Theil in
der besonderen Form, die man ihnen bei der cubischen Parabel geben hann» in
Schröter's mehrfach erwähnter Arbeit (a. a. 0. auf S. 307) vorkommen.
Wir dürfen annehmen, die Parametervertheilung auf der Curve sei so vor-
genommen, dass irgend einem bestimmten Werthe des Parameters, etwa
Isss^l^ ein willkürlicher Punkt e der Curve entspricht. Die Tai^fente bemw«
Schmiegungsebene in diesem Punkt heisse E bezw. s, (Solche willkfirlicfae,
aber als fest betrachteten Elemente kamen schon in den früheren Para-
graphen vor; in den §§7—9 waren es der Punkt d mit der Tangente D
Von B. Mehmkb. 231
und der Schmiegungsebene d). Zur Vereinfachung des sprachlichen Aus-
drucks werden wir einige Benennungen anwenden, die bisher schon mit
Nutzen hätten gebraucht werden können, unter der reducirten Ent-
fernung zweier Punkte oder eines Punktes von einer Ebenem dem redu-
cirten sin eines Flächenwinkels, dem reducirten Moment zweier
Geraden, dem reducirten Inhalt eines Tetraeders (als bestimmt
durch seine vier Ecken), dem reducirten Sin eines Tetrae.ders (als
bestimmt durch seine vier Seitenebenen) u. s. w. wollen wir den Quotienten
verstehen, der zum Zähler die betreffende metrische Grösse hat, zum Nenner
dagegen das Product der Entfernungen der jene Grösse bestimmenden Ele-
mente — wenn es Punkte oder Ebenen sind — vom festen Punkt e bozw.
der festen Schmiegungsebene e, oder das Product der Momente in Bezug
auf die feste Tangente E, wenn es Geraden sind. Es mögen die reducirten
metrischen Grössen durch Vorsetzen des Buchstabens 9i bezeichnet werden.
Hiernach ist z. B. die reducirte Entfernung des Punktes x von der Ebene 17
S«^= —1- >
xs ,rie
das reducirte Moment der Geraden X und T
9imoniZr =
momXY
momXEmomYE
der reducirte sechsfache Inhalt des Tetraeders ahed
(o , , ahcd
gta6cd= y
u. s. w. (Wenn c mit der unendlich fernen Ebene zusammenföllt , gehen
die reducirten Entfernungen von Punkten und die reducirten Inhalte in die
gewöhnlichen über.) Bei der oben gemachten Annahme, dass den festen
Elementen e^ JE7, e der Parameterwerth 1 = — 1 entspreche, erhält man
aus den Gleichungen 11), 12) und 9):
24) [x,] = [le] = - (1 + lf[alcd\,
25) [Z^] = (l+A)*[a&cdJ,
26) [aO = [li] = [cb] = [dB] = - \ahcd\.
Seien x und y die Punkte, in welchen die Schmiegungsebenen § und
1} den beliebigen i^Schmiegungsstrahl" oder die „ Achse ^ hc (die Schnitt-
linie der beiden Schmiegungsebenen o und S) schneiden. Man kann setzen
x=h + Xc^ y==& + j*c,
denn es ist z. B.
[^'a = [H] + A[cS] = (- i* + X^)[ahcä] = 0
(siehe Gleichung 9), also liegt in der That x' in £. Wegen 26) erhält man
[xb] = [ht] + l[cz] = - (1 +A)[a6cd],
\y,]^^{\+^)[ahcdl
232 Metrische Eigenschaften der cuhiachen Baumcarven.
Ferner ist r ' n / i\ri. i
Man mnltiplicire diese Gleichung mit einem Feld F (äasseren Prodact
zweier Strecken), dessen Inhalt 1 und dessen Stellung senkrecht zur Ge-
raden hc oder xy ist, und dividire dann durch das Prodact der beiden
vorhergehenden Gleichungen. Es kommt
[xy'F] ^ iy _ ^ f*~-^ rft.pii
Mb'O Tl.ie'Ätl' (1 + A)(1 + ^)L^'^J'
oder
xy fi — A
Dualistisch dazu ist
^'' ^'^^° W° c+wVrt '^'■^•'i'i'
WO ^ und 97' die beiden Ebenen bezeichnen, durch welche die Carren-
punkte x und y aus der beliebigen Sehne ad oder ßy der Cnrye projicirt
werden (und F' ein zu ad senkrechtes Feld vom Inhalt 1 Yorstellt).
Da £ an Stelle der in § 10 benützten festen Schmiegungsebene 6 ge-
treten ist, müssen jetzt statt [Xfi6'\ und [yxS] die äusseren Producta [x^ut]
und [yxB\ berechnet werden. Nun ist nach 24)
folglich. [*o=-(i+i)n«^««*i.
'""'* [x,.]= [(a. + ^*^).] = -(l + i)'(l+^)[«6cdJ
und entsprechend ^^^^^ ^ _ ^^ ^ ^^^^ ^ ^^,^^^^^
In § 9 wurde gefunden
[^Xf^yiV] = 0* — A/[a6cei].
Daher ist
[xx^yiy] ^ xx^yxy ^ (f^-^Y r , ^.,
mithin der reducirte sechsfache Inhalt des zur Sehne xy gehörigen Schmie-
gungstetraeders
xe.x^E,yxE.ys K^-r^) U"+-^;
Einen entsprechenden Ausdruck giebt es für den reducirten Sinus eines
Schmiegungstetraeders, nämlich
28-) 8tSm(|,) = (i^%7(i^^^), kr Wyfl-'.
Von R. Mbhmkb. 233
Durch Vergleicbnng von 27) und 28) ergiebt sich zunächst folgender
Satz (vergl. den besonderen Fall bei Schröter a. a. 0. S. 308):
Die bezüglich einer willkürlichen festen Schmiegungs-
ebene einer cnbischen Raumcurve reducirten Inhalte der zu
zwei beliebigen Sehnen dieser Curve gehörigen Schmiegungs*
tetraeder verhalten sich zu einander, wie die sechsten Potenzen
der reducirten Längen der beiden Strecken, welche die
Schmiegungsebenen in den Endpunkten je einer Sehne auf
einem beliebig gewählten Schmiegungsstrahl (der Schnittlinie
irgend zweier Schmiegungsebenen der Curve) ausschneiden.
Auf Omnd von 27') und 28') können wir hinzufügen, dass die frag-
lichen reducirten Inhalte sich auch verhalten wie die sechsten Potenzen
der sin der Flächenwinkel, durch welche die beiden Sehnen, zu welchen die
Schmiegungstetraeder gehören, aus einer beliebig gewählten Sehne der Curve
projicirt werden, sowie, dass die reducirten iSin jener Schmiegungstetraeder
in demselben Verhältniss stehen.
Die Gleichungen 11), 12), 24), 25) liefern uns femer:
[re][r,e] " [|c][ye] " (1 + i)'(l + f»)" ^ ^ '
[xmTE] - (1 + i)'(l + f,y ^""""^ '
oder:
29) mlTfi^mv^ (i^^y(/?^^)s \e\.\e\.[abcd]-\.
30) »l «om Zr = (1+1)7(1^^^^)4 I ^ I* [«&«<»] -'•
Sonach besteht noch, wie die Gegenüberstellung von 28) und 30)
bezw. 29) zeigt y der weitere Satz:
Die Quadrate der reducirten Inhalte (wie auch der redu-
cirten Sinus) der Schmiegungstetraeder, die zu zwei beliebigen
Sehnen einer cnbischen Raumcurve gehören, verhalten sich
wie die dritten Potenzen der reducirten Momente der Tangenten
in den Endpunkten je einer Sehne, und wie die vierten Potenzen
der reducirten Entfernungen eines Endpunktes je einer Sehne
Ton der Schmiegungsebene im anderen Endpunkt.
§11.
H. Schröter hat a. a. 0. S. 305 den Satz bewiesen:
Irgend vier Punkte einer cnbischen Parabel sind die
Ecken eines derselben einbeschriebenen Tetraeders; die vier
Schmiegungsebenen in diesen Punkten bilden ein zugehöriges,
der cnbischen Parabel umschriebenes Tetraeder; das Volumen
234 Metrische Eigenschaften der cnbischen Baumcnryen*
des einbeschriebenen Tetraeders ist das nennfache von dem
Volumen des umschriebenen«
Nach allem Vorhergegangenen, man vergleiche namentlich § 10,
dürfen wir bestimmt vermuthen, dass dieser Satz auch ftlr beliebige
Baumcurven dritter Ordnung gilt, vorausgesetzt, dass man statt der Raum-
inhalte selbst die bezüglich einer beliebigen Schmiegungsebene der Cnrve
redncirten Rauminhalte nimmt. Die folgende Untersuchung wird das
bestätigen und ausser dem dualistischen Satze auch noch eine neue Eigen-
schaft der cnbischen Parabel ergeben. Wir nehmen zu £cken dee ein-
geschriebenen Tetraeders die zu den Parameterwerthen 0, A, ft, oo ge-
hörigen Cnrvenpunkte a, x, y, d, von welchen der erste und leUte ja
auch als willkürlich zu betrachten sind. Fasst man das äussere Product
der Gleichungen: x^a+3Xh + Sk^c + }?d,
y = a+3f*ft + 3fA«c+fA»(«
zwischen die Factoren a und d, so foUen die a nnd d enthaltenden Glieder
weg und es kommt |-^^y^j ^ g;^^^^ _ k)[ahcdl
Daher ist:
Wir haben jetzt die Ecken des durch die vier Schmiegungsebenen O;
I, fli ö bestimmten Schmiegungstetraeders auszudrücken. Zwei derselben
bestehen in den Schnittpunkten x und y des Schmiegungsstrahles ad oder
hc mit $ und f^, für welche in § 10 gefunden wurde:
x^h + Xc, y=h + iiCy
[xi] = - (1 + X)[ahcd], [ye] = - (1 + (i)[ahcd]
Die beiden übrigen Ecken — sie mOgen a und d^ heissen — liegen
auf der Schnittlinie von $ mit ri und ausserdem der erste in der Ebene
a B3 a&c, der andere in der Ebene 4 = (cd , kOnnen also durch Oleichangen
der Form: a'==a + Qh + ac, d'=h + TC + vd
dargestellt werden. Drückt man mit Hilfe der Oleichungen 9) die ftusseren
Producte der Punkte a und cT mit den Ebenen i und ij aus nnd setzt
dieselben gleich Null, so kommt nach Weglassung des bekanntlich
von Null verschiedenen Factors [ah cd]:
X^-QX^+aX=.Oy (i^-Q(i^+iS(i = 0,
-X'^+tX - t; = 0, -fi*+T|*~ t; = 0.
Hieraus ergiebt sich
Von B. Mehmkb. 235
Somit hat man
[axyd] = X(i((i — X)[ahcd]
und wegen 26)
[at] = M = - (1 + i)(l + t^)[abcd].
Daher wird
Folglich ist in der That
fftaxyd^dmaxyct.
Der reciproke Satz bedarf nach § 2 keines besonderen Beweises. Er
Iftsst sich folgendermassen aussprechen :
Der bezüglich einer beliebigen Schmiegangsebene einer
cabischen Banmcarve reducirte Sinns irgend eines der Curve
umschriebenen Tetraeders ist das neunfache von dem redu-
cirten Sinusdesjenigen der Curveeinbeschriebenen Tetraeders,
dessen Ecken in den Anschmiegungspnnkten der Seitenebenen
des ersten Tetraeders bestehen.
Gtehen wir zu dem ersten Satz zurück und wenden ihn auf eine
cubische Parabel an, so ist also, wenn 6 eine beliebige Schmiegungsebene
bezeichnet, T^^Ta »'^'Jx
' axya ^ ax y a
as .XB.ys. de as x'b. ys . d^e
aber andererseits nach dem SchrOter*schen Satz (der sich hieraus ergiebt,
wenn man § die unendlich ferne Schmiegungsebene der cubischen Parabel
bedeuten lässt), ^^ ^ 97?7^.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt
as. xe ,ye . de s= ae.xB. y e^de,
oder in Worten:
Steht ein beliebiges, einer cubischen Parabel einbeschrie-
benes Tetraeder zu einem derselben umschriebenen Tetraeder
in der Beziehung, dass die Ecken des ersteren die Anschmieg-
ungspunkte der Seitenebenen des letzteren sind, so haben die
Producte der Entfernungen der Ecken dea einen und des an-
deren Tetraeders von irgend einer Schmiegungsebene der cubi-
achen Parabel beide denselben Werth«
Wir wollen jetzt noch den reducirten Inhalt eines beliebigen, einer
allgemeinen cubischen Banmcurve einbeschriebenen Tetraeders berechnen,
dessen Ecken a?|, x^^ x^, x^ heissen und zu den Werthen X|, A,, A,, l^ des
Parameters gehören mögen. Der Einfachheit wegen lassen wir die
Schmiegungsebene e jetzt mit d zusammenfallen. Es ist dann
xi= a + iXib + 3A«,c + A^(J, (t = 1, 2, 3, 4)
also:
236 Metrische Eigenschaften der cnbischen RanmcorTen.
[x^x^Xj^x^] = 9
1 Aj X\ l\
1 A3 X 3 A3
1 It X\ i»4
folglich [siehe 9')]:
^^) l Xid.x^S.x^d.x^d
I =9(A,-;,)(A,~A3)(X,~A,)(X,-A3)(X,~A,XA3-i,)|^|na6ca]-'.
Der sechsfache Inhalt des znr Sehne XtXk gehörigen Schmiegnogs-
tetraeders werde mit Vik bezeichnet. Man bat (siehe § 9)
Daher ist «F» = (i*- WVI^[«&«fl-».
(I^i^wi) = »'".» • «^18 • «^u ■ ^y^ ' ^^u • 81 F-«,
das heisst:
Die sechste Potenz des durch nenn getheilten redncirten
Inhalts eines beliebigen^ einer cnbischen Baumcarve ein-
beschriebenen Tetraeders ist gleich dem Prodnct ans den re*
dncirten Inhalten der zn den Kanten dieses Tetraeders gehöriges
Schmiegungstetraeder der Cnrve.
(Verallgemeiuerang eines Satzes von Schröter a. a. 0. S. 308.)
Den reciproken Satz zu formnliren, kann dem Leser ttberlasses
bleiben.
§12.
Es finden sich in der schon wiederholt angefahrten Abhandlang toh
Schröter (a. a. 0. S. 314 — 318) anch einige (zum Theil von Hnrwits
herrührende) Sfttze über Inhalte npn Körpern, zu deren Begrenzung
Stücken der Tangentenfläche einer cubischen Parabel, oder Stücken tod
Kegelflftchen« welche eine cubische Parabel zur Leitlinie haben , gehören.
Ohne die in Betracht kommenden metrischen Eigenschaften der Collineationen
genauer zu untersuchen, können wir doch, auf die Ergebnisse der letzten
Paragraphen gestützt, die Regel entwickeln, nach welcher die projectite
Verallgemeinerung derartiger Sätze vorzunehmen ist. Es hat sich gezeigt,
dass bei der projectiven Verallgemeinerung von Sfitzen über eine cubische
Parabel an Stelle des Inhalts eines Tetraeders der „reducirte* Inhalt tritt,
das heisst der Quotient aus dem Inhalt und dem Product der Entfernungen
der Ecken des Tetraeders von einer willkürlichen Schmiegungsebene ^ der
Raumcurve dritter Ordnung allgemeinster Art, welche die Stelle der
cubischen Parabel einnimmt. Handelt es sich um einen beliebig begrenztei
Körper , so wird man denselben in tetraedrische Elemente zerlegen. D«ikt
Von B. Mbhmkb. 237
man aich ein jedes dieser Elemente mit einer Masse versehen, die der
vierten Potenz der Enfernung eines mittleren seiner Pankte von der
Schmiegungsebene b umgekehrt proportional ist, so hat man offenbar beim
Uebergang von der cnbischen Parabel zur allgemeinsten cabischen Banm-
curve die gesammte Masfie des Körpers statt seines Inhaltes einzuführen.
Die fraglichen Sätze von Hurwitz und Schröter nehmen dann folgende
Form an:
1. Bezeichnet ahcd irgend ein Schmiegungstetraeder einer
beliebigen cubischen Baumcurve, von welchem die Ecken a
und d auf der Curve liegen, so begrenzen die Sohmiegungs-
ebenen al>c und hcd nebst den Stücken von Kegelflächen dritter
Ordnung, durch welche der Curvenbogen ad aus den Ecken
b und c projicirt wird, einen Körper, dessen Masse ein Zehntel
von der Masse des Schmiegungstetraeders beträgt, voraus-
gesetzt, dass man jedem Element dieser Körper eine Masse
ertheilt, die der vierten Potenz der Entfernung eines mitt-
leren seiner Punkte von einer willkürlichen Schmiegungs-
ebene s der Curve umgekehrt proportional ist.*
2. Zieht man von aundd nach sämmtlichen zwischenliegenden
Punkten der cubischen Baumcurve Strahlen, so schliessen die
erhaltenen Kegelstücken einen Körper ein, dessen Masse [bei
derselben Voraussetzung über die Massen vertheilung wie unter 1)] drei
Zehntel von der Masse des Schmiegungstetraeders ahcd ist.
3. Die geradlinige abwickelbare Fläche vierter Ordnung»
welche von sämmtlichen Tangenten der cubischen Baumcurve
gebildet wird, theilt das Schmiegungstetraeder ahcd in zwei
solche Stücken, deren Massen [bei der unter 1) getroffenen Festsetzung
über die Massenvertheilung] sich zu einander verhalten, wie 29: 1,
wobei das Stück mit der grösseren Masse an der Kante ad liegt.
um vorstehende Sätze direct zu beweisen, berechnen wir zuerst die
Masse des Schmiegungstetraeders ahcd. Wir denken uns die Parameter-
vertheilnng auf der Curve so vorgenommen, dass den positiven Werthen
des Parameters l die Punkte des zwischen a und d innerhalb des genannten
Tetraeders verlaufenden Curvenbogens entsprechen. Ein beliebiger Punkt e
innerhalb jenes Tetraeders ist dann durch
0 =^ a + u{h " ä) + t?(c— a) + w{d'-a)
mit der Beschränkung /% ^ . . ^ h
dargestellt. Durch drei Schaaren von Ebenen, welche durch je zwei der
* Will man das Auftreten unendlich grosser Massen vermeiden, so muss die
Schmiegungsebene e naturlich so gewählt werden, dass sie die betrachteten Körper
nicht schneidet.
238 Metrische EigeDSchaften der cnbischen BanmcurTeii.
drei Punkte (5 — a), (c — a), (d — a) gehen, zerlegen wir das Tetraeder
in (unregelm&ssig hezaedrische) Elemente. Den Inhalt des an den Paukt i
stossenden Elementes kann man nnter Vernachlässigung unendlich kleiner
Grössen höherer Ordnung gleich dem sechs&chen Inhalt des Tetraedsn
mit den Ecken 0^ jef + ^-dt*, 0 + ~dVf 5 + 5— die, das heisst gleich
(/U ov oto
r a^ a^ ^1
L au dv dw\
dudvdfo oder —, — ^r^dudvdw
setzen. Daher ist, wenn die Masse dieses Elementes mit dM beseichnet
und die specifische Masse gleich 1 genommen wird:
,-- [abcd] _, , , labcd].\t\* ^ , ,
dM=i-i= —dudvdw = = — '—'—'-dudvdie
ei*\t\* ««1*1*1 «I*
oder weil [rergl. 26)] [et] = [ae] = [W\ = [et] = [dt] = - [abeä\,
\ahed\ . I « I'
__ — i-""'"'J -1*1 — dvtdvdw.
[«0[6*][«][d«] *"'*'"*«'•
Folglich hat man, weil das über die fraglichen Werthe von i«, r, ff
erstreckte dreifache Integral von dudvdw gleich 1/6 ist, fttr die Mane
des ganzen Tetraeders ahcd:
M(abcd) = i_Mf^LilJ!_ ^ i __ j^ _,
6 [a6][6£][ce][d£] ^ as .hs . ce . de'
ein nach dem Früheren allerdings selbstverstftudliches Ergebniss.
Sei nun x ein beliebiger, zum Parameterwerth l gehöriger Punkt dei
Cunrenbogens ad, dann bildet das Tetraeder mit den Ecken
dx
D, c, X, X + 'TTdl
ak
ein Element des im Satz unter 1) beschriebenen Körpers. Das Verhftltaiss
der Masse dieses Elementes zur Masse des Tetraeders ah cd hat (wegen
hex(x + ^äl\\ = r^««^]^^ = 3[o6cd]A«dA,
[xe] = (1 + lyiahcd], [üb] = [he] = - [ahcd])
den Werth 3A*dil
Da jedoch /* l'dk _ 1
./ (1 + ly 30
ist, so wird in der That die Masse des betrachteten Körpers gleich jrzM{ahcdi-
Von R. Mbhmkb« 239
Von dem nnter 2) namhaft gemachten EGrper bildet das Tetraeder mit
den Ecken:
dx
a, X, x + — di, d
ein Element. Da nnn
^^ [«£] = [bt] = [et] = [dB]
["PM'"m]
ist, so hat dieser Körper, ganz der Behauptung entsprechend, eine dreimal
so grosse Masse als der im Satz unter 1) vorkommende.
Die Schnittpunkte einer beliebigen Tangente X der cubischen Baum-
curve mit den Schmiegungsebenen ahc und hcd sollen wie früher x^ und
X2 genannt werden. Ferner mögen die Schmiegungsebene g und die ihr
unendlich benachbarte £ + T7^^f welche sich beide in der Tangente X schnei-
, dx
den , die Kante hc in x und ^' + -jr ^^ treffen. Wenn k yon 0 bis 00 wächst,
oder der Berührungspunkt x der Tangente X von a bis d fortschreitet, so
setzen die verschiedenen Lagen des unendlich schmalen Tetraeders mit den
, , dx
Ecken x^^ o?,, Xy ^H-^rrdtA einen Körper zusammen, der durch die
Schmiegungsebenen ahc und bcd^ sowie die Tangentenflftche der Curve be-
grenzt wird (vergl. Schröter a. a. 0. S. 317). Nun ist zufolge 17)
Xi = a + 2kh + XH, a^=6-f 2Ac + A«(«
und nach §10 x^b + lc,
»1«^ dx
und somit
^=^'
|^ajja:,a:'^fl?' +^dAjJ = j^aJiflrarc'^J = A«[a6c(J].
Ferner erhält man mit Hilfe von 26):
[x,e] = [x,b] = - (1 + xy[abcd], [xe] = - (1 + k)[ahcd].
Daher ist die Masse des in Bede stehenden unendlich schmalen
Tetraeders gleich j^^^^
und folglich die gesammte Masse des oben genannten Körpers ^^M (ah cd'),
vras zu beweisen war.
Die zu den obigen dualistischen Sätze würden sich nicht ohne Ein-
fabrung neuer geometrischer Begriffe formuliren lassen, weshalb hier von
deren weiterer Verfolgung Abstand genommen werden soll.
240 Metrische Eigensobaften der oabischen Raumcurren.
§13.
Es wurde einigemal des besonderen Falles gedacht, in welchem eine
SchmieguDgsebene der cubischen Raumcurve anendlich fem liegt, die Carve
also eine cubisehe Parabel ist. Auch ohne eine besondere Beschaffenheit
der Curve vorauszusetzen , kann man vielen der aufgestellten Sfttze dadureh
eine besondere Form geben, dass man einzelne der darin vorkommenden
Punkte im Unendlichen annimmt. Um nicht zu weitläufig zu werden, wollen
wir uns auf einige kurze Andeutungen darüber beschränken ; für den Kenner
der Grassmann'schen Methoden versteht es sich ohnehin von selbst, wie
solche Fälle zu behandeln sind.
Ist ein Punkt p in Unendliche gerückt, so kann derselbe nach Grass-
mann durch eine nach ihm gerichtete Strecke ^ ersetzt werden. Da es
sich hier um lauter homogene Gleichungen handelt, so dürfen wir je»' die
Länge 1 beilegen. Es tritt dann an die Stelle der Entfernung pe des
Punktes j) von irgend einer Ebene c (vom Gewicht 1) der metrische Werth
des äusseren Products [p'e], welcher gleich sinp'sj das heisst gleich dem
sin des Winkels ist, den p und c mit einander bilden. Nehmen wir z. B.
von der ersten Gleichungsreihe des Satzes in § 3 blos das erste and letzte
Glied, was die Gleichung
a9 .d^. xa + a^, da .x9^0
liefert*, und verlegen wir die drei Gurvenpunkte a^ d^ x ins Unendliche,
80 entsteht (bei Veränderung der Buchstaben) folgender Satz:
Sind die Strecken aj, a,, 03 den Asymptoten einer cubischen
Hjperbel parallel und bezeichnet er,, a,, a^ die zugehörigen
Asjmptotenebenen, 7y^ den Neigungswinkel von a< gegen et,
so ist . . . , . . . ^
sina^a^ 9%n a^ci^stn a^a^ + 8tnaia^stna^a^8ma^a^=: 0.
Eine unendlich ferne Gerade Cr kann man durch ein Feld Q' von be-
stinamter Stellung ersetzen, dessen Flächeninhalt gleich 1 angenommen
werden mag. Wenn dann H eine endliche Gerade (vom Gewicht 1) be-
zeichnet, so ist statt des bedeutungslos gewordenen Ausdrucks momGH
der metrische Werth des äusseren Products [ff H^^ das heisst smQ'B,
der sin des durch die Stellung von G' und die Richtung von H bestimmten
Winkels, zu nehmen; ebenso statt mompq^ G der metrische Werth des
äusseren Products [p^Cr], das heisst die Länge der Projection der Strecke
pq auf eine zur Stellung von Q-' senkrechte Gerade, oder» was dasselbe ist,
die Differenz der Entfernungen der Punkte p und q von einer die Stellasg
* Dieser Satz könnte übrigens leicht unmittelbar aus der Thateache ab-
geleitet werden, dass je drei SchmiegungsebeDen einer cubischen Baumcurve sic^
in einem Punkte der Verbindungsebene ihrer Anschmiegungspunkte echneideD, also
der folgende Satz daraus, dass die Asymptotenebenen einer cubischen Hyperb^
ein Prisma bilden.
Von B. Mbhmee. 241
von Or besitzenden Ebene. So können wir z. B. in der dritten Gleichangs-
reihe des Satzes in § 3, nftmlich:
12moma&, Xn^mcA^ X^Smomac, Xmomhä, X
l = Amamady XmcmbCj X,
die Annahme machen , dass X die unendlich ferne Tangente einer cubischen
Parabel vorstelle, und erhalten dann den Satz:
Ist ahcd ein beliebiges Schm^egungstetraeder einer cubi-
schen Parabel und bedeuten 5, 5, Cy d die Entfernungen der
Ecken dieses Tetraeders von einer Ebene mit Achsenstellung (das
heisst einer Ebene, deren unendlich ferne Gerade mit der unendlich fernen
Tangente der Curve zusammenföUt) , so hat man:
12(i- 6)(c- d) = 3(a- c)(6-d) = 4(ä-d)(6 - c).
Zeitflchrift f. Maihemaiik n. Physik. 40 Jahrg. 1895. 4. Heft. 16
xm.
Ueber die mechanische Erzeugung der orthogonalen
Projectionen ebener Curven» der Ellipsen und der
Trochoiden.
Vou
Dr. N. Delaunay,
ProfeBBor der Mechanik an dem landwirtbschaftlichen Institut in Novo - Alexandria ,
Bussland, Goayernement Lnblin.
Hierzu Tafel VIH Figur 1—11.
§ 1. Nehmen wir auf den vier Seiten des in Figur 1 Taf. YIII gezeich-
neten Gelenkrhombas AB OB die vier in einer festen Geraden mn liegenden
Punkte M, P, Q, N^ so bleiben diese vier Punkte während der Ver-
änderung desselben stets auf dieser Geraden, und die Aehnlichkeit der
Dreiecke PDJ und MBJ giebt:
,^ JE MB ^
Wenn die Punkte M und N so genommen sind, dass
BM=BN,
so wird auch
DP = DQ
sein, und die Gerade BD wird der Geraden tnn perpendiculär.
Indem wir also die Gerade m n als eine Abscissenachse ansehen , können
wir sagen: Die Ordinaten der Punkte B und D eines Gelenk-
rhombus ÄBCD (Fig. 2), in welchem J5il£ = ^^ und die Punkte
M und N längs der Abscissenachse mn gleiten, bleiben in
einem constanten Verhältnisse während der Veränderung des
Rhombus.
Wenn der Punkt B eine Curve a beschreibt, so beschreibt der Punkt
D eine Curve a\ deren Ordinaten in einem constanten Verhältnisse mit den
Ordinaten der Curve a sind.
Wenn man die in einer Ebene xoy (Fig. 3) liegende Curve a auf die
Ebene xoy orthogonal projectirt und die gemeinschaftliche Gerade ox
dieser Ebenen als die Abscissenachse der orthogonalen Systeme xoy und
xoy ansieht, so sind auch die Ordinaten sp und sp der Curve c und
ihrer orthogonalen Projection a in einem constanten Verhältnisse
sp
-^- = cos Of,
sp
wo a der Projectionswinkel ist.
Von Dr. N. Dblaukay. 243
Der in Figur 4 gezeichnete Mechanismus, in welchem AB CD ein
Bhombus ist, BM= BN und die Punkte M und N längs einer Geraden
gleiten, ist also ein Projector, und wenn der Punkt B des Pro-
jectors eine ebene Curve a beschreibt, so beschreibt der
Punkt D die orthogonale Projection der Curve <j.*
Der Projector kann bei Webe- und Tapetendruckerei gute Dienste
leisten , sowohl als in allen denjenigen Fällen , wo eine Zeichnung in einer
gegebenen Richtung verlängert oder verkürzt werden muss.
§ 2. Bekanntlich ist die orthogonale Projection des Kreises eine
Ellipse. Wenn also der Punkt B eines Projectors einen Kreis beschreibt,
30 beschreibt der Punkt D eine Ellipse. Damit der Punkt B einen
Kreis um 0 beschreibe, braucht man nur den Radius OB (Fig. 6)
des Kreises durch eine Kurbel zu ersetzen, die sich um die feste Achse 0
dreht.
So bekommen wir einen EUipsograph (Fig. 6), in welchem der
Punkt D Ellipsen beschreibt.
Nebenbei ersieht man daraus, dass:
1. Wenn AB ^=^ AM, die Ellipse in eine Gerade mn degenerirt. In
dem Falle einer gleichmässigen Drehung der Kurbel OB wird die
geradlinige Bewegung des Punktes D eine harmonische.
2. Wenn AB < AM <BMj ist die grosse Achse der Ellipse der
Geraden mn parallel und dem Diameter 2 OB des Kreises gleich.
Die Punkte B und D durchlaufen ihre Bahnen in demselben Sinne.
3. Wenn AM < AB <BM ist^ so ist ebenfalls die grosse Achse
der Ellipse der Geraden mn parallel und gleich der 20B| aber
die Punkte B und D durchlaufen ihre Bahnen in entgegengesetzter
Richtung.
4. Ist aber BA"^ BM (Fig. 7), so ist die grosse Achse der Ellipse
der Geraden mn perpendiculär und die kleine Achse = 20JB.
5. In dem Falle AB = BM (Fig. 8) beschreibt der Punkt V einen
Kreis, so dass man den Radius desselben durch eine Kurbel ffD
ersetzen kann. Diesen Mechanismus habe ich Reversor benannt.
In dem Reversor entsteht die Transformation der Drehung der Kurbel
O JS in eine Drehung der Kurbel O'D, als ob diese Kurbeln mit gleichen
Stirnrädern versehen wären.
Diese Eigenschaft des Reversors lässt, in analoger Weise,
xv^ie es im Watt 'sehen Planetenrade geschieht, eine Verdoppelung der
Orehungen erhalten.
§ 3. Theorem. Die Mitte des Abstandes zweier Punkte,
welche zwei Kreise mit einem constanten Verhältnisse der
* Die OeradführuDg der Punkte M und N ist in Figur 6 vermittelst zwei
Hai't^Bcher Mechanismen erzeugt.
16*
244 lieber die mechanische Erzengang eic. Von Dr. N. Delaunat.
Geschwindigkeiten durchlaufen, beschreibt eine Trochoide,
die, je nachdem die Drehungen in gleichem oder in entgegen-
gesetztem Sinne erfolgen, Epitrochoiden oder Hypotrochoiden
sind.
Nehmen wir an, dass die Punkte M und N die Kreise O und 0'
(Fig. 9) mit einem constanten Verhältnisse der Geschwindigkeiten durch-
laufen, und dass C die Mitte des Abstandes der Centra 0 und ff ist
Bilden wir ferner die Parallelogramme 00 AM und ffOBNj so sind^lf
und BN einander gleich und parallel. Ebenso kann man auch die Pa-
rallelogramme AMBN und AG BD bilden. Da p die Mitte der Diagonale
MN ist, so muss es auch die Mitte der Diagonale AB und desw^en
auch die Mitte der Diagonale CD sein. Die Strecken CA und CB dreheo
sich in Folge ihres Parallelismus mit den Radien OM und ffN um den
Punkt C mit einem constanten Verhältnisse der Geschwindigkeiten , und
nach einem bekannten Satz muss der vierte Eckpunkt 2) des Parallelo-
gramms AG BD eine Trochoide beschreiben.* Wenn aber der Punkt D
eine Trochoide beschreibt, so beschreibt der Punkt Py als die Mitte des
Vectors C7D, auch eine Trochoide. Wir haben gezeigt, dass der Punkt p
die Mitte des Abstandes MN ist; deshalb können wir sagen: dass die Mitte
des Abstandes MN eine Trochoide beschreibt, was zu beweisen war.
Man ersieht leicht, dass:
1. der Punkt p eine Hjpotrochoide erzeugt, wenn die Radien OM
und ffN sich in entgegengesetzter Richtung drehen;
2. der Punkt p eine Epitrochoide erzeugt, wenn die Radien OJf
und ffN sich in gleicher Richtung drehen;
3. der Punkt p eine Epicjkloide oder Hjpocjkloide erzeugt, wem
die Geschwindigkeiten der Punkte M und N einander gleich sind.
4. Wenn einer der Kreise in eine Gerade degenerirt, so degeneriit
die Bahn der Mitte des Abstandes MN in eine Cjcloide.
Um die Mitte des Abstandes MN kinematisch zu erhalten, kann man
die Punkte M und N durch einen gleichschenkligen Pantograph pqrsMy
(Fig. 10) verbinden.
Nach dem oben Gesagten kann man die graphische Construction da
Cjkloiden auf folgende Weise erzeugen:
Man nimmt auf einem Kreise 0 (Fig. 11) die Punkte: 1,2,3,4...
in gleichem Abstände von einander und die Punkte: T, 2^, 3', 4'... auf
einer Geraden auch in gleichem Abstände von einander; man verbindet die
Punkte 1, 1'; 2, 2'; 3, 3'.,. Der geometrische Ort der Strecken 1 1', 2 2\
33'... ist eine Cykloide, welche verschlungen, gestreckt oder gespitzt i«t
je nachdem die Kreisbogen 12, 2 3, 3 4... kleiner, grOsser oder gleici
den Strecken r2', 2^3', 3'4'. . . sind.
* L. Burmester: ,, Lehrbuch der Kinematik". 1888. Bd. I S. 136.
Kleinere Mittheilungen.
XVin. üeber einen zahlentheoretischen Satz des Herrn Schubert.
Die vorliegende Mittheilung bezweckt eine Erweiterung eines zahlen-
theoretischen Satzes, welchen Herr Schubert angegeben* und zu dem
Herr Busche einen Beweis geliefert hat.**
Ist a eine positive ganze Zahl und ^ = — (m und n relativ prim)
fh
ein positiver unechter Bruch, so mag Fq{a)^ wenn a. q eine ganze Zahl ist,
eben diese ganze Zahl und wenn a.g ein Bruch ist, die nächst grössere ganze
Zahl bezeichnen. Die Operation, welche von a zu Fq{a) führt ^ mag kurz als
Operation Fq bezeichnet werden. Die zu der Operation Fq inverse Operation
werde mit Oq bezeichnet und das Resultat dieser auf a angewandten
Operation mit Oq{a).
Die Operation Fq kann man sich auf die Zahl a nun offenbar in der
Weise angewandt denken, dass zu ma eine positive Zahl A;, welche < n
ist, so addirt wird, dass ma + ft = Oinod[n ist, alsdann ist
ma + Tc
F,{a)==
n
Hieraus folgt nun , dass die Operation Oq dadurch ausgeführt werden kann,
dass von dem n- fachen der vorgelegten Zahl a eine positive Zahl h (^ n)
so Bubtrahirt wird, dass na — h^^Omodm ist; daun ist
Hiermit ist auch zugleich die Unmöglichkeit einer M^deutigkeit der
Operation Oq bewiesen. Man sieht jedoch auch, dass die Operation <Z>,
auf solche Zahlen a unanwendbar ist, für welche der kleinste positive Rest
von n,a nach m^n ist. Dem entsprechend wollen wir eine Zahl, auf
welche die Operation Oq anwendbar ist, reducirbar in Bezug auf den
Quotienten ^, eine solche dagegen, auf welche diese Operation nicht an-
wendbar ist, unreducirbar nennen, und man sieht alsdann leicht , dass jede
einer reducirbaren Zahl modfn congruente Zahl selbst wieder reducirbar,
* MittheiluDgen der Mathematischen Gefiellschaft in Hamburg Bd. III S. 223.
•• Ib. p. 225.
246 ESeinere Mittheilangen.
jede einer nnreducirbaren Zahl modm congraente selbst unredncirbar ist
Werden also alle Zahlen zu m arithmetischen Beihen von der gleichen
Differenz m angeordnet, so wird jede der Beihen entweder nur redncirbare
oder nnr anreducirbare Zahlen enthalten, und zwar sehen wir nacb dem
oben Gesagten unmittelbar, dass es n solche Reihen reducirbarer und
m — n Beihen unreducirbarer Zahlen giebt. Die Trennung der reducirbaren
und nnreducirbaren Zahlen lässt sich nun leicht folgendermassen bewerk-
stelligen: Man nehme die Zahlen l...m — 1 und stelle von den aus diesen
durch Multiplication mit n hervorgehenden Zahlen, welche ja auch wieder
unter sich alle inoongruent mod m sind , die kleinsten positiven Beste nach
m auf, dann sind diejenigen Zahlen, deren n-faches einen kleinsten Best
nach m besitzt, welcher < n ist, die Anfangsglieder der arithmetischen Reihen
der reducirbaren Zahlen , zu denen dann noch die Beihe der durch m theil-
baren Zahlen hinzukommt , während die übrigen m — n Zahlen die Anfangs-
glieder der arithmetischen Beihen der nnreducirbaren Zahlen sind.
Berücksichtigt man nun , dass sich jede reducirbare Zahl ihrem Begriff
nach durch ein- oder mehrfache Anwendung der Operation F^ aus einer
nnreducirbaren Zahl ergeben muss, wegen der Eindeutigkeit der inverses
Operation Oq aber auch nur aus einer, so ergiebt sich folgender Satz:
19 Zu einem beliebigen unechten Bruch ^ = — lassen sich stets
n
m — n Zahlen aus der Beihe 1. . . m— 1 so auswählen, dass, wenn
man mit diesen m — n Zahlen als Anfangsgliedern arithmetische
Beihen. von der Differenz m bildet und man auf alle Zahlen dieser
m — n Beihen die Operation Fq anwendet, auf die "hierdurch er-
haltenen Zahlen wieder dieselbe Operation u. s. f. , man jede Zahl
einmal erhält, aber auch nur einmal.*'
Der Satz des Herrn Schubert beschränkt sieb auf den Fall
m — n = 1.
Schliesslich betrachten wir noch das Beispiel m = 7, n = 5. Da die
fünffachen Werthe der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 nach 7 die kleinsten Reste
5, 3, 1, 6, 4. 2 besitzen,. so stellen die Beihen:
2, 9, 16, 23, 30, 37, 44...
3, 10, 17, 24, 31, 38; 45..
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47..
6, 13, 20, 27, 34, 41, 48..
7, 14, 21, 28. 35, 42, 49..
alle reducirbaren und die Beihen:
1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50..
4, 11, 18, 25, 32, 39, 46...
Kleinere Mittbeilungen.
247
alle unredacirbaren Zahlen dar. In der That liefert nun eine iterirte An-
wendung der Operation Fq auf die Zahlen der zweiten Serie jede Zahl
einmal, aber auch nur einmal, wie nachfolgendes Schema zeigt:
28, 40...
1, 2,
3, 5,
7,
10, 14, 20.
4, 6,
9, 13,
19,
27, 38...
8, 12,
17, 24,
34,
48...
lir 16,
23, 33,
47.
15, 21,
30, 42.
18, 26,
37...
22, 31,
44...
25, 35,
49...
29, 41.
. .
32, 45.
36...
39...
43...
46...
50...
ostock, den 6.
April 1895.
W. Ahrens.
XIX. Kurze Ableitung der Bedingungen, dass zwei algebraische
Gleichungen mehrere Wurzeln gemein haben.
Mein College, Herr Prof. Stickelberger, hat mir gelegentlich be-
merkt/ dass man die Sätze über die Theilung von ganzen Zahlen oder von
ganzen Functionen besser auf den Begriff des kleinsten gemeinsamen Viel-
fachen statt auf den des grössten gemeinsamen Theilers gründe. Um näm-
lich zu wissen, dass zwei ganze rationale Functionen von Xy f(x) vom m^^^
und g(x) vom n^^ Orade, einen gemeinsamen Theiler besitzen, der min-
destens vom p^^ Orade ist, braucht man nur zu zeigen, dass ein gemein-
sames Vielfaches, das heisst eine durch f und durch g theilbare Function,
vom Orade m-^-n^p ezistirt.
Ist nämlich M ein gemeinsames Vielfaches niedrigsten Grades von f
und g^ so muss fg durch M theilbar sein, weil sonst ein gemeinsames
Vielfaches niedrigeren Grades als M ezistirte. Setzt man fg = Mh, so
zeigen die Gleichungen:
248 Kleinere Mittheilnngen.
weil M durch f und durch g theilbar ist, dass /'und g den Theiler h haben.
Giebt es ein gemeinsames Vielfaches vom Grade m + n-^p^ so ist Jtf
höchstens vom Grade m + n-^p^ also der Grad von h grösser oder gleich p.
In den folgenden Zeilen sollen mit Hilfe dieses Satzes die bekannten,
nothwendigen und hinreichenden Bedingungen abgeleitet werden dafttr,
dass die beiden Functionen f(x) und g{x) einen gemeinsamen Theiler haben.
§1.
Sollen zwei ganze Functionen iln-p, B^^p (die Indioes bezeichnen
stets den Grad) von den Graden n^p und m^p gefunden werden, so
dass die Function
1) Än^pf^B^^pg^Cp.i
höchstens vom Grade p — 1 werde, so hat man «— p+l+m— p+1
Coefficienten zu bestimmen und für sie m + n — 2p + l Gleichangen, in-
dem die Potenzen a^+n-P, a;"*+"'~'*"\ . . .«p in dem Ausdruck linker Hand
verschwinden müssen. Da die Gleichungen linear und homogen in den zq
bestimmenden Coefficienten sind und ihre Anzahl kleiner als die der letz-
teren ist, lassen sich diese Gleichungen durch Werthe der Coefficienten be-
friedigen, die nicht alle Null sind, so dass also solche Functionen ila^^
Bm-p stets sicher existiren.
Werden aber zwei Functionen Dn.p und Em-p von den Graden fi— p
und m-^p gesucht, die
2) Dn-pf-E„,,pg=^Fp^i
zu einer Function vom Grade p — 2 höchstens machen, so hat man zwischen
den unbekannten Coefficienten jetzt eine Gleichung mehr wie vorhin, so
dass die Zahl der Gleichangen der der Unbekannten gleich ist.
Schreibt man
/^= aoic^ + aiiT"»-* +.. . + Om,
^ = M" + ^«""^ + - • + &«,
E^.p = s^xr^-P + ij^aj™- P -* + ... + Sm-p ,
so werden diese Gleichungen:
0= öi»"o~^5o+aori-6o5i»
3)
0 = a^r0 — 5^5o + haiii-p-|-i''ii-p — &n-p+i5«-#p,
wo fi für m + M~-2p + 1 gesetzt ist und hier wie im Folgenden angenommeB
wird, dass alle a, &, r, 5, deren Indices bezw. grösser als tu, n, n — p.
m-^p sind, Null gesetzt werden.
Kleinere Mittheilungen. 249
Sollen also nicht alle r und 8 Null sein, in welchem Falle auch
D«.py Efn^p identisch Null wären, so muss die Determinante
aoO 0 6oO 0
a^ ae 0 h^b^ 0
A^ =
von fi+l=m + fi — 2p + 2 Zeilen und Reihen Null sein. Und um-
gekehrt^ wenn diese Determinante verschwindet, giebt es sicher Werthe
der CoefGcienten r, 8, die nicht alle Null sind und also Functionen der
gewünschten Eigenschaft liefern. Weiss man andererseits, dass es solche
Functionen giebt, dass also die r und 8 nicht alle Null sind, so muss
Ap=sO sein. Kann man daher Functionen finden, für die
vom j) — 2^°0rade höchstens ist, so ist Ap = 0; und umgekehrt,
wenn ApsO ist, giebt es solche Functionen.
Dies hat nur einen Sinn, wenn|> > 2 ist FQrp = 1 ist aber Ai=sO
die noth wendige und hinreichende Bedingung, dass es Functionen Dn.i
und JEJm~i giebt, die nicht identisch Null sind und die Gleichung
4) Dn^if^E^^ig
erfüllen.
§2.
Gesetzt, es h&tten f und g einen grOssten gemeinsamen Theiler % vom
q*^^ Grade. Stellt man sich die ^-Gleichungen auf, die für p=s 1, 2,...g
der Gleichung 1) entsprechen, so sind die Functionen Cq, Cj^j...Cg^i alle
darch den Theiler h vom Grade g theilbar und daher, weil sie niedrigeren
Grades sind, alle gleich Null. Die Gleichung 4) ist daher durch
erfüllt, und den Gleichungen 2) wird durch
DiB-p s= iln^p, JEon-p = -Sfis-p, 2^p — 2 5=^ 0
^enUgt; deswegen müssen die Determinanten A|, A2...A9 alle Null sein.
Seien nun diese Determinanten alle Null, dagegen ^q+\ nicht Null.
Dann können f und g keinen Theiler haben, dessen Grad q überstiege.
Dass sie aber einen Theiler q^^ Grades haben folgt so:
Weil A|S=0 ist, gilt die Gleichung 4), die zeigt, dass die Function
Dn^tf^ Em-ig vom Grade m + n— 1 sowohl durch f wie durch g theil-
bar ist. Folglich haben f und g sicher mindestens einen gemeinsamen
Theiler ersten Grades. Wegen A^^O besteht eine Gleichung:
Weil aber f und g einen Theiler ersten Grades haben , muss die Con-
stante Fo = 0 sein. Daher ist:
250 Kleinere Mittbeilangen.
ein gemeinsames Vielfaches von f und g vom Grade m + n— 2 ^nd die
beiden Functionen haben also sicher mindestens einen gemeinsamen Theiler
zweiten Grades. Deswegen wird in der Gleichung:
die wegen ^, = 0 besteht , JP, =3 0, weil es höchstens vom ersten Grade
ist und durch eine Function zweiten Grades theilbar sein muss. Die
zeigt dann, dass f und g mindestens einen gemeinsamen Theiler drittes
Grades haben u. s. w., bis schliesslich Ays^O auf einen Theiler ^^ Grades
führt.
Also sind die Gleichungen
die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür,
dass die beiden Functionen f und g einen grSssten gemein-
samen Theiler h vom ^^ Grade haben.
§3.
Bildet man nun die Gleichung
80 muss Cq durch h theilbar sein. Wäre es nicht vom 9*^, sondern von
einem niedrigeren Grade, so müsste es also identisch Null sein. Diuifi
wftre aber a /_^ r „
ein gemeinsames Vielfaches von f und g vom Grade m + n — g — 1, f hStfc
also mit g einen Factor (g + \)^^ Grades gemein und A^+i wäre Null geget
die Annahme. Da Cq vom ^^ Grade und durch h theilbar ist, kann e^
sich von h nur um einen constanten Factor unterscheiden. Setzt man
so ist Co =1=0 und man bat zur Bestimmung der u, v und c die Gleichung
0 = 00^0- h^VQ,
0 = a^Wo - 5i»o + flo^ - ^«^1»
in denen <* = w + n — 2g — l ist, neben den Gleichungen:
Kleinere Mittheilangen. 25 t
für A= 1, 2...g.
Elimiüirt man aus den ersten fi Gleichungen, der fQr c^ und der für
Ci die u und die Vf so folgt
wo Fx wieder eine Determinante aus den a nnd den h ist. Weil Cq -{= 0
und ^9+1=1=0. ist demnach ^
Co ^q+l
SO dass der grOsste gemeinsame Theiler von f nnd.g sich in die Form
bringen l&sst:
^9 + i ^9 + 1 ^9+1
Frei bürg i. Br., Januar 1896. J. LOroth.
XX.** Wärme -Gapaoitäten
sind mehr als zweierlei zu unterscheiden. Oder bleibt man zunächst bei
den beiden bekannten stehen, der specifischen Wärme Cp bei constantem
Drucke und bei der specifLschen Wärme c» bei constantem Yolum, so habe
ich fUr Wasser nach dem Vorgange von Clausius im vorigen Jahrgange
dieser Zeitschrift S. 126 c« bei 25^ und bei 50^ um etwas höher gefunden
als Clausius, beziehungsweise aber erst in der vierten und dritten Decimale.
®s is* bei 00 . 25^ 500 joO«
Cp« 1,0000 1,0016 1,0042 1,0130,
c. = 0.9995 0,9917 0,9675 0,8689?
Das Fragezeichen bei der letzten Zahl bedeutet, dass ich diesmal auch
für 100^ die Rechnung nach der Fonnel
c =Cp —*v
unternahm, wo t = 373, x = 425, a der von Clausius bei der Berech-
nung einer anderen specifischen Wärme (wovon unten***) benutzte thermische
Aasdehnungscoefficient 0,00080, t; = 0,001 043 das Volum von 1 Eilo-
^rramm in Cubikmetern. und fUr /?, den mechanischen Ausdehn ungs-
* Vergl. WeierBtrasB Abhandlung aas der Fanctionenlehre, S. 120 und 121.
Berlin 1886.
** Für die beiden folgenden Mittheilungen dient aU Einleitung der vorletzte
Absatz von 8. 186, wie fSr die Mittheilungen S. 185, 187 nnd 188.
*^* Siehe auch 8. 126 1. c. und die Anmerkung S. 64 in diesem Bande, von
welcher aber die drei Zeilen über die Zahlen 0,946 und 0,969 wegfallen sollen,
indem erstere richtiger ist als letztere. Ueber die Reihe c» siehe auf S. 192 1. c.
252 Kleinere MittheiluDgen.
Coefficienten , extrapolirte ich (auf eigene Rechnung und (refahr) zu den
von Claus ins VIII § 5 angegebenen drei Werthen für eine Atmosphäre,
die also noch mit 10334 zu dividiren sind, beziehungsweise den vierten:
/5 = 0,000050 0,000046 0,000044 0,000042?
Die vorige Gleichung ist gleichbedeutend mit
T dv dp
'^ % ox dz
worin beide Differentialquotienten partielle sind.
Hiervon wohl zu unterscheiden ist eine dritte specifische Wärme c\
die man neuerer Zeit auch berechnet hat, nSmlich:
T dv dp
% öz dz
worin der Differentialquotient — nicht partiell, sondern total zu verstehen
ist. Clausius berechnet denselben fttr das Wasser von 0^ (siehe S. 126
des vorigen Bandes dieser Zeitschrift)
c'= 0,945*
und Eirchhoff hat dasselbe Resultat in IX § 5.
Für Wasser von 100° ist nach Clausius c = 1,0130-0.0003, also
nahe gleich dem betreffenden Cp » wovon ich S. 126 1. c. schon gesprochen habe.
Aber für Eis von 0® hat Clausius und mit ihm Eirchhoff an
der letztgenannten Stelle den cnbischen Ausdehnungs - Coefficienten za
0,000153 genommen, wUhrend in den Tabellen von Landolt und Born-
stein (1. und 2. Auflage) der merklich kleinere Werth 0,00011 steht, so
dass statt c'=: Cp + 0,151 = 0,48 + 0,15 = 0,63
stehen muss : ^'=,^^ + 0,11= 0,48 + 0,11= 0,59.
Zieht man diese beiden , für Wasser und Eis von (fi erhaltenen Zahlen
von einander ab, so erhält man 0,36 statt 0,32 (0,314 bei Clausius und
Eirchhoff), und diese Differenz ist zu verwenden bei der Gleichung
-^=0,36 + -,
dz z
in welcher r die latende Schmelzwärme bedeutet, welche bekanntlich
79 Calorien beträgt. Da also r : t = 79 : 273 = 0,29, so wird
^=0,65,
dz
statt 0,60 bei Clausius und Eirchhoff.**
* Praktisch ist das specifische Volam 0,00100012 von 0,001 nicht sa unter-
scheiden.
** r bedeutet Calorie durch Gewicht 1, also so viel wie Temperatorgra«:
oder, wenn man lieber will: r : 1 . r ist eine reine Zahl, wie die epecifischen W2urxD€<
zahlen.
Kleinere Mittheilnngen. 253
Zum Schlüsse will ich nochmals auf den thermischen Ausdehnangs-
Coefficienten ^ ^
vdr
hinweisen, oder a, der beim Wasser von 0^ nach Kopp zu — 0,000061
angenommen wird, während er in den Tabellen von Landolt und Börn-
stein gleich — 0,000055 ist zwischen 0^ und 1^. Ich habe in den letzten
Jahrgängen des „Repertoriums der Physik" aus dem Volum 1,00012 von
1 Gramm Wasser bei 0® und 8^ während 1 bei 4® gilt, gemäss der
Annäherungsformel, die bis zu 20^ sehr genügende Werthe giebt,
das a = 0,000060 und b = 0,0000075 berechnet, wonach also
(-^) = -a = - 0,000060
sich ergiebt, mit fast völliger Uebereinstimmung gegenüber dem von Kopp
angegebenen Werthe.
Wegen der auch hierher gehörigen specifischen Wärme des gesättigten
Wasserdampfes, wie sie Claus ins genannt hat, verweise ich auf ihn
(VI) und auf Kirchhoff (VIII), worüber auch unter meinem folgenden
Titel noch theilweise die Rede kommen wird.
XXL Oemisoh von Flüssigkeit und Dampf.
Im vorigen Titel kam das Gemisch aus Wasser und Eis vor; in XII §2
handelt Kirch hoff wie auch in VIII vom Gemisch aus Wasserdampf und
Wasser. Es ist dafür analog
,. , dr r
h — c=^ ,
dr T
vrorin r die Verdampfungswärme und h' die specifische Wärme des ge-
sSttigten Wasserdampfes ist, während r sich auf das Wasser bezieht.
Statt des vom Buche in XII eingeschlagenen Weges dünkt mir kürzer
der folsrende:
* dQ = rdx + [h'x + c'(l - x)]dx
ist die Wärmemenge für die Einheit des Gemisches, von welchem der
Theil X aus Dampf besteht. Wegen der Adiabase wird sie gleich Null
gesetzt und für h'—c gemäss Obigem 7^(') *• dt substituirt. Man erhält
rdx + cdt + td(^yx==0,
dann
oder:
254 Kleinere Mittheilangen.
-dx + (x^ä(-) + —dx = 0.
d(^) + 0'^' = 0.*
Ich habe dazu ein Beispiel gerechnet: Dampf von 150^ Gels, (nicht
ganz sechs Atmosphären) ströme in die freie Luft (eine Atmosphäre). Da
r= 607- 0,708^
nach Clausius, wo i vom gewöhnlichen Nullpunkte ans gezählt wird, so
ist in der durch Integration entstandenen Gleichung (c'constant angenommen)
fgXg r,x^ _
clogncU —
zu setzen:
*1 ^2
607 - 0,708 . 100
373
I
X, wird gesucht, ^ 607-0,708.150
*"*■" 423
x^= 1 (da nur Dampf ausströmen soll); für c setzte Clausius, der in
VI § 12 eine Tabelle mit mehreren solchen Bechnungsresultaten mittheilt,
die specifische Wärme des Wassers bei constantem Druck Cp und findet
a;jc= 0,911;
ich habe statt Cp= 1,013 (bei 100°) nur mit dem Factor 1 gerechnet und
0,92 . . .
gefunden y «das ist genügende Uebereinstimmung.
Die Dichtigkeitszahlen des gesättigten Wasserdampfes, welche Eircb-
hoff in YIII § 3 mittheilt; gegenüber Luft als Einheit, differiren von des
durch Clausius mitgetheilten (VI § 9) nur in der dritten Decimale; mit
Ausnahme derjenigen bei 0°, wo Kirchhoff 0,606, Clausius 0,622 an-
giebt. Für das specifische Volum (Centimeter' durch 1 Gramm) giebt Kirch-
hoff ebendaselbst
bei f = 0 60 100,
„ 5 = 210600 12050 1650,
gegen welche das specifische Volum des Wassers o das Wasser ver-
schwinden muss.**
* Im Bache fehlt bei dem r durchweg der Factor x , das mechanische Wanne-
äquivalent, was in meinem Texte gar nicht auftritt.
** Demnach fällt die „ genügende Annäherung ** tf =3 1 weg. Aber wegen de»
Gliedes 2^^ in VIII § 4 ist besondere Betrachtung und Erwähnung nüthig; bei
dem nachher gerechneten Beispiele des Quecksilbers fällt es auch fort.
Augsburg. Prof. Dr. Kusz.
Kleinere Mittheilaogen.
255
XXn. Zwei Aufgaben ans der Perspective.
Herr Geheimrath Sohlömilch hat im 39. Bande S. 245—247 der vor-
liegenden Zeitschrift zwei Aufgaben aus der Perspective in kürzester Weise
gelöst; im Folgenden will ich diese Aufgaben in etwas erweiterter Fassung
nach rein geometrischer Methode besprechen.
1 . Erste Aufgabe. Gegeben sei ein £[reis K*. Man bestimme eine cen-
triscbe CoUineation in der Weise, dass dem Kreise K^ wieder ein Kreis f |
entspreche (siehe die Figur).
Wir nehmen an, dass der unendlich fernen Geraden ti| eine beliebige Ge-
rade u entspreche. Wir zeichnen den Pol U von u in Bezug auf f und die
Involution harmonischer Polaren — J"—
um U. Ihr correspondirt die Durch-
messer-Involution von K\. Soll nun
K\ ein Kreis sein, so muss diese
Durchmesser •Involution eine recht-
winklige sein. Dann ist aber auch
die Involution der Parallelstrahlen
durch das CoUineationscentrum recht-
winklig. Diese Involution liegt per-
spectivisch zu J mit u als Perspectiv-
achse. Zeichnen wir also über den
Paaren der Pankteinvolution , welche
u aus J schneidet, Kreise, so bilden
diese ein Büschel. Von jedem seiner
zwei Grundpunkte ans erscheinen die
Paare der Involution unter rechtem
Winkel. Also kann jeder dieser Grand-
punkte als CoUineationscentrum C
angesehen werden. Wählen wir irgend
eine Parallele a; zu u als Achse der CoUineation ; so ist diese bestimmt.
Die zweite Gegenachse h ist parallel x und erfüllt die Bedingung: C^h^^^u^x.
Betrachten wir h als Horizont, x als Grundlinie einer Perspective , so
ist der Abstand des Punktes C von h gleich der Distanz. Die Normale y
durch C auf h trifft h im Hauptpunkte 0.
Die zwei möglichen Lagen von C werden stets reell, wenn u den
Kreis K* nicht schneidet.
2. Wir knüpfen an die Lösung der Aufgabe einige Schlüsse.
Haben wir zu einer Linie u ein Centrum C^ gefunden , so können wir
zur Festsetzung der CoUineation noch eine Annahme machen. Wir ver-
langen z. B. , dass der Mittelpunkt von K^^ mit dem von K* zusammen-
falle. Dann entspricht sich der Kreis K* selbst. Die CoUineation geht
in Involution über. Die Polare p von C in Bezug auf K^ ist Achse der
Involution. Ihre Gegenachse u liegt in der Mitte zwischen C und p.
256 Kleinere Mittheilungen.
Oben haben wir gefunden ^ dass die zwei Lagen 0^ C^ des Collineations-
centrams, welche zu einer Geraden u gehören^ symmetrisch zu u liegen.
Folglich mnss C^ in p gelegen sein. Mit anderen Worten heisst dies:
C|C, sind in Bezug auf E* zu einander conjugirt.
Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich die Construction der Gentra sa einer
beliebigen Geraden u so aussprechen:
Wir zeichnen in der Involution harmonischer Pole anfv
das Paar, welches zu u symmetrisch liegt. Jeder Punkt dieses
Paares kann als ein Centrum C angesehen werden.
Wählen wir C beliebig, so ergiebt sich u in folgender Weise:
Wir constrniren zu C die Polare p in Bezug auf JET^ Die
Gerade, welche in der Mitte zwischen C und p liegt, ist u.
3. Zweite Aufgabe. Gegeben seien zwei Kreise K\K*^. Man sucht eine
centrische CoUineation, in der beiden Kreisen wieder Kreise entsprechen.
Wir mttssen u so bestimmen; dass die Involution harmonischer ?6k
auf u für beide Kreise identisch ist. Dann muss u beide Kreise in den-
selben Punkten schneiden, u ist also die Potenzlinie beider Kreise. Zu ihr
bestimmen wir die Centra C^ C^ wie bei I. Wir erhalten die Cenlra direet,
wenn wir auf der Centrale y beider Kreise die Involutionen harmoniscfaer
Pole zeichnen. Ihr gemeinsames Paar stellt C^C^ vor. Diese Punbe
werden nur dann reell, wenn die Involution harmonischer Pole auf der
Potenzlinie elliptisch ist, das heisst, wenn die Kreise K*^K\ sich nicht
reell schneiden.
Zärich. Dr. Chr. Betbl.
Tbifel V^IU.
N
ir 12' 13' 14' !&•
Vorlag ron Frtodr. Tiewef & Sobti m Bmuuschweig*
(Zu »lOzieh'fn t\nT\:h j*'il»? BuchluiTufbjivg.i
Dr. 3. Srii!'«
f II edel!
mit iTnij\lirfjir tiritartjcrr üJiiiicln
Sritdic, nntgtarleltctc un^ ircriiitbrti tlitjliigt oon
TIn Otto ^rtmann^
Sttieitrt ^rtttl»* 3Ril lOlö ti; ni üitb tsrd tafeln
Bamnsiirtiier-8 Buclihandlimg, Leipzig.
Diireli jede Buchiniudliäng zu bezieLeu:
Die Oeometrie der Lage«
Vorträge
Profeasor Dr. Th. Beye,
Abtfa. n fß. Aafl.) Mit 26 Teaitigiirüü. Broch. 3 ^,, tu Hall4> gebuüdeü U Jt.
Abth. ttl tJtf'u). Hroch ß -#., m llalbfraas gebundmi h Jt.
Bereits fn'ihi^r erscliieii;
Ahih 1 H A.^fj) Mit y'2 Textflgiiren Bröck 7 *#., in Halbfiranz gebuüden 1» Jf,
Air* einoj- ße»prechüBR' von Guido Hauckt
,. LuHrrem Verfiii««er K*?l)CiLrt ' '' ' . * ,ks Sjatem jt^oes groHseo
<ji»oiiietftr9 (Stttüttt) vcm üf^iiieü Ein r und dädureh nicbt oiir
:- ^ ■ -' • - ' ^* hall. ^ «0 D (i L'ni T 0 r All <l* lu IT t 1 n «: ^ * m i u * uf. 1 1 1 rde ruMg der Wisa enscball
-emaclit tu hrihen. Dieß^ bat denn iiuch in den let^teü Decennien ein«*
.«L.. inieiitbare WeittTentwickelung ».'Habrea, an wekhcT di-r Verfii8«er durch
Ituoe bahnbrechenden Arbeiten in bfirTomigender Wisise betheÜigt war Es sei
Jbibei namentlich auf d<.!ri Aualijui der Lin!^'"Lr*.n,iu^tn.. >.Tr,.r.>wii!?gpn . , Das HUch
bereits ins FntnzoBistb*:' und lüiliemsclje ^'llt hi dieser Reiu^r
ieu«»u Aiiflaf^e das TolJp^tliuili^te Lehrbunii Alz n-uürLxi Ue^tuetrk dar.*^
S^
INHALT.
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XVin r,a
jiii'ii /,ihliti1lir«H'«'L Siit'i dm Ih^un ScliMhi^ri Vau 'MT. Aunn
riuP-L'üpUi Dt* Ktniü , , -
A . .liscjj vüti i '^mpt Van Pn>t Dr. Kf
XSü. Zw«d Aufjffub«^!» atiA Jfif F«iiH|i(ictivt!. Von Dr, Cnn. Bkvi
HisLoriacli'literariach« ^'
li ' neu;
Haas, Dr. Kami
Von J. Ifl ?K\
Bou., Dr. i
üetier (dnl^ Apparate £iir Demanhtraiion
^»n Voti CiNTaK * .
M ivi in Amti ft Eutioxi Pii
tadifn ilhcr Claufliu*« i't . .: ;
riHTKMif H>, Jamblichi in Nic^niuackL ant-bmctimcE) intri»'
Ijlier; Vqn CjtKifm , , , . ,
Stach Ri.^ l\^ Anhand luog'm flbt^r Vüri-i'
I''rtfJitMii:iiQi:it, JüUAN.v, BmtrIlgL* Kitr Oaf
ThrffT<*ms, der trjuntJttiifunct.ioß fuul iiit#
lnir'grals. Von CA?*toti ,
!uj, J. L,, et MEKr»K.y H,, Kiji.'i-'' ■ - -
V, C., tind HätLüii , A., Die A
de Hiintjö-riti t^us dem Jü
ftmKi»^ Prof. K., Oeor^ Philipp li
WiLirmi, Dr. G, D. E,, tTHM»r d\f. purai'
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ScitmxKEL, Dr. H.^ Krihi8< i hv lmf<^r: •
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der Tiidfut'hi^n Integrale, HerH.n^i
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BArnnAKv, P., ZiLlilcüibeoric. Von W* Frakc MgT^tt
SKOintrn^ J, de» Form^^B qoudratiqwes ßt mnltiplicftt
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i>latlicma(ik und Physik
heraufigegabe^D
uüitfr fttr VL*raüT.wr*ni)ortt!Ti itt?<ifiitigü
Dr- 0> ScWömiloh und Dr. M. Caator.
40. Jahrgang. 5, Heft.
Mit ri<M Uthogniphirteß TaRlu
Leipzig,
Vtrlag von B, 6. Tenboer.
t895.
mmt^^t^^tum.
im liaiMte^
icnester vertag von
^ctrtmer tu Leipzig.
1895*
ßlermmniii Dr, OttOf o 6. I^fefisor im der Techniacliüii Hochficknlii ati
F ' ^ " tu der höhere» Mittlieomtilc. Vorkiningfea zur Vorberc
*3or Differential rech BUB g» jllgebra «nd Funkt ioneiitlieorie,
Hberhardi Dr. 7.| Pröfeä«6T 4ia derUiii¥irrdrt4t; zu K^nigslörg i. F., die Qrti&4{
gßbilde der tsbenen Qeometrie. lii 3 Bauden. L Baiid Mit S Fii
tüfeln, IXLVni II. 302 S,] 1^. 8. 189Ö, gek n, Jl 14.—
aber 4ie Grnnd lagen und Ziclo d«r Hanmlehrc, Scpi^mtiiMr
HQfl dc?r Vorredp zu ,,ilip Gnmdgc1»ild*? der Uconietrif«", pi> 8.]
QwxdelEiusQT f Dr. fiimnandi fr^fe^öor \in der teelwiischäii Hoch*iibijJ# k« I>^
tftüdt, V(irJctiUEgeii aus der analytiöchen Öiseimotrie
acbnitte. IleRtußgiegebeii von Dr. FmEPnicii I>i>aiu.r>Er« Pmni
daselbst. Mit ia den Text gedruckten Pigurftti tmd dn^dn AAliiuig^^j
hulteud Aufgabcü und weiter«? AiipföhninKen. fTIlI u* IH SJ gr. ft.
(fpb. u, .i^ l'i.—
Hrab&ky Jo&ef, k» k. Oberbergruth itiid Proty-sBor, pruc tische Hilfit
für JogaritbmiBübe und undi^re Zahlenrechnungiin. Dritte, iii
AußjBrabe. f V u 26a S.] gr. a l*i95, i?eb. n. UT ». ^
Huebn^r^ Dr. Ii., ProftHsor am lijmim
liüJie Geometrie den MatJe^ in l>i^ ■ ' = i.^ r j ;
den Kxms- md Hyperbel funk tionen neu darge«fteUt. «,, -«rohlfeUe Anagal
[XVI u. Mr> 8.) gr. 8, 1895. geh n. *J4.—
Kl«tiL| F.^ yorträgfi über aiieigi;wllh]tt> Fragen der KiameBtargoiimtirii^
AtisgeüTbeitet von F. Tagetit, Mit 10 in den Text gerlrtickt«» Hgyarcik
2 Uihogr. Tafeln. [V u, 66 8 ] gr. 8. imb. geh. n.^2.^
Kroueoker'Bi Leopold, Werke. Herausgegeben auf yeratiliidfctiag dor KQi
l'rt^unJiiRJcbttu Aküdi^mie d*^r WitEen^chaften «ou E, H^tcsei^ L BlUltL IBM
L. KruTjiwkt^r'a ßildnisa. [IX u. 4&3 S.J gr, 4. 1895. gek ö. Jf *d.—
Huth, Iir. F., Grundlagen für die geometrische Anwendung
¥ a r i ft II t e n t h 0 0 r i e. Mit einem ßegleitworte von M. P^ttcit (VI iL 1 5ä
gr. 8. 18*J5. geh. n, *^s.—
\71lliQker%, JuUuB^ gesatnmp.lt^ wififlenfiehaftlichti AUbatidloSr
Arjftrag der Kgl. Gf^aiilbehuft de^r Wisiens^ihiiften zti G' f
von A, ScnoENruiK» und Fu. Pot KKr,a. In *i Brinden, L Bjh
ALbhandf (ingcn. Herausgegebi^u von A, ScHtiKNFUKJi, Mit i'
Pliickera imd 73 in den Tf!xt gednickten Fi|^virrn>. [XXX\n " ►
1895, geh. n. Jf 20.—
Soblesingerf Prüf, Dr, Liadwlg^ Privatdozent un der '
buch der Theorie der linearen Diff^renti
486 8.J In ^ Bünden l Band, gr, d. tS^ö* geh. n. •« lü -
Siftckel, Dr. Paul, i*rofes«or an der UiiiversiUVt Köi»! ^ .
Ungel, Professor «u der Universität Iieipüig, di»
Hni*^n von Euklid bia auf Gauß^ eine Ur'
gcwchichtu der nicbteuklidiscben Geometrie* Mit . .
Kaehbildung fine* Briefes von Gaali. [XiuSdftS.] gr.
XIV.
Ueber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen
Mecliamsmen.
Von
Dr. R. Müller,
Professor an der Technischen Hochschule in Braunschweig.
Hierzu Tafel IX Fig. 1-11.
Dnrch die Arbeiten von Hart, Eempe, Darboux, Burmester sind
wir zur Eenntnisa einer Reihe von übergeschlossenen Mechanismen gelangt,
die alle dadurch entstehen, dass ein gewisser Punkt in der Ebene eines
Gelenkvierecks an die vier Glieder desselben in bestimmter Weise gelenkig
angeschlossen wird.* Um einen systematischen Zusammenhang zwischen
den einzelnen hierher gehörenden Mechanismen herzustellen, werden wir
zweckmässig von der Curve ausgehen, die ein Punkt, der nur mit zwei
gegenüberliegenden Gliedern des Vierecks durch Gelenke verbunden ist,
in Bezug auf eines der beiden anderen Glieder beschreibt. Bei jedem
übergeschlossenen Mechanismus zerfUllt dieselbe in einen Kreis und eine
gewisse andere Curve, und dann liefert die jeweilige Art des Zerfallens
ein charakteristisches Merkmal des betreffenden Mechanismus. Im weiteren
Verlauf wird es sich fragen, ob wir durch Einfügung eines viergliedrigen
Gelenks aus dem Gelenkviereck noch andere übergeschlossene Mechanismen
bilden können, oder, ob mit den bisher bekannten Formen die Anzahl der
möglichen Mechanismen dieser Art bereits erschöpft ist.
1« In Figur 1 ist 00' KB ein beliebiges ebenes Gelenkviereck; in der
Ebene desselben sind an die starren Dreiecke OBS^ O'B'S' die Glieder 8K,
S'K in den Punkten Sj /9' drehbar angeschlossen, und diese wieder sind
* Vergl. im Folgenden die Figuren 2, 4, 6, 7, 8, sowie
Hart: Proceedings of the London Mathematical Society vol. VIH p. 288;
Eempe: daselbst vol. IX p. 138;
Darboux: Bulletin des sciences math^matiques et astronomiques 2^^°^^ s^r.
T. III p. 144;
Burmester: diese Zeitschrift 38. Jahrgang S. 193; femer: Kinematik I
S.571, 595, 598.
Zeitochrift f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 5. Hoft. 17
258 Ueber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
im Punkte K zu einem gelenkigen Knie 8K8' verbunden. In dem so ent-
stehenden zwangläufigen Mechanismus beschreibt der Punkt K in Bezug
auf das feste Glied OOf eine Curve X;, die wir im Folgenden kurz aU
Kniecurve bezeichnen wollen. Die Gleichung derselben soll zunftchst er-
mittelt werden.
Es sei OO'^m, BB':=n, OB^r, ffB^^^r, OS = s, 0'S'=s\
Winkel BOS=«, Winkel JB'O'Ä'«:«', Ä'Ä = ^ KS'=^r. Wir^ bezeichnen
ferner mit a;, ^ die rechtwinkligen Coordinaten von K in Bezug auf 0 als
Anfangspunkt, 0(7 als a;- Achse, mit O, O' bez. die Winkel, welche OB,
OB' mit der Richtung Off einschliessen. Dann ist
[x'-scosi^ — a)]*+ [y — 8sin (^ — «)]'= P,
Setzen wir zur Abkürzung:
xcosa —ysina = af
xsina + yco$a==h^
(x — w) cos a'+ ysma = a\
{x^ni)sm «'+ ycosa = h\
m*— n* + H + r * = g*,
so gehen die vorigen Gleichungen über in:
1) 2ascos^ + 2b8sm^^P,
2) 2a 8 cos &'+2h'8sin ^'= P',
3) 2rr{cos 0 cos 0'+ sin ^ sin O') + 2inr cos ^ — 2mrco8 0'= g*.
Hieraus ergiebt sich durch Elimination von 9, 9' die Gleichung der
Curve Ä; in der Form:
4) ÄB+C^==0,
wobei f
Ä = r^r^PP'+ 2fnrrXrsaP - rsaP') + 2rrss f2m«&&'- q^ (aa +&6')].
B^PP'\m^[r^8\a^+b'*)P»+r^8^{a^+b^)P'^-2rr8sXaa + hV)PP']
+ 4mrr 55 (a& - ah){r8b'P + rsbP')
- 2tn55V[*-«'a(a H&'')P-r 5a'(a»+ 5«)P']
+ s*8*q^{a^+ 5«)(a H 6'*) - 4f*r V/Ha6'- alr
- 4tnV5'«[r«6«(a'* + 5'*) +r «ft'«(aH6«)l|
+ 2ff'[5'«(a'«+5'«)P«+5'(a»+6*)P'*-45^5«(a«+6»)(a'«-f6'*}l
X [m{rsaP-rsaP') + 2fn^8sbb'-S8q\aa+ bb")]y
Von Dr. R. MOllbr. 259
f C= f»r'»[«'«(a'» + 6'»)P» + 5»(a« + ft»)P'«]
-m*lr*8*{a*+b'*)P'+r*s»{a*+V)P'*-2rr'ss\aa + bb)PP-]
- imrr'sa'iab'- a'b) {r'8'b'P+ rsbP')
+ 2ms8'q*[raa (a »+ 6'») P - r'sd{a'+ 6»)P']
- ^8*c^{(i*-{- b*) (a'» + 6'») - 4r»r' V« «(oo'+ 66')«
+ 4mVs'»lf»6»(o'» + 6'») + r»6'«(o»+ft*)).
Nun ist s I 1.« _« 1 »
o«+6»=a!» + y*,
a'»+6'»=(*-m)» + y»,
aa'+66'= («* +y*— ma;)«w(o — «') + mym(a— o'),
o6'— a 6 ä= — (ic'+y' — m«)m(M— a") + my «w(« - «'),
folgHch: 4 = t-r'V + y*)*+--
5 = m«[r«5 « + r «5«- 2rrV(»Ä(a-c)](a;«+y«)H- • •,
w&hrend C einen Ansdrnck sechsten Grades darstellt. Der Factor
verschwindet nur für as^a, rs^r8\ die Eniecnrye ist also von
der vierzehnten Ordnung, sobald nicht die Dreiecke ORB und
0>S8' gleichsinnig ähnlich sind.
3* Wir nehmen zunächst an, die Dreiecke 0R8 und 0^X8' seien
nicht gleichsinnig ähnlich. Setzen wir dann in Gleichung 4) o^ + y* gleich
einer ganzen linearen Function von x und ^, so wird A vom zweiten,
B vom fünften, C vom dritten Grade; die Kniecurve hat also die
imaginären Kreispunkte zu siebenfachen Funkten, und ihre
Focalcentra — das heisst die reellen Schnittpunkte der zweimal sieben
Tangenten in den imaginären Ereispunkten — sind identisch mit den
zwei bez. fünf Focalcentren der Curven J.e=0, £ = 0.
Ist nun der Punkt a;ss£, y = ^ oiii Focalcentrum der bicircularen
Carve vierter Ordnung ^.sssO, so hat die Gerade
y-iy = i(aj-{).
die den Punkt $, 17 mit einem der imaginären Kreispunkte verbindet, mit
A = 0 nur einen endlichen Schnittpunkt gemein; durch die Substitution
verschwindet also in J. = 0 das Glied mit x^. Setzen wir noch
i + in = i>
also
y^i{x — i)y
so wird:
17*
260 üeber eine gewisse Klasse von ttbergeschlossenen Mechanismen.
a =a;e~'*+ •••
a'«+6'«=2({:-m)a?+--
ad+h})=^ [{:e'<«-«'>+ {i - m)e"-»(«-«'>]ic + • • •
P = 2J:aj+...
P = 2(J:-in)aj + ...,
und dann Terschwindet in J. = 0 der Factor von a?^ wenn
rri{i - m) + «[rs'te-*«'- r «(f - in)e-'«] - wi^sä'c —*(«+•'» = 0,
das heisst, wenn . i^ n
' rj— mse-»«= 0,
oder, wenn ,,. . . ' /*' a
ist. Bezeichnen wir demnach mit JP^, ^^ die beiden Focaloentren der
Curve Ä= Oy so erhalten wir fttr JP^:
ms ms .
r r
und für JF«:
^ ms , ms . ,
E = m 7-C08a. « = — 7-sina.
r ' r
Es ist also AOO'Figleichsinnig ähnlich mit A0i2S und AO'OF^
gleichsinnig fthnlich mit AO'ÜS'.
In ganz derselben Weise ergiebt sich für die fünf Focalcentra der
Curve JB = 0 die Gleichung:
(r5 e-'«- r 5C-«') f (f - m) [m ?(? - m) [rs'i^^ - r s (f - m)C-^
- ««VJ« - w) + rr[5''£*e'^"-"'' + «^(f -»!)«(?-»<•- «''1
Die Curve ^ = 0 hat folglich zu Focalcentren die beiden
Punkte 0, 0' und drei weitere Punkte G^^ ö^, ffj, deren Co-
ordinaten bestimmt sind durch die im Allgemeinen irreductibU
Gleichung dritten Grades:
+ [m*(2r's6'«'-r5V«)-55'(m2-n«+r«+r'«)+rrVe-'(«-«'>+rrVV<«-«>],^
+ »is[ä'(»i«- n2+ r«+ r'») - wW «' + rss'e-' •- rV»e-'«'- 2rr «c-««— •];
Von Dr. R. Müller. 261
Die Lage der sieben Focaloentra 0, 0*, J^^, ^2» ^i» ^%7 ^s ^^^
Carye "k ist hiemaeh yollkommen nnabhftngig yon den Gliedlttngen 2, t\
sind also die Dreiecke OBS und €fli8' nicht gleichsinnig ähn-
lich, so beschreiben die sftmmtlichen oo* Punkte f , die man in
S und 8' an das Gelenkyiereck OO'B^B anschliessen kann, sieben-
fach concentrische Eniecuryen.
Ist o s= o'= 0, das heisst, liegen die Anschlusspunkte 8, 8' auf den
Vierecksseiten pJ3, O'E', so wird die Curye k symmetrisch in Bezug
auf 00\ Dann sind alle Coefficienten der Gleichung 5) reell und yon den
drei Punkten ff^, G^, Q^ liegt wenigstens einer auf der Geraden 0(X.
In Bezug auf das Glied BS^ beschreibt der Punkt K eine Eniecurye {
mit den Focalcentren B, K^ ^^^ ^,, ®i, ®2i ®s- ^^® Punkte fj^, ^^
werden analog construirt, wie yorher ^n $2* Betrachten wir B als An-
fangspunkt, 2212" als rr- Achse und bezeichnen die Strecken B8f B^8' bez.
mit t^ t\ die Winkel 0B8^ OK 8' mit ^, /^, so erhalten wir die Coordi-
naten der Punkte @|, ®2, ®s, indem wir in Gleichung 5) die Grössen
m, fi| 8y 8, Uf a bez. mit n, m, f, ^^ ^, ^ yertauschen. Dabei ist:
3. Es sei ferner A0B8 gleichsinnig ähnlich mit A(yB'8\
S 8
also « = «' und — = -7- Setzen wir
r r
8_^
und
so geht die Curyengleichung 4) ttber in
6) a© + €*(£*= 0.
Gegenwärtig ist:
a6'— a'ft= my,
aP — aP'^ («awa— y5ina)(2m« — m*+e*r*— «V*— P+r*) — mPcos«,
f (a *+ 6'«)P*+ (a«+ &«)i^«- 2{aa + hb')PP'^ m^PP'
ia(a^+ 5'«)P- aV+ &*)'P'= tn(aj«+ y«)P'(J05«
mithin yersoh winden in Gleichung 6) die Glieder yierzehnten und drei-
zehnten Grades, und das Glied zwölften Grades lautet:
262 üeber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
Die Curve wird also — durch Ablösung der doppelt z&hlenden un-
endlich fernen Geraden — zu einer sechsfach circnlaren Cur?e
zwölfter Ordnung, falls nicht gleichzeitig
ist. *^ "**
Um die Focalcentra zu bestimmen, bringen wir den mit 93 bezeich-
neten Ausdruck auf die Form :
-26me?«[a(aH&'*)P-a(a*+6«)P']
+ 8«2*(a«+ &«)(a > + 5'2) - 4€V«r'«(a6'- ab)*}
-2«^g»(aa+55')[r«(a'«+fe'*)P'+r«(a«+2^*)P'T
-8«Vr«(aH&')(a*+&'')[m(a'P-aP')+2fm2&6'-*g«(aa'+66'i!
+ 2sm{[r*{a*+h'*)P*+r^{a*+b*)P'*][2m{a*+b*)cosa--'mPcosa
+a(€V-««r«-P+r*--m«)]+2in6y[r^(€«r'*-r*)P«+rVr*-n)P''-
-2mV»jfP«PMna}
+4€«mM&'[(«'r«-P)(» *+&'*)- («V«-r«)(a«+6«)](r«P-r«P')
-m5^«[r«(a'HO^*+r»(a«+6«)P'«]
+mr*[a*+b*)PP'8ina{2b'-msina)\.
Durch die Substitution ./ c^
y = i(a;-f)
verwandelt sich 6) in eine Qleichung sechsten Grades in o;; in derselben
hat ic^ den Factor: ^ ^^^^
(t-6»ie-'«)(f-»i+fme-'«)
t[m«-e(fn«-n«)e-'«]t(f-m) + einc-'«(l-ec''«)[rn-r«(J:-m)li
.|[m«-6(m«-w«)c'«]J(J-m)+m[r«S:-iMt-m]|.
Wir erhalten also die folgenden sechs Focalcentra:
I. Zwei Punkt« F^, JP, , die wie früher construirt werden , indem wir
AOO'Fi und ÄO'OF^ gleichsinnig ähnlich machen zu AOS&
II. Zwei Funkte öj, ö,, entsprechend der Gleichung:
f[m«-e(m»-n*)e-'«]{;«-m[m«-€{w«-n«)e-««+«(H-r«)e-«'Hl-««-'*jv
') t + gniVc-'«(l- €C-'«) = 0;
dieselbe geht ans 5) hervor für a = a , « = ar, 5'= «r.
III. Zwei Punkte J3i, fl^; die Coordinaten derselben werden gefundes.
indem wir in der Gleichung
den reellen und den imaginären Theil der linken Seite einz^c
gleich Null setzen.
Von Dr. B. Müller. 263
Yertaaschen wir in den letzten Gleichungen die Grössen m^ n^ seff'j se"*'*
bez. mit n, m, 1— «c"'", 1 — «e'", so ergeben sich die Pocalcentra §[,, §[,,
®i, ®s, ^1, ^% der Eniecnrye t, die der Punkt K in Bezug auf das
Glied BB' beschreibt
4. In dem bereits erwähnten Sonderfall
9) a = a'=0, «=-^^,
ist 6 entweder negativ oder grösser als 1; die Anschlusspunkte 8^8' liegen
demnach ausserhalb der Strecken OB^ CfK. Dann redncirt sich Gleichung 6)
auf eine Gleichung zehnten Grades mit dem Anfangsglied :
m«(a:«+y»)*{[K«-l)(r»-r'«)-(P-r^]V
+ [£(e-l)(r'-/«) + (P-n]VI.
und dieCurye^ wird zu einer vierfach circnlaren Curve zehnter
Ordnung mit den vier auf der Geraden OCf liegenden Focalcentren Fj,
F,, e,, Jffi, wobei
OFi= cm, 0J^g=(l-6)m,
Sie hat mit der unendlich fernen Geraden, von den Ereispunkten ab-
g^esehen, noch zwei im Allgemeinen imaginftre Punkte Q|, Q, gemein, die
durch das Geradenpaar bestimmt sind:
Ist r = r\ oder 2 = T, so fallen Q| , Qg °^^^ ^^^ Ereispunkten zu-
sammen, und die Eniecurve berührt in diesen die unendlich ferne Gerade.
Die Punkte Q^, Q, Bind nur reell, wenn
p-r«= + «(€-l)(f*-r'»)
ist, und dann vereinigen sich Qi und Q^ im unendlich fernen Punkte der
y- bez. a;- Achse. Wir wollen beide Fftlle getrennt betrachten.
List P— r*=— £(« — l)(r*— r *), so verwandelt sich Gleichung 6)
durch die Substitution y^—M^^of' in eine Gleichung vierten Grades in
Bezug auf m^ mit dem Anfangsglied
{'^€(£-l)(r8--r'«)ma: + m«[«(€-l)/»-r«]--£«(«-l)(H--/«)«)V;
die Curve ii; hat folglich im unendlich fernen Punkte der y- Achse einen
Selbstberührungspunkt mit der Asymptote:
Soll % mit dieser Geraden nicht nur vier, sondern sechs unendlich
benachbarte Punkte gemein haben , so finden wir als nothwendige und hin-
reichende Bedingung:
264 üeber eine gewisse Klasse von ttbergeschlossenen Mechanismen.
11) r«=«(«-i),*,
also
12) P=€(£-l)r'«,
und dann geht Gleichang 10) ttber in
13) 2ma; = m«+6(r»-r'«).
Nun zeigt aber die weitere DurchfHhrung der Rechnung, dass die
Substitution 13) der Cunrengleichung identisch genfigt, das heisst, die
Eniecurve zerfällt in die doppelt zählende Oerade 13) und eine
vierfach circulare Curve achter Ordnung. Gegenwärtig ist
OH, •^fi7 = m-0ff,;
die vier Focalcentra JF\; F^^ &|, H^ liegen also paarweise symmetrisch in
Bezug auf den Mittelpunkt von 00. Der durch die Gleichungen 9), 11\
12) definirte Mechanismus ist bekannt unter der Bezeichnung , zweite'
Hart'sche Geradführung.* Betrachten wir in demselben nicht 00
sondern RIX als festes Glied, so beschreibt der Punkt K einerseits eine
Gerade, die auf RiC senkrecht steht.
IL Nehmen wir an, essei?— r*= «(e — l)(r*— r *), so verschwind«!
in Gleichung 6) die Glieder mit x^^ und ci?^ und sfi erhält den Factor:
die Curve h hat also im unendlich fernen Punkte der Geraden OO einen
isolirten Punkt. Derselbe verwandelt sich in einen Rückkehrponkt mit
der Tangente 00 für
m«[£(€ - l)r«- V^ = ««(« - 1) ir^- »"'T
Es ergiebt sich weiter, dass dieser Bückkehrpunkt in einen Selbst-
berührungspunkt übergeht, weim gleichzeitig |
ist, also für . . , ,^
p=6(e-l)r»,
r«=6(f-l)(2r8-r'«).
Setzen wir in diesem Falle in der Curvengleichung y = 0, so ergebt
sich für X eine Gleichung sechsten Grades mit dem Anfangsgliede:
16a»(f-l)V*(r«-r«)5fl^.
Dasselbe verschwindet nur für die nicht in Betracht kommenden An-
nahmen £ = 0, f = 1 und für r = r, das heisst e = oo. Daraus folgt, dass
die Gerade OCX in keinem Falle einen Bestand theil der Eniecurve bilden kaaxu
* Hart a.a.O.
Von Dr. R. Müller. 265
IIL Ist endlich in Verbindung mit Gleichung 9)
so reducirt sich die Gurre k durch abermalige Ablösung der unendlich
fernen Geraden auf eine bicirculare Curve achter Ordnung, die auch sym-
metrisch ist in Bezug auf die Mittelsenkrechte der Strecke Off. Setzen wir
so lautet das Glied achten Grades der Curvengleichung:
w*(x« + y«)«{[?-K«-l)r*?(a^'*+y*)'+16«(£-l)r«Pa?'VI-
Die Corvo hat demnach vier durch den Mittelpunkt von Off gehende
Asymptoten; dieselben sind imaginär, wenn nicht
P=€(6-l)r«
ist. Unter dieser letzten Voraussetzung zerfällt die Kniecurve in die
doppelt zählende Gerade x = 0 (vergl. Fall I) und in die bicirculare
Curve sechster Ordnung:
yV*+y*)*-2[(5) + *(2«-l)«'*]y*{aj'*+»*) + (2£-i)»mV+«Vx*
+ ([(jy+ ^**J- «»»»VJy«» 0
mit den Focalcentren JP|, JP^, mit einem Selbstberührungspunkte im un-
endlich fernen Funkte der Geraden Off und einem Doppelpunkte in der
Mitte von Off.
Hiermit sind die sämmtlichen Fälle erschöpft, in denen die Kniecurve
einen reellen unendlich fernen Punkt enthält, und es ist gleichzeitig die
Frage nach denjenigen Bedingungen erledigt, unter denen eine endliche
Gerade als Bestandtheile der Curve auftreten kann. Wir haben nämlich
gefunden, dass der einzige Fall dieser Art bei der „zweiten" Hart-
schen Geradftthrung vorliegt; dieselbe stellt also die einzig
mögliche Geradführung dar, bei welcher der geradlinig be-
wegte Punkt mit zwei gegenüberliegenden Vierecksseiten ge-
lenkig verbunden ist.
5. Zerfällt in Figur 1 die Curve h in einen Kreis und eine gewisse
andere Curve, so ist der Kreismittelpunkt identisch mit einem der früher
bestimmten Focalcentra der Je. Wir erhalten dann einen übergeschlossenen
Mechanismus, indem wir diesen Mittelpunkt mit dem Punkte K gelenkig
verbinden. Können wir gleichzeitig den Punkt K an das vierte Glied BR
anschliessen, ohne dadurch die Beweglichkeit des Mechanismus aufzuheben,
so gehört der neue Anschlusspunkt zu den Focalcentren der Kniecurve f,
die K in Bezug auf das Glied BB' beschreibt
266 üeber eine gewisse Klasse Yon ttbergeschlossenen Mechanismen.
Von solchen übergeschlossenen Mechanismen kennen wir bisher die
folgenden Arten:
I. In Figur 2 ist 0 (/KR ein beliebiges Gelenkviereck ; die Dreiecke
O'R'S^^ 00' Tj BR% sind gleichsinnig ähnlich mit dem beliebigen Dreieck
OBS. Bilden wir das Parallelogramm TffS'K, so ist bekanntlich ^OHK
gleichsinnig ähnlich mit AOffT"^, mithin ist auch 8BZK ein Paralldo-
gramm und die Vierecke 0TK8 and KS'B'X sind gleichsinnige shnlich
mit OO'B'B. Ersetzen wir die Strecken SK^ TK, 8'K, %K durch em
viergliedriges Gelenk, so ergiebt sich ein übergeschlossener Mechanismus.
Derselbe besteht aas zwei Sylvester 'sehen Pantographen**, die in den
Punkten 0^ B\ K verbunden sind; wir wollen ihn deshalb kurz den
SjWester'schen Mechanismus nennen.***
Entfernen wir in Figur 2 die Glieder TK^ %Ky so kann der Punkte
in Bezug auf die Glieder OO'y BB' bez. die vollständigen Eniecurven ik, I
beschreiben, deren Focalcentra wir wie früher mit Fj, J?',, ö,, G^^ H^^ H^
%i} %ii ®i) ®8> $u $s bezeichnen. Dann sind F^j %2 ^^^^ Definition
nach bez. identisch mit den Anschlusspunkten T, £. Die Focalcentra Hy
n^ ergeben sich aus Gleichung 8). Nun ist in Figur 2) :
14) i = SZ = JB3: = B2r. ^ = en
und
BS
15) r=S'K^ O'T = OCy. -^J = m^l + 6*-2«co5a;
folglich geht Gleichung 8) über in
(f- eme-'«){[w«- «(m*-n«)c««]J- amnV«} = 0.
Die erste Lösung derselben, {;= cme*"'', giebt wiederum den Punkt T;
der Sjlvester'sche Mechanismus wird also dadurch charakteri-
sirt, dass im Anschlusspunkte T zwei Focalcentra der Curvel
vereinigt sind, nämlich F^ und einer der beiden Punkte E.
Ebenso liegen in % zwei Focalcentra der Curve f, nämlich ^<
und ein $.
Ist CL nicht gleich 0, so bilden umgekehrt die Gleichungen 14) und
15) die nothwendige und hinreichende Bedingung, unter welcher die Poeal
centra F^^ ^^ bez. mit einem der Punkte H^ ^ zusammenfallen.
Die Eniecurve "k spaltet sich gegenwärtig in den doppelt zählend»
Kreis um T mit dem Badius TK und in eine vierfach circulare Curre
achter Ordnung. Wir erhalten dieselbe als Bahncurve des Punktes Jl*.
wenn das Knie SK*S^ symmetrisch ist zu SKS\
* Barmester: Banematik I S. 296.
♦* Daselbst: S. 662.
**^ Burmester: Die Brennpunktmechanismen , diese Zeitschrift 38. JafargsB^
S. 218.
Von Dr. B. Müller. 267
An Stelle der Focalcentra F^^ gj können wir auch F^, f^| als An-
schlasspunkte eines Sylvester^scben Mechanismus verwenden. In diesem
sind die Dreiecke OClF^ und i2£'t$i gleichsinnig ähnlich mit 2205; JT wird
der gemeinschaftliche Eckpunkt der Parallelogramme F^OSK und S'K^^K^
und es ist 8K=fn}/\+e^^2eco8a, 8'K ^ sn.
Ist in Figur 2
16) m«(l +B^-2ecosa)^ a^n«,
das heisst, (/T^ BZ = cn, so wird
und dann sind alle yier Punkte F^, F^^ f^j, ^^ ^^^ Reihe nach identisch
mit H|, B,, $1, $2* ^° diesem besonderen Falle, der in Figur 3 dar-
gestellt ist, können wir gleichzeitig den Punkt K mit JP|, %^ und in der
symmetrischen Lage des Knies den Punkt K* mit F^^ %^ zu einem Syl-
vester'schen Mechanismus verbinden.
Wie sich leicht ergiebt, enthält Gleichung 16) die Bedingung, unter
welcher in Figur 2 die Punkte S^ 8' im Laufe der Bewegung zusammen-
treffen. Die Qlieder SKj 8'K können um die beiden Treffpunkte ver-
einigt rotiren ; dieselben gehören also zu den Focalcentren der Curve h und
sind folglich identisch mit G^|, Cr^, In Figur 3 zerfällt demnach die Curve
zwölfter Ordnung Je in zwei doppelt zählende Kreise um F^ und J^^ und
in die einfach zählenden Kreise um O^ und &,.
IL Bei dem von Kempe angegebenen Mechanismus*, den Burmester
als Brennpunktmechanismus bezeichnet hat, ist das Viereck O&B^B
gleichfalls beliebig und 8 ein beliebiger Punkt auf der Seite 0B\ iS' theilt
die Seite O'JB' im Verhältniss 08 : B8, und die Punkte T, t, K werden
so bestimmt, dass die beiden Vierecke 0TK8 und K%B'8\ sowie auch
0'TK8' und KZB8 entgegengesetzt ähnlich sind (Fig. 4). Dann bleibt
der Punkt K während der ganzen Bewegung der Koppelgeraden BB' ein
Brennpunkt eines dem Viereck OO'BB' eingeschriebenen Kegelschnitts.
Setzen wir wieder 00'= Wy BR^n, OB^r, 0'B^=>r\ 08^ er,
SK=ly 8'K=t und verstehen unter e' eine Wurzel der Gleichung:
|[m*-€(m»-w«)]^'^-[m«-6(m«-n«) + «(l-0(r'-O]/
^'^^ i +e(l-Or*=0,
so ist nach Kempe:
18) 0T=sm, BZc=En.
19) p=f,'|iii/^ r«^A(]-o(i-«V.
20) Tir«=«'4^«*, 3:K>=-(l-£)(l-«>*.
1 — i e
* Kempe a. a. 0.
268 üeber eine gewisse Klasse Yon abergeschlossenen Mechanismen.
Für 0 = 0, {; c= c'in und die angegebenen Werthe yon P nnd t^ gehen
die Gleichungen 7) und 8) ttber in 17), das heisst; im Anschlnsspankie
T fällt einer der beiden Punkte (r mit einem H zusammen,
etwa Gl mit Hj. Ebenso vereinigen sich in St die Punkte @t
und S^j*, Die vollständige Eniecurve k besteht demnach aus dem doppelt
zählenden Kreise um T und einer vierfach circularen Curve achter Ord-
nung mit den Focalcentren JP|, Fg, G^^ H^. Dieselbe ergiebt sich als
Bahncurve des Punktes Z*, der zu K symmetrisch liegt in Bezug auf SS*.
Ist r = w, /= m, so liefert Gleichung 17) die Wurzeln:
und
m*— £(w*— w')
Für die erste derselben folgt aus 18) nnd 20):
(l~f)m^n
OT=TK= , : ; 5T» $:E=JK =
"tn^- £(«»«-»«) «i«-€(i»*-n«)
und aus 19):
J = £n = i2g,, r=(l-€)w= F^(y.
Dieselben Werthe ergeben sich aber aus 14) und 15) für a s= 0 , das
heisst, wir erhalten aus dem in Figur 5 gezeichneten Brenn*
punktmechanismus einen Sjlvester'schen Mechanismus, vrenn
wir das Knie 8K8' in die symmetrische Lage SK*8' bringen und K* m:\
JPi und $2 verbinden. In diesem besonderen Falle vereinigen sich dreimil
je zwei Focalcentra der Carve k^ nämlich H^ mit Gi in T, H^ mit F^.
ö, mit JP,5 dabei ist 0F^== F^O'^ SB'. Die Curve k spaltet sich »
drei doppelt zählende Kreise um T, F^ und F^ bez. mit den Radien OJ,
as\ 8'JS!,
Wir bemerken beiläufig, dass es keinen speciellen Fall des in Figur 4
dargestellten Brennpunktmechanismus giebt, bei welchem es möglich w£re,
analog zu Figur 3 den Punkt K* mit S, 8\ G^, ®^ zu einem zweiter
Brennpunktmechanismus zu verbinden.
in*
Für € = — ö 5 wird die eine Wurzel der Gleichung 17) unendlici
gross; der zugehörige Brennpunktmechanismus ist identisch mit der zweitec
Hart'schen Geradftthrung.
6. Ausser dem Sjlvester'schen und dem Brennpunktmechanismo^
kennen wir noch drei andere übergeschlossene Mechanismen , bei den^n
aber das Gelenkviereck OCfliB nicht mehr willkürlich ist.
* Aber die Gleichungen 19) bilden nicht die nothwendige Bedingung' flr
das ZuBammenfalleu von G^, und IZi, ®| und $t.
Von Dr. B. MOllbb. 269
IlL Ist in Pignr 6 „,^. „.^ ^^. ,^^
80 sind die Diagonalen OR and (XB beständig senkrecht auf ein^der.
Der Schnittpunkt K derselben hat yon den Mittelpunkten S, 8\ T, Z der
Seiten r, r, m^ n bez. die unveränderlichen Entfernungen
ü !1 5Ü. **
T 2' 2' "2'
wir erhalten demnach einen übergeschlossenen Mechanismus, indem wir
die Strecken SK^ S'K, TK, ZK im Punkte K zu einem viergliedrigen
Gelenk verbinden.*
Setzen wir in den Gleichungen 7) und 8):
«» = r« + r'«-m» « = 0, .= 1. 1 = ^, 1'=^,
so gehen beide über in
(£-|)[(r'+r'«)£-mr«) = 0.
Von den sechs Focalcentren der Curve k fallen also vier,
nämlich F^j F^ und je einer der Punkte G und H mit T zu-
sammen, während die beiden anderen G und H in einem Punkte
U der Geraden OO vereinigt sind; dabei ist
Machen wir noch auf 2222' die Strecke
22U=-j^,,
r* + r *
so zählt U für zwei| % für vier Focalcentra der Curve C.
1 , r*
Für € = o» c' = ^ , ,^ verwandeln sich die Gleichungen 19) in
f^-^-r
* 2' 2
Lösen wir daher in Figur 6 das viergliedrige Gelenk bei K auf und
bringen das Knie SKS' in die symmetrische L^ge 8K*8\ so können wir
K* mit U und U zu einem Brennpunktmechanismus verbinden. —
Fragen wir umgekehrt nach der Bedingung, unter welcher bei dem
in Figur 4 dargestellten Brennpunktmecbanismus die Focalcentra F^ , F^,
G^y H^ in einen Punkt zusammenfallen, so finden wir
m* + w* = r* + r'^, « = 5 ♦
wie in Figur 6.
Im vorliegenden Falle besteht die Kniecurve h aus dem vierfach
zählenden Kreis um T mit dem Badius TK und aus dem doppelt zählenden
* Bnrmester: Kinematik I S. 698.
270 üeber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
Kreis um JJ mit dem Radius UK*, In der That, lassen wir in Figur 6
die Koppel BB' alle möglichen Lagen oberhalb der Geraden OCf continmr-
lich einmal durchlaufen, so beschreibt der Punkte viermal hin- und her-
gehend ein Bogenstück des ersten Kreises, während der Punkt K* den
zweiten Kreis einmal ganz durchwandert, und das entsprechende gilt Dir
diejenige Bewegung der Koppel BB\ die zur ersten symmetrisch ist in
Bezug auf Off,
Wir können auch die Punkte S^ S', T, £ mit einem gewissen Punkte J
zu einem Brennpunktmechanismus vereinigen. Dann ist f=n) ^^o nach
19) und 20): r' r
das heisst 8K8'J und ebenso TEZJ ein Parallelogramm. Wahrend die
Glieder OB, (/i2', TK zwischen gewissen Grenzlagen hin- und herschwingen,
macht das Glied TJ gleichzeitig mit UK* eine volle Umdrehung.
Der Rest der zum Punkte J gehörenden Kniecurve ist eine eigenüiehe
Curve achter Ordnung. Von ihren Focalcentren sind zwei in T vereinigt;
das dritte ist [7, und das vierte liegt auf OO' symmetrisch zu TT in Bezog
auf T.
rV. In Figur 7 ist OffB'B ein Parallelogramm und die Dreiecke
ffB'8' und BB^Z sind bez. congruent mit den beliebigen Dreiecken OBS
und OO'T, Construiren wir das Parallelogramm SOTK^ so sind anch
8*K, XJT bez. gleich und parallel zu O'Tj BS-^ die vier in K zusammen-
stossenden Strecken bilden also ein viergliedriges Gelenk.*
Im vorliegenden Falle ist m ^ n^ r ^ r'f folglich verwandelt sict
Gleichung 8) in ,„«jt- w(m«+P-^'^t + w«P = ü,
oder, wenn m den Winkel TOO' bezeichnet,
{;«-2ZJco«a) + P = 0,
oder
(£-le'«)(J:-Ze-'") = 0.
Die Focalcentra H^, H^ sind also identisch mit T und mit
dem Punkte T*, der zu T symmetrisch liegt in Bezug auf 00\
Machen wir die Dreiecke 88'K* und JRB't* congruent zu GOT*, sc
werden T*K*, Z*T* bez. gleich und paraUel zu TKy ZK. Die voll-
ständige Curve h zerflQlt demnach in die einfach z&hlenden E[reiae nc
T und T* vom Radius TK und in eine vierfach circulare Curve achtff
Ordnung, die wir erhalten, wenn beim Durchgange durch die Dnrtk-
schlagslage das Parallelogramm 00' SB in ein Antiparallelogramm abergeht
* Burmester: Kinematik l S. 596.
Von Dr. R, Müller. 271
V. Bei dem in Figur 8 gezeichneten Gelenkmechanismus ist
Od^ BB:= w, ob = 0'E'= r,
OS c= 8'B= 8, 8K==8'K^ l]
dabei sind die Strecken m, r^ 8, l vollkommen unabhängig yon einander.
Schneidet die Oerade Sl^ die Seiten 00\ BB' bez. in T, St und bezeichnen
wir den Mittelpunkt von SS' mit M, so ist
SK^- TK^^SM*- TM*=ST.SZ = ~ RO'-^^^^OB'.
r r
Aus dem Kreisviereck OO'BB! folgt aber
oa. BB'=. Ro\ ob:+ ob . &k,
oder
Die einander gleichen Strecken TK, %K sind also während der ganzen
Bewegung constant und folglich durch Gelenke ersetzbar.*
In den Punkten T, SC vereinigen sich bez. die Focalcentra
Fif F^ und %i, %^. — Wir kommen auf diesen Fall später ausführlicher
zurück.
7. Um in systematischer Weise die sftmmtlichen ttbergeschlossenen
Itfechanismen zu erhalten, die sich überhaupt durch Einfügung eines vier-
gliedrigen Gelenks aus dem Gelenkviereck construiren lassen, kOnnten wir
zunächst untersuchen, unter welchen Umständen sich in Figur 1 der Punkt K
noch mit einem dritten Gliede, etwa 00\ durch ein Gelenk verbinden
lässt. Dies verlangt die Angabe aller derjenigen Bedingungen, denen die
Grössen m^ n^ r^ r\ 9, 8\ a^ a\ l^ t genügen müssen^ wenn ein gewisser
Kreis um eines der bereits bestimmten Focalcentra als Bestandtheil der
Carve h auftreten soll. Dabei kommen die mit 0, 0' zusammenfallenden
Focalcentra nicht weiter in Betracht; kj5nnte nämlich der Punkt K einen
Kreis um 0 beschreiben, so würden die Punkte 0, B, K ain unveränder-
liches Dreieck bilden, das mit dem Dreieck O'B'S^ durch die drei Glieder
00\ BB\ KS' verbunden wäre.
Verstehen wir unter q den unbekannten Kreisradius, so fragt es sich,
in welchen Fällen die Substitution
21) y»« - a?+ 2^x + 2fiy - J«- iy»+ p«
der Curvengleichung 4) oder 6) identisch genügt, wenn wir für {, i? der
Reihe nach die Coordinaten der mit Fj O, H bezeichneten Focalcentra
setzen.
Bei dieser allgemeinen Fassung der Aufgabe würde sich aber die Rech-
nung sehr umständlich gestalten. Wir beschränken uns daher zur vorläufigen
^ Burmester: Kinematik I S. 571.
272 üeber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
Orientiriing auf die Betrachtang eines speciellen Falles, indem wir an-
nehmen, das Viereck OO'I^B sei ein Parallelogramm (Fig. 9).
Construiren wir dann die Parallelogramme OS KT und O'S'KT^ so wird
Winkel TKT'= a — a. Demnach ist T KT' ein starres Dreieck, und die
Kurve, die K in Verbindung mit dem Parallelogramm OO'R'B beschreibt,
ist identisch mit der Koppelcurve k^^ die wir erhalten, wenn wir K an
die Seite TT des Gelenkvierecks OO'T'T anschliessen. Geht das Viereck
OO'B^R in seiner Durchschlagslage in ein Antiparallelogramm über, so
erzeugt der Punkt K eine neue Curve k^, die mit ki vereinigt die voll-
ständige Kniecurve k darstellt. Nun ist kt bekanntlich eine tricirculare
Curve sechster Ordnung, mithin ergiebt sich der Satz: Sind in dem
Gelenkviereck OO'ICB je zwei gegenüberliegende Seiten ein-
ander gleich, so spaltet sich die Kniecurve k in eine Koppel-
curve \ und eine vierfach circulare Curve achter Ordnung k^.
Für m=^ n, r = r' zerfällt die Gleichung 5) in die beiden Gleichungen:
22) mt^ " {m* + r8e-^''-r3€'*'^)t + wse-««(r-«e-<«') = 0
and (äV*- «c'«') i + msef""' « 0.
Die erste bestimmt zwei Punkte 6^^, Q^^ die zweite einen Punkt ff„
den wir erhalten» indem wir AOO'O-^ gleichsinnig ähnlich machen mit
ATT'K. Die Punkte 0, 0\ &, sind bekanntlich die Focalcentra der Koppel-
curve X^; die Curve k^ hat demnach zu Focalcentren die Punkte
^1, F,, Gl, ©,.
Sind alle vier Seiten des Vierecks 00'B!R einander gleich, so werden
(?i, (?2 hez. identisch mit F^, P^, und die Curve k^ verwandelt sich in
zwei doppelt zählende Kreise um F^ und F^, Dann kann sich nfimliek
das Viereck nicht mehr als Antiparallelogramm bewegen, sondern es ftllt
entweder OB zusammen mit 00\ so dass die Glieder O'B' und ItS Ter-
einigt um 0' rotiren — oder es deckt sich O'S mit O'Oy und die Glieder
OJß, B^B drehen sich gemeinschaftlich um 0. Im letzten Falle gelangt
der Punkt 8' in die feste Lage JP^, und wir erhalten das Gelenkriereck
O8KF2 mit dem festen Gliede OF^.
8« Wir setzen im Folgenden voraus, in dem Parallelogramm OffE^E
seien die benachbarten Seiten nicht einander gleich. Soll dann der Punkt K
in Bezug auf das Glied 00' eines Theils einen Kreis beschreiben, so muss
derselbe entweder in der Koppelcurve k^, oder in der Curve k^ enthalten
sein. Wir untersuchen zunächst, wann der erste Fall eintreten kann.
I. Die Koppelcurve k^ besteht aus einem Kreis und einer bicireolaren
Curve vierter Ordnung, wenn in Figur 9 das Viereck OCfT'T zu einea
Parallelogramm wird, das heisst für:
23) (und , *"/'
Von Dr. E. Müller. 273
Dann verwandelt sich Figur 9 in Figur 10, in welcher die Seiten SK^
S'K der Parallelogramme OSKT, 0'8'KT' zusammenfallen. Die Gleich-
ungen 23) enthalten demnach die Bedingung, unter welcher die Eckpunkte
8j 8' der Dreiecke OBS, O'B'S' im Verlaufe der Bewegung des Parallelo-
gramms OCfB'B einmal zusammentreffen. Die sich deckenden Glieder 8K^
S^K können naturgemäss um diesen Treffpunkt rotiren, während das Gelenk-
yiereck in Buhe bleibt, ein übergeschlossener Mechanismus ergiebt sich
hieraus aber nicht.
IL Sind in Figur 9 die Dreiecke OBSy O'KS' gleichsinnig congruent^
so wird die Strecke TT'== 0, und das Gelenkriereck 00' TT geht über in
das starre Dreieck OO'T. Dann zerfUUt die k^ in die doppelt ztthlende
unendlich ferne Gerade und in zwei Kreise vom Badius a um T und um
den Punkt T*^ der zu T symmetrisch liegt in Bezug auf 00\ Machen
wir noch ABS^T congruent zu AOO'T und verbinden K mit £, so er-
halten wir den in Figur 7 dargestellten ttbergeschlossenen Mechanismus.
III. Die Curve Ict spaltet sich endlich in einen doppelt zählenden Kreis
um 0 und in die beiden Geraden, die den Punkt 0' mit den imaginären
Kreispunkten verbinden, wenn in Figur 9 der Punkt K mit T zusammen-
föllt. Dann müsste aber « = 0, das heisst 8 identisch sein mit 0 — eine
Annahme, die gegenwärtig nicht in Betracht kommt.
9. In Figur 11 ist das Gelenkviereck OO'B^B in ein Antiparallelo-
gramm übergegangen; der Funkt K beschreibt also augenblicklich die
Curve ftg. Bezeichnen wir wie in Artikel 1 mit 0» d' die Winkel, welche
bez. die Strecken OB, O'B^ mit der oberen Seite der Geraden 00' ein-
schliessen, so ist ^ ^
^'=18(y> + jB0'JB*-JB0'0
WWÄOÄ = — TTT^— f COSROR^ jrr= J
UIC U Ja
sinRO'0='-^. cosR&0 = ^^=^,
i»^ + H— 2mrco8^
(m* + r^)co3 ^ — 2«tr
C08 ^ = =— r 5 s — •
nir + r^—2mrco8d'
Setzen wir in Gleichung 2) für sin^' und cos^' die gefundenen Werthe
und eliminiren hierauf O zwischen 1) und 2), so erhalten wir als Gleichung
der Curve Ä;,:
[f^PP'+ 2wr (5'a'P-saP') -4«»'««'«a + 2Ä5'(i»«-r«)(aa'+ hV)]
Zaitschrif t f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1895. 5. Hof t. 1 g
24)
274 üeber eine gewisse Klasse von übergeschlossenen Mechanismen.
Es handelt sich nun um Angabe der sttmmtlichen FSlle , in denen die
Substitntion 21) dieser Gleichung identisch genügt, wenn £, i} zunfichst die
Coordinaten von F^ (oder F^), sodann diejenigen eines der Punkte ^j, G^
bedeuten. Ohne auf die immerhin langwierige Rechnung weiter einzugehen,
beschränken wir uns im Folgenden auf die Mittheilung der erhaltenen
Resultate«
I. Setzen wir für S, 17 die Coordinaten von F^:
^ ms ms ,
r ' r '
so zeigt es sich, dass die linke Seite der Gleichung 24) in zwei FftUen
identisch verschwindet, nämlich:
A. Füra = ö', » = s*, l^y-f i'*= ^(r*+fi«- 2r «(»««), q = s.
Gegenwartig ist SiT^^O P^, S'K = (/F^, F^K^OS=^ CfS\ also das
Viereck F^&S^X ein Parallelogramm und OF^KS ein Antiparallelogramm.
Machen wir noch ARB!%^ gleichsinnig congruent zu AOO'F^, so wird B%^
parallel und gleich zu SA'; wir erhalten daher den in Figur 2 dargestellten
Sylvester'schen Mechanismus für den speciellen Fall, dass das Viereck
00'R!R ein Antiparallelogramm ist. Die Curve \ spaltet sich in den
Kreis ^^ ^^ ^1 ^^^ ^^^ Radius s und eine tricirculare Curve sechster
Ordnung li\ mit den Focalcentren F^, G^^ G^, Dieselbe ist übrigens keine
Koppelcurve, wie wir am einfachsten in dem speciellen Falle a = «'= 0
erkennen. Dann wird die Jtf'^ symmetrisch in Bezug auf 0(/; sie schnei-
det diese Gerade in denselben Punkten, wie der Kreis k'^ und hat über-
dies auf 00' zwei Doppelpunkte. Von den drei Focalcentren f&llt der
Punkt F^ auf 00', und die beiden anderen Punkte (7^, G^ liegen auf odei
symmetrisch zu 00\ je nachdem m^^4s{r^s) ist. Wäre Jc\ eine Koppel-
curve, so müsste sie auf 00' gleichzeitig drei Focalcentra und drei Doppel*
punkte besitzen. — Die Koppelcurve k^ zerfällt gegenwärtig in den Kreis V^
in den Kreis, der zu diesem symmetrisch ist in Bezug auf 00\ und in die
doppelt zählende unendlich ferne Gerade.
B. Die linke Seite der Gleichung 24) wird ferner identisch zu Null fAr
f A ^ 77/9« s(r — fi)(w*— r*)
Durch diese Relationen ist aber der in Figur 8 dargestellte Mechanis-
mus definirt. Da bei demselben die beiden Focalcentra F^, F^ mit dem
Punkte T zusammenfallen, so bildet der Kreis um T mit dem Radius TK
einen doppelt zählenden Bestandtheil der Curve k^,
Lässt sich aus den Strecken 00\ OS^ O'S' ein Dreieck construiren«
so fallen die Punkte S und S' während der Bewegung des Antiparallelo-
gramms zweimal zusammen, und dann sind diese Tref^unkte, um welche
die Glieder SK^ S'K vereinigt roiiren, identisch mit den Focalcentren Gi, Gp
Von Dr. B. Müllbb. 275
Der Best der Cnrve h^ besteht demnach ans zwei reellen oder imagin&ren
Kreisen vom Radius l, deren Mittelpunkte von 0 um 9, von & um r ^ 8
entfernt sind.
Dieses Ergebniss bestätigt in anschaulicher Weise den letzten Satz des
Artikels 2. Es beschreiben nämlich alle Punkte K, die wir in Figur 8
durch zwei beliebig, aber gleich lange Glieder Si^y S* K an die Punkte S^ S'
anschliessen können , drei Schaaren concentrischer Kreise um T, G^, G^
und überdies eine Schaar symmetrischer Eoppelcuryen mit den festen Focal-
centren 0, 0\ G^; dabei theilt G^ die Strecke Otf im Verhttltniss OS : O'S''
II. Die Coordinaten der Punkte G^^ G^ sind nach 22) die reellen
Losungen der beiden Gleichungen:
*>*(S*— V^ — (w»*+ rscosa — rs'cos «OS — r(8sin a — s'sm a')iy
+ mrs cos a — m ss'cosia + a') = 0,
2m|i; + r{8sin a — s'^in o')S — {m'+rscos a + rs^cosa*) ri
^mr8 8ina + mss'sin (a + «') = 0.
Bilden wir nun wieder die Bedingungen , unter denen die Substitution 21)
der Gleichung 24) identisch genügt, so führt die Bechnung einerseits auf
die selbstyerstftndliche Forderung, es müsse l^V und im Uebrigen die
Figur so beschaffen sein, dass die Punkte S und S' zusammentreffen können.
Davon abgesehen ergiebt sich ein einziger Fall, in welchem die linke Seite
von 24) identisch verschwindet; derselbe wird definirt durch:
ft = a'=0, 3 = s',
P=i«, j'* =(«•-$)«, ^« = A
Die quadratische Gleichung fttr £ bestimmt zwei auf 00' liegende
Punkte £^1, G^. Construiren wir dann ein Knie mit den Schenkeln
Sl^^OG^, S'K^ffG^y
so entsteht ein übergeschlossener Mechanismus, indem wir K mit G^ durch
das Glied G^X e=s s verbinden.
Machen wir noch auf RIÜ die Strecke R@j^^ OG^^ so wird
und wir erhalten einen Brennpunktmeohanismus, der aus Figur 4
hervorgeht, wenn m = n, r =? / ist. Dann folgt nämlich aus Gleichung 17):
setzen wir nun s'm =3 £, er » 5 und vertauschen die Buchstaben T, % bez.
mit (?|, ®i, so liefern die Gleichungen 18) bis 20) die soeben an-
gegebenen Werthe fttr OC,, Ä®,, I, T, CjA", ©^Ä^.
Im vorliegenden Falle besteht die Curve k^ aus dem Kreise Jd^ um G^
mit dem Badius 8 und aus einer tricircularen Curve sechster Ordnung
k'\ mit den Focalcentren F|, F^, G^, Dieselbe berührt den Kreis in seinen
18*
276 üeber eine gewisse Klasse von flbergeschlossenen Mechanismen.
beiden Schnittpankten mit Off and hat überdies auf 0€f zwei Doppel-
punkte, ist also wiederum keine Eoppelcnrve. Die Cnryeiki zerßUlt in den
doppelt zählenden Kreis Jc^ und die doppelt zählende unendlich ferne
Gerade.
Der Sylvester 'sehe und der Brennpunktmechanismus erscheinen hier
als diejenigen Sonderfälle der Figur 7, in denen das dort gezeichnete Parallelo-
gramm 0 O'R'R zugleich als Antiparallelogramm bewegt werden kann. Aber
der in Figur 7 dargestellte Mechanismus ist nicht, wie jene beiden, auf
das allgemeine Oelenkviereck übertragbar.
10. Die Untersuchung des Gelenkvierecks , in welchem je zwei g^en-
überliegende Seiten einander gleich sind, hat somit nur zu solchen fiber-
geschlossenen Mechanismen geführt, die unter den in Artikel 5 und 6
angegebenen bereits enthalten sind. Wir können hieraus einige Schlüsse
ziehen für den allgemeinen Fall, dass die Seiten des Vierecks OO'lfR
keinerlei Beschränkungen unterliegen. Zunächst folgt, dass es keinen
allgemeineren übergeschlossenen Mechanismus giebt, der den
Sylvester'schen oder den Brennpunktmechanismus als speciellen
Fall enthält; dabei kommen selbstverständlich immer nur solche Mechanis-
men in Betracht, die sich aus dem Gelenkviereck durch Einfügung eines
viergliedrigen Gelenks bilden lassen.
unter den vier Mechanismen , welche der soeben behandelte Sonderfiall
geliefert hat, befindet sich nur einer, bei welchem die Punktgrnppen OBS
O'RS' nicht gleichsinnig ähnlich sind, und dieser (Fig. 8) ist offenbar nur
dem Antiparallelogramm eigenthümlich. Bei der Betrachtung des allgemeinen
Gelenkvierecks werden wir deshalb von vornherein voraussetzen, es sei
t^ORS gleichsinnig ähnlich mit AO'r!S'.
Für m =: n, r ssf^ stellt femer Figur 7 den einzigen Mechanismus dar,
bei welchem im Anschlusspunkte T nur ein Focalcentrum der Curve h liegt
und der Kreis um T einen einfach zählenden Bestandtheil der Kniecnrve
bildet. Sind nun bei einem übergeschlossenen Mechanismus die gegenüber-
liegenden Seiten des Vierecks OO'R'R nicht einander gleich, so wird jener
Kreis um den Anschlusspunkt T als Bestandtheil der zerfallenden Kniecurre
immer doppelt zählen. Dies ist sofort ersichtlich, wenn wir das Viereck
so wählen^ dass die Glieder OA, (/R' nicht volle Umdrehungen maehen
können, sondern zwischen gewissen Grenzlagen zu beiden Seiten von 0(f
hin- und herschwingen. Um demnach aus dem allgemeinen GelenkTiereck
weitere übergeschlossene Mechanismen zu bilden, werden wir von Tom-
herein über die Grössen s, a, {, V so verfügen, dass irgend zwei Foeal*
centra der Curve X; mit einander zusammenfallen.
Der Vereinigung von F^ und F^, oder von F^ und H^^ oder Ton G^
und Hl entsprechen bez. die Figuren 8, 2, 4. Die Forderung, dass C,
und G^ zusammenfallen, führt bereits beim Antiparallelogramm zu keinem
neuen übergeschlossenen Mechanismus. Wir betrachten weiter den FaBt
Von Dr. R. Müllbb. 277
dass F^ mit G^ identiaoh ist — immer unter der Voranssetzang, es sei
AORS gleichsinnig ähnlich mit A^J^R'S'. Hierfür ergiebt sich aus Gleich-
ung 7) die Bedingung
(1- fe-'«)[(l- «c-'«)(in»-r«) + «e-«(w»- r «)] = 0
und dieser wird, wenn nicht a = 0, c = 1 oder m^r^ w = r' ist, nur
genügt durch:
25) «=0, (l-«)(m»-r«) + €(n«-r'»)==0.
Dann wird zugleich %^ identisch mit einem der Punkte ®t ^nd nun
fragt es sich, ob wir durch geeignete Wahl der Glieder 2, 2' die Curve X;
in einen Kreis um F^ und eine gewisse andere Curve spalten können. Die
Betrachtung des Sonderfalles in= n^ r = r giebt gegen wttrtig keinen Auf-
schluss, denn sie führt in Verbindung mit der letzten Gleichung auf die
Forderung tn^ r^ und unter dieser Annahme zerf&llt die Eniecurve, wie
am Schluss des Artikels 7 gezeigt wurde, für beliebige Werthe von e, 2, l\
Es bleibt demnach nur übrig, zu untersuchen, wann die Substitution 21):
y«s= — a?« + 2«fna? — €*•»• + q*
der Gleichung 6) identisch genügt; in dieser ist nach 25) zu setzen: '
eg«=m»-(l--20r«.
Die Rechnung liefert sofort als erste Bedingung € » » und damit
nach 25): m» + n« = H + /«.
Wir gelangen demnach zu dem in Figur 6 dargestellten Mechanismus,
bei welchem die Diagonalen des Vierecks 00' RR aufeinander senkrecht
stehen. Eine zweite Lösung ergiebt sich nicht.
Es wttre endlich noch der Fall zu untersuchen , dass H^ mit H^ identisch
wird. Nach Gleichung 8) vereinigt sich H^ mit H^ und gleichzeitig ^|
mit $,, wenn ^j ^ ^y = m«- « (m» - n«) e««
ist, das heisst, einerseits für
26) m^n, (2±0* = w»,
andererseits für
27) a = 0, (I±l7 = m»-«(m«^w2).
Die Bedingungen 26) führen zu dem Mechanismus in Figur 7 für den
speciellen Fall, dass der Anschlusspunkt T auf der Geraden 00' liegt. Die
BO entstehende Figur genügt für a s= 0 und für beliebige Werthe von l
und B zugleich der Gleichung 27) ; es scheint aber immerhin fraglich, ob
nicht diese letzte Bedingung für bestimmte Werthe von l und e noch
einen übergeschlossenen Mechanismus liefert, bei welchem das Viereck 0 0' A'jß
kein Parallelogramm zu sein braucht.
Um hierüber Auskunft zu erhalten , sind wir von einem Viereck aus-
gegangen, in welchem zweimal zwei folgende Seiten einander gleich sind
278 üeber eine gew. Klasse v. übergeschl. Mechanismen. Von Dr. B. MuLiiSB.
etwa r^m^ r s= n. Bei diesem kann das Glied OR mit dem festen GHede 0 ff
zur Deckung gebracht werden; bezeichnen wir mit F^ die zugehörige Lage
des Punktes 5, so bilden die Punkte 0\ F|, A", S' ein Gelenkyiereck und
die Eniecurve Ä; zerfällt in den doppelt z&hlenden Kreis k^ um F^ und eine
Curve achter Ordnung k^. Der Punkt G^ fUlt gegenwärtig mit F^ zusammen
und die Curve X's hat die Focalcentra F^y G^^ H^^ H^\ dabei ist
(l-t)m»
"''»= (l_e),„»+jn«'
nnd wenn die Punkte Hj und H^ sich vereinigen sollen , nach 27) :
Bilden wir nun die Gleichung der Curve Ä;^, machen wieder die Sub-
stitution yf=:_a?»+2|«-S«+9«
und setzen die Coefficienten der einzelnen Potenzen von x nach einander
gleich Null, so erhalten wir nur die unbrauchbare Lösung m s=ti, die auf den
bereits erwähnten speciellen Fall von Figur 7 zurückführen würde. Es ent-
spricht also auch der Vereinigung von J7^ und H^^ zunächst unter der
Voraussetzung r^^^m^ r^n und dann offenbar ebenso im allgemeinen
Falle, kein neuer übergeschlossener Mechanismus.
XV.
Die BesohletmiKUiigspole der kinematisohen Kette.
Von
Prof. F. WiTTENBAüER
in Gras.
Hienn Tafel X und XI Fig. 1—17.
Eines der wichtigsten und interessantesten Probleme der modernen
Kinematik ist die coustractive Ermittelung des Beschlennignngszustandes
kinematischer Ketten. Bis jetzt sind aaf diesem Gebiete noch geringe Er-
folge erzielt worden: ausser wenigen einfachen SpecialfHllen kinematischer
Ketten, für welche elegante Construetionen d^v Beschleunigung gefunden
wurden, kennt man keine allgemeine Methode für die Lösung des Pro-
blems: die Beschleunigung jedes Punktes einer kinematischen
Kette in Bezug auf jedes beliebige Glied derselben zu cou-
struiren.
Ich habe in zwei Abhandlungen: ,,Die Wendepole der kinematischen
Kette^ und „üeber den Beschleunigungspol der zusammengesetzten Be-
wegung** versucht, die Lösung dieses Problems vorzubereiten und hoffe,
dass es mir mit vorliegender Abhandlung, welche hauptsächlich die bisher
wenig beachteten Tangentialpole untersucht, gelungen ist, diese Lösung
selbst zu finden, indem ich zeige, wie man die Beschleunigungspole einer
kinematischen Kette mit Hilfe von Construetionen, die hauptsttchlich aus
projectiven Beziehungen hervorgegangen sind und zu ihrer Ausführung nur
das Ziehen von Parallelen und Senkrechten bedürfen, bestimmen kann.
Allerdings liefert der Beschleunigungspol nur die Richtung der Be-
schleunigung eines Systempunktes; allein der nttchste Schritt, die Be-
stimmung der Grösse der Beschleunigung, ist ein verhSltnissmitosig sehr
einfacher«
1. Bei jeder Bewegung eines ebenen unveränderlichen Systems in
seiner Ebene giebt es in jedem Augenblicke der Bewegung vier wichtige
Punkte (Fig. 1): den Drehpol 0, den Wendepol J*, den Tangentialpol H und
den Beschleunigungspol G.
An die Eigenschaften dieser Punkte möge hier kurz erinnert werden.
280 ' Die Beschlennigungspole der kinematisehen Kette.
Bezeichnet d den Durchmesser des über OJ beschriebenen Kreises,
des Wendekreises , e den Durchmesser des über OH beschriebenen Kreises,
des Tangentialkreises, m und X die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit
bezw. Winkelbeschlennigung des Systems, so gilt die Beziehung
die momentane Bewegung des Systems ist eine Drehung um O mit d&
Winkelgeschwindigkeit o ; gleichzeitig tritt um den auf der Poltangente OH
liegenden Taugentialpol H die Winkelbeschleunigung l auf und yerftndert m*
Der Beschleunignngspol liegt in der Senkrechten, die Ton O anf JE
gefüllt wird. Um ihn gruppiren sich die Beschleunigungen der System-
punkte in ähnlicher Weise, wie die Geschwindigkeiten der Systemponkte
um den DrehpoL
Aus den drei Punkten OJH lässt sich die Beschleunigungsriohtung
jedes Systempunktes auf lineare Weise construiren.
2. um den Beschleunigungspol irgend eines Gliedes einer kinematischen
Kette in Bezug auf irgend ein anderes Glied derselben zu .bestimmen, giebt
es nach Obigem folgenden Weg: Man bestimme die drei Punkte OJH
der relativen Bewegung der Glieder; dann ist G der Fusspunkt der Ge-
raden 0G± JH.
Die Bestimmung des Drehpoles 0 hat nach den bekannten Gmndsfttien
über die Polbestimmung kinematischer Ketten zu erfolgen.**
Die Ermittelung des Wendepoles J habe ich in der Abhandlang : „Die
Wendepole der kinematischen Kette" (Zeitschrift für Mathematik and Physik
40. Jahrgang) gezeigt«
Es bleibt somit noch die Construction des Taugentialpoles ff, mit
welcher sich diese Abhandlung Yomehmlicb beschäftigen soll. Es giebt
eine directe Methode, sKmmtliche Tangentialpole einer zwangläufigen kine-
matischen Kette zu bestimmen. Da nun auch die Wendepole jeder solchen
Kette auf selbstständige Weise und nach ganz anderer Methode za ermitteb
sind, wie ich gezeigt habe, so hat man in dem Kriterium
<J0H=9(y>
stets ein werthyoUes Mittel , sich Ton der Richtigkeit der Theorie ra fiber-
zeugen und andererseits die Genauigkeit der durchgeführten Constraclionei
za prüfen.
3. Es seien 1, 2, 3, 4 vier ebene Systeme, deren gegenseitige Bewegong
studirt werden soll. Die Polconfiguration derselben O^^O^Oi^O^^O^^O^
(Fig. 2) sei gegeben, ebenso von drei der gegenseitigen Bewesguigeo
* Vergl. W. Sohelh „üeber^den BeschleunigungszuBtand des ebenen imTer>
ünderlicheD, in der Ebene beweglichen Systems" (Zeitschrift fär Mathematik oad
Physik XIX. Bd.).
** L. Burmester: „Lehrbuch der Kinematik" I. Bd. S. 430.
Von Prof. P. WiTTBHBAUBB. 281
die Wendepole Ji^Jf^J^ ^^^ ^^^ Tangentialpole H^^H^^H^^; dann sind
nach Obigem anch die zagehörigen Beschleunignngspole G-^^G-^Q-i^ be-
stimmt. In der früher erwähnten Arbeit: „üeber den Beschlennigangspol
der zusammengesetzten Bewegung" habe ich gezeigt, wie die übrigen Wende-
pole, Tangentialpole und Beschleunigungspole zu finden sind; man erhält
mit Hilfe der dort geschilderten Constructionen
aus Ol, 0,30,,, JuJu9 ^li^» ^iö Punkte Jjsflis»
» O11O14O24, J^J^y -Hil-Hli fi » Jw-^sif
» ^81 014^84» «^81 «^14» -^81-^14 » » «'s4'^84*
Wurde richtig construirt, so können nun wieder
aus 0240430,8, J24J^48» ^84^48 ^^« PonktC 7,3^,8,
welche gegeben waren, zurückerhalten werden. Bezüglich der Stellenzeiger
sei daran erinnert, dass z. B. Jmn der Wendepol der resultirenden Be-
wegung eines, geführten Systems n ist, welches die Bewegung eines
führenden Systems m mitzumachen gezwungen wird. Durch die Umkehrung
der Bewegung, das heisst, durch die Vertauschung der Führerrolle der
beiden Systeme, yerftndem die Drehpole und Tangentialpole ihre Lage
nicht, es ist also allgemein
Onm = Ofi«, Hmn^Snm^
hingegen wird der Wendepol Jmm durch die ümkehrung der Bewegung ein
anderen Jnm und zwar wird die Strecke JmnJnm durch den Drehpol
Omn = 0»„ halbiri
Auf diese Weise wurden in der Figur die übrigen Wendepole und
Tangentialpole construirt; da jedoch diese Constructionen ohne besonderen
Einfiuss auf die weitere Untersuchung sind , so wurden sie in der Zeichnung
nicht weiter angedeutet.
Von Wichtigkeit fdr alles Nachfolgende ist die Configuration der
Tangentialpole E^ deren Eigenschaften wir nun studiren wollen (Fig. 3).
Fällt man von einem der Tangentialpole, z. B. ^^3, auf die in 0^^ sich
schneidenden Polgeraden O^^O^^ und 0^4 O43 (oder kürzer: 0^^^ und O143)
die Senkrechten bis zu den Schnitten mit den Geraden ^1,^23 und H^H^^
so gelten für diese Schnittpunkte Ä\^ und Ä\i^ die barycentrischen Aus-
^18 • -^ 18 == ^18 • -^l« + ^3 • -^88»
*13 • -^ 18 — ^14 • ""14 T ^48 • ^4
48«
das heisst, ^^13 theilt die Strecke H^^H^^ im umgekehrten Verhältnisse der
zugehörigen Winkelbeschleunigungen it|3;U3, oder il'13 ist der Schwerpunkt
der Tangentialpole S^^H^^ wenn in diesen die Winkelbeschleunigungen
1^2^ ^^ Gewichte angebracht werden. Dabei bestehen zwischen den Ge-
wichten oder Winkelbeschleunigungen die Beziehungen:
282 Die Beschlennigungspole der kinematiBchen Kette.
, ^IS = ^12 + *2S ~ ^14 + ^48»
^18 + ^ + ^81 ^^ ^14 ■!" ^48 "!■ ^31 ^^ 0«
Bezeichnet man allgemein die Entfernung zweier Drehpole 0^,1,0,
iQ^t amnpy so sind die Strecken
•p
Ö«1Ä . «lÄ« o>
2
HAt _, 2!|13_LZi8L. JIJ8.
la-Ä 1» — '' ~l f
^123 *18
MS-" 18
IT Ai — ^418 ' ^184 , Q> 18
-°18-^ 18 — ^ 1 »
**I48 *13
wie ich ebenfalls in der früher angezogenen Abhandlung bewiesen habe; es
ist somit 77 j2 ^ ^ ^
•"18-^ 18 j_ °818 * '^ISa • »148 ,
■"18-^ 18 ^418 • ^184 • ^128
Wenn ein Dreieck O^^O^^O^^ von einer Geraden ^is ^24^14 geschnitten
wird, so besteht die Beziehung:
^18 ' «143 ' ^'
'428 _ 1
— — mm», i.
«123 • «418 • «248
Nach Division der letzten Oleichungen bleibt
-^l8-<^^8 _. «182 ' «248 _. ^^ ß
^19 ^\s «184 -«423 «*»«'
oder
H^^Ä\^ . m a = Ej^ Ä\^ . sin ß,
das heisst, die Verbindungslinie der Theilungspunkte ^*i3^\3 steht
auf der Verbindungslinie der Drehpole O^^O^^ senkrecht.
Sucht man ausserdem noch die Theilungspunkte ^^^4 und ii'34, indem
man von H^ und H^^ die Senkrechten auf die Polgeraden 0,24 besw. 0^^
errichtet bis zum Schnitte mit den Verbindungslinien Hi^H^^ bezw. B^B^
so gelten für diese Punkte die barjcentrischen Ausdrücke:
*84 • -^ 84 ~ *82 • -"82 + ^«4 • -^4»
*41 • -^ 41 *^ ^42 • -"42 "1" ^21 • ■"21*
Hierzu kommt von früher
^18 • "^ 18 ~ ^12 • ^12 + ^28 • ^2S'
Beachtet man, dass stets
SO liefert die Addition obiger drei Ausdrücke:
*18 • -^ 13 + *84 • -^ 34 • *4l • -^ 41 '^ ^»
das heisst, die drei Theilungspunkte ii^is^^54ii'4i liegen in einer
Geraden; jeder von ihnen -theilt die Strecke zwischen des
anderen im umgekehrten Verhältnisse der zugehörigen Winkel-
beschleunigungem
Von Prof. P. WiTTBNBAUBB. 283
80 wird:
und es bleibt
Die drei genannten Theilungspunkte verhalten sich also wie die Dreh-
pole dreier Systeme 1, 3, 4, deren Winkelgeschwindigkeiten den Winkel-
beschleanignngen ^i^J^^^n proportional sind.
Sacht man ferner noch in Figur 3 die Theilungspunkte Ä^^ und ^^24*
indem man von H^^ auf die Folgeraden 0,24 und 0^34 die Senkrechten er-
richtet bis zum Schnitte mit den Geraden H^^H^^ bezw. Hf^H^y so schneiden
sich die Verbindungslinien Ä\^Ä\^ und Ä\^Ä\^ in einem Punkte 8 der
Geraden fi^ts-^H* ^®"^ ^ ^^^ ^^^ ^^^ Bestimmungs weise von 8:
8=u.Ä\^+v.Ä^u'='^' -^^s + y • ^^4 ;
da nun die vier Theilnngspunkte die Ausdrücke besitzen:
*1S • -^ 18 *= ^1« • -^is "1" ^ • -"88 >
^18 • -^ 1$ *^ ^14 • -^14 + ^48 • ^48>
A24 . ^ 24 = A21 • Hji + A14 . lf|4 ,
*24 • -^ «4 "= ^ • -^«8 + ^84 • -^84 1
^ — ^13 • -^ 18 I *24 • -^ 24 *^ *J8 • «^ 18 • ^24 • -^ 24»
<^^«^ Ä=A,3.^23+A,4.Hj4,
das heisst, der Punkt 8 theilt die Strecke H^^H^^ im umgekehrten VerhKltnisse
der Winkelbeschleunigungen A33A14 und beide Strecken ^^^3^1^24, ^^3^^24
im umgekehrten Verhftltnisse der Winkelbeschleunigongen Xi^l^^»
Ebenso kann gezeigt werden, dass die Verbindungslinien der Theilungs-
punkte il^,2il^34 und A^^^jA?^ sich in einem Punkte 8^ derselben Geraden
H^H^^ schneiden. Man gewinnt nämlich auf analogem Wege für 8^ die
Ausdrücke: ä = 1 >|3 4. 1 ^i — 1 A^ A- k A^
Oi — Aj2^ 12 T^ *84 • -^ 84 -" *1« • -^ 18 T^ *84 • «^ 84 »
fij = A32 . Ä32 + A,4 . lZi4.
Die Punkte iSund 8^ theilen die Strecke ^28^14 barmonisch, wie ihre
Ausdrücke lehren.
4. Die im vorigen Artikel behandelten vier ebenen Systeme besitzen
sechs Tangentialpole H und zwölf Theilungspunkte A. Diese 18 Punkte
bilden eine interessante Configuration; sie wurde in Figur 4 in anderer
Anordnung vollstftndig gezeichnet.
Die Eigenschaften dieser Configuration ergeben sich aus den soeben
abgeleiteten Sfttzen und lassen sich in Folgendem zusammenfassen:
a) Jede Verbindungsgerade zweier Tangentialpole HmnSfnp (mit ge-
meinsamer Ziffer n im Stellenzeiger) trttgt einen Theilnngspunkt A^mp]
derselbe theilt ihre Strecke im umgekehrten Verhältnisse der
Winkelbeschleunigungen Imn^p*
b) Jede Gerade HmpA^mp steht auf der Polgeraden O^np senkrecht.
Die Geraden jBmp'^^mp 9 HpnA%n, HnmA^nm Bind somit parallel.
284 Die BeBchleanigungspole der kinematischen Kette.
c) Jede Verbindangsgerade zweier Theilungspunkte mit gleichen nnt^nea
Stellenzeigem A^mp tmd A^mp steht senkrecht zur Verbindniig»-
linie der Pole OmpO„q.
Die Geraden AJ^mpA^mp und AF^nq-AFn^ sind somit parallel.
d) Je drei Theilnngsponkte mit gleichen oberen Stellenzeigera
liegen auf einer Geraden. So liegen z. B. die Theilangspunkte
Ä^mpAJ^pqA^qm Auf der Geraden a^ Sie liegen auf derselben wie
die Drehpole dreier Systeme mjp^, deren Winkelgeschwindigkeiten
den Winkelbeschleunigungen Imp^pq^qm proportional sind.
e) Die Yer bindungsgeraden A^mpA^nq und A^mpA^nq schneiden sieh
in einem Punkte 8^ der beide Strecken im umgekehrten Verfallt'
nisse der Winkelbeschleunigungen Xmp^nq theilt.
Die Verbindungsgeraden A^mqA^np und APmqA'^np schneiden
sich in einem Punkte £^1 , der beide Strecken im umgekehrten Ver
httltnisse der Winkelbeschleunigongen Imq^p theilt
Die Punkte 8 und 8^^ liegen auf der Verbindungsgeraden der
Tangentialpole HmnSpq und theilen diese Strecke harmonisch im
umgekehrten Verhältnisse der Winkelbeschleunigungen Xmn^q^
5. Die Configuration der Punkte H und A kann zur Lösung einiger
Fragen benützt werden, welche für die kinematische Kette Bedeutung haben.
Ist die Configuration der sechs Drehpole 0 gegeben, so dürfen Tier
Tangentialpole B beliebig angenommen werden. Dann sind zwei Oerade
bestimmbar, in denen die beiden übrigen Tangentialpole liegen mflss^L
Die hier möglichen Fälle lassen sich alle auf folgende zwei zurftckfllhrffli:
a) Es sind die Tangentialpole HmnSnpHpm (Poldreiung) und noch
ein beliebiger vierter Tangentialpol gegeben; oder
b) Es sind die Tangentialpole JTmni^np^Pf^f mC Po lyierung}gQgebeii.
Von den 15 verschiedenen Annahmen der vier unter sechs Tangential-
polen tritt der Fall a) elfmal, der Fall b) viermal ein.
a) Die Poldreiung. In Figur 5 seien ausser der Confignration der
Drehpole 0 die .Tangentialpole H^^B^H^i und E^ gegeben. Zieht man
Hi^A\^JL 0|2s bis zum Schnitte mit H^^E^, ferner Hi^A\^J^ O^^^ und
A\^A\^ J_ O13O24, so gewinnt man den Theilungspunkt ^^ij. Auf gleiche
Weise wurden in Figur 5 die Theilungspunkte A^^ und A*^ constmirl
Diese drei Punkte liegen in der Geraden a^. Verbindet man nun A\^ imd
A^^ mit ^24, so erhält man zwei Gerade ^14^1 in denen die noch übrigen
Tangentialpole H^^ bezw. H^ liegen müssen. Nimmt man einen derselboi
aU; so muss der andere auf der Geraden Si^H^A*i^ liegen und ist somit
eindeutig bestimmt.
Die Punkte H^^ und S^ liegen auf ihren Trägem hi^ und h^ in pro-
jectivischen Punktreihen , die perspectivische Lage haben.
Fällt H|4 mit jB'g4 zusammen I so liegt daselbst auch H^. Man kiaa
also die sechs Tangentialpole derart annehmen, dass HmnBmpEmq n>
Von Prof, F. Wittbnbaubr, 285
sammenfaUen; dann sind die drei anderen Tangentialpole noch beliebig
wählbar.
b) Die Pol vier ung. In Figur 6 seien ausser der Conflguration der
Drebpole 0 die Tangentialpole H^^E^H^H^^ gegeben. Sucht man den
Schnitt B'\^ der Linien H^^H^ und H^H^^^ zieht femer ahl^O^^O^y
acj_0j34, &cj.öj23, so ist jy'isC eine Gerade Ä|3, in welcher der
Tangentialpol H^^ liegen muss* Denn, denkt man sich das Dreieck ahc
derart ähnlich yeränderlich, dass die Eckpunkte auf ihren durch H'\^
gehenden TrSgem bleiben und die Seiten des Dreiecks ihre Richtung bei-
behalten, so entsprechen die Punkte a und h jederzeit zwei Theilungs-
punkten A\^ und A^^ (yergl. Fig. 4) und somit e dem zugehörigen
Tangentialpole H^^.
Eine analoge Construction mit Hilfe des Dreieckes äef führt zur
Geraden E!'^f oder \^^ in welcher der sechste Tangentialpol H^ liegen
muss.
Nimmt man nun H^ auf ^^4 beliebig an, so irt H^^ bestimmt. Denn,
zieht man H^H^^ ferner
-^84-^ 84 -L Öj34, H^A^^ J. Oj34, A^^A 54 J. öjjOg^,
so schneidet die Linie A^^H^^^ die Linie ^^3 in ^13. Ebenso wurde in
Figur 6 zu H\^ der zugehörige Tangentialpol ^13 construirt. Die ent-
sprechenden Punkte JT24 und H^^ durchlaufen auf ihren Trägem projectivische
Pnnktreihen.
Dem Pimkte B."^ entspricht H.'\i. In diesem besonderen Falle bilden
die sechs Tangentialpole eine gewöhnliche Drehpol -Configuration, bei welcher
an Stelle der Winkelgeschwindigkeiten 10 um die Drehpole, die Winkel-
beschleunigungen l um die Tangentialpole treten.
Ausser den beiden soeben behandelten Fällen yerdienen noch folgende
zwei Erwähnung, da sie bei der Construction der Beschleunigungspole kine-
matischer Ketten zur Anwendung kommen:
c) Gegeben seien ausser der Configuration der Drehpole die Tangential-
pole B^t^^B^x (Poldreiung) und drei Gerade ^u^^84t ^^ denen die drei
übrigen Tangentialpole B^^H^H^ liegen. Man suche dieselben.
Zunächst ermittle man wie in a) die drei in einer Geraden a^ liegen-
den Punkte A\^A^^A\y Sodann bleibt nur die Aufgabe zu lösen (Fig. 7):
durch diese drei Punkte drei Gerade zu ziehen, die sich paarweise auf den
drei gegebenen Geraden h schneiden.
Die von A^^^ ausgehenden Strahlen schneiden h^^ und h^ in per-
spectivisch liegenden Punktreihen, die, von A\^ und ^^33 projicirt, auf
der Geraden \^ zwei cocjectivische Punktreihen erzeugen. Die beiden
X>oppelpunkte dieser Punktreihen müssen der gestellten Aufgabe genügen.
Nxih ist aber der Schnittpunkt B von h^ mit a* bereits einer dieser Doppel-
punkte, um den anderen zu finden, benöthigt man die den unendlich
286 Die Beschleanigongspole der kinematischen Kette.
fernen Punkten der conjectivischen Panktreiiien entsprechenden Gbgenpunkte
Q' und Q-j welche durch die Linienzüge Ä\^1SG\ Ä^^ III IG gewonnen
werden; hierbei ist ^4^^ 1 y ^4^^777|| *,,.
Macht man noch DG^Q-'H^^^ so ist in H^^ der zweite Doppelpunkt
und einer der gesuchten Tangentialpole gefunden; die beiden anderen H^^E^
werden jetzt im Schnitte von H^A^^^ und H^^A*^ mit \^ bezw. i^4 ge-
wonnen.
d) Gegeben seien (Fig. 8) ausser der Configuration der Drehpole die
Tangentialpole H^^H^^H^^ (welche keine Poldreiung bilden) und drei Ge-
rade ^18^28^1 > ^ denen die drei noch übrigen Tangentialpole Hi^H^E^
liegen. Man suche dieselben.
Nimmt man auf \^ einen beliebigen Punkt \^ als Tangentialpol an,
so ist aus ihm und den gegebenen Tangentialpolen nach a) eine Crerade
bestimmt, welche die Gerade ^i, im entsprechenden Punkte A|, schnddet
Aus den gegebenen Tangentialpolen und den einander entsprechenden Pankten
^18 ^is ^^ ^^^ ^^^^ ^^^ sechste Tangentialpol ^23 vollständig bestimmt.
Beschreibt der Punkt ^^3 die Gerade ^13, so durchläuft h^^ die Ge-
rade \^ in projectivischer Punktreihe; ebenso beschreibt K^ eine Gerade
h'^ in projectivischer Punktreihe.
um letztere zu bestimmen, beachte man Folgendes:
Wenn der Punkt ^13 auf seine Geraden \^ nach m rückt, das ist in
den Schnitt von ^13 mit H^^H^^^ so rückt der entsprechende Punkt A^^ m^ <h
das ist in den Schnitt von \^ mit H^^H^\ denn es fallen dann die
Theilungspunkte [A^^^A^^^ mit H^^ zusammen. Die sechs Tangentialpole
bilden dann eine gewöhnliche Drehpol -Configuration [vergl. b) "Und Fig. 6]
und es liegt der letzte der sechs Tangentialpole H^^B^^B^rnnp im Schnitte
von mn mit ■S^4^3^. p ist somit bereits ein Punkt der Geraden V^,
Um einen zweiten Punkt q zu erhalten , suche man jene einander ent-
sprechenden Punkte ^is^iti für welche die Winkelbeschleunigung X^^ Ter-
schwindet. Dann liegen die zugehörigen Theilungspunkte a\^ und a\, in
^34 bezw. H^^. Man zieht also ^34^3 J. ^134 bis zum Schnitte mit A^,
damit ist a'13 gewonnen; ferner ebenso JT^A^j _L 0^24 bis zum Schnitte mit
»„.sodann ».,a»„J.O,„, a*„a»., J. 0„0„,
damit ist a^, gewonnen; verbindet man nun a^,, mit A,,, a\^ mit A,,, so
liefert der Schnitt q dieser Geraden einen zweiten Punkt von K^^ Wo
sich h^ und ll^ treffen, liegt der gesuchte Tangentialpol H^.
Die beiden noch übrigen Tangentialpole B^^H^^ sind entweder dired
wie ^23 2U bestimmen, oder mit Hilfe des eben gefundenen Tangential-
poles ^23 nach der unter a) angeführten Construction aus der Poldreiung
Von Prof. P. WlTTBNBAUBR. 287
6. Untersucht man die gegenseitige Bewegung von mehr als vier, z. B.
von fi ebenen Systemen, so findet man auf ähnlichem Wege ausser einer
ConBguration von Qn{n — 1) Drehpolen 0 eine gleiche Anzahl Tangential-
^ 1
pole Hund ausserdem ö'^(^~^)(^'~ ^) 'I^heilungspunkte A. Die Con-
1 ^
figuration dieser h'^C^'^^)' Punkte Hund A besitzt naturgemSss dieselben
Eigenschaften , wie sie in Artikel 4 für fi es 4 mitgetheilt wurden. Ins«
besondere seien folgende Eigenschaften der allgemeinen Configuration her-
vorgehoben:
a) Alle Theilungspunkte mit gleichem unteren Stellenzeiger bilden
eine Ornppe von n — 2 Punkten A^'pq^ welche um den Tangential-
pol Hpq derart angeordnet sind, dass
HpqA^pg±Opgr und A^pgA'pq ± OpqOrs
(vergl. in Figur 9 den Tangentialpol H^ mit seiner Gruppe von
6 — 2 = 4 Theilungspunkten).
b) Alle Theilungspunkte mit gleichem oberen Stellenzeiger bilden eine
gewöhnliche Drehpol - Configuration von n— 1 Systemen.
Die Configuration der Punkte A zerfällt also in n verschiedene Drehpol-
Configurationen zu je -n (f» — l)(n — 2) Polen.
Figur 9 stellt eine sechsgliedrige, zwangläafige kinematische Kette dar;
dieselbe besitzt 15 Tangentialpole H und 60 Theilungspunkte A. Die Con-
figuration der letzteren zerfftllt in sechs Drehpol -Configurationen zu je zehn
Polen; in Figur 9 sind die Configurationen A^ und A^ vollstSndig ge-
zeichnet.
7. Geht man von der gegenseitigen Bewegung von n ebenen Systemen
zu der einfacheren Bewegung einer aus n Gliedern bestehenden ebenen
kinematischen Kette über, so wird die Untersachung bedeutend erleichtert.
In allen jenen Punkten nftmlich, die man als Gelenke der Kette bezeichnet,
und in welcher zwei Glieder p und q der Kette in dauernder Verbindung
verharren, fallen die vier Punkte: Drehpol 0^^, Wendepol /p,, Tangential-
pol Spqf und somit auch Beschleunigungspol Gpq, stets in einen und den-
selben Punkt zusammen. Solche ausgezeichnete Punkte sollen in der Folge
stets nur mit den Ziffern pq bezeichnet werden.
Es sind somit die r gegebenen Gelenke ebenso viele gegebene Tan-
gentialpole.
Bei einer zwanglftufigen kinematischen Kette genügt die Annahme der
Beschleunigung eines einzigen Punktes eines Gliedes p in Bezug auf ein
fremdes Glied g» um die Beschleunigung jedes Punktes eines anderen
Gliedes r in Bezug auf jedes fremde Glied $ zu bestimmen. Da aber aus
jener angenommenen Beschleunigung, dem Drehpol Opg und dem Wende-
288 Die Beschleanigungspole der kinematischen Kette.
pol Jpq jener Glieder p und g, sowohl der Beschleunigangspol Qpq als ancb
der Tangentialpol Hpg construirt werden kann, so genflgt offenbar (ausser
den durch die Gelenke gegebenen Tangentialpolen) die Annahme eines
einzigen Tangentialpoles, am sämmtliche übrigen zu bestimmen.
Die Annahme dieses einen Tangentialpoles darf nicht beliebig , sondern
muss auf der betreffenden Poltangente erfolgen, welche durch die Lage
des Drehpoles und des Wendepoles, also durch die geometrische Con-
figuration der Kette, bestimmt ist. Auf dieser Tangente jedoch darf der
Tangentialpol beliebig angenommen werden. Ffir jede angenommene Lage
desselben giebt es entsprechende Lagen aller anderen Tangentialpole »of
ihren Poltangenten. Nach den Untersuchungen des Artikel 5 kann der Satz
ausgesprochen werden:
Alle einander entsprechenden Tangentialpole einer
zwangläufigen kinematischen Kette liegen in projecti-
vischen Punktreihen auf ihren Poltangenten.
Sollen zwei nicht durch Gelenke mit einander verbundene Glieder f
und q der Kette keine Winkelbeschleunigung Ipq gegeneinander besitzen,
so muss Hpq unendlich fem sein; die übrigen Tangentialpole entsprechen
in diesem Falle dem unendlich fernen Punkte der Poltangente tp^
8. Im Folgenden sollen Anwendungen der bisher beschriebenen Con-
structionen der Tangentialpole auf einige wichtigere kinematische Kettea
gemacht werden.
Um für das einfache Kurbelviereck 12, 23, 34, 41 (Fig. 10) die zum
Drehpol O,, gehörige Poltangente linear zu construiren, genügt es eine
beliebige Gerade nifi J. O^^O^ anzunehmen und
pn ± 134, pm ± 123
zu ziehen; dann ist p ein Punkt der Poltangente t^^ In ähnlicher Weise
kann die Poltangente t^ linear construirt werden.
Nimmt man nun auf ^,3 den Tangentialpol H^ beliebig an, so findet
man den sechsten Tangentialpol H^^ in folgender Weise:
Man verbindet H^^ mit 12, zieht
234*„ JL 123, 234^3 -L 234, A^^A^^ ± 23. 41
und verbindet 34 mit A\^ ; der Schnitt dieser Geraden mit ^^ ist der ge-
suchte Tangentialpol H^^,
Oder: Man verbindet H^^ mit 34, zieht
41 A\ J. 134, 41 A^^ ± 124, A^^ A«,, J. 41 , 23
und verbindet 12 mit A^^^\ der Schnitt dieser Geraden mit t^ ist eben-
falls H^|. Ebenso könnte ^4 noch auf zwei andere Arten gefond»
werden, wenn man statt 12 und 41 die ttbrigen zwei Gelenke 23 a»d
34 benutzt.
Von Prof. F. Wittbnbaübr. 289
Die Punktreihen Bi^H^ auf den Poltangenten ti^t^ ^^^^ projectivisch;
^18 ^M B^^^ entsprechende Punkte. Projicirt man beide Panktreihen von
diesen Punkten ans, so erhält man zwei projeetivische Strahlenbüschel , die
den Strahl O^^O^^ entsprechend gemein haben; die Büschel schneiden sich
also in einer Oeraden.
Man kann zeigen, dass diese Schnittlinie 8 durch den Schnittpunkte
der Diagonalen 12 , 34 und 23, 41 des Kurbelviereckes geht und auf der
Linie ^18^14 senkrecht steht. Denn, wenn man die Punktreihen HigJ^M
durch Parallelstrahlenbüschel hi^h^^ senkrecht zu O^^q^^ projicirt, so liegen
diese in Involution, wie später gezeigt werden soll, und es entsprechen die
durch 0|3 und 0^^ gehenden Strahlen h^i^h^u doppelt einander« Da ihr
Schnitt der Geraden 8 angehören muss, so steht 8 zu O^^O^^ senkrecht
Projicirt man die Panktreihen H^^ und H^ auf ^13 und ^^4 &°s 12 und
34, so sind diese Büschel projectiTisch; in den Tier projectivischen Büscheln:
»«(<«). 34«^, 12(<.,), O^itJ
entsprechen einander folgende Strahlen:
0,30^, 340,,, 120^3, 0,,0,3,
(>i,34, 340„. 120,4, 0^12.
Projicirt man ebenso die Punktreihen H^^ und H^^ auf ^13 und t^^ aus
23 und 41, so entsprechen in den vier projectivischen Büscheln
0»{tu), 23«,,), 41(<„), 0„(<„)
einander folgende Strahlen:
0,323, 230,3, 4IO3,, 03,41.
Es entsprechen somit in den Büscheln 0,3(^34) und 034(^13) den Strahlen
^. a*^„ Ö„0„, 0„34, 0„23
die Strahlen:
OuOts, Ö34I2, O344I.
Somit entsprechen sich auch die Strahlen 0,3 iS und O^^S^ da diese zu
den früher genannten harmonisch liegen. Demnach ist auch 8 ein Punkt
der Geraden 8,
Diese Bemerkung liefert eine einfache Construction des Tangential-
poles ^4 aus H^^ (Fig. 11). Man verbinde H^^ mit O34 bis zum Schnitte 81
mit der Linie 8, die im Schnitte 8 der Diagonalen des Kurbelviereckes
senkrecht auf 0,3 O34 errichtet wird; dann liefert 6^1 0,3 im Schnitte mit ^34
den Punkt JET,,.
Sollen die Glieder 2 und 4 in dem betreffenden Augenblicke keine
Winkelbeschleunigung X^ gegen einander besitzen, so muss H^^ im unend-
lichen liegen; den zugehörigen Tangen tialpol J7^ der Glieder 1 und 3 be-
kommt man , wenn man O^^S^ \\ t^ zieht und S^ mit O34 verbindet; im
Schnitte von 152034 mit ^,3 liegt J7^.
Zeitichrift f. Mathematik n. Physik. 40. Jahrg. 1 896. 6. Heft. 10
290 Die Beschlennigungspole der kinematischen Kette.
Auf demselben Wege findet man H^^ wenn die Glieder 1 und 3 keim
relative Winkelbeschlennigong A^, besitzen sollen. Die Punkte H^ und
E^ liegen in einer Senkrechten auf O^^O^^^ nftmlich in dem CentralstnU
der oben erwfthnten inyolu torischen Parallel -Strahlenbfischel h^\f.
Die Punkte Ä\^A\^A\^A*i^ in Figur 10 haben für das EurbelYiereek
besondere Bedeutung. Wir wollen sie in Figur 12 mit B^B^B^B^ be-
zeichnen; sie liegen auf jenen Oliedem, welche ihr SteUenzeiger angiebt
Diese Punkte B geben ein ausgezeichnetes Bild Aber die Vertheilong der
gegenseitigen Winkelbeschleunigungen der Qlieder des Kurbelviereckes. Sie
besitzen, wie in Artikel 3 gezeigt wurde, die barycentrisohen AosdrOcke:
A42 . Bj = k^i . O^j + Aj, . Ojj, A,j . B, = ^12 • ^12 + ^ • ^»»
Femer lassen sich leicht folgende Eigenschaften nachweisen:
Es ist jederzeit ^^^^ y ^^„^ ^ q^^q^
Die Verbindungslinien B^B^ und B^B^^ sowie B^B^ nnd B^B^ schneiden
sich auf den Diagonalen des Kurbelyiereckes O^^O^ bezw. Oi^O^* die Am-
drücke dieser Schnittpunkte T und B sind nämlich:
B = Ajj Oij — A84OJ4 = Ai3 J?g — X,4 . J?8 = l^jBj - Aji . B^,
r=Ä,8.0„ — A4i.04j = A^.Bg — Agi.B4 = A„.B,— A4,.Bj.
Hieraus und aus oben stehenden Ausdrücken ergeben sich für die
zwischen den yier Oliedern vorhandenen sechs verschiedenen Winkel-
beschleunigungen k folgende 15 Verhältnisse:
01,0,3 : O^B, : B^O,^^ k^, : A„ : k^,
^28 ^84 • ^84-^8 • -»8^28 = ^42 • *28 = *84.
Ö34O41 : 04,^4 : JB4Ö84« ^18 • ^84 : ^4t.
^41 ^12 *• ^12-^1 • ^l ^41 = ^24 • ^41 ^ ^|2l
Oi,B:Ä034 = A34:-A,„
O^T:TO,,=:k,,:-^k^,
B^B^ : B^B^ = Aj3 : ^,4.
Die Geraden B^B^ und B^B^ für alle möglichen Beschlennigungs-
zustände des Eurbelviereckes bilden zwei involutorische Parallel- Strahles-
bttschel &13 und ^24; denn für
A^== 0 fällt B^ nach 0^,, B^ nach O34,
^14=0 „ B, „ 0,j, B4 „ Oj4;
die Geraden h' der beiden Büschel entsprechen also einander doppelt. Ehensc
entsprechen sich jene Strahlen doppelt, welche durch 0,3 und O^^, seine
durch 0,4 und 0^3 gehen.
Von Prof. P. WiTTBHBAUBR. 291
Die ParallelstrahlenbflBchel bj, und h^ stehen mit den Parallelstrahlen-
bttecheln h^^ und h^^ welche früher erw&hnt wurden, in der Beziehung,
dass b|3 ähnlich mit ft|,, b^^ ähnlich mit h^^ ist (vergl. Fig. 10).
Die im Endlichen gelegenen Doppelstrahlen der ähnlichen Strahlen-
bttschel sind b\^h\^ bezw. b^^AV Schneidet man die vier Parallelstrahlen-
bttschel /^is^is) ^h^u dnrch die Gerade O^^O^^ in yier Pnnktreihen und
sind P18&181 PuOu J^ '^^^ entsprechende Pankte derselben, so ist aus dem
Dreiecke mnp: r^ t% ^ n / • \
und analog q^^^^ . q^ q^^ ^ ^^^ ^ ß^^ . cosßcosß,.
Wählt man P,, in 0^, P,^ in 0,3 und setzt OjjO^^s a, so ist
Die ParallelstrahlenbOschel &i3b34 schneiden die Gerade ^13^34 in zwei
involutorischen Pnnktreihen; sollen Qi^Q^y ^tz^u entsprechende Pankt-
paare dieser Involution sein, so muss die Bedingung erfdllt werden:
0,8Ä,» .
o«()„ ,
^ Ou^u
. OuQn
Ö14Ä., •
OuOu
«»«M
' OxiOu
Wählt man RuBu ^^^^ ^^ ^^^ durch 12 und 34 gehenden Strahlen
der inyolutorischen Strahlenbüschel b^^h^ die Gerade O^^O^ treffen, so ist
^84^34 : Ä34O13 = tofv « : tof^ft ;
dazu kommt von oben:
n n .n n ^«>g«<»g«i. cosßeosß^
^i^^i^' ^^^U^ COs{a+ay e08{ß + ß,)
Diese drei Proportionen erfüllen aber die oben stehende Bedingung
der Involution und es sind somit Qx^O^ doppelt entsprechende Punkte der-
selben. Damit ist aber bewiesen, dass ^13^34 doppelt entsprechende Punkte
der Punktreihen P^^P^i sind, und dass die Parallelstrahlenbüschel Ais^n
thatsächlich involutorisch sind.
9. In Figur 13 ist eine sechsgliedrige kinematische Kette dargestellt
(Watt*scher Mechanismus nach Burmester). Es sollen die Tangential-
pole derselben bestimmt werden , wenn einer derselben, z. B. J7,3, gegeben ist.
Der Tangentialpol H^^ wird aus dem Kurbelviereck 1234 nach
vorigem Artikel bestimmt.
Um H^ zu ermitteln I benütze man das Schema:
fl'j4JB43JBr33(Poldreiung)fl35. . .Ä45,
das heisst, nach Artikel 5 a wird folgendermassen construirt:
19*
292 Die Beschlennigongspole der kinematiscben Kette.
:^j-
Man Terbinde H^ mit 23, errichte in 34 eine Senkrechte auf 0^
bis zum Schnitte Ä^^ mit jener Verbindungslinie, ziehe
344*3, J. 345, 4«s4^*M-L34ö«6.
dann ist ^1*34 35 eine Linie ^45, in welcher H^ liegt
Femer liegt E^ auch in der Poltangente ^45; diese wird entweder auf
bekannte Weise durch Winkelübertragung gewonnen oder oft zweckmSssigsr
und linear durch F&Uung dreier Senkrechten:
mnj. 045033, mjpj.345, np 1,456,
dann ist p ein Punkt der Poltangente ^45.
Kennt man ^45 als Schnittpunkt der Linien A45 und ^45 , so kann B^
aus dem Kurbelyiereck 3456 nach der im vorigen Artikel beachriebena
Methode construirt werden (in Figur 13 nicht durohgeftlhrt).
Um den Tangentialpol H^^ zu ermitteln, benfltze man das Schema:
^u^iA^ii (Poldreiung) H^ . . . \^
^„5,4^4, (Poldreiung) ^45 . . . h\^\
Man ziehe also H^iA\^ J. 134 bis zum Schnitte mit 14, 34, ferner
H,,A\^ ± 135, 4^3-4^3 JL O13O43,
so ist 35^1*13 eine den Punkt H^^ tragende Gerade \^.
Endlich ziehe man 144'|4 J. ^^ ^^^ '^™ Schnitte mit 12 F,^,
14-4^4 J. 145, A\^A\, X 140,5,
so ist ^454^4 eine zweite durch H^^ gehende Oerade ^'15. Im Schnitte
von Ä|ß und Ä',5 liegt JSTjj.
In ähnlicher Weise werden die noch übrigen Tangentialpole bestimmt
Figur 14 stellt eine andere sechsgliedrige kinematische Kette (Stephen-
so n -Mechanismus nach Burmester) dar. Von den Tangentialpolen sei
H^ auf der Poltangente ^14 gegeben. Um hieraus irgend einen aaderen
Tangentialpol zu construireui bediene man sich der in Artikel 5 a) andb)
mitgetheilten Constructionen. Z. B. zur Bestimmung des Tangentialpolee E^
benutze man das Schema:
^«^24^41 (Poldreiung) H^
^M^46^fl6^6» (Polvierung)
Man zieht also B^A^^A^ 124 bis zum Schnitte mit 12, 14, sodans
H,,A^^ ± 245, A^^A^^ _L 0,,0,,;
dann ist 25^.^,4 ®^°o Gerade A45 [Construction a)].
Femer ziehe man
a6J.O^Oj3, acj.246, 6c J. 456,
dann ist die Verbindungslinie von c mit dem Schnitte d der Qeraden 56»
46 und 25^34 eine Gerade V45. Im Schnitte von ^^45 und V45 li«gt der
gesuchte Tangentialpol ir43.
.'*\lr«-
Von Prof. P. WiTTBTOAUBB. 293
In analoger Weise werden die Übrigen Tangentialpole bestimmt.
Pur die meisten kinematisclien Ketten werden die oben erwähnten
Constmctionen a) und b) znr Bestimmung der Tangentialpole ansreichen.
Eine interessante Ausnahme behandelt der folgende Artikel.
10. Um die Tangentialpole der in Pigur 15 und 16 dargestellten acht-
gliedrigen kinematischen Kette (Dreispannmechanismus nach Burmester,
Interferenzkurbelkette nach Bittershaus) zu bestimmen, wenn z. B. der
Tangentialpol B^^ gegeben (und somit nach Artikel 8 auch ff^ bekannt)
ist, schlage man folgenden Weg ein.
Zunächst ermittle man nach Artikel 5 a aus den Tangentialpolen :
^it^n^zi (Poldreiung) B^^ die Geraden h^h^j
worin, wie bisher, hmn eine Gerade bedeutet, in welcher der Tangential-
pol Bmn liegen muss.
Nimmt man nun auf der Geraden ^i^ einen beliebigen Punkt h^^ als
Tangentialpol an, so iSsst sich der zugehörige Tangentialpol h^^ in folgender
Weise bestimmen. Es ergiebt sich nach Artikel 5 a) aus
h^^B^B^i (Poldreiung) B^^ eine Gerade a^^^, 46
und nach Artikel 5 b) aus
h^^B^B^ff^^ (Polrierung) eine Gerade c, s;
der Schnitt beider ist ^14. Durchläuft h^^ alle Punkte der Geraden ^|g, so
beschreibt h^^ ebenfalls eine Gerade ^14, welche durch den Schnittpunkt d
der Geraden 15, 54 und 26, 64 gehen muss; denn, fällt Aj^ mit 26 zu-
sammen, so fällt a\ß nach 26 und 8 nach d. Es ist also dh^^ eine Gerade,
auf welcher der Tangentialpol Bj^^ liegen muss.
In analoger Weise kann man aus
V^73^8« (Poldreiung) ^47 1 .. ^ ^ ^
V eine Gerade ^24
und aus
h„B^^B^Bf^^ (Polvierung)
K^i^^n (Poldreiung) B^ \ ^
\ eine Gerade ^34
K^6i^4T^is (Polvierung) J
bestimmen, auf welcher die Tangentialpole B^ bezw. B^^ liegen. Hierbei
geht ^1 durch den Schnitt e der Geraden 26, 64 und 37, 74, A34 durch den
Schnitt f der Geraden 37, 74 und 15, 54. Aus den drei Geraden ^14^94^
und den gegebenen Tangentialpolen 12, 23, B^^ kann man nun nach der
in Artikel 5c) mitgetheilten einfachen Construction mit Hilfe der auf einer
Qeraden a^ liegenden Punkte Ä\2A^^^Ä\^ die Tangentialpole B^^B^B^^
finden.
eine Gerade h^^j
294 Die Beschleonigungspole der kinematisclien Kette.
Uebrigens kann jeder dieser Pankte auch fUr sich ermittelt werden.
Um z. B. H^^ zn finden, suche man die Gerade A|4, wie oben, sodann in
gleicher Weise ans
im Schnitte von Ji^^ und h\^ liegt H^^. Hierbei ist h^ ein beliebiger Punkt
der Geraden ^5.
Um die Tangentialpole H^H^H^^ zu ermitteln, suehe man zonSchst
drei durch sie gehende Gerade Asg^st^s C^^^T« l^)* ^^^ ^^^ ihnen, z. B.
^66 > ^^^^ ^^^ derselben Methode zu bestimmen sein, wie früher \^, Man
nehme auf der Geraden \^ einen beliebigen Punkt \^ als Tangentialpol
an, bestimme nach Artikel 5a) aus
^le^es^si (Poldreiung) H^ eine Gerade a\^^ 15
und nach Artikel 5 b) aus
^16^64^46^61 (Polvierung) eine Gerade c, 8.
Der Schnitt beider Geraden liefert den zu \^ gehörigen Tangential-
pol h^. Durchläuft h^^ alle Punkte der Geraden h^^^ so beschreibt ftn
ebenfalls eine Gerade h^^ welche durch den Schnitt d der Verbindungs-
linien 15, 26 und 45, 46 gehen muss; denn, fällt der Tangentialpol \n
nach 26, so liegt daselbst auch cfi^^ und s fällt nach d. Es ist also dJbn
die gesuchte Gerade h^.
In anderer Weise kOnnte h^ nach dem Schema
*f6^61^W^6al
^6^64^46^61 i
ermittelt werden. Analog finden wir die Gerade h^ aus
:K
1 «87»
oder aus
*86^62^tt^78
und endlich die Gerade h^ aus
^62^tt^78| ,
^64^47^7«)
*86^6<
oder aus
*<• ~
K " " " ■ *'«•
86 ^51 ^18 ^73 ) ,
86^64^47^73)
17 ^78 ^81 ^61 1
17^74 ^46 ^61 1
Die Geraden ^50^67^6 li^^^^ nun im Vereine mit den drei f^egebenei
Tangentialpolen 45, 46, 47 nach der in Artikel 5d) beschriebenen Cos-
Von Prof. F. Wittbnbaüer. 295
straction die drei Tangentialpole ^56^67^75* ^^° kOnnte ttbrigeiiB jeden
derselben auch auf indirectem Wege finden.
So ist z. B. H^ nach dem Schema
^14^46^61 (Poldreiung) ^^1
vollstftndig bestimmt.
Die Bestimmung der noch übrigen Tangentialpole H^^ H^, H^^ J7,q,
^17 > ^27) sowie H^H^H^ unterliegt jetzt keinen Schwierigkeiten mehr; <
die Construction bietet nichts Neues. Für die sechs ersterwähnten Fankte
sind überdies schon sechs Gerade ^25^90 etc. bekannt, auf denen sie liegen.
11. Mit Hilfe der in Artikel 5 mitgetheilten und in den Artikeln 7 — 10
auf kinematische Ketten angewendeten Constructionen lässt sich nun, wie
bereits angedeutet wurde, die Aufgabe lösen: Den Beschleunigungs-
pol Qpq der relativen Bewegung irgend zweier Glieder jp und q
-einer zwangläufigen kinematischen Kette zu finden, wenn der
Beschleunigungspol Qrt irgend zweier anderen Glieder r und $
gegeben ist (Gelenke ausgenommen).
Man bestimme nämlich den Drehpol Opq^ femer den Wendepol Jpq und
den Tangentialpol Hpq in der von mir angegebenen Weise; dann liegt der
Beschleunigungspol Qpq im Fusspunkte der Senkrechten von Opq auf JpqHpq.
Die Bestimmung der Punkte Jpq und Hpq kann völlig unabhängig von
einander erfolgen, was für die Controle und Genauigkeit der Construction auch
zu empfehlen sein wird; der Winkel Jpg Opq Hpq muss dann ein rechter sein«
Sollte die Ermittelung des Wendepoles Jpq umständlich sein, wie dies
in wenigen Ausnahmefällen vielleicht eintrifft, so wird doch stets auf be-
queme Weise eine Gerade ipq anzugeben sein, auf welcher /^^f liegen muss;
dann ist Jpq aus Opq und Hpq leicht zu ermitteln.
Analoges gilt, wenn der Tangentialpol Hpq umständliche Constructionen
erfordert I was wohl selten eintreten wird.
Meistens sind sowohl Jpq und Hpq bequem direct zu construiren.
Figur 17 zeigt eine sechsgliederige kinematische Kette, von welcher
der Beschleunigungspol &i^ der Glieder 1 und 3 gegeben ist; es worden
auf dem soeben beschriebenen Wege die Beschleunignngspole ff,^, 045,
^511 ^86 onnittelt und eingezeichnet
xvi. •
Ueber die AnzaM der Kegelschnitte, welche durch
Punkte, Tangenten und Normalen bestimmt sind.
Von
Dr. A. Wim AN,
Bocent an der UnlTorsitftt in Land.
1. In den folgenden Entwickelangen beabsichtige ich darznlegen, dass
die Resultate, welche Steiner* bezüglich der obigen Aufgabe gegeben
hat, nur zum Theil richtig sind. Doch sind die Steiner'schen Ergebnisse
seither von Herrn Sporer** wieder abgeleitet.
Nach Spore r bestimmt man nun die Anzahl Kegelschnitte, welche
zu a Punkten, ( Tangenten und c Normalen , wo
gehören, in der folgenden Weise. Man betrachte das System Kegelechnitte,
welche durch a Punkte, h Tangenten und nur c^l Normalen bestimmt
sind. Es sei schon bekannt, dass durch jeden Punkt a Kegelschnitte dieses
Systems gehen, und dass jede Gerade von ß Kegelschnitten berührt wird.
Dann ergiebt sich unmittelbar der Satz, dass, wenn der Berührungspunkt
einer Tangente T eines Kegelschnittes des Systems auf einer festen Ge*
raden Q liegt, so ist die Enyeloppe der Tangente T eine Curve von der
Klasse a + ß mit Q als ß- facher Tangente. Hieraus wird nun die Folgerung
gezogen, dass a + ß Kegelschnitte des durch a Punkte, h Tangenten und
c — 1 Normalen bestimmten Systems eine neue Normale G besitzen. Dia
Erledigung der Fälle mit c Normalen wird somit auf diejenigen mit c—l
Normalen zurückgeführt, und man braucht von vornherein das Problem
nur für den Fall, wo keine bestimmende Normalen auftreten, gelöst %a
haben.
Hinsichtlich dieser Methode bemerke ich, dass die uneigen tUcheo
Lösungen mit Vorsicht ausgeschieden werden sollen. Herr Sporer acbeiat
aber nicht bemerkt zu haben, dass in den Fällen, wo drei oder mehr be-
stimmende Normalen gegeben sind, immer uneigentliche Lösungen auf-
* Gesammelte Werke Bd. 2 S. 683.
** Diese Zeitschrift 1890 36. Jahrgang S. 237.
Von Dr. A. Wimak. 297
treten« Als Beispiel nehme ich den dnrch zwei Punkte and drei Normalen
bestimmten Fall. Es ist einleuchtend , dass man hier die aneigentliche
Lösung von der Yerbindungsgeraden der beiden Punkte und der xmendlich
fernen Geraden erhSlt. Ferner enthftlt das System Kegelschnitte, welches
darch einen Punkt und drei Normalen bestimmt ist, oo^ uneigentliche
Lösungen, welche aus der unendlich fernen Geraden und je einer Geraden
durch den gegebenen Punkt bestehen; diese Lösungen gelten aber auch
noch, falls eine vierte bestimmende N.ormale hinzukommt. Ebenso finden
wir, dass oo' uneigentliche Kegelschnitte fttnf gegebene Geraden su Nor-
malen haben I nämlich diejenigen, welche aus der unendlich fernen Geraden
und je einer beliebigen Geraden in der Ebene bestehen. Somit tritt die
Eigenthümlichkeit ein, dass Steiner ftir die Fälle mit vier oder fünf Nor-
malen ausser den eigentlichen Lösungen auch eine gewisse Anzahl uneigent-
liche mitgenommen hat, da es doch deren unendlich viele giebt.
Die besprochene Methode kann indessen leicht dahin modificirt werden,
dass ihre Giltigkeit in allen Fällen beibehalten wird. Von den « Kegel-
schnitten eines Systems, welche durch einen unendlich fernen Punkt
gehen, mögen y in der obigen Weise nothwendig zerfallen, so dass
nur a — y eigentlich sind. Die Enveloppe von der Klasse a + /^ ciei^
Tangenten der Sjstemkegelschnitte, welche auf einer festen Geraden Qr
berühren, hat somit die unendlich ferne Gerade als )^- fache Tangente,
and man ersieht leicht, dass im Allgemeinen die bezügliche Enveloppe von
der unendlich fernen Geraden weder in Q- noch in dem in Bezug auf die
imaginären Kreispunkte conjugirten Punkt berührt wird. Durch den
letzterwähnten Punkt gehen somit '
« +/^-y
andere Tangenten, welche also eben so vielen eigentlichen
Kegelschnitten angehören, welche die Gerade Q senkrecht
durchschneiden.
2. Die Anzahl Kegelschnitte, welche durch fünf Punkte, vier Punkte
and eine Tangente, drei Punkte und zwei Tangenten, zwei Punkte
and drei Tangenten, einen Funkt und vier Tangenten, fünf Tangenten
bestimmt sind, werden bekanntlich durch die bezüglichen Zahlen 1, 2, 4,
4, 2, 1 angegeben. Dabei können höchst zwei der bestimmenden Funl^te
anendlich entfernt liegen. Man erhält so unmittelbar die Anzahl Kegel-
schnitte, welche eine Gerade senkrecht durchschneiden, wenn sie übrigens
durch vier Punkte, drei Punkte und eine Tangente, zwei Punkte und zwei
Tangenten, einen Punkt und drei Tangenten, vier Tangenten bestimmt
sind, nämlich 3, 6, 8, 6, 3, wobei ein bestimmender Funkt in unendlicher
Entfernung liegen darf. Weiter finden wir für zwei Normalen und drei
Punkte, zwei Punkte und eine Tangente, einen Punkt und zwei Tangenten,
drei Tangenten die zugehörigen Zahlen 9, 14 , 14, 9.
298 Ueber die Anzahl der Eegelsohnitte etc.
Um die Anzahl Kegelschnitte» welche durch zwei Pnnkte P^, P^ geben
und drei Gerade Jf|, N^, N^ zn Normalen haben, za finden, gehen wir
zu den vier Zahlen zurück, welche anssagen» wie viele Kegekchnitte dureh
f], P) und die unendlich fernen Punkte ^, ^, N^ gehen, bei. dnidi
Px9 Pff -^1 ^f gehen und N^ berühren, bez. durch P^, P|, N^ gehen and
2/g, ^3 berühren; bez. durch Pj, P^ gehen und N^, 2f,, N^ berOhren, Wir
erhalten für die eigentlichen Lösungen die Zahlen 0, 2, 4, 4 Dann suchen
wir die Anzahl Kegelschnitte, welche N^ senkrecht durchschneiden, durch
Pi, P, gehen und entweder durch N^, N^ gehen, oder durch N^ gehen und
N^ berühren, oder endlich Ni und N^ berühren; wir finden 2, 6, 8. Nim
bestimmen wir die Anzahl Kegelschnitte, welche N^ und ^3 zu Normalen
haben, durch P^ und P^ gehen und entweder durch N^ gehen oder if,
berühren, und zwar erhalten wir 8, 14. Die Anzahl Kegelschnitte, welche
durch P|, P) gehen und N^ Jf,, N^ zu Normalen haben, ist somit
8 + 14 = 22.
Das Bildungsgesetz ist evident:
0 2 4 4
2 6 8
8 14
22.
Um die Anzahl Kegelschnitte zu bestimmen, welche durch einen
Punkt P| gehen, eine Gerade T^ berühren und drei Normalen N^^ N^^ N^
besitzen I suchen mr in derselben Weise zuerst die Anzahl Kegelschnitte,
welche durch P| gehen, T, berühren und sich zu N^, N^^ N^ wie im
vorhergehenden Falle verhalten; wir erkennen als Ausgangszahlen 0, 4,
4, 2 und bilden hieraus in gewohnter Weise:
0 4 4 2
4 8 6
12 14
26.
26 Kegelschnitte besitzen somit die verlangte Eigenschaft.
Nun suchen wir die Anzahl Kegelschnitte, welche zwei Oerade be-
rühren und drei Gerade zu Normalen haben. Wir gehen wie in den vor*
hergehenden Fällen zu den vier Ausgangszahlen 0, 4, 2, 1 zurfick und
bilden daraus: 0 4 2 1
4 6 S
10 9
19.
Die Zahl der Lösungen ist somit 19.
Von Dr. A. Wiman. 299
Es stellt sich so die Frage auf, wie yiele Kegelschnitte durch einen
Pnnkt Pj gehen und yier Gerade N^ IT^^ N^, N^ zn Normalen haben.
Hier mfissen wir fünf Aasgangszahlen suchen, wo die Ni und ihre unend-
lich fernen Punkte die analoge Bolle wie in den schon erörterten FftUen
spielen. Wir erhalten leicht fOr diese Zahlen 0, 0, 4, 4, 2 und bilden
daraus: 0 0 4 4 2
0 4 8 6
4 12 14
16 26
42.
Also ist die gesuchte Anzahl 42.
Ebenso bestimmen wir die Anzahl Kegelschnitte » welche eine Gerade T^
berühren und yier Gerade N^, N^f N^^ N^ zu Normalen haben. Diese
Zahl ist 33 und wird in der folgenden Weise gebildet:
0 0 4 2 1
0 4 6 3
4 10 9
14 19
33.
Es erübrigt noch die Anzahl Kegelschnitte zu bestimmen, welche fUnf
gegebene Gerade N^^ N^^ N^^ N^^ N^ zu Normalen haben. Aus den
sechs Zahlen 0, 0, 0, 4, 2, 1 erhalten wir:
0 0 0 4 2 1
0 0 4 6 3
0 4 10 9
4 14 19
18 33
61.
Zu fnnf gegebenen Normalen hat man somit 51 Kegelschnitte.
Far die LOsungen in den hier erOrterten Fftllen mit 3, 4, 5 Normalen
hatte Steiner die Zahlen
23, 28, 23, 51, 51, 102
^geben.
Bezeichnen wir die Anzahl endlicher Punkte mit P, unendlicher Punkte
mit f^, Tangenten mit T und Normalen mit 2f, so ergiebt sich uns
für die durch die bezüglichen Bedingungen bestimmten Kegelschnitte die
Anzahl L der Lösungen durch folgendes Schema:
300
üeber die Ansahl der Eegelsehnitte eto.
Nr.
P
p«
T
N
i
Nr.
P
p«
T
N
L
1
4
3
15
1
.
2
2
14
2
2
2
,
2
16
,
1
2
2
10
3
3
1
6
17
,
,
3
2
9
4
1
2
1
4
18
2
,
,
3
32
5
2
2
8
19
1
1
,
3
16
6
,
2
2
4
20
,
2
.
3
4
7
1
3
€
21
1
,
1
3
26
8
,
,
4
3
22
,
1
1
3
14
9
3
,
2
9
23
.
2
3
19
10
2
1
,
2
8
24
1
,
,
4
42
11
1
2
2
4
26
,
1
,
4
18
12
2
,
i
2
14
26
,
.
1
4
33
13
1
1
1
2
12
27
,
,
,
6
51
14
.
2
1
2
4
Doch kann in den F&llen 1, 3, 5, 7 ein gegebener Pankt P in nn-
endlicher Entfernung Hegen. Das Bildnngsgesetz möchte ich noch einmal
hervorheben:
Die Anzahl Kegelschnitte, welche durch a endliche
und a^ unendliche Punkte gehen, h Gerade berflhren
und e Oerade zu Normalen haben, wo
ist gleich der Anzahl KegelschnittCi welche durch o
endliche und o, + 1 unendliche Punkte gehen, h Gerade
berühren und c — 1 Gerade zu Normalen haben, tu-
sammengenommen mit der Anzahl Kegelschnitte, welche
durch a endliche und Oi unendliche Punkte gehen,
b + 1 Gerade berühren und c — 1 Gerade zu Normalen
haben.
3. Das Kegelschnittsystem bestehe nun aus Parabeln, das beisst,
die unendlich ferne Gerade sei gemeinsame Tangente. Das System sei Ton
der Beschaffenheit, dass a Parabeln durch einen beliebigen Punkt P gehen
und ß eine beliebige Gerade G berühren. Es soll die Anzahl Parabdn
bestimmt werden, welche die beliebige Gerade 6^ senkrecht durchschneiden«
Die Enveloppe einer Tangente eines Kegelschnitts des Systems, deren Be-
rührungspunkt auf der Geraden Q liegt, ist natürlich auch hier Ton der
Klasse a + ß mit O als /J-facher Tangente.
Wir nehmen an, dass durch den unendlich fernen Punkt CF^ der Ge-
raden €^a^ eigentliche Parabeln nebst einer Zahl zerfallender Kegeleehnitte
gehen. Von CT gehen an die erwähnte Enveloppe Q als /)• fache Tangente
und die unendlich ferne Gerade als a- fache Tangente. Man ersieht aber
leicht, dass die Enveloppe in CT in a^ Zweigen berührt wird, entspreefaeiid
Von Dr. A. Wiman.
301
den «j genannten Parabeln, so dass ftlr einen anderen Punkt auf der
unendlich fernen Geraden diese Gerade nur als (o — aj)- fache Tangente
auftritt und somit 0^ + ß andere Tangenten der Enveloppe davon ausgeben.
Die Zahl der Parabeln, welche die Gerade Q zur Normalen haben, ist
somit »i + ß und auf dieselbe Weise zusammengesetzt, wie im Falle eines
allgemeinen Eegelschnittsystemes.
Wir erhalten nun leicht in Bezug auf die Lösungen der Parabeln,
welche durch Funkte P, Achsenrichtung P"^, Tangenten T und Normalen N
bestimmt sind, das folgende Schema:
Nr.
P
P-
T
^N
L
Nr.
P
P*
T
JV
L
1
3
'
6
9
1
1
.
2
2
2
2
1
.
2
10
1
,
1
2
6
3
2
1
6
11
•
1
1
2
1
4
1
1
1
2
12
,
,
2
2
8
5
1
2
4
13
1
,
,
3
8
6
,
1
2
1
14
,
1
,
3
1
7
,
3
2
16
,
,
1
3
4
8
2
•
2
8
16
.
•
•
4
6
Kleinere Mittheilungen.
XXITT. Zur Transformation eines Systemes linearor partioller
Differentialgleiohangen.
Bezeichnen wir znr Abkürzung:
wo die Grössen a|, a^, . . .am &j . . • 5« Fnnctionen von Xi^ ^». • •*« sind,
80 sei znr Integration das System von m- linearen partiellen Differentisi-
gleichnngen gegeben:
Ä{0)^O, ^(5) = 0,...Jtf(5)«0.
Sind nun
1)
die n — 1 verschiedenen LOsnngen der Gleichung B{fi)i^O^ so lassen sick
die übrigen Differentialgleichungen durch Einführung der Grössen
als unabhängige Variable für die GrOssen jC|, x^i.-^Xn^t transfonniraL
Da die n — 1 /}• Lösungen von £(«) = 0 sind , so wird jede beliebige Puncticc
derselben eine Lösung von B{ß) sein, z. B. (Z>(/?jy ßif" ß*-i)* ^ besteht
nun die Aufgabe, diejenige Function O zu finden, welche die Oleichongefi
zugleich befriedigt. Betrachten wir der Einfachheit wegen nur die erste
Gleichung Ä{js) = Oj und führen wir darin die Function <P ein, so geht
dieselbe über in
^"•Vl^lft . ^Vi* -^4. 4.0,^1*^-0
*j^ dßi a«, ^^ dß, dxt^ '"^ j^ dßt a«. "" *
Setzen wir
so erhalten wir
Kleinere Mittheilangen. 303
*i
dxn
Führt man in A{ß^^... A{ßn^i) fttr die o^^...Xn-^\ die Variabein
ßi...ßn-i vermittelst der Oleichaugen 1) ein, so erhalten wir eine
Differentialgleichung mit den Variabein ß^^ ^, .../Sn-iY ^* Unter beson-
deren Bedingungen ftllt die Variable x« bei dieser Transformation heraus.
80 fftllt sie heraus, wenn A{b)^0 und £(5) = 0 ein Jacobi'sches System
bilden, das heisst, AB{b) - BA{$) = 0
eine Identitftt ist. Femer fftllt die Variable Xn heraus, wenn ^(0) = O
und B{$) = Q ein YoUstftndiges System bilden, das heisst, wenn
AB{B)-BA{n):=^0
wird vermöge der Gleichungen A{fi)^Q und Bfjs) =» 0. Es ist nun noch
der Fall möglich, dass Xn^ oder eine Function von Xn, als Factor in
A{ßd,A[ß>i...A(ßn^x)
auftritt. Alsdann wfirde die Differentialgleichung 2) nach Division ihrer
beiden Seiten durch Xn^ oder die betreffende Function von Xn^ ebenfalls
von Xh frei sein, und man hStte dann eine Differentialgleichung mit
n — 1 Variabein erhalten. Dieser Fall soll hier genau untersucht werden.
Ist ß irgend eines aus der Reihe ß^,^.ßn^\^ so ist
wenn wir für ß die betreffende Function aus dem Systeme 1) einsetzen.
Drücken wir jetzt die ^i, o^ . • . a^ . 1 vermittelst des Systems 1) als Functionen
von /}^y /?si • . ./}ff.i) Xn aus, und setzen wir diese erhaltenen Functionen
für 0^1«.. Xn^i ein, so möge l{x^, o?, . . . o^) übergehen in
Diese Function ^ soll nun die Form haben:
WO g{Xn) eine bestimmte Function von Xm nnd q> eine solche von /?||. • .j^n-i
ist. Setzen wir in ^(a^)^(A, ft,.../3n-i) für die ß die betreffenden
Functionen g des Systems 1), so wird die Qleichung
l{Xi, X^...Xn^i, Xn)^g{Xn)(p[gi, ^,,...^1.-1]
eine Identität. Hierbei ist zu beachten, dass ^|, g%y .gn-x Functionen
Ton dP|, x%^ . . . Xn~\, Xn siud. Differentiiren wir diese Identität nach
^19 ^i»**^n-it 80 erhalten wir:
304 Kleinere Mittheilnngen.
da;,
dl
Multipliciren wir jetzt der Reihe nach die Gleichungen mit
8a?| dx^ dxn^x
und addiren wir diese Gleichungen , so erhalten wir:
a«! dxn dx^ ai»„"^"*"*'aiF„_i a»«
_ / xf^y ^^^1 aa?! ay ^a^, dxt dq> V7a^«,i ax,i
La^jj^aa;* aa;. a^,j^ai»< air„"^**"^a^«.i^ a^^^ ax,j
Die rechte Seite dieser Gleichung ist Null, da sftmmtliche
^j aiB^ aa?«
Null sind. Setzen wir nttmlich in irgend einer Gleichung des Systemes 1),
z.'R. ß^ g{x^y x^^,.,Xn)i ftir die 0^, x^^.,,Xn-x die aus 1) gewonneaec
Ausdrücke ein, so wird /} a ^ (rci , ^^f*^ eine Identitftt. Es aoUen nim
Px* ßt9»"ßn-i, Xu unabhftngige Variable sein, mithin mus8| wenn wir
nach Xu diese Identitttt differentüren, die Gleichung bestehen:
^ dXi dXn
Es ist also '"*
3) _?L^ + J?L ^^ \ \ ^^ ^^"^ = 0
dXi dxn dx^ dXu ^Xu^x aa?«
Denken wir uns jetzt in {(a^i, x^^ ••• Xr) für die o^j, o^ ...rR,.! die be-
treffenden Functionen von /}|, ßiy^ßn^u ^ eingesetzt und alsdann nac^
0^ differentiirt, so erhalten wir*
(i
U«n/ aa:„ "*" aa?! aa;„ "* ^ a««^i aa;«
wo (g — j bedeutet» dass die x^^ x^^...Xn^i ftls Functionen von
und Xu angesehen werden sollen. Die rechte Seite der letzten Gleichimf
ist bis auf das erste Glied Null, und dementsprechend ist:
KdXnJ
Kleinere Mittheilungen. 305
/ dl \ dl
das heisst; darch die Sabstitationen der Fanctionen Yon /^^ /^sf^/^n-ii ^n
iür a?|, x^...Xn^i wird kein neues Xn eingeführt. Dieses Besnltat Iftsst
sich durch folgenden Satz ausdrücken:
jySnbsütuirt man in dem Ausdrucke (a^i, a^, ... o?«) für die rci, a^ .. . o^-i
die sich aus dem System
/*! = ^1(^11 •• -«n),
ergebenden Functionen von /J^, /},, •.•/}«-.! 1 o;«, so wird durch diese Sub-
stitution kein neues Xu eingeführt, das heisst, es ist
dl
dXn *
Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich Schlüsse über die Form yon
l{x^^ ^f*^ii) ziehen, wenn nach der Transformation dieser Ausdruck in
ein Product zerfallen soll, dessen einer Factor eine Function Yon Xn und
dessen anderer Factor eine Function von /}|, ß^j.,,ßu^\ ist
*• '^* l{x^,...Xn)^g{Xn)if(sfif ^«f ••.^«.-1);
wo die g die Functionen des Sjstemes 1) sind , so wird nach Sub-
stitution der betreffenden Ausdrücke für die a?|;...Xfi-i der Aus-
druck I übergehen in g{Xn)^(ßif /J^, .../}«.!). In diesem Falle
braucht man für die g nur die betreffenden ß zu setzen, um den
transformirten Ausdruck zu erhalten.
2. Soll l{Xi...Xn) in das betreffende Product zerfallen, so darf der
andere Factor kein Xn enthalten. Es muss also { in der Form
sich darstellen lassen:
Wenn wir nftmlich für x^f a^}...^-i die betreffenden Functionen
Ton /?!,... ^n-i» Xn einführen, so wird nach dem Yorhergehenden
Satz kein neues Xn eingeführt. Es wird dann ^{x^, x^...x».x)
übergehen in g' O^d /?s » . . . /Sr - 1). Enthielte nun ^ (o^i t . . . ^- 1)
Xn explicit» so würde auch q)(^ßiy /?,,.. ./^jt^i) dieses Xn explioit
enthalten. Dies widerspricht unserer Annahme, also muss I schon
Yor der Transformation in das Product g(xH)if(Xif.Xn^O ^^^'
fallen, wo ^(x^. ,, Xn~i) kein Xn ezplicit enthält.
3. Soll {(o?^ . . . 0^) nicht in ein Product zerfallen , und ist der erste Fall
ausgeschlossen, so wird nach der Transformation kein Xn oder
keine Function Yon x^ als Factor sich absondern lassen, da ja
durch die Transformation kein neues Xn eingeführt wird.
Z«ltMlixift f. Mathematik a. Phjilk. 40. Jahrg. 1896. B.Heft. 20
306 E[leinere Mittheilnngen.
Dieses Ergebniss lässt sich daroh folgenden Satz wiedergeben:
j,Ist der Aasdruck
gegeben , wo die a Functionen von x^^ x^...Xn sind und wo
eine'Oleichung des Systemes
ist, sollen die o^i . . . o^n-i durch Functionen von ß^^, ß^,,,ßn^if x^ er-
setzt werden, welche sich aus dem gegebenen System ergeben, und soll
annehmen, so ist dies nur möglich, wenn I(a?| . . . ^) schon die Form
g{Xn)^{Xi . . .«n-l)
besitzt, oder ., n / \ / %
ist, wo g^, ^{...^n-i die Functionen des gegebenen Sjstemes sind.**
Aus der Form, in welcher l{x^^ x^,..Xn) sich darstellen iSsst, er-
sehen wir, dass stets diejenige Variable x als unabhängige neben den
/?!, .../Jn-i genommen werden musS; welche selbst oder deren Function
als Factor in dem Ausdruck l(x^. ., Xn) auftritt. Ist nun
^(W=^W<Pi(A.../?«-i),
-A(ft.-l) = g{Xn)fpn^l{ßi . . . /J-l).
so geht die Differentialgleichung 2) nach Division ihrer beiden Seiten durch
g{x^ über in:
Es ist also die gegebene Differentialgleichung Ä{0)^O Termittebt
der n— 1 Lösungen der gegebenen Differentialgleichung B{0)=sO übe^
geführt in eine Differentialgleichung mit n — 1 unabhängigen Variablen,
ohne dass beide Gleichungen ein Jacobi'sches oder ein ToUstftndiges
System bilden. DafOr tritt die Bedingung ein, dass die n — l AusdrOcke
A{ß) einen gemeinsamen Factor g{Xn) haben. Das, was wir bei^(«)s=0
Yorausgesetzt haben, können wir auch bei den übrigen m'-2 Differential-
gleichungen C(ir) = 0, D W = 0 , . . . M{z) = 0
annehmen. Alsdann gelangen wir zu dem Satz:
„Ist ein System aus m- linearen partiellen Differentialgleichungen ge-
geben von der Form:
Kleinere Mittheilungen.
307
••+-Ä-''
and sind die n — 1 Yorschiedenen Lösungen von £(x;)s:0 bekannt, so
lassen sich die übrigen Differentialgleichungen in solche mit n — 1 Variabein
transformiren, ohne dass die Differentialgleichungen mit B(j8)bsO die
Jacobi'sche Bedingung erfüllen, sobald die
die Formen annehmen:
9e{^i)^\. c(i3i.../?n-l),
^c(«/)9«, c(/'i,.*.fti-l)...^c(»»)9»-l,«(ft--«/'«-l) • • •
9m {Xk) 9>1. « (A . . . /*«-!) . . • ffmiißk) V«-l , mißt . . • /?n-l)."
Hierbei ist zu beachten, dass die Functionen g ftlr die Systeme
und deren Argumente yerschieden sein kOnnen, wir werden stets folgendes
System von Differentialgleichungen mit n— 1 Variabein erhalten:
3)
C\t>)
91, o-
aft
+ 9>ii-i.
Jir(<I>) = 9)i,m -^^ + • • • + 9>»-l,
•aft.-i
.0,
= 0.
3ft ' ' '^""■'"a/j.-i
Wollen wir mit diesem Systeme 3) dieselbe Transfonnation vornehmen,
und soll das System kein Jacobi'sohes oder Tollstilndiges sein, so mflssen
^'W, ^{<t>),..M\0)
bestimmte Formen annehmen. Es seien die n — 2 yerschiedenen Lösungen Yon
C(O)=^0 bekannt:
4)
Es lassen sich aus diesem Systeme n— 2 /} als Functionen der
ß\ . . ./J'n-2 nnd /?„— 1
ausdrücken. Alsdann geht Ä{0) über in:
20'
308 Kleinere Mittheilnngen.
xor.,|*+x-,f.)^+...+x«r.-.)^-o,
WO die Ä(ßi) Functionen von
Bind. Soll nnn die Differentialgleiohnng nnr n — 2 Variable enthalten, und
soll die Jacobi'sche Bedingung nicht erfüllt werden, so mnss ßn^u ^^
eine Function Yon /Jn—i in jedem Ä\ß>) als Factor auftreten, das heisst,
es muss Ä'{ß^) von der Form
/(/j«_,)9'(|j',.../r,_,)
sein. Hierdurch geht die Differentialgleichaiig Aber in:
Es Iftsst sich nun zeigen, dass Ä'iß') proportional Ä{ß^) ist. Nadi
unserer Annahme ist nftmlich:
Mttltipliciren wir jetzt der Beihe nach die Gleichungen mit
l£i, iL,... Hl.
und addiren sie, so erhalten wir:
4.«. P'»'« _ift_4. 4. ^'^t gP-. ) ,
+ «"-MTÄ "ä^^ ■'"•■■^ «ftTT "ä^^;:^) +•
^^la/s, a««^ '^a/j,.! a«, J
Die Ausdrücke innerhalb der Klammern auf der linken Seite üni
die partiellen Differentialquotienten der ß' nach x, wenn wir uns die ff als
Functionen von o^i, x^^...Xn ausgedrückt denken. Gemftss unaerer Be-
zeichnungsweise wird dann die linke Seite Ä{^i). Der Ausdruck inner*
halb der Klammer auf der rechten Seite ist nach unserer Bezeichnungs-
weise A'{j^^.
E^leinere Mittheilangen. 309
Wir haben also erhalten:
Dasselbe iSsst sich auch fOr die anderen (f nachweisen , so dass all-
ist Diese Gleichung wird zu einer Identitftt, wenn auf der rechten Seite
fUr die ß die Functionen Yon x^.,.Xn aus dem Systeme 1) eingeführt werden.
Soll jetzt jA:{ß') in das Product zerfallen
so wird Ä{ß^)^g{xn)g{ßn^t)ip\ß',...ß\.,).
Führen wir ftlr die j3'|, ß^%.*>fin^t die ß^.,.ßn-\ vermittelst des
Sjstemes 4) ein, so wird in Folge des vorhin bewiesenen Satzes
^On = 9Mg ißn-lWißt, A . . . ßn^,).
Diese Gleichung wird zu einer Identität, wenn rechts die ßi^^^ßn^i
durch die Functionen von x^, . .Xn ersetzt werden. Damit die angesagte
Transformation möglich ist, müssen folgende Gleichungen bestehen:
^{ß\) = 9dMga{gn^x)(p\^d{ß^i . . .ß^n-i)
B(ß!n^%) = gd{Xn)gd{Sln-\)q>'n'%,d{?\ • • «i^«-«)
^(P^n) = gn.{Xn)gm{gn^t) 9'l,m(/J', • • • ß'n^,)
•^(/^»•-O = gmiXn)g'm(gn~l)g>'n^i, m{?\ - • ./^n-s),
wo pn.i die betreffende Function des Systemes ist.
Man kann nun die Transformation des Systemes mit m — 2 Gleichungen
weiter führen, wenn man die n — 3 yerschiedenen Lösungen der Gleichung
zu Hilfe nimmt. Es ist ohne Weiteres ersichtlich , dass die bei den
auftretenden Factoren bei den späteren ilO^^) sich stets wiederholen.
Man konnte nun die Frage aufwerfen, ob es solche Coefficienten a
giebt, dass A{^ die yerlangte Form
9M9>{ßn A,--.i8«-i)
annimmt. Es lassen sich stets n — 1 a so bestimmen » dass die Ä(ß) die
yer langte Form erhalten, man muss sich hierbei nur erinnern, dass die ß
310 Kleinere Mittheilungen.
die n ^ 1 verschiedenen Lösungen einer partiellen Differentialgleicfaang
sind^ und mithin ihre Functional- Determinante niemals Null sein kann.
Die Methode, die Lösungen einer Differentialgleichung zur TraoB-
formation anderer zu benutzen, in der yon uns angenommenen Formi finden
wir schon bei Boole (Mansion: Partielle Differentialgleichungen). Boole
setzt hier ein vollständiges System voraus , um eine Variable bei der Trans-
formation herausfallen lassen zu können. Es geschieht dies durch die
Jacobi'sche Bedingung; ^^^^^ _ ^Aiz) = 0,
welche identisch erfallt werden kann, oder vermöge der Gleichungen
A{b)^0 und B{p) befriedigt wird. Ist nun ß eine Lösung von £(iBp) = Q,
so muss vermöge dieser Bedingung A(ß) auch eine Lösung von jB(«) = 0
sein. Es ist nftmüch ^[5(^jj^p[^(^jj^ B(/3) = 0,
also ist B[A(ß)'\ s== 0, das heisst, A{ß) ist eine Lösung von B{b) = 0. Diese
Bedingung fftllt bei der von uns beschriebenen Methode fort, und wird
ersetzt durch die Bedingung, dass eine Variable oder eine Function von
ihr bei der Transformation sich absondern lässt, so dass die A{ß) die Form
annehmen. Die Jacobi'sche Bedingung wird aber auch in unserem Fall
erfüllt, das heisst, das System wird ein vollständiges» wenn g{Xm) sich auf
1 oder auf eine Constante reducirt Um dies zu zeigen, stellen wir uns
die Aufgabe, BA(ß) zu berechnen, wenn
ist. Es ist
^Ä{ß)_ ,,^,viay aft. ^Mß)_^,^,^dip dßi
SÄ(ß) _ '^dip dß, dg
Bilden wir nnn die Differentialgleichung £ii(/}) = 0, so erhalten wir:
du
'."-'^Ir w. + »■'<'^'2la ^ + ■• ■+'-'<-)2lS
+ hnq>'^^BA{ß).
Ordnen wir jetzt auf andere Weise, so erhalten wir:
+ hn'P^ = BA(ß).
Kleinere MittheQongen. 311
Da die ß^^ /S^ . . ./Jn-i Lösungen Yon B{g) =^0 sind, so sind die Aus-
drücke in den Klammern Null, und es wird
Soll jetzt die Jacob i 'sehe Bedingung erfüllt werden, also Ä{ß) eine
Lösung Ton B{0)^O sein, so muss
».,^ = 0
sein. Dies ist nur möglich, wenn -r-^ = 0 ist, was bedeutet, dass g eine
Constante sein muss, denn g ist nur eine Function yon Xn* In jedem an-
deren Falle tritt bei der Transformation Xn auf. Wir haben hier beilSufig
bewiesen, dass, wenn in einem vollstftndigen Systeme linearer partieller
Diflferentialgleichungen die verschiedenen Lösungen der einen von ihnen zur
Transformation benutzt werden, das System auf ein solches mit n—1 Variabein
sich reducirt Wir sind also zu folgendem wichtigen Resultat gelangt:
jylst ein System von m-linearen partiellen Differentialgleichungen
mit w- unabhängigen Variablen gegeben, deren zweites Qlied Null
ist, so lässt sich dieses System unter Benutzung der n — 1 ver-
schiedenen Lösung einer diesem System angehörenden Differential-
gleichung in ein System von m — 1 Gleichungen mit n — 1 Variabein
transformiren, ohne dass die Jacobi'sche Bedingung
erfüllt wird, wenn bei der Transformation eine Variable oder eine
Function von ihr als Factor heraustritt. Beducirt sich diese
Function auf eine Constante, so ist das System ein vollständiges,
und die Jacobi'sche Bedingung wird erfüllt. **
Diese Transformation lässt sich auf das neu erhaltene System von
ff» — 1 Gleichungen anwenden. Es föllt die eine Variable heraus, sobald
diese oder eine Function von ihr als Factor auftritt, oder wenn die
Gleichungen ein vollständiges System bilden. Soll ein System von
m- Gleichungen ein vollständiges sein, so sind ^ — Bedingungen zu er-
füllen. ErfCLllen in dem gegebenen System von m- Gleichungen nur
A;- Gleichungen die ^ — Bedingungen eines vollständigen Systemes, so
bleiben m(fit— 1) ä(ä— 1)
2 2
Bedingungen unerfüllt Diese werden ersetzt durch die Bedingung dos Ab-
sondems. In diesem Falle hat das System der m partiellen Differential-
^rleichungen eine gemeinsame Lösung, obgleich es kein vollständiges ist,
was nach Früherem nicht der Fall zu sein schien.
Stettin, Januar 1896. Dr. Ernst Schultz.
312
Kleinere Mittheilangen.
ZXIV. Der dem Pythagorisohen Lehrsats anttpreohand«
Bats der Bphärik.
Der Satz lautet:
0 Verlängert man bei einem rechtwinkligen Engeldreiecke, von deeaen
Seiten keine ein Quadrant oder gröseer als ein Quadrant iat, die Seiten bis
zum Durchschnitte mit den Seiten des reciproken Dreiecks, so entsteht fiber
jeder Seite ein durch sie, die Verlängerungen der anstossenden and die
ihr entsprechende Seite des reciproken Dreiecks gebildetes Viereck. Von
diesen Vierecken ist dasjenige über der Hypotenuse der Summe derer fiber
den Katheten gleich.''
(Entsprechende Seiteii
zweier reciproker Dreiedce
sind diejenigen, die sn der-
selben Höhenlinie gehören;
bezeichnet man als Höhen-
linien diejenigen Haaptkreise,
die durch die Ecken eines
Dreiecks senkrecht sn den
gegenüber liegenden Seiten
gezogen sind, so sind, wie
leicht zu ersehen, die Höhen-
linien eines Dreiecks gleich-
zeitig die seines reciproken.)
Beweis. Im Dreiecke
ABO sei C ein Bechten
dann ist im reciproken Dreiecke, A^B^C^^ die Seite A^B^ ein Qoadiwit
Durch Verlftngernng der Seiten Yon ABC entsteht fiber AB das
Viereck ABB^A^^ fiber CB das Viereck CBFQ^ und fiber il (7 endlich
das Viereck ACED.
C ist der Pol von A^B^^ also ist A^CB^ ein Oktant, dessen Inhalt
gleich fo, somit
1) A^B^BA + AABO^a.
Drücken wir die Winkel BAC und ABC nach Hechten ans, so dass
<2?^(7=«.J, <):^BC=/?.J ist,
so ist, weil A der Pol von FO, B der von DE,
AFAO = a.a), d. h. FBGO + AABC = o . q;
ADBE=^ß.m, d.h.DACE+AABC^ß.ia] addirt:
a) FBCa + DACE + 2t^ABC^ (o + ß)m.
Kleinere Mittheüungen. 313
Nun ist der sphttrische Ezeess des Dreiecks ABO gleich
(« + /!'— l)*-«* somit
b) A^B(7={a + /J-l)w
nnd durch Subtraction dieser Oleichang von a):
2) FBOa + LÄGE + t^ABG^ ».
Aus 1) and 2) folgt:
A^B^BA = FBCO + BACE.
Krens nach. Dr. August Wilhelm Vel^I'em.
X3nr. Die Schranbenflächen constanter mittlerer Krftmmang.
Verleiht man jedem Punkt einer in der [a;«]- Ebene gelegenen Curve
0^f{x) eine schraubenfSrmige Bewegung um die 5 -Achse, so ergeben
sich die Coordinaten der so erzeugten Schraubenflftche in folgender Form
als Functionen zweier Verttnderlichen :
Die Curven t; » constans geben die Schraubenlinien auf der Fl&che,
die Curven u = ecmstam sind Verticalschnitte ; g ist die Constante der
schraubenfSrmigen Bewegung, deren 29r-faches Multiplum die Ganghohe der-
selben liefert.
Die mittlere Krümmung der SchraubenflSche ergiebt sich in folgender
Gestalt:
1,1^ 1 ^f HHf>) !♦
Wir fordern nun, dass die Summe der reciproken Werthe der Haupt-
krümmungsradien in allen Punkten der Flftche gleich einer Constanten
2 .
sei.
a
Die erste Integration ergiebt unter Einführung der Gonstanten hi
Vg'+v^+v^riv)* a
• Enneper schreibt irrthümlicher Weise:
1 l ^^ dl f^fHv) \
9i 9t dv\ ^H-v'H-vVHv)* J
Dieser Irrthum ist jedoch für das bei ihm Folgende belanglos; cf. Enneper:
Analytisch -geometrische Untersuchungen in dieser Zeitschrift, Jahrg. 1864 8.11.
314 Kleinere Mittheilangen.
Die linke Seite, also auch P{v)^ wird gleich Nall für dea Werth
t^Sss — a&; für diesen Werth yon t;' ist die Tangente der Carre M = f(s)
vertical gerichtet. Kann dies wirklich eintreten, so müssen a und 5 un-
gleiche Zeichen haben. Wir unterscheiden demnach znnSchst die beiden FSlle:
1) a>0>6; 2) 6>0>a.
Die Annahme 3) 5 » 0 veranlasst bedeutende Verein&chnng det
Schlussergebnisses.
Setzen wir 4) — = 0, so erhalten wir die MinimalflSche anter den
a
Schraubenflftchen , für die bekanntlich die Oleichung
1+1 = 0
charakteristisch ist.
Die Voraussetzung 6) —£=5 = 0 zieht nach sich :
ü
P(^)-=^0, fif>)^consti
sie ergiebt also die SchraubenflKche mit Leitebene (ä plan directeur) , welche
gebildet wird durch die Binormalen einer Schraubenlinie, welche sSmmtlid
die ir- Achse rechtwinklig schneiden. Als Minimalfläche ist dieselbe seit
Meusnier (M6m. sur la courb. des surf. 1776) bekannt.
6) Als letzten Fall werden wir den behandeln, dass die Constantei
der Schraubenbewegung gleich Null gesetzt wird» wodurch wir zu des
Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung gelangen.
1) Es sei a > 0 > h.
Die obige Gleichung ergiebt nach Anwendung der Substitution t^*=^te:
{io + ah){io + g^div
m-if-
iv j/{w + g^ {o?w -[w + a &]*)
Da f> s= Yw ist, so dürfen wir nur positive Werthe für tp zalaswz-
Da alsdann w + g^ stets positiv ist, so ist zur Beellität der Wuisd m
Nenner erforderlich, dass der Factor
a'w- [w + a&P =-(«;- «)(ir - /J) > 0
ist« Damit diese Bedingung erfüllt sei, muss eine der üngleichongen
richtig sein, je nachdem a ^ /? ist. Hier bedeuten:
a«-2a& + al/a«-4a6 ^ a«-2a6-al/a*- 4at
2 ' ^ 2
Kleinere Mittheilnngen. 815
In der ErwSgung, dass a ^ 0, 1^0 ist, erkennen wir leicht ^ dass
a and ß reell und positiv sind, dass femer a ^ /} ist, der Werthbereich
der Variabein tu also ToUständig festgelegt ist.
Um das vorliegende elliptische Integral fOr f{f>) anf die Normalform
zu bringen, benutzen wir die Substitution:
die so geartet ist, dass den Werthen -^, /?, a, oo von w die Werthe
00, 0; 1, vs von Q entsprechen.
Wir stellen fest, dass ^, der Modul des zu erwartenden elliptischen
Integrals in der Normalform, positiv ist und die Einheit nicht erreicht.
Folgendes Ergebniss hat die erwtthnte Substitution:
m
die weitere Substitution Qs=sin*q) erzeugt folgende Gestalt:
und ff*Ä*
ist. Das Zeichen der Wurzeln ist in ErwSgung der Gleichung
j/^ß^ah
zu wählen. Die weitere Behandlung dieser Integrale besteht in der Ein-
führung der Jacobi 'sehen Bezeichnungen für die elliptischen Functionen
nnd deren Darstellung durch die 6 -Function. Zu diesem Zwecke setzen wir:
so dass 9 s= am^ ist, /»
Dann wird: E(t) =/ A«am*d,^.
dq> h^ sinam'^cosainrif E(^)
A
(cf. Durdge: Theorie der elliptischen Functionen, 4.Aufl.§I9, S. 74 und 75),
worin k' den zu h gehörigen complementttren Modulus bedeutet.
Wir bezeichnen nun mit K bezw. E^ das voUstftndige Integral erster
Gattung für den Modul h bezw. Jc\ mit E das vollständige Integral zweiter
Gattung ftür den Modul h.
316 Kleinere Mittheilangen.
Ferner definiren wir in bekannter Weise:
nnrif
U
(cf. Dardgey 1. c. §§ 54, 65, 68). Dann besteht die Gleichung:
/-.
d<p ^ y''-ßVg*+« g(»)g(»+g)
gt+ß K-^^ g* + ß e{*)
Dabei bedeutet & den Differentialqaotienten von 6 nach if. Wir er-
halten also:
+ Vg*+a
e(«)
In dem Integral dritter Gattung in // kann n jeden Werth yon 0 Ins Qc
annehmen. Um von der Legendre'schen Nonnalform zur Jacobi'seiNfi
zu gelangen, setzen wir:
n = ^-^ = — h^sin^amim = Ji?^tang^am(w^ t*)?
woraus sich sinam(w^ k') und Aam(a>, %') leicht berechnen lassen.
Bezeichnen wir das Integral dritter Gattung in der Jacobi'sebes
Normalform mit i7(^)> so ergiebt sich im Torliegenden Falle:
(cf. Duröge, 1. c. § 69).
Führen wir nunmehr auch hier (unter Benutzung der Gleichunfei
Durdge § 67,1 und § 71,1) die 6-Functionen ein, so kommt:
TT/. . N 9'V^ , ».*w , e'(«, **)
. 1 ., e(ip-»«)
Kleinere Mittheilangen. 317
Berflcksichtigen wir nun die Benehnngen:
qp »2- (- 1)- «(-'«m ^ . Ce— IT _ t-r)
X
1 A-\-xB A
80 heisst nneer zweiter Term:
unser Schlossergebnise ist das folgende:
Der Gang der numerischen Becimung ist folgender:
Nachdem a und ß (besw. a und 5), sowie ^ als Data der Aufgabe
festgelegt sind , nimmt man flELr m einen swischen a und /} liegenden Werth
an, berechnet mit Hilfe desselben zunSchst q^ dann ^.
Alsdann liefert die Gleichung
^^F{fp, h)
den Werth f&r ^. Da nun femer
stnam((», JT) = X/ ,^^ =stng
ist, 80 folgt: „«J-C«,*').
Die so gefundenen Werthe sind in die Schlussformel einzusetzen.
2) Es sei 6 > 0 > a.
Die Behandlung dieses Falles ist der des vorhergehenden genau ana-
logr* ^8 besteht aber die Ungleichung ß^ a» Deshalb ist überall die
Stellung Yon a und ß zu vertauschen.
3) Es sei b^O,
Das zu transformirende Integral nimmt die Form an:
318 Kleinere Mittheilangen.
Die Warzel bleibt reell, so lange die stets positive Yerftnderliebe «
in den Grenzen 0 nnd a^ sich bewegt Da nun fthr b = 0 die im Falle 1)
mit « und /} bezeichneten Grenzen des Werthbereiches von w m €? and 0
übergehen, so ist die hier anzuwendende Substitution aus der allgemeiaen
durch ^ = 0 herzuleiten.
Wir erhalten somit auch ein richtiges Ergebniss, wenn wir in der
Schlussformel 5 = 0 setzen:
4) Es sei — = 0.
a
Die Differentialgleichung der Minimalschraubenfläche lautet:
1 i_ i ä, .«m I ^
9i Qt ^ ^''\]/g* + t>' + t^f{v)n
Da — nicht allgemein 0 sein kann, so ergiebt sich nach Einffttmig
einer Integrationsconstante h:
6»)
de
+ c
Znr Ansrechnnng des Integrals P verhilft die Snbstitntion p' = t:
p=,lu>g^(^^+9'l±y^^^
2^j/(t.«+j,«)-j/(e,»-6»)
Von diesem Werthe unterscheidet sich nnr durch die additire Gonstuie
qnod licet, der folgende:
Die Substitution v*s=t verhilft auch znr Auswerthung von Q.
Q = —-arc iang -^-^ — f ■'^ '—
go gl
Kleinere Mittheilangen. 319
Von diesem Werthe unterscheidet sich nnr durch die additive Constante
g .aretang—t
9
qnod licet, der folgende:
• g /e«_i,»
Q^-garctang^y :^^^
Wir erhalten also:
m = Ihgiy^;' + g^+ jVTTtS)
+ garctang — ^ ^ ^^' — + c
Durch die obigen Bemerkungen ist die (bis auf Entstellungen durch
Druckfehler) völlige üebereinstimmung unseres Ergebnisses mit denen von
Enneper [diese Zeitschrift, Jahrgang IX, 1864, S. 111] und von Scherk
(Grelle 13, Jahrgang 1834) nachgewiesen.
Letzterer fand seinen Werth durch Integration der Differentialgleichung
der Minimalflttchen, ersterer auf eine der vorliegenden entsprechende Art.
Aus der Differentialgleichung der die Minimalflttche erzeugenden
Curve
dx xl^ a? —V^
ist ersichtlich, dass die Tangentenwerthe im Intervall
5 < a? < 00
reell und positiv sind, aber von oo bis 0 abnehmen. Somit entfernt sich
die Curve immer weiter von der j;- Achse, der sie die concave Seite zu-
wendet. I
5) Es sei — = 6 = 0.
a
Dieser Fall ist schon oben erledigt.
6) Es sei ^ = 0.
Für die Botationsflttchen constanter mittlerer Krümmung erhalten wir
die Differentialgleichung: ^ . «-l ft
Hier greifen nun bezüglich der beiden Constanten a und h dieselben
Erwägungen Platz, wie bei den Schraubenflächen. In jedem Falle ist das
Integral ,, , 1 /* w^-ah
fiy) = o- 1 -dw
zu transfprmiren , in welchem
a^w>ß
sein muss , je nachdem a^ß ist. Die Werthe von a und ß sind nicht
gre&ndert«
320 Kleinere MittheiluDgen.
Das Ergebniss lautet im ersten Falle:
Das Ergebniss des zweiten Falles ergiebt sich wiedemm dureh Yer-
tauschnng von a und ß.
Fttr b c= 0 erhalten wir:
Fttr — ea 0 ergiebt sich :
(Botationsflttche der Kettenlinie)«
Sobernheim. Dr. Hbokhoff.
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Fig. 7.
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dübfi 1^ ii nuf den AuaViau der Liniengeometrie hinj^ewies*'n . , , Pa^ auch
It^rHU luh 1 iaiizösiäche und lt-i]ieniaehe fibersetzte Werk stellt iu dit**ier t<einer
neuen Anfinge da^« volbtAndlgste Lehrbacli 4er uenereti Ueomeirie diir.''
INHALT.
m?
ti|ut]e ilt^T kbematlsdi^ui Kotttn. Ton Prof. I
XVI V^hnT dii^ Anrutlil t!tir üi-jcekchmiie, wdcEfi Jordi l*uiilt
nnd NormtilitTk bcaiiniiitt «Imi. Von Dr, A, Woiait in LuuU .
Kleinere Mi tlb«? i hitig^n^
XXTO Zur TrÄDfifonniiiioa *'in*^a BjstüJiiei- ju-t lirrt i ».ir!.i>*!L»r DinVf,-a«juI-
gjnjcliuiijjf-u, Von l>r, Kunmt BcnxJh'ir
XXIV* Di'i" »iem P.V<' '-' ' ' ' .itÄ rur-^j^^fi cni'iiiit' r^ai:
Von [*r AtJ*.i < ... . »
Hi«tcpri«oh-iiteriiri*cbi» Atiheilntii^ .l»i*ji^iulHr!< n.i
Auimfmn Abhnttdlung ah<^ da« Qtiadfiituizi Qeoiuüli
Cmm. (Tafel Xü) ,
Sau-csiKosm, t"rüf* Dr. Liowta, Eandbiich der Ti
DifFer- " ' ;-t»u. Vou WfiuH i
Wkiifh, Prof H. ueli Jur Atgel»m.
0nv0SiT«i^rKOKii. iS,, Vcrrii^sangen nixs der anafjtbebnn üeocn
KügelBchnitte. Von F, Mcrii
Von V V . . ...
Epj^tein, S., Die ?K'r Eecbuinig*apemtiajJ«*n ilet tJ.>^i»'Vw?bin Tant.^
tiooeü Debst einer gt*tidijelitljebeii '
KAJurrn, B., Tafel des Iut*/jkTaJ*> tf«^^)
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ProtfiKKc;»:«, Eäahvjsjl, Eine allgemftinei^e IntegmH+'T» ^'♦•' r»
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xvn.
Homocentrische Brechung des Lichtes
durch die Linse.
Von
Dr. L. BURMESTEB.
PiofeMor an der TeohnUehen Hoclitchiüe in Httnchon.
Hierzu Tafel XIII und XIV Fig. 1—17.
I. Breohung der liohtstrahlen an der Kugelfläche.
In Ansohlass an die Untersuchung der homocentrisclien Brechung des
Lichtes durch das Prisma* wollen wir die Beziehungen ableiten , welche bei
der homocentrischen Brechung des Lichtes durch die Linse auftreten, weil
diese homocentrische Brechung , wie es scheint, in ihrer Allgemeinheit noch
nicht erkannt wurde. Die Grundlage unserer Darlegungen bildet der aus
der geometrischen Optik entlehnte Satz: Einem einfallenden astig-
matischen Strahlenbündel, welches an der Trennungsfläohe
zweier Medien gebrochen wird, entspricht im Allgemeinen ein
gebrochenes astigmatisches Strahlenbündel, und wenn ins-
besondere das einfallende Strahlenbündel ein unendlich dünnes
centrales ist, so entspricht auch diesem im Allgemeinen einge-
brochenes astigmatisches Strahlenbündel.
Wir betrachten zuerst die Brechung eines unendlich dünnen, centralen
Strahlenbündels ; dessen Strahlen von einem Punkt ausgehen, oder nach
einem Punkt gerichtet sind, an einer Eugelfl&che als Trennungsfläche zweier
brechender Medien, um in dem gebrochenen astigmatischen Strahlenbündel
die beiden Brennlinien und die beiden Bildpunkte zu bestimmen, welche
clem Lichtpunkt des einfallenden Strahlenbündels entsprechen. Gehen in
f*igur 1 Tafel XIII die Strahlen eines unendlich dünnen, centralen Strahlen-
l>ündel8 von einem Punkt Ä aus, und ist aO der Hauptstrahl dieses
* Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1895. Bd. 40. 8. 66.
Zeitiehxift f. Mathematik u. Physik. 40 Jahrg. 1895. 6.Heft. 21
322 Homocentrische Brechang des Lichtes durch die Linse.
Strahlenbündels , der die Kagelfläcbe K in einem Punkt 6 trifft , so erfolgt
die Brechung des Hauptstrahles a6 in einer durch aQ und dem Mittel-
punkt If der Eugelfläche gelegten Ebene, die wir als Zeichnangsebene
nehmen. Diese Ebene schneidet die Eugelflttche K in einem grössten Kreis,
den wir ebenfalls mit K bezeichnen, um zu dem einfallenden Haupt-
strahl a6 den entsprechenden Hauptstrahl 6 er des gebrochenen astig-
matischen Strahlenbündels zu erhalten, nehmen wir an, es sei n der
Brechungsindex von dem Medium der einfallenden Strahlen gegen du
Medium der gebrochenen Strahlen, beschreiben um If die Kreise By {;, deren
Radien resp. gleich MQ.n und MQ \n sind. Hierauf ziehen wir yon dem
Schnittpunkt Z, den der Kreis e mit dem verlttngerten Hauptstrahl aO
bildet, den Radius ZMy der den Kreis l in dem Punkt Z trifft, dann ist
6Z der gebrochene Hauptstrahl 9 a.
Zum Beweise dieser Construction , die von Weierstrass* stammt,
bezeichnen wir mit e den Einfallswinkel NQa und mit s den Brechungs-
winkel j9f6a. Die Dreiecke JSfOZ, MZQ sind ähnlich, weil sie bei U
einen gemeinsamen Winkel haben und
e und MZQ = c; folglich er-
MZ MQ
MQ~^~ MZ
ist Demnach
ist
der
Winkel MZQ ^ e ui
giebt sich
sine MZ
sine MQ ^
oder
' sine MQ
sine ^ MZ ""
Wir betrachten nun (Fig. 2) in dem von einem Lichtpunkt A aus-
gehenden, unendlich dünnen Strahlenbttndel den Strahlenfächer, der in der
Einfallsebene aQa liegt und in derselben gebrochen wird. Denken wir
uns in der Einfallsebene einen von Ä ausgehenden Strahl angenommen,
der mit dem Hauptstrahl aQ einen unendlich kleinen Winkel bildet, so
schneidet der entsprechende, gebrochene Strahl den Hauptstrahl Oa ii
einem Punkt Ad in dem sich die gebrochenen Strahlen vereinen, die den
einfallenden Strahlenfftcher entsprechen. Der Punkt A| ist dann der erste
Bildpunkt und die in A^ auf der Ebene aQa senkrechte Gerade ist die
erste Brennlinie in dem gebrochenen astigmatischen StrahlenbflndeL Der
erste Bildpunkt A|, der einem Lichtpunkt Ä entspricht « ist in xnannip'
* Zeitschrift für physikalischen und chemischen Unterricht 1889 Bd. 2 S. 135
erwähnt Schell bach, dass diese Construction von Weierstraes mitgetfae£t
wurde im Bericht der Versammlung deutscher Naturforscher und Aen&te sa Wien 189C^
Druckjahr 1858. Daselbst ist nur angefahrt, dass Weierstrass einen Vortrag.
„Dioptrische Constructionen**, gehalten hat.
Von Dr. L. Bubmebtbr. 323
faltiger Weise bestimmt worden*; nnd wir wollen hier noch eine kine-
matische Ableitung einer neuen Constrnction des ersten Bildpunktes mit-
theilen. Denken wir uns einen einfallenden Strahl a6 in der Einfalls-
ebene als Tangente an einer Curve i bewegt, dann umhüllt der zugehörige
gebrochene Strahl 6 a eine Curve i. Während einer unendlich kleinen
Bewegung dreht sich der Strahl aQ um den Berührungspunkt A und
der gebrochene Strahl 6 a um den Berührungspunkt A|. Nehmen wir
nun an, es habe während dieser unendlich kleinen Bewegung der Punkt Z
auf dem Kreise z eine Geschwindigkeit gleich ZM^ die wir aus ihrer
Richtung um Z nach ZM, also um einen rechten Winkel drehen und
in dieser Lage als lothrechte Geschwindigkeit des Punktes Z bezeichnen^,
dann bewegt sich der Punkt Z auf dem Kreise i mit der lothrechten Ge-
schwindigkeit ZM. Ziehen wir zu MZ die Parallele 6 27, welche die
Centrale AM in dem Punkt U trifft, und tkxit AZ die Senkrechte UF, die
Jf 6 in V schneidet, so ist 6F die lothrechte Geschwindigkeit, mit welcher
sich der Punkt 6 auf dem Kreise K bewegt. Der Punkt A^t in welchem
der Strahl 6a die Curve i berührt, ergiebt sich demnach, wenn wir auf
6a die Senkrechte FTF bis an 817, und die Gerade WM ziehen, welche
auf dem Strahl 6 a den Punkt A| bestimmt.
Nach dieser Constrnction entspricht einer Reihe von Lichtpunkten
A.. • auf einem einfallenden Hauptstrahl aQ eine projective Reihe von ersten
Bildpunkten A|. . . auf dem gebrochenen Hauptstrahl 6a, und diese beiden
projectiven Punktreihen befinden sich in perspectiver Lage, weil im Punkt 6
zwei entsprechende Punkte zusammen fallen. Demnach gehen die Ver-
bindungsgeraden A\ , . . . der entsprechenden Punkte durch einen Punkt G.
Nehmen wir den Punkt Z auf a6 als virtuellen Lichtpunkt, so ist nach
der Constrnction der Punkt Z der entsprechende erste Bildpunkt Dies folgt
auch aus der allgemeineren Beziehung» dass allen auf die Eugelfläche K
treffenden Strahlen, die nach dem Punkt Z gerichtet sind, gebrochene
Strahlen entsprechen, welche sich in dem Punkt Z schneiden.
Bezeichnen wir mit D, Aj die Fnsspunkte der von M auf a6, 6a
geMlten Senkrechten und nehmen wir den Fusspunkt D auf dem Haupt-
strahl a6 als einen virtuellen Lichtpunkt, so entspricht demselben gemäss
der Constrnction der Fusspunkt A^ auf 6 a als erster Bildpunkt. Diese
Beziehung ergiebt sich auch, wenn wir annehmen, der Punkt 6 bewege sich
* De PHospitai, Analyse des infiniment petita. 2. Ed. Paris 1716. p. 121. —
Reuach, Poggendorfs Anualen 1867. Bd. 130 S. 497. — Hermann, Ueber schiefen
Durchgang der Strahlenbündel durch Linsen. 1874. S. 10. — Lippich, Denk-
schriften der k. k. Akademie. Wien 1877. Bd. 38 S. 8. — EeBsler, Zeitschrift
fQr Mathematik und Physik. 1884. Bd. 29 S. 67. Gleichen, Die Haupterschein-
uDgeu der Brechung und Reflexion des Lichtes. 1889. S. 31. Mannheim, G^om^trie
cinämatique. Paris 1894. p. 66.
** L.Burm est er, Lehrbuch der Kinematik. 1888. Bd. lS.64.
21*
324 Homocentrische Brechung des Lichtes durch die Linse.
auf dem Kreise K und der Hauptstrahl a6 herflhre in 2) einen um M be-
schriebenen Kreis , dann berührt auch der Haaptstrahl 6 a in A^ eioen
um M beschriebenen Kreis. Die Qeraden ZZ, DA^ schneiden sich also m
dem genannten Punkt G.
Es ist der Winkel DJfAi= Z9Z, ferner
MB _ sine _ QZ _MZ _
-MAi " 8%nt "" ^' ez " Jfe "" **'
^'^ MB ^ez
M\ QZ
Demnach sind die Dreiecke JSfDA^, 6ZZ ähnlich und folglich ist die
Gerade DA^ senkrecht auf der Geraden MZ.
Diese Beziehung führt zu der folgenden bekannten Constniction des ersten
Bildpunktes. Ist zu einem einfallenden Hauptstrahl aQ der entsprechende
gebrochene Hauptstrahl 9 a in der angegebenen Weise construirt, dann ziehen
wir von dem Mittelpunkt M auf aQ oder 6 a eine Senkrechte, z. B. auf a6 die
Senkrechte MB^ f&llen von B wdMZ die Senkrechte BQ und ziehen die
Gerade AQ^ welche auf Qa den zum Lichtpunkt A gehörenden ersten Bfl<i-
punkt Ai bestimmt.
Um den Punkt Q rechnerisch zu bestimmen, ziehen wir zu 6 a die
Parallele GAtx^ zu aQ die Parallele (tAui and bezeichnen mit r den
Radius der Kugelflttche JST. Es ist die Strecke
^ . . ^ ^- sine _.- sinecos^e MQ sineeos'e
also «
-. ^ . rsmscosre
1) ^Ati = — ' ( __ \ •
Femer ist die Strecke
«nie — a) stn{e—s) 9m(e—t)
also «
2) Q^^^^r^W«
Setzen wir QA = o;, , 6A| = Xn ^Ati =/| 6Avi = 9]* iin<i nehmez
wir die Strecken x^ f^ entgegen der Richtung des einfisdlenden Haupv
Strahles aQ positiv, die Strecken %^^ tp^ in der Richtung des gebrocbeiies
Hauptstrahles 6a positiv, so erhalten wir:
3) ^ + ^ = 1.
Betrachten wir in dem von einem Lichtpunkte A ausgehenden onend-
lieh dttnnen Strahlenbttndel den Strahlenfächer, dessen Ebene durch dfc
Hauptstrahl aQ geht und auf der Ebene aQa senkrecht steht, so entsprich;
diesem einfallenden Strahlenf&cher ein gebrochener Strahlenf&cher, dess^
Ebene durch den Hauptstrahl 6a geht, senkrecht auf der Ebene aQu stellt
und dessen Strahlen sich in dem Schnittpunkt A^ des Hauptstrahles 6«
Von Dr. L. Busmbstbr. 325
und der Centralen AM vereinen. Der Punkt A^ auf dem Hauptstrahl 6 er
ist hiernach der zweite Bildpunkt und die in der Einfallehene a&a liegende
Centrale JKf As ist die zweite Brennlinie des gebrochenen; astigmatischen
Strahlenbündels.
Einer Beihe von Lichtpunkten A... auf dem einfallenden Haupt-
strahl aQ entspricht demnach eine projectiye Beihe von zweiten Biid-
pnnkten Ag . . . auf dem gebrochenen Hauptstrahl 6 a ^ weil die Verbindungs-
geraden AA^.». durch den Mittelpunkt M gehen. Ziehen wir zu 6a
die Parallele MAt^^ femer zu a9 die Parallele Jf Av2i so ergiebt sich, weil
MQ = r gesetzt wurde ,
rsins
4) e^„ = A„2JJf =
5) eA.8 = il.,af =
rsine
sinie— i)
Setzen wir QA=x^^ ÖA2 = x«» OAg^^f^y 6Arf = 9>2, nehmen wir
die Strecken sTj, f^, sowie die Strecken Xt> 9>s in gleichem Sinne positiv,
wie die Strecken x^ , f^ und Xi « 9i in Oleichung 3) | so erhalten wir :
6) ^ + ^ = 1.
Nehmen wir auf dem einfallenden Hauptstrahl aQ eine Beihe von Licht-
punkten A. . . an , dann entsprechen derselben eine projective Beihe erster
Bildpunkt A^ ... und eine projective Beihe zweiter Bildpunkte A^ ... auf dem
gebrochenen Hauptstrahl 6 er. Diese beiden Beihen von ersten Bild-
punkten A|... und zweiten Bildpunkten A^... sind demnach projectiv und
haben auf dem Hauptstrahl 6 a die Doppelpunkte 6, Z. Wenn wir von
dem Doppelpunkt 6 absehen , in welchem der Lichtpunkt mit den beiden
zugehCrigen ersten und zweiten Bildpunkten identisch ist, so ist auf dem
einfallenden Hauptstrahl a 6 der Punkt Z der einzige Lichtpunkt, dem ein
homocentrischer Bildpunkt Z auf dem gebrochenen Hauptstrahl 6 a ent-
spricht; denn im Punkt Z föUt der entsprechende erste Bildpunkt mit dem
entsprechenden zweiten Bildpunkt zusammen. Setzen wir x^=> x^^ dann
folgt aus den Gleichungen 3) und 6) für die projectiven Punktreihen A^ . . .
und A)... die Oleichung
7) — ^
1—^ 1—5^
Aus dieser Gleichung ergeben sich auch jene Doppelpunkte, wenn wir
;^, = Xg = X setzen ; denn dann erhalten wir erstens den Werth x = 0 , durch
welchen der Doppelpunkt 6 bestimmt wird, und zweitens den Werth
8) , = Ji^Lii^ = ez.
durch welchen der Doppelpunkt Z auch bestimmt wird.
326 Homocentrische Brechung des Lichtes durch die Linse.
Ist der Hauptstrahl aQ senkrecht auf die Eugelfl&che K gerichtet,
dann sind die Winkel e = 0, £ = 0 und die Ausdrücke:
^, ^ rsimco^e
.ris r rsinz rsine
welche die Formen -rr erhalten, liefern, wenn wir sins =• einsetzen,
0 n
hierauf Zähler und Nenner nach e difTerentüren , oder auch einfacher
setzen^
11) fi^-Z — T' ''^i^'I — T'
12) fi = 'Z-J^ ^«
1
rn
Hiernach ist fi^f^y <Pi=9>2> es fällt also der Punkt O mit des
Mittelpunkt M der Kngelfiäche K zusammen und dies ergiebt sich soch
unmittelbar aus der Construction des Punktes O. Die beiden Paziktreibe&
A| . . . und Aj • • . sind demnach in diesem Falle identisch und jedes
Lichtpunkt auf einem central einfallenden Hauptstrahl entspricht ein homo^
centrischer Bildpunkt. Einer Reihe von Lichtpunkten Ä. , . auf einem
central einfallenden Hauptstrahl entspricht eine projective Reihe yon homo-
centrischen Bildpunkten A...; und es sind die Punkte 6, M DoppelponkU
dieser beiden projectiven Punktreihen.
Um entsprechende Punkte dieser beiden projectiven Punktreifaen Ä..,
und A... zu erhalten, ziehen wir in Figur 3 durch den Eintrittspunkt 6
und den Mittelpunkt M die Senkrechten 6 a , Mm auf den centralen Haupt-
strahl aM und nehmen auf der Senkrechten Mm die Punkte P, TT, so diss
MF i MTf = n : 1 ist. Dann ergiebt sich zu einem Punkt A der ent-
sprechende Punkt A, indem wir die Gerade AP ziehen, welche die Seo^-
rechte 6a im Punkte schneidet, und femer die Oerade TT 9 sieben, di«
den entsprechenden Punkt A bestimmt.^^ Ebenso erhalten wir zn des
Punkt Ä den entsprechenden Punkt A' durch die Geraden PX', TT 9'.
Zu dem unendlich fernen Punkt At der Punktreihe A,., ergiebt sich durci
die zn aM Parallele Pülv und die Gerade TTSlp der entsprechende Punkt
der Brennpunkt Av Ebenso erhalten wir zu dem unendlich fernen Punk:
* A. Gleichen, Die Haupterscheinungen der Brechung und Reflexioo de*
Lichtes. 1889. S. 44.
** G. Ferraris, Die Fundamental - Eigenschaften der dioptrischen Instr«
mente. Deutsch von F. Lippich. 1879. S. 7.
VoD Dr. L. BuRMESTBß. 327
Ar der Punktreihe A..., indem wir Tf^s parallel aM und die Gerade P%
ziehen, den entsprechenden Punkt, den Brennpunkt Äs\ und es ist
9iia = /;=-- — ri 6Ai»=<Pi = - — r-
Um noch eine andere Construction auszuführen, nehmen wir an, es
sei der eine der Brennpunkte, z. B. Ap, gegeben« Wir ziehen durch 6 eine
beliebige Oerade 6ao und zu derselben die Parallele A^SR, welche jene
Senkrechte Mm im Punkt SR trifft. Wenn wir dann durch die Punkte
Aä'Äs*»» Senkrechte auf a6 ziehen, welche die Gerade Ga^ in den Punkten
%y 9'oi %0i... schneidet, dann liefern die Geraden SRälo, SR^'o' ^^oi
die entsprechenden Punkte AA'; A7. . .
n. Homocentrioität bei der Brechung der Lichtstrahlen
dnrdi die Linse.
Zwei in Figur 4 gegebene Kugelflächen £, K-, deren Mittelpunkte M,
M' sind, bilden die bei der Strahlenbrechung in Betracht kommende Be-
grenzung einer Linse. Die Verbindungsgerade MM' dieser Mittelpunkte
heisst die Linsenachse und eine durch dieselbe gelegte Ebene heisst eine
Meridianebene der Linse. Eine Meridianebene schneidet die beiden Eugel-
flächen f , K' in zwei grössten Kreisen, die wir ebenfalls mit JBT, K' be-
zeichnen. Wir nehmen in einer Meridianebene einen einfallenden Hauptstrahl
a6 an^ diesem entspricht der in der Linse gebrochene Hauptstrahl 66', der
auch mit o bezeichnet ist, und der austretende Hauptstrahl 6V. Der All-
gemeinheit wegen nehmen wir an , dabs die Medien an beiden Seiten der Linse
verschieden sind. Wir bezeichnen den Brechungsindex vom Medium der ein-
fallenden Strahlen gegen die Linse mit n und vom Medium der austretenden
Strahlen gegen die Linse mit n . Ferner sei r der Radius der Kugel K
und r der Badius der Kugel K\
um den in der Linse gebrochenen Hauptstrahl er und den austretenden
Hauptstrahl a' in der angegebenen Weise zu construiren, beschreiben wir
um M die Kreise 5, i mit den Radien r,n und r:n, ebenso um M' die
Kreise 5 , ^ mit den Radien r'. n und /: n . Der einfallende Hauptstrahl a
bestimmt auf dem Kreis b den Punkt Z, und die Gerade ZM liefert auf
dem Kreis i den Punkt Z und dadurch den in der Linse gebrochenen
Hauptstrahl 6Z resp. a. Dieser Hauptstrahl o schneidet den Kreis ^ in
dem Punkt Z', und die Gerade M'2! bildet mit dem Kreis / den Schnitt-
punkt Z\ durch welchen der austretende Hauptstrahl &Z' resp. a be-
stimmt wird.
Gehen nun von einem Lichtpunkt A des Hauptstrahles a die Strahlen
eines unendlich dflnnen Strahlenbündels aus, so entspricht diesem ein in
der Linse gebrochenes astigmatisches Strahlenbündel , dessen zweite , in der
Meridianebene liegende Brennlinie die Oerade MÄ\ ist, welche auf dem
328 Homocentriscbe Brechang des Lichtes durcb die Linse.
Haaptstrahl a den zweiten Bildpunkt Ag bestimmt, nnd dessen erste auf
der Meridianebene senkrechte Brennlinie durch den ersten Bildpunkt A^
geht. Indem wir MAj^ senkrecht auf a und A^G senkrecht auf MZ zielieB,
ergiebt sich durch die Oerade ÄQ auf dem Haupistrahl a der erste Bild-
punkt Ai«
Dem in der Linse gebrochenen astigmatischen StrahlenbOndel entspricht
ein austretendes astigmatisches Strahlenbündel , dessen zweite in der Meridiao-
ebene liegende Brennlinie die Oerade M'Ä^A^ ist, welche auf dem Haapt-
strahl a den zweiten Bildpunkt Ä'^ bestimmt, und dessen erste anf der
Meridianebene senkrechte Brenn linie durch den ersten Bildpunkt A'^ geht
Indem wir M'A\ senkrecht auf a und A\G' senkrecht auf M'Z' zSehen,
erhalten wir durch die Oerade &'Ai auf dem Hauptstrahl a den ersten
Bildpunkt Ä\, Hiernach entspricht einem einfallenden unendlich dünnes
Strahlenbfindel , dessen Sti'ahlen von einem Lichtpunkt Ä ausgehen oder
nach demselben gerichtet sind, ein austretendes astigmatisches Strahlen-
bündel mit dem ersten Bildpunkt Ä\ und den zweiten Bildpunkt Ä'^.
Gemäss der Bestimmung dieser beiden Bildpunkte gehört zu einer Beihe
von Lichtpunkten Ä. , . auf dem einfallenden Hauptstrahl a eine pn>-
jeotive Beihe von ersten Bildpunkten Ä\. ,. und eine projective Reibe
Yon zweiten Bildpunkten Ä\ • • • auf dem entsprechenden austretenden
Hauptstrahl a. Wenn nun diese beiden projectiven Punktreihen ^', ...
und ^'2**' ^^^^ reelle Doppelpunkte Ä'p, Ä'q besitzen, so entspreehen
diesen in der Punktreihe Ä.., zwei Lichtpunkte ^p, Äq^ denen die Doppel-
punkte A'pf Ä\ als homocentrische Bildpunkte entsprechen. Ebenso er-
giebt sich, wenn wir auf dem Hauptstrahl a eine Reihe von Punkten A\ . ■
als Lichtpunkte betrachten, dass derselben eine projective Reihe von ersten
Bildpunkten A^. . , und eine projective Reihe von zweiten Bildpunkten A^,,.
auf dem Hauptstrahl a entspricht. Wir erhalten demnach auch jene beiden
Lichtpunkte Apj Aq als die Doppelpunkte der beiden projectiven Punkt-
reihen ^1 . . . und ^s . . • Hieraus folgt der Satz:
Bei der Brechung der Lichtstrahlen durch eine Linse giebt
es auf einem in einer Meridianebene einfallenden Haaptstrahl
zwei Lichtpunkte, denen je ein homocentrischer Bildpunkt
auf dem austretenden Hauptstrahl entspricht; diese beiden
Lichtpunkte, sowie diese beiden homocentrischen Bildpnnkte
sind Doppelpunkte je zweier projectiver Punktreihen, und
können als solche reell, imaginär sein, oder zusammenfallea
Diese Beziehung können wir auf beliebig viele Eugelfl&chen jBT, JET, JBl"..^
deren Mittelpunkte Jlf , JlT, 1\S". . . in einer Oeraden liegen , erweitem und dem-
nach gilt dieser Satz auch für die Brechung durch beliebig viele centrirte
Linsen oder für die Brechung durch beliebig viele Medien, die durch Kngel-
fiächen getrennt sind, deren Mittelpunkte in einer Oeraden liegen. Den
bekannten Fall, dass jedem Lichtpunkt auf der Achse MM" ein hämo-
Von Dr. L. Burmbstbr. 329
ceoirischer Bildpnnkt entspricht, oder insbesondere, dass jedem Lichtpunkt
anf der Achse einer Linse ein homocentrischer Bildpnnkt entspricht, lassen
wir hier ausser Beachtung.
Nehmen wir in der schematischen Figur 5 anf dem Hauptstrahl d drei
beliebige Punkte Äg^ Ay^ ^.'san, so entsprechen diesen auf dem Haupt-
strahl er die Punkte A^iAyiAzi und A^sAj^sAsS) denen ferner auf dem
Hauptstrahl a die Punkte Aa\AyxAzx und Ax%A^%Ax% entsprechen. Durch
diese drei Paare entsprechender Punkte sind die beiden projectiven Punkt-
reihen ^1 . . . und ^2 • • • bestimmt. Da der Punkt Xy der Vereinfachung
wegen identisch mit Punkt 6' und der Punkt Ä^ auf der Geraden M'Qt
angenommen wurde, so fallen die beiden Punkte Ayi, Ays mit 6 und die
beiden Punkte A«i, Ats in einem Punkt zusammen.
um die Doppelpunkte A^^ Aq dieser beiden projectiven Punktreihen
SU construiren , ziehen wir von einem beliebigen Punkt 0 Gerade nach den
Punkten Ax\Ay\A9\Ax%Ay%AM% und beschreiben einen durch 0 gehenden
Kreis {, der diese Geraden resp. in den Punkten Sl«i%yi9si9l«2^s%zs
schneidet. Die drei Schnittpunkte V«y, Vy«, V«« der Gegenseiten des Sechs-
ecks !l«iS[ys)(«i8(«s%yi^st liegen nach dem Pascal'schen Satze in einer
Geraden ^, welche mit dem Kreise X zwei Schnittpunkte 9p , ^l^ bildet. Die
Geraden 0%^, 0%^ bestimmen dann auf dem Hauptstrahl a die Doppel-
punkte Jp, Aq und diesen entsprechen als Lichtpunkte die homocentrischen
Bildpnnkte J.'p, Alq auf dem Hauptstrahl a, die wir erhalten, wenn wir
durch O die Geraden Apkfi^ ^^^A^i, durch Q' die Geraden Api^'p» ^qi-^'q
ziehen, oder, wenn wir durch M die Geraden ilpAps, AqtKq%^ durch M' die
Geraden Apt-^p, ^q%A'q ziehen. Die Doppelpunkte Ap^ Aq sind reell,
imaginftr, oder fallen zusammen, je nachdem die Gerade ^ den Kreis C
schneidet, nicht schneidet oder berührt
Diese Construction ist ein specieller Fall der bekannten Construction
der beiden in Figur 6 gezeichneten Vierecke jipApiJ.pAps, -4^Agi-4'gAg2»
deren Seiten resp. durch vier gegebenen Punkte 0, Q'^ M\ M gehen und
deren Ecken resp. auf vier gegebenen Geraden a, a, a , a^ liegen.^ Denn,
lassen wir die Gerade o, mit der Geraden a zusammenfallen, so erhalten
wir den obigen Fall, der bei der homocentrischen Brechung durch eine
Linse auftritt
Wir wollen noch eine andere Construction der Doppelpunkte jener
projectiven Punktreihen A^,,. und J.^. . . angeben , von der wir vorzugsweise
Gebranch machen werden bei der Construction der Lichtpunkte, denen homo-
centrische Bildpunkte entsprechen.
Bestimmen wir in Figur 7 auf dem Hauptstrahl a zu dem unendlich
fernen Punkt J.^i der Punktreihe ^Ij... den entsprechenden Punkt ii «et der
• Jacob Steiner*B Gesammelte Werke. 1881. Bd. 1 S. 286 und 303.
330 Homocentriscbe Brechung des Lichtes durch die Linse.
Punktreihe ^ • . . , indem wir durch die Punkte G^, Q\ M\ M resp. die Ge-
raden ^Ii^Ahi, Atti-i^, Ä'ukuij Aus -^118 ziehen; bestimmen wir femer k
dem unendlich fernen Punkt il«*t der Punktreihe Ä^.,. den entsprechesda
Punkt Avi der Punktreihe ili . • •, indem wir durch die Punkte If , 2f, (r , G
resp. die Geraden il^sAffS, kvtÄ'p, Ä^P^tu A«iil«i ziehen, dann sinditi,
Au^ die Oegenpunkte der beiden projecUven Pnnktreihen il^... nnd A^.,.
Nehmen wir nun noch einen beliebigen Punkt Äy auf dem Hanptstnbla
an, zu dem wir in der angegebenen Weise die beiden entsprechenden Punkte
^yi, Ayt auf dem Hauptstrahl a ermitteln, so sind die beiden projectiveB
Punktreihen durch die drei Paar entsprechenden Punkte ^i^iyi, A^i"^
Au%Äy%At% bestimmt. Am einfachsten erhalten wir die zwei eniapreeha-
den Punkte A^u ^^ys» wenn wir A'y im Punkt 6' annehmen; denn diis
ergeben sich durch die Geraden &Q^ &M die Punkte ^i, Ay^ auf dec
Hauptstrahl a.
Um nun die Doppelpunkte Ap^ Aq zu construiren, ziehen wir dnrd
die Gegenpunkte A^i^ Aut Senkrechte A^iO^^ Au%0^ auf dem Han^
strahl a und durch die Punkte il^i, Ay% zwei beliebige auf einander aeii-
rechte Gerade AyiO^y Ay%0^y welche die Senkrechten J.«iO|, A^^O^ r^
in den Punkten 0|, 0, schneiden; dann beschreiben wir über 0^0^ ^
Durchmesser einen Kreis { und dieser schneidet den Hauptstrahl a in d«
beiden Doppelpunkten Ap^ Aq^ die also symmetrisch zur Mitte der Stiecb
AtiAut liegen. Werden die beiden auf einander senkrechten Gerade:
^yiO|, Ay%0^ so gezogen, dass sie mit dem Hauptstrahl a einen Winkt
von 45® bilden, dann ist AviO^=^ A^iAyi und Au^O^ =3 Au2Ay%. Die Doppel-
punkte Ap^ Aq sind reell, imaginär, oder fallen zusammen, je nachdem ce:
Kreis { den Hauptstrahl a schneidet, nicht schneidet oder berührt.
Liegen in Figur 8 die Punkte JKf, O auf einer durch 6' gehenden Genis
und die Punkte iT, ff auf einer durch 6 gehenden Geraden , sind femer dir
Punkte JEf, Q und M\ Q-' so gelegen, dass einem Punkte J^^ auf de
Hauptstrahl a ein einziger Punkt A« auf dem Hauptstrahl a entspricht
schneiden sich also die Geraden AxOy AlgQ' in einem Punkt Asi ^f -
und schneiden sich ebenso die Geraden AxM^ A'x^' ^^ einem Ponk?-
Ajrt ^^f ^f dann sind die beiden Punktreihen A^... und il^..« iden&sc^
Denn den Punkten A'x^ A'y^ Ä, auf dem Hauptstrahl a entsprechen i'
Punkte Agj Ay, Az auf dem Hauptstrahl a und in jedem der Punkte At
Ayy Aa, sind je zwei entsprechende Punkte der Punktreihen ^|..., A*
vereint. In diesem Falle entspricht jedem Lichtpunkte auf dem Hacrc
strahl a ein homocentrischer Bildpunkt auf dem Hauptstrahl a'.
Wenn dieser theoretisch mögliche Fall physikalisch verwirklieht wcfda
kann, so giebt es ausser dem mit der Linsenachse coincidirenden Haupt^c^^
noch unendlich viele andere Hauptstrahlen, auf denen jedem Lich^ysr
ein homocentrischer Bildpunkt bei der Brechung durch eine Linse «e*
spricht.
Von Dr. L. Burmestbr. 331
In Figur 9 (Tafel XIV) ist eine biconvexe Linse KE! mit einem
einfallenden Hanptstrahl a and den entsprechenden gebrochenen Hanpt-
strahlen er, a' in einer Meridianebene gezeichnet Hierbei, sowie in allen
folgenden Zeichnungen wird unbeschadet der Allgemeinheit angenommen,
dass an beiden Linsenseiten sich dasselbe Medium befindet, und der
3
Brechungsindex ft == ft'= ^ gesetzt. Es sind M^ M' die Mittelpunkte der
Eugelflächen K, K\ und femer sind die zugehörigen Punkte Q^ Q' m
der angegebenen Weise, wie die Zeichnung zeigt, bestimmt. Um nun auf
dem einfallenden Hauptstrahl a die beiden Lichtpunkte Ap^ Aq zu con-
struiren, denen homocentrische Bildpunkte A'p^ A\ auf dem austretenden
Hauptstrahl a entsprechen, bestimmen wir auf a die Gtogen punkte Atu ^u%
und zwei entsprechende Punkte Ayi^ Ay$. Wir ziehen durch O und M zu
a die Parallelen | die den Hauptstrahl a in den Punkten AviAvs treffen , dann
die Oerade A«i&', durch ihren Schnittpunkt A'u auf a die Oerade M'A'u
bis Aais ^^^ <3io Oerade üf Avs, welche auf a den Oegenpunkt Au% bestimmt.
Femer ziehen wir die Gerade A^nM*, von ihrem Schnittpunkt A't, auf a
die Oerade A'vO' bis Avi und die Oerade AeiG^, welche auf a den Oegen-
punkt Ati liefert. Durch die Oeraden 6'&, Q'M erhalten wir auf a zwei
entsprechende Punkte A^i, Ay%. Die Doppelpunkte Ap, Aq sind ver-
mittelst des Kreises {, wie vorhin in Figur 7 angegeben wurde, construirt.
Ist einer der Oegenpunkte Avi^ Au%^ oder sind beide unzugänglich, dann
muss man die in Figur 5 angegebene Construction der Doppelpunkte
anwenden.
Durch die Oerade MAp^ welche a in Ap trifft, und durch die Oerade
M'Ap ergiebt sich der zum Lichtpunkt Ap gehörende homocentrische Bild-
pankt A'p auf dem austretenden Hauptstrahl a\ Ebenso erhalten wir durch
die Oerade MA^^ welche er in A^ schneidet, und die Oerade Jf'A^ be-
stimmty zu dem Lichtpunkt Aq den entsprechenden homocentrischen Bild-
punkt A'g.
Die von dem Lichtpunkt Ap ausgehenden Strahlen eines unendlich
dfinnen Strahlenbündels vereinigen sich nach der Brechung durch die Linse
in dem Bildpunkt A'p , und die nach dem Lichtpunkte Aq gerichteten Strahlen
eines unendlich dünnen Strahlenbündels vereinigen sich nach der Brechung
in dem Bildpunkt A'q,
Wenn bei der biconvexen Linse die Mittelpunkte zusammenfallen, die
Kngelflttchen K^ K' also concentrisch sind, oder die Linse in eine YoUkugel
übergeht, so tritt doch keine wesentliche Vereinfachung der Construction
der Lichtpunkte Ap^ Aq ein. Werden in diesen besonderen F&Uen auf allen
in einer Meridianebene liegenden Hauptstrahlen, die in einem Punkt 6 ein-
fallen, die Lichtpunkte Ap^ Aq bestimmt, dann bilden diese Lichtpunkte
eine Curvci die wir Homocentroide nennen. Die Homocentroide ist in
diesen speciellen Fällen für alle Eintrittspunkte 6 dieselbe. Ist die Homo-
332 Homocentrische Brechung des Lichtes durch die Linse.
centroide z. B. für einen Punkt 6 einer Vollkugel constrnirt, so kann man
yermittelst derselben zu einem beliebig angenommenen Lichtpunkt die zu-
gehörigen einfallenden Hanptstrahlen und austretenden Hauptsirahlen 1»-
stimmen, und auf diesen letzteren die homocentrischen Bildpunkte oob-
struiren, welche dem angenommenen Lichtpunkt entsprechen. Dadord
gelangen wir zur Bestimmung der homocentrischen Verwandtschaft zwischea
den Lichtpunkten und entsprechenden homocentrischen Bildpunkten bei der
Brechung durch eine VoUkugeL
In dem geometrischen Grenzfall, der eintritt, wenn in Fi^r 10 der
einfallende Hauptstrahl a den Linsenrand der biconvexen Linsen in eines
Punkt 6 trifft, haben die beiden projectiYen Punktreihen ^|... und ^...
in 6 einen Doppelpunkt Äq. Der andere Doppelpunkt Äp ergiebt Ekb
dann, nachdem die Oegenpunkte Ä^i. Äu% in der angegebenen Weise be-
stimmt sind, indem wir auf dem Hauptstrahl a die Strecke
machen. Zu dem Lichtpunkt Äp erhalten wir durch die Gerade MÄp,
die den Hauptstrahl a in Ap schneidet, und die Gerade M'Ap den eot-
sprechenden homocentrischen Bildpunkt Ä'p auf dem Hauptstrahl a. Ac:
allen einfallenden Hauptstrahlen , die nach einem Bandpunkt 6 gehen, L^
dieser Bandpunkt ein Lichtpunkt, mit dem der entsprechende homocentrisebe
Bildpunkt coincidirt.
In Figur 11 sind bei einer biconcaven Linse KK' die beiden Licht-
punkte Äpj Äq auf einem einfallenden Hauptstrahl a und die zagehSriges
homocentrischen Bildpunkte Äp , A'q auf dem austretenden Hanptstrahl 6 ,
ebenso wie bei der biconvexen Linse in Figur 9 , mit gleicher Beseichnim^
bestimmt.
Nehmen wir in Figur 12 eine biconcave Linse KK\ bei welcher ssk
die beiden KugelfiSchen jBT, K' im Punkt 6 berühren, dann entspricht
nach der ausgeführten Construction jedem nach dem Berührongspunkt 6
gehenden , einfallenden Hauptstrahl a , der mit der Linsenachse einen Winkel
bildet, geometrisch ein austretender Hauptstrahl a» der mit o znsammes-
liegt. In diesem Falle coincidiren die beiden Doppelpunkte Ap^ A^ äc
projectiven Punktreihen ^ . . . und A^.,. im Punkt 6. Diesem Pnnkt lii
Lichtpunkt entspricht ein mit 6 identischer homocentrischer Bildpnnkt.
Demnach giebt es auf einem solchen einfeillenden Hauptstrahl aaaser de?:
Punkt 6 keinen Lichtpunkt, dem ein homocentrischer Bildpunkt entspti^
Zu einem auf dem Hauptstrahl a angenommenen Lichtpunkt A er-
halten wir durch die Gerade QA^ die den Hauptstrahl a in A| trifit, vs:
durch die Gerade Ai^'t die den Hauptstrahl a\ in A\ schneidet den esi
sprechenden ersten Bildpunkt A\. Ebenso ergiebt sich durch die Gerade Jfi-
welche auf dem Hauptstrahl a den Punkt A^ liefert , luid durch die (k-
rade A^M' auf dem Hauptstrahl a der entsprechende zweite Bildpankt JV
Von Dr. L. Bubmestfr. 333
Einer Reihe von Lichtpunkten A anf dem Hauptstrahl a entspricht eine
projective Beihe von ersten Bildpunkten Ä\. , . und eine projectiye Reihe
von zweiten Bildpunkten ^'2 •• • ^^^ ^^^ austretenden Hauptstrahl a; und
die Doppelpunkte dieser drei projectiven Punktreihen sind im Punkte 6
vereint.
Bei der biconvexen Linse in Figur 13 ist der einfallende Hauptstrahl a
nach dem Mittelpunkt M der Eugelfiäche K gerichtet, also senkrecht zu
derselben. Der Hauptstrahl a in der Linse liegt dann mit a zusammen.
Um zu dem in Z' befindlichen Punkt Ap auf a nach der Construction in
Figur 3 den entsprechenden Punkt Äp auf a zu bestimmen, errichten wir
im Mittelpunkt M und im Eintrittspunkt 6 die Senkrechten JtfP, 6 a auf
a, nehmen auf der Senkrechten MP die Punkte P, TT, so dass
MP : MT] = n : 1 = 3 : 2
ist; ziehen die Gerade ApTT, welche die Senkrechte 6a in 3(p schneidet,
dann ergiebt sich durch die Gerade PHp der entsprechende Punkt Äp, Dem
Lichtpunkt Ap auf dem Hauptstrahl a entspricht nach der Brechung an
der Eugelfiäche K der mit Z' coincidirende homocentrische Bildpunkt Ap
auf dem Hauptstrahl a. Betrachten wir nun Ap als Lichtpunkt, so ent-
spricht diesem nach der Brechung an der Eugelfiäche K' der mit Z^ coin-
cidirende homocentrische Bildpunkt A'p auf dem Hauptstrahl a. Demnach
gehört zu dem Lichtpunkte Ap auf dem senkrecht zur Eugelfiäche K ein-
fallenden Hauptstrahl a der homocentrische Bildpunkt A'p auf dem aus-
tretenden Hauptstrahl a\
Bestimmen wir so auf jedem nach dem Mittelpunkt M gerichteten
Hauptstrahl den Lichtpunkt, welchen ein homocentrischer Bildpunkt ent-
spricht, dann bilden die Lichtpunkte in einer Meridianebene eine Curve j
and die zugehörigen homocentrischen Bildpunkte liegen auf dem Ereis /.
Die nach M gerichteten einfallenden Hauptstrahlen, welche den Ereis ^
berühren, begrenzen die Curve i und die entsprechenden austretenden
Hauptstrahlen begrenzen als geometrische Grenzlagen auf dem Ereis 0 das
Bogenstück, welches die homocentrischen Bildpunkte erfüllen. Fttr die
Curve ;', deren geometrische Fortsetzung nicht gezeichnet ist, erhält man
eine Gleichung vom vierten Grade, wie sich durch einfache Rechnung
ergiebt. Allen Lichtpunkten auf der Rotationsfiäche, welche durch Drehung
der begrenzten Curve j' um die Linsenachse entsteht, entsprechen homo-
centrische Bildpunkte auf einer Eugelhaube.
Durch die Gerade TT 6', welche 6a in ^^ schneidet, und durch die
Gerade P^q ergiebt sich zu dem Punkt 6' auf dem Hauptstrahl a der ent-
sprechende Punkt Aq auf dem Hauptstrahl a. Demnach entspricht dem
Lichtpunkt Aq auf dem einfallenden Hauptstrahl a der mit 6' coincidirende
homocentrische Bildpunkt auf dem austretenden Hauptstrahl a und es er-
giebt sich eine punktirt gezeichnete Curve {' vom vierten Gn^de, auf welcher
334 Homocentrische Brechung des Lichtes durch die Linse.
alle Lichtpunkte liegen , denen homocentrische Bildpnnkte auf dem Kreis t
entsprechen. Durch Drehung dieser Cunre f um die Linsenachse entsteht
eine Rotationsfläche, die alle Lichtpunkte enthält, deren homocenirisciie
Bildpunkte sich auf einer Eugelhauhe der Eugelflfiche K' befinden.
Bei dem speciellen Fall einer planconvezen Linse KK' in Figur 14
sind alle einfallende Hauptstrahlen senkrecht zu der Ebene K gerichtet und
zu dem mit Z coincidirenden Punkt A^ des Hauptstrahles a ergiebt sieh
der entsprechende Punkt Ap auf dem einfallenden Hanptstrahl a, indem wir
den Punkt Äp so bestimmen, dass 6 Ap : QAp = ft : 1 = 3 : 2 ist. Die
Cunre i ist dann affln zu dem Kreis t^ in Bezug auf die Gerade K ak
Affinitfttsachse und demnach ist das physikalisch zur Gtoltimg kommende
Curvenstück cj'b eine halbe Ellipse, deren grosse Achse cb parallel zu K
und gleich dem Durchmesser des Kreises {^ ist. Allen Lichtpunkten in einer
Meridianebene auf der halben Ellipse cj' b entsprechen homocentrische BiM-
punkte auf dem Halbkreis /.
Femer ergiebt sich, wenn wir den Punkt Äq so bestimmen, dase
66':6^f»n:l = 3 : 2, ein Stück f einer Ellipse, welche su den
Ejreis K' affin ist in Bezug auf K als Affinitfttsachse und allen Licht-
punkten in einer Meridianebene auf dem Ellipsenstttok f entsprechen homo>
centrische Bildpunkte auf dem Kreis K', Durch Drehung der halb«
Ellipse }' und des Eilipsenstückes {' um die Linsenachse wird rasp. et
halbes Rotationsellipsoid und eine Haube eines anderen Botationsellipfloides
erzeugt.
Bei einer biconcayen Linse KK' in Figur 15 gehen die einftdlendec
Hauptstrahlen von dem Mittelpunkt M der Kugelflftche K aus. Die Corren |
und f sind in gleicher Weise, wie in Figur 13 bei der biconYexen Linse,
construirt und sind vom vierten Grade. Den Lichtpunkten in einer Meridiai-
ebene auf der begrenzten Curve }' entsprechen homocentrische Bildpnnkte
auf dem Ejreisbogen g und den Lichtpunkten auf der begrenzten Gurre f
entsprechen homocentrische Bildpunkte auf dem Kreis K\ Für eine pbn-
concaye Linse ergeben sich die analogen Beziehungen, wie bei der plia-
convexen Linse in Figur 14.
Wenn der einfallende Hauptstrahl mit der Linsenachse einen kleine
Winkel bildet, werden die Lagenbeziehungen fElr die Construction der Licfci-
punkte Ap^ Aq und der entsprechenden homocentrischen Bildpnnkte ^V
A\ ungflnstig; weil dann ungenaue Schnittpunkte auftreten. Zwar kau
man durch projective Hilfsconstructionen die erforderlichen Schnittpankte
meist genauer erhalten; aber die Construction wird dadurch umstfndlid.
Wir wollen deshalb noch die Formel ableiten, durch welche man die
Lichtpunkte, denen homocentrische Bildpunkte entsprechen, reclinense^
bestimmen kann; aber die erforderliche Rechnung ist sehr omatindlick
Sind in Figur 16 die schiefen Coordinaten des Punktes G mit /*t> 7« ^
des Punktes M mit /*,, y^, ferner die Strecken S-lj, 0Ai, SJ^, ÖA,
Von Dr. L. Burmbstbb. 335
resp. mit x^^ x^j «^ ; Xa bezeichnet nnd beziehangsweise positiv in den Bicht-
angen 6a, 6a, dann ist nach Gleichung 3) und 6):
^1 Xl «2 Zs
Sind analog die schiefen Coordinaten des Punktes G' mit f'i , <p', und
des Punktes Jlf' mit /^g, gp',, ferner die Strecken Q'Ä\, 6'A|, Ö'^',, 6'Aj
resp. mit x\^ x\, x\^ %\ bezeichnet und beziehungsweise positiv in den Richt-
ungen 6V, 6'a, dann erhalten wir die Gleichungen:
Lyju^^l 6 + ^ = 1
^1 Xl «2 Xji
Setzen wir die Strecke 66'= d, dann ist %t+x\ = i und Zj + x'2^ ^.
Hiemach ergiebt sich:
13) _fL^ + _^=j,
1--^ 1-V
a^i a;
15)
14) ^ + -I±-=.s.
Nehmen wir die Punkte A\, A\ in einem Punkt Ä vereint, also
x\ = x\ = x, und eliminiren wir aus diesen beiden Gleichungen x', dann
ergiebt sich fQr die beiden projectiven Pnnktreihen J.^ . . . nnd ü, . . . auf
dem Hauptstrahl ö die folgende Gleichung:
"i'hlfii'Pi — i){9>i + Vi -6)- f»{<P» - i)(<Pi + <P\ — *)]
- *i WiftiVi + ¥t- «) + rM9t- «) Wt - «)1 ,
+ «»[«^.r, (g», + 9»',- «) + fxftWi- *)(<?,- *)],
- ifif'ifiW\-f) + ififtfiWi - «) = 0.
Setzen wir znr Abkürzung:
-P = ^iCvi - i) (Vi+ V't -S)- ftisPt - «)(9, + «P'i - i)
e. = «/i/^. (9». + V'. - «) + f, U (9i - S) i<P\ - i)
«»=«/". r, (V. + <P\ -i) + ft f, (9»,'- i) (<P« - «)
iann erhalten wir:
15a) x^x^P-XiQi+x^Q^=^B.
Um die Doppelpunkte der beiden projectiven Punktreihen Ä^., . und
4^2' " • rechnerisch zu bestimmen , setzen wir Xi=iX^ = Xf dann ergiebt sich
kus der quadratischen Gleichung:
16) a^P''X{Q,-'Q,)^B
17) a? = ^
336 Homocentrische Brechung des Lichtes etc. Von Dr. L. Bubicbbtbr.
Sind in Figur 17 die Radien r, r der Engelflfiche K^ K^ und die
Linsendicke JX= d gegeben, ist der Abstand 6J7s=A des Eintritte-
Punktes 6 von der Linsenachse und der Einfallswinkel e des Hauptstrahlfö a
angenommen, dann wird der Brechungswinkel s in der Linse an der Kugel-
flftche K nach n,8mB^= sme berechnet; femer wird der Brechungswinkel i
in der Linse an der Eugelfläche K' und der Austrittswinkel e des Hanpft-
strahles a nach svnt=^ nsmi berechnet.
Nach den Formeln 9) und 10) ist:
rsinsco^e rsineco^t rsins rgme
^ _ rsins'oos'e , ^ rsineeos^s' ^ _ /ging" , ^ r^ne
^'^ «n(c'-a') ' '^i- ^(e-O' ^«""^(6-/)' ^«""sinCe'-/)'
Durch diese Werthe erhalten wir nach Einsetzung aus 17) die beidn
Werthe für x und damit auf dem einfallenden Hauptstrahl a die beida
Lichtpunkte, denen homocentrische Bildpunkte auf dem austretenden Haapt-
strahl d entsprechen. Die Bildpunkte ergeben sich dann durch Etochnimg
aus 13) oder 14).
Je nachdem • 4PB + («,-«,)» 1 0
ist, sind die Lichtpunkte reell, imaginSr oder fallen zusammen.
XVIIL
Oonstraction der Focalcurve aus sechs gegebenen
Punkten.
Von
Dr. R. Müller,
Professor an der Technischen Hochschule in Braunsohweig.
Hierau Tafel XV Pig. 1—7.
Die Focalcurve ist bekanntlich eine circulare Curve dritter Ordnung
von der besonderen Beschaffenheit, dass ihr Focalcentrnm — das heisst
der reelle Schnittpunkt ihrer imaginären Asymptoten — auf der Curve
selbst liegt. Sie wird am einfachsten construirt als Erzeugniss eines Kreis-
büschels und eines ihm projectiven Strahlenbtlschels , dessen Strahlen durch
die Mittelpunkte der entsprechenden Kreise gehen.* Der Mittelpunkt dieses
Strahlenbüschels ist ihr Focalcentrum; die Mittelpunkte der Kreise liegen
auf einer Geraden, die zur reellen Asymptote parallel ist und den Abstand
2wi8chen dieser und dem Focalcentrum halbirt. Wir bezeichnen dieselbe
als die Mittellinie, die — reellen oder imaginären — Orundpunkte des
Kreisbüschels als die Orundpunkte der Curve.
Die Focalcurve kann femer definirt werden als der geometi'ische Ort
der Brennpunkte einer Kegelschnittschaar; sie ist demnach auch der Ort
eines Punktes, welcher die drei Gegeneckenpaare eines vollständigen Vier-
seits durch eine symmetrische Involution projicirt. In der Kinematik der
starren ebenen Systeme begegnen wir ihr als Kreispunktcurve, das
heisst als dem Orte derjenigen Systempunkte, die in vier auf einander
folgenden Systemlagen sich auf einem Kreise befinden.** In dieser Be-
deutung spielt sie z. B. in der Lehre von der angenäherten Geradführung
eine wichtige Bolle.
* Vergl. Schröter, über eine besondere Curve dritter Ordnung und eine
einfache Erzeagungsart der allgemeinen Curve dritter Ordnung (Mathematische
Annalen Bd. 6 S. 50). Dur^ge, über die Curve dritter Ordnung, welche den geo-
metrischen Ort der Brennpunkte einer Eegelschnittschaar bildet (daselbst S. 83).
** Burmester: Kinematik I S. 616.
ZeitsohiKt f. Mathematik u. Physik. 40. Jahrg. 1S«5. 6. Heft. 22
338 Construction der Focalcurve aus sechs gegebenen Ponkten«
unter den ebenen Cnrven dritter Ordnung nimmt die Focalcunre eio«
ähnlich ausgezeichnete Stellung ein , wie der Kreis unter den Eegelscbnittei.
Es dürfte deshalb von Nutzen sein, diese specielle Gurve eingehender so
untersuchen. Im Folgenden beschränken wir uns immer auf die Beirachtimg
des allgemeinen Falls, dass die Curve keinen Doppelpunkt hat. Wir be-
ginnen mit der Construction der Focalcurve aus sechs beliebig gewühltes
Punkten; dazu bedarf es aber zunächst der Ableitung einiger HilfssStze
über circulare Curyen dritter Ordnung im Allgemeinen.
§ 1. Construction des Fooaloentrums einer durch sieben Punkte
gegebenen oircularen Gurve dritter Ordnung.
Durch sieben beliebig gegebene Punkte 1, 2, ...7 ist eine circulare
Curve dritter Ordnung c eindeutig bestimmt. Beschreibt man durch irgend
zwei dieser Punkte, z. B. durch 1 und 2, ein Ereisbüschel , so schneidet
jeder solche Kreis die Curve — von den imaginären Kreispunkten J, J
abgesehen — noch in zwei weiteren Punkten, und die Verbindnngsliiiie
derselben geht bekanntlich durch einen festen Punkt P der o, .den Geges-
punkt der vier Punkte 1, 2, i, /. Dann ist die c das Erzengniss des
Kreisbüschels 1 2(3 4...) und des ihm projectiven Strahlenbttschels P(34...\
mithin ist das Doppel verhältniss der vier von P nach 3, 4, 5, 6 gehendes
Strahlen gleich dem Doppelverhältniss der vier entsprechenden Kreise des
Büschels 12, und der Punkt P liegt demnach auf dem Kegelschnitte, der
durch 3, 4, 5, 6 geht und das Doppelverhältniss 1 2(3 45 6) fasst. Ebessc
befindet sich P auf dem Kegelschnitte, der über den Punkten 4, 5, 6, T
das Doppelverhältniss 12(4567) fasst; folglich kann P als der vierte
Schnittpunkt beider Kegelschnitte in bekannter Weise linear constroin
werden.
Ein Kreis des Büschels zerfällt in die unendlich ferne Gerade d^
Ebene und in die Gerade 1 2. Der entsprechende Strahl des BOschels P
schneidet die Curve c in ihrem reellen unendlich fernen Punkte U and ii
einem auf 1 2 liegenden Punkte Q, Um die zum Punkte U gehörende
Asymptote u zu erhalten, betrachte man P und Q als Grundpankte eines
neuen Kreisbüschels und construire zu P, Q^ I^ J den Gegenpunkt S '^
derselben Weise, wie vorher den Punkt P als Gegenpunkt von 12JJ.
Nun schneidet der in die Geraden PQ und IJ zerfallende Kreis d:e
Curve c noch in zwei Punkten, die beide mit U zusammenfEdlen. Die
Verbindungslinie derselben ist die Asymptote u, und diese geht also dard
den Punkt S, Wählt man demnach zur Erzeugung der Curve r
ein Kreisbüschel, dessen Grundpunkte auf einer Parallele!
zur reellen Asymptote liegen, so ist der Mittelpunkt des zu-
gehörigen Strahlenbüschels der Asymptotenschnittpunkt S**
* In anderer Weise abgeleitet von Dur5ge, diese Zeitschrift Bd. 14 8. 36^
Von Dr. R, Müller. 339
Ist die Parallele za u, welche die Ornndponkte des erzeugenden Ereis-
bUscheld verbindet, unendlich benachbart zur unendlich fernen Geraden, so
sind die Orundpunkte selbst unendlich benachbart zu den imaginären Kreis-
punkten J, J, und das Ereisbüschel verwandelt sich in ein Bttscbel con-
centrischer Kreise um das Fooalcentrum F der Curve c. Dann folgt aus
dem vorhergehenden Satze: Jeder Kreis um das Focalcentrum F
schneidet die Curve c in zwei Punkten, deren Verbindungs-
linie durch den Asymptotenschnittpunkt 8 geht. Oder: Die
Mittelsenkrechten aller Sehnen, welche die Curve c auf den
durch den Asymptotenschnittpunkt 8 gehenden Strahlen ab-
schneidet, gehen durch das Focalcentrum F,*
Sind demnach die Punkte P, Q, 8 ermittelt, so fälle man auf irgend
zwei Strahlen des Büschels 8, z. B. auf /S3, 84, Lothe aus den Mittel-
punkten der entsprechenden Kreise PQ3, PQ4; dieselben schneiden sich
im Focalcentrum F.
Die Curve c construirt man am einfachsten als Erzeugniss des Kreis-
büschels PQ und des ihm projectiven Strahlenbüschels 8^ wobei die Strahlen
von 8 senkrecht sind auf den Geraden, die den Punkt F mit den Mittel-
punkten der entsprechenden Kreise verbinden.
§ 2. Sätze über Büschel von circularen Curven
dritter Ordnung.
Acht Punkte 2/ 12. ..6 bestimmen ein Büschel von Curven dritter
Ordnung; durch Angabe der Tangente in einem der Grundpunkte, z. B. in
Jy wird eine bestimmte Curve c des Büschels eindeutig definirt. Ordnet
man demnach in den Strahlenbüscheln um I und / immer zwei solche
Strahlen i und j einander als entsprechend zu , die in diesen Punkten die-
selbe Curve c berühren , so sind die Strahlenbüschel projectiv auf einander
bezogen, und der Schnittpunkt F von i und j beschreibt einen durch die
Punkte I und J gehenden Kegelschnitt f (Fig. 1). Fallen nun die Punkte
I und J mit den imaginären Kreispunkten zusammen, so wird c eine
circulare Curve dritter Ordnung, F ihr Focalcentrum, und dann ergiebt
sich der Satz: Die Focalcentra eines Büschels von circularen
Curven dritter Ordnung erfüllen einen Kreis f.
In Figur 1 geht durch jeden Punkt U der Geraden IJ eine bestimmte
Curve c des Büschels. Hierdurch wird die in der Geraden IJ liegende
Punktreihe UU'U".,. projectiv bezogen auf das Büschel i%i\., der zu-
gehörigen Tangenten in I und folglich auch auf die Punktreihe FF'F'\ . .,
deren Träger der Kegelschnitt f ist. Lässt man den Punkt U mit I
zusammenfallen, so berührt die zugehörige Curve c die Gerade IJ in J,
* Auf andere Weise erhalten von Eckard t, diese Zeitschrift Bd. 10 S. 321.
22*
340 Construction der Focalcorve aas sechs gegebenen Punkten.
also wird • identisch mit IJ und F identisch mit J. Wird andererseitg
der Punkt J der Reihe UU'U"... zugewiesen, so entspricht ihm in
FF'F". . . der Punkt J. Bezeichnet man demnach mit U^ den Tiertea
harmonischen Punkt zu J, «7*, U^ mit F^ den entsprechenden Paukt auf f^
so sind auch J, i, J^, Fi vier harmonische Punkte, folglich geht die Ge-
rade FF^ durch den Pol der Geraden IJ in Bezug auf /*. — Seien jetst
wieder J, / die imaginftren Kreispunkte der Ebene. Dann lieg^i die
Punkte F, F^ auf einem Durchmesser des Kreises ^ und die Punkte 27, T.
gehören zu zwei circularen Gurven c, C|, deren Asymptoten anf einander
senkrecht stehen. Das heisst: In dem Büschel von circularen CurTen
dritter Ordnung haben je zwei Curven^ deren Asymptoten eines
rechten Winkel einschliessen, zu Focalcentren immer zwei
Oegenpunkte des Kreises f.
Verbindet man endlich in Figur 1 einen beliebigen Punkt Fq des Kegel-
schnitts f mit entsprechenden Punkten der Punktreihen UTTU". . . und
FF'F'\..y so erhSlt man zwei projective Strahlenbflschel , in denen di«
Strahlen FqI, FqJ einander doppelt entsprechen; die beiden Bfischel bildei
demnach eine Involution, von welcher F^I^ FqJ ein Paar entsprechende
Strahlen sind. In dem besonderen Falle, wo Jund J die imaginfiren Kreis-
punkte darstellen ; ist diese Involution symmetrisch, weil ihre Doppelstrahlec
durch I und J harmonisch getrennt werden. Hieraus folgt: Die Geradec,
welche die reellen unendlich fernen Punkte, sowie die eot-
sprechenden Focalcentra des Büschels von circularen CnrTen
dritter Ordnung mit einem beliebigen Punkte J^^ des Kreises f
verbinden, sind die Paare einer symmetrischen Involution.
§ 3. Die Focalonrve als Sonder&ll der ciroalaren Cnrve
dritter Ordnung. Ein charakteristischer Kreis.
Schreibt man die Gleichung einer circularen Gurve dritter Ordnnng c
für rechtwinklige Coordinaten in der Form:
so erh< man die Coordinaten §, ti des Focalcentrums F^ indem man aus-
drückt, dass jede der Geraden, die F mit den imaginSren KreispunkteE
verbinden, nur einen endlichen Punkt mit der c gemein hat; dann eirgiek
sich nach ein^her Rechnung:
9^ t--^(L-lfl+^^ _ b(e-c) + ttb
^^ ^^ 2(a«+b^ ' "^^ 2(a*+b«)
Die Curve e ist eine Focalcurve, wenn sie durch den Punkt F hii-
durchgeht, wenn also die Coordinaten £, ti der Gleichung 1) identisci!
genügen. Nun ist nach 2):
Von Dr. R. Müller. 341
a*c+ abb + b*e
mitbin:
a»+b«
■(?+iJ»).
(a| + bij)(|*+ ij*) + i^+Hv + eV = -^-J-^(l« + 1)»).
Die Oleichnng 1) stellt also eine Focalcnrre dar, sobald der Aasdmck
verschwindet; oder, anders ansgedrücki, die circulare Curve dritter
Ordnung c ist eine Focalcnrvey wenn der Kreis k
3) ^^ (a^ + y*) + f OJ + 8 y + ^ = 0
durch ihr Focalcentrnm geht
Die Curve c und der Kreis k stehen in einer einfachen geometrischen
Beziehung. Bezeichnet man nämlich zur Abkürzung die linken Seiten der
Gleichungen 1) und 3) bez. mit S und j{ und setzt
so ist a'=a, b'=b, t'= -^-i b'"b, ^'==-o~' f=fl'=V=0, c'+c'=0,
c' — c'= c — c. Dann wird durch die Gleichung 5) = 0 eine circulare Curve
dritter Ordnung d dargestellt, die im Coordinaten- Anfangspunkte einen
Doppelpunkt hat, deren reelle Asymptote parallel ist zur reellen Asymptote
von c und deren Focalcentrnm zufolge der Gleichungen 2) mit F zusammen-
fällt. Dieselbe ist überdies eine Focalcurve, denn es ist:
-^(1* + v*) ■+ n + i'v + r = 0.
Die Cnrven c und d schneiden sich, von den unendlich fernen Punkten
abgesehen, noch in vier endlichen Punkten, und diese liegen sSmmtlich auf
dem Kreise k.
Man kann nun zu jedem Punkte P der Ebene eine Focalcurve d con-
struiren, die in P einen Doppelpunkt besitzt, und die mit der gegebenen
Curve c das Focalcentrum F, sowie den reellen unendlich fernen Punkt
gemein hat; und zwar wird durch diese 3 + 5+1 Bedingungen die Curve d
eindeutig bestimmt Hierdurch wird aber auch jedem Punkte P
in Bezug auf die Curve c ein bestimmter Kreis k zugeordnet,
der die vier endlichen Schnittpunkte von c und d enthält und der immer
dann und nur dann durch das Focalcentrum F geht, wenn die
c eine Focalcurve ist Der so definirte Kreis k soll im Folgenden als
der dem Punkte P in Bezug auf die Curve e zugeordnete Kreis
bezeichnet werden.
342 Constrnction der Focalcnrve ans sechs gegebenen Punkten.
Liegt der Punkt P auf c, so zählt er für zwei Schnittpunkte der
Curven c und d, und dann berührt der zugeordnete Kreis jb die
Curvec inP. In diesem Falle ergiebt sich eine einfache Construetion
des Kreises h. Wählt man nämlich den Punkt Pzum Coordinaten- Anfangs-
punlit und zieht die ^- Achse parallel zur reellen Asymptote u von e, so
bat man für die Curve c, die Asymptote u und den Kreis Je bez. die Gleichnngen:
x{x^ + y^) + crc*+ba?y + c|^*+ \x + gy = 0,
-^(a^' + y*) + f^ + 9y = o
und für den Punkt F wird
c — e
6 = -
Sind nun Q und B bez. die Schnittpunkte der y- Achse mit c und l^
V der Schnittpunkt der a;- Achse mit u, so ist:
also
und
Pö=-f
t + e
PV=^-t,
e(c + e)
PB 2e
QB c-e
PV
1
Kennt man demnach von der Curve c des Focalcentnim JP, di^
Asymptote u, auf einer Parallelen zu u die Punkte P und Q und in P
die Tangente p — was zur eindeutigen Bestimmung von c gerade ass
reicht — so ziehe man PV senkrecht zu u, P& senkrecht zuP^, QTFpanJle.
und gleich zu FG (Fig. 2). Dann geht der gesuchte Kreis k dnreh des
Schnittpunkt B von VW mit PQ und berührt in P die Gerade p.
Die Coefficienten der Gleichung 3) sind linear zusammengesetzt aa£
den Coefficienten der Gleichung 1). Bestimmt man also zum Punkte P ia
Bezug auf zwei circulare Curven dritter Ordnung 6 = 0 und €*= 0 die
zugeordneten Kreise ft = 0 und $'= 0, so entspricht demselben Punkte P
in Bezug auf die Curve 6 — )16'=0 der Kreis ft — Xft'=0. fiSeraus
folgt: Die einem Punkte P in Bezug auf ein Büschel von eir-
cularen Curven dritter Ordnung zugeordneten Kreise bildet
gleichfalls ein Büschel.
Von Dr. R. Mülleb. 343
§ 4. Construotion der Focalonrve ans sechs beliebig gewählten
Punkten.
Sechs beliebig gegebene Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 bestimmen ein
Büschel von circularen Curven dritter Ordnung Cj o'; c\ . . und einen
Kreis f als Ort der zugehörigen Focalcentra JP, F' F'\ . . Construirt man
für irgend einen Paukt P der Ebene in Bezag auf c, c, c\ . . die zugeord-
neten Kreise hj k\ Jc'...^ so ist das entstehende Kreisbüschel projectiv
bezogen auf die Punktreihe FF'F". . . . Verbindet man also einen be-
liebigen Punkt Fq des Kreises f mit F^ F' F". . ., so ist auch das Strahlen-
büschel Ff^{FF'F*') projectiv zu dem Kreisbüschel Jch'k",,,^ und dann
erzeugen beide eine circulare Curve dritter Ordnung z. Dieselbe schneidet
den Kreis f in Fq und überdies in drei endlichen Punkten Fj, Fjj^ Fm^
und diese gehören als Focalcentra zu drei bestimmten Curven C/, cn^ ciii
des Büschels C€c\ . . Nun ist Fi als Punkt der Curve z der eine Schnitt-
punkt des Strahls ^o^^ ^^^ ^^^ entsprechenden Kreise Jci des Büschels
kUh", . .; dem Punkt P wird also in Bezug auf Ci ein Kreis kj zugeordnet,
der durch das zugehörige Focalcentrum Fj geht, mithin ist cj nach einem
der vorher abgeleiteten Sfttze eine Focalcurve. Hieraus folgt: Durch
sechs gegebene Punkte gehen im Allgemeinen drei Focal-
curven.
Die Construction der Focalcurven c/, C//, cm erfordert demnach die
Bestimmung des Kreises f und der Curve z. Um einen Punkt von f zu
erhalten, füge man zu den sechs gegebenen Punkten 1, 2, 3, 4, 5, 6
einen siebenten Punkt U beliebig hinzu und construire für die so be-
stimmte Curve c das Focalcentrum F. Dabei Ittsst man den Punkt U
zweckmässig zusammenfallen mit dem unendlich fernen Punkte einer Geraden,
die zwei der gegebenen Punkte verbindet. Sei etwa U der unendlich ferne
Punkt der Geraden 1 2 , so lege man durch die Punkte 1 und 2 das Kreis-
büschel 12(3 45 6Cr) und bestimme zunächst den Punkt Sy in welchem
die Curve c ihre Asymptote u schneidet. Nach § 1 ergiebt sich S als der
vierte Schnittpunkt zweier Hyperbeln t> und U), die bez. durch die Punkte
3, 4, 5, CT und 3, 4, 6, D" gehen und die Doppelverhftltnisse 12(34517}
und 1 2 (3 4 6 {7) fassen. Die Ausführung dieser Construction gestaltet sich
in folgender Weise (Fig. 3).
Errichtet man zu den Geraden 13; 14, 16, 16 bez. Lothe in den
Punkten 3, 4, 5, 6 und bestimmt ihre Schnittpunkte 3', 4', 5', 6' mit
einer durch 2 senkrecht zu 12 gezogenen Geraden, so liegen die Punkte
3'. 4', 5', 6' bez. auf den Kreisen 123, 124, 125, 126, folglich ist das
Doppelverhältniss
1 2(3 45 17) = (3'4'5'oo) = ^.
344 Constniction der Foealcunre aus sechs gegebenen Punkten«
Man ziehe nun durch 5 zu 1 2 eine Parallele, welche 3 4 in 5^ schneidet,
mache auf einer durch 3 beliebig gelegten Geraden, z. B. auf 13, di«
Strecken 34-^ 34'^ 35-^ 3^5'^
bestimme den Schnittpunkt @ von 44'' und ÖqÖ" und ziehe die Gerade @S
parallel zu 13 bis 34. Dann ist das Doppelverhältniss
(340083) = (34"5"oo) = |4' = 12(34517),
mithin ist die Gerade ^U eine Asymptote der Hyperbel \).
Macht man ferner auf 1 3 die Strecke 3 &'= 3'6' und zieht 6 %
parallel zu 12 bis 34, darauf 606'' bis X auf 44'' und St9Qß parallel sq
13 bis 34, so bestimmen die Punkte 3, 4, 6, Z7 mit der Asymptote SSZ7
die Hyperbel Xo.
Um jetzt den vierten Schnittpunkt S der Hyperbeln t> und to zu er>
mittein, oonstruire man zunächst den zweiten Schnittpunkt 6 '^ der Geraden
36 mit t>, sowie den zweiten Schnittpunkt 5* von 4 5 mit to. In dem
der Hyperbel t> eingeschriebenen Ftlnfeck 3 45 Z7 6* schneidet die Tangente
des Punktes U die gegenüberliegende Seite 34 in S; treffen sich also 36
und 5 27 in O, so ist SSD die Pascal'sche Gerade, und dann geht 176'
durch den Schnittpunkt 9t von 45 und 83 O« Ebenso findet man 5* dorch
folgende Construction :
0 = 45, 617; 3i'^©a', 36; 5*=45, Z7gt'.
Die Hyperbeln )> und it) bestimmen nun ein Kegelschnittbtischel mit
den Gruudpunkten 3, 4, 17, & Legt man durch zwei derselben, etwa 3
und 4, einen festen Kegelschnitt, z. 6. das Geradenpaar 36, 45, so schneidet
dieser alle Kegelschnitte des Büschels noch in Punktpaaren, deren Ver-
bindungslinien durch einen festen Punkt $ der Geraden US gehen. Die
Hyperbeln t) und to treffen jenen festen Kegelschnitt bez. in 6"^ und 5.
sowie in 6 und 5'*'; demnach ist $ der Schnittpunkt von 6*5 and 65*,
und dann liegt S auf der zu 1 2 parallelen Geraden $ 17, d. h. SßU ist die
reelle Asymptote u der Curve c. Ein dritter Kegelschnitt des Bflschek
wird dargestellt durch das Geradenpaar SU, AS. Bezeichnet man also
mit yi und 91' bez. die Schnittpunkte von 317 und 45, sowie von 48 und
36, so geht die Gerade 9t 91' gleichfalls durch $, folglich ist
91 = 36, m-, S=^U, 491'.
Mit Hilfe des Asymptotenschnittpunktes S erhält man unmittelbar das
gesuchte Focalcentram F der Curve c. Die Geraden 1 3', 1 4' schneideo
nämlich die Mittelsenkrechte der Strecke 1 2 bez. in den Mittelpunkten äR^
m^ der Kreise 123, 12 4. Fällt man von 9K3, Wt^ bez. Lethe auf S$,
/S4, so treffen sich dieselben nach § 1 im Punkte F.
Man construire nun in ganz derselben Weise das Focalcentrum F' der
circularen Curve dritter Ordnung c', die durch die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6,
Von Dr. R. Müllbb. 345
sowie durch den nnendlich fernen Pnnkt V der Geraden 13 geht. Nach
dem letzten Satze in § 2 bilden die Strahlen , welche F nnd Vy F' nnd
U' mit irgend einem Punkte des Kreises f^ z. B. mit dem zu F unendlich
benachbarten Punkte verbinden, zwei Paare einer symmetrischen Involution.
Zieht man also durch F die Gerade t so, dass der Winkel F'Ft gleich ist
dem Winkel UFU\ so bertthrt i in F den Kreis f^ der durch JP, F\ t
demnach bestimmt ist.
Um zweitens die Curve 0 zu ermitteln, ersetzt man zweckmässig den
vorher mit P bezeichneten Punkt durch einen der sechs gegebenen Punkte,
z. 6. durch 1. Dann sind zunSchst die dem Punkte 1 in Bezug auf die
Curven c, c\ c'. . . zugeordneten Kreise h^ h\ Jc\ . . zu construiren. Fällt
man in Figur 3 von F auf Sl ein Loth, welches die Mittelsenkrechte der
Strecke 12 inWli schneidet, so gehört zu dem Mittelpunkte SDti ein Kreis,
der die Curve c im Punkte 1 berührt; zieht man also durch 1 die Gerade jp
senkrecht zu 13R|, so ist dieselbe die Tangente der c im Punkte 1. Aus
den Punkten F, 1, 2 nnd den Geraden u und p ergiebt sich nach
Figur 2 der Kreis h
Construirt man ebenso für die Curve c im Punkte 1 die Tangente p
und den Kreis Jc\ so bestimmen Je und Je den zweiten Grundpunkt des
Ereisbflschels Je Je Je*. . .
Sei ferner U" der unendlich ferne Punkt der Geraden 14, c" die durch
die Punkte 1, 2, 3, 4, 6, 6, U" gehende circulare Curve dritter Ord-
nung. Dann findet man auf dem Kreise f das zugehörige Focalcentrum F^^
indem man den Winkel F'FF" gleich macht dem Winkel TJ"FU\ Fällt
man von 2 und 3 Loihe auf die Geraden , welche F" bez. mit den Mittel-
punkten der Kreise 124 und 134 verbinden, so treffen sich dieselben im
Asjmptotenschnittpunkte S"j und nun ergiebt sich wie vorhin die Tangente
p" der Curve c" im Punkte 1.
Von den beiden projectiven Strahlenbüscheln J*(<JF'-F''...) und ICpjpV'...)
kennt man somit drei Paare entsprechender Strahlen, Dadurch wird aber
auch das Strahlenbttschel F{tF'F'\, .) projectiv bezogen auf das Kreis-
büschel JeJe'Je'. . . , und dann erzeugen beide die Curve » , welche den Kreis f
in den Paukten -F, JF/, F//, Fm durchschneidet
Es ist endlich die Focalcurve selbst zu construiren , die z. B. den
Punkt Fl zum Focalcentrum hat Macht man den Winkel TJ'FJJj gleich
dem Winkel FiFF\ so liefert die Gerade FTJj den unendlich fernen
Punkt TJi der gesuchten Curve C/. Man könnte nun den zagehörigen
Asjmptotenschnittpunkt 8i nach § 1 bestimmen aus der Bedingung, dass
das Strahlenbüschel Sj{Fjl 2 3 £/>) projectiv sein muss einem Büschel con-
centrischer Kreise, die um den Punkt Fj bez. mit den Radien Null, J^/1,
Fi2, Fiij FjUis= CO beschrieben werden; dann würde mauiS/ in analoger
Weise wie vorher den Punkt S erhalten als den vierten Schnittpunkt
zweier Hyperbeln, welche bereits die Punkte Fi^ 1, Uj mit einander ge-
346 Constraction der Pocalcurve ans sechs gegebenen Pankten.
mein haben. Einfacher ist es aber, statt des Punktes 8/ die Mittellinie »/
der Cnrve Cr zn construiren, nach einem Verfahren , das im folgendes
Paragraphen abgeleitet wird.
§ 5. Construotion der Focalcnrve ans dem Focaloentmm,
dem reellen unendlich fernen Punkt und drei beliebigen
anderen Punkten.
Von einer Focalcurve, die wir jetzt wieder kurz mit e bezeichnen,
seien gegeben das Focalcentrum JP, der reelle unendlich ferne Pankt V
und drei beliebige andere Punkte 1, 2, 3 (Fig. 4). Der Punkt ZT bestimmt
die Richtung der unbekannten Mittellinie m. Versteht man unter M^ , Mf,
M^ bez. die Schnittpunkte der Geraden Fl^ J^2, F3 mit m, so schneideB
sich die Kreise, welche ilf|, M^, M^zu Mittelpunkten haben und bes. durch
ly 2, 3 gehen, in den beiden reellen oder imaginftren Grundpnnkten der
Curve c; sie haben also jedenfalls eine gemeinschaftliche Chordale m.
Man ziehe nun in der Richtung nach U, aber sonst beliebig, die Ge-
raden g, r.. ., bestimme ihre Schnittpunkte Q^ Rif.Qf, JBt»... Q^t -^s--
bez. mit den Geraden Fl^ jP2, F3 und beschreibe um die Punkte der
ersten Punktreihe Kreise durch 1 , ebenso um jeden Punkt der zweiten und
dritten Punktreihe einen Kreis bez. durch 2 und 3. Dadurch entetdiea
drei projective Kreisbttschel mit je zwei in 1, 2, 3 vereinigten Grund-
punkten. Es seien femer q^, t). . . bez. die Chordalen der Kreise nm Qi
und ^3, um B^^ und iZ, . . ., sowie c^^f 1*2 •• * ^^^ Chordalen der ILreise va
Q^ und Q3, jß, und B^... Würden dann z. B. q^ und q, mit einander xa-
sammenfallen , so wären sie identisch mit der Geraden m» und q wSre die
Mittellinie der Curve c.
Haben zwei projective Kreisbttschel die unendlich ferne Gerade ent-
sprechend gemein, so bilden die Chordalen entsprechender Kreise efa
Strahlenbüschel, das zu den Kreisbttscheln projectiv ist. Denn die bdde&
Kreisbüschel erzeugen eine circulare Curve dritter Ordnung, nnd jeder
Kreis des einen Büschels schneidet dieselbe in zwei Punkten, deren ?&•
bindungslinie durch einen festen Punkt der Curve geht. Diese Verbindungs-
linie ist aber die Chordale , welche der Kreis mit dem entsprechenden Kreide
des anderen Büschels gemein hat — Im vorliegenden Falle sind also die
Parallelstrahlenbüschel q|r|... und qjT2*** projectiv zu dem Kreiabfiäcbel
3(Qs-^8'*') ^^^ folglich auch projectiv zu dem Parallelstrahlenbüschel ^r. . -
Dem durch F gehenden Strahle des letzteren entsprechen drei eoncentrisekr
Kreise um F^ und diese haben die unendlich ferne Gerade lur gene£a>
schaftlichen Chordale; die Büschel q^ti... und q^Tg... sind demnaeh eis-
ander ähnlich.
um den endlichen Doppelstrahl m derselben zu construiren, genügt ^
Kenntniss von zwei Strahlenpaaren q^ q, und x^ Tg. Wfthlt man nls q am
unendlich ferne Gerade, so gehen q^, q, bez. durch die Schnittpunkte de?
Von Dr. R. Möllbb. 347
in 3 zn j^3 errichteten Lothes mit den Geraden, die in 1 nnd 2 bez. anf
Flj F2 senkrecht stehen. Schneiden tu r^ die Gerade r in SR|, 91^, and
qi; q, irgend eine Parallele v zu r in 33|| IBj, so geht die Gerade m durch
den Schnittpunkt von St^lBi und Sfi^^s*
Das Parallelstrahlenbttscbel ntq|T|... trifft die Gerader in der Punkt-
reihe SOtO^SRi..., und diese ist projectiy zu der Punktreihe M^Q^R^,,,^
in welcher das Parallelstrahlenbüschel mqr ... die Gerade Fi schneidet.
Dabei entspricht dem Punkte F der zweiten Punktreihe der unendlich ferne
Punkt der ersten, und da auch der Punkt ^3 unendlich fem ist, so sind
O] und F die Gegenpunkte beider Reihen. Dann geht die perspective
Achse X der Panktreihen durch iR| parallel zu O^i^; zieht man also äRF
bis X auf X und durch X die Gerade XM^ parallel zu r, so ist XM^ die
gesuchte Mittellinie m.
Beschreibt man um M^ einen Kreis durch den Punkt 3, so bestimmt
derselbe ein Ereisbttschel , ilas m zur Chordale hat. Dasselbe erzeugt die
Curve c in Verbindung mit dem Strahlenbüschel Fj dessen Strahlen durch
die Mittelpunkte der entsprechenden Kreise gehen.
§ 6. Die Focalcurven durch die sechs Eckpunkte
eines vollständigen Vierseits.
In Figur 5 sind ÄÄ\ BSj CC die drei Gegeneckenpaare eines volU
ständigen Vierseits. Construirt man für jedes der Dreiecke ÄBO^ AB'C\
ÄBC\ il'^Oden umschriebenen Kreis, so schneiden sich diese vier Kreise
bekanntlich in einem Punkte JF/, dem Brennpunkt der dem Vierseit ein-
geschriebenen Parabel. Dann erfüllen die Brennpunkte aller dem Vierseit
eingeschriebenen Kegelschnitte eine Focalcurve o/| welche durch die sechs
Eckpunkte geht, den Punkt Fi zum Focalcentrum hat und deren Mittel-
linie ffij die Mittelpunkte der drei Diagonalen AX^ BB^y CO' verbindet.*
Wir bezeichnen dieselbe im Folgenden als die Brennpunktscurve des
gegebenen Vierseits*
Jede Seite des Vierseits bildet mit dem Kreise, der durch die drei
nicht auf ihr liegenden Eckpunkte geht, eine ausgeartete Curve des Büschels
von cireularen Curven dritter Ordnung, welches A^ A\ Bs Fl ^ C C zu
Grundpunkten hat. Demnach liegen die Mittelpunkte der vier Kreise mit
dem Punkte Fi auf dem Kreise /*, der nach § 2 die Focalcentra aller Curven
des Büschels enthält, und dieser ist also im vorliegenden Falle ohne
Weiteres bekannt. Da ferner durch den Punkt Fi bereits fünf Curven des
Büschels gehen, so ist derselbe der neunte Grundpunkt des Büschels.
Mithin ergiebt sich der Satz: Alle cireularen Curven dritter Ord-
nung, welche durch die sechs Eckpunkte eines vollständigen
Vierseits gehen, enthalten auch den Brennpunkt der dem Vier-
* Daröge, Mathematische Annalen Bd. 5 S. 90«
348 Constrnction der Focalcurve aus sechs gegebenen Pankten.
seit eingeschriebenen ParabeJ. Diejenige Onrve des Büschels,
die diesen Brennpunkt zum Focalcentrum hat, ist die Brenn-
punktscurve des Vierseits.
Gegenwärtig ist also von den drei Lösungen der in § 4 behandelten
Aufgabe die eine, nämlich die Curve Cx, direct gegeben, und es ist dem-
nach zu erwarten, dass auch die beiden noch fehlenden Lösungen en und
CjTT sich in weit einfacherer Weise werden conatruiren lassen, als in deoi
vorher betrachteten allgemeinen Falle. In der That ergiebt sich eine solche
Construction mit Hilfe einiger Sätze, die wir im nächsten Paragit^phen
ableiten werden.
Vorher möge noch ein interessanter Sonderfall erwähnt werden, is
welchem alle drei Lösungen unmittelbar vorliegen. Derselbe tritt ein, wess
zweimal zwei Seiten des gegebenen Vierseits auf einander senk-
recht stehen. Sind in Figur 6 die Geraden Ä'B' und ÄJff bez. senkrecht
auf AB und AB^ so ist Bl' der Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABÄ\
also auch BB: senkrecht auf ÄÄ\ Dann gehen die vier Kreise ABC
AB^C\ ÄBC\ ÄB^C durch den Schnittpunkt von AÄ und Bff-^ derselbe
ist folglich das Focalcentrum Fj der Brennpunktscurve C/. unter den dureb
Fl gehenden Strahlen schneiden zwei die Curve cj bez. m A^ Ä und JB, If,
und die beiden Kreise tlber den Durchmessern AÄy BB^ treffen sich in
C und C'\ mithin sind (7, C die Grundpunkte der c/. Constmirt maa
nun die Cr in bekannter Weise aus dem Kreisbttschel CC' und dem StraUen-
büschel JP/, so entspricht dem Kreise CO'Fj der Durchmesser FjSr^ der
die ci in Fj berührt und in fij schneidet. Die Funkte Fj und Sj haben
aber gleiche Entfernungen von der Mittellinie der Curve, mithin geht
durch 8i die reelle Asymptote u/.
Zwei Kreise über den Darchmessern AB' und A'B schneiden sieh in C
und Fi, folglich ist der Punkt C das Focalcentram einer zweiten Focalcurve cn
mit den Grundpunkten C' und Fi. Ebenso wird die dritte Focalcurve cw
bestimmt durch das Focalcentrum C und die Grandpunkte C und JPj; der
früher mit f bezeichnete Kreis geht demnach durch die Punkte C, C\ T\
und hat zam Mittelpunkte den Schnittpunkt der Mittellinien n»/, mn% ^in-
Construirt man zu den Punkten C und C bez. die Oegenpunkte 8n und Sin,
so sind die Asymptoten uy, w//, um die Höhen des Dreiecks SiSnSniy ^
schneiden sich also in einem Paukte.
§ 7. Die drei Systeme von ooi^jugirten Punkten
auf einer zweitheiligen Focalcurve.
Wenn aus einem Punkte Q einer Curve dritter Ordnung c vier
reelle Tangenten an dieselbe gehen, so ist die Curve zweitheilig und der
Punkt Q befindet sich auf dem unpaaren Zuge derselben. Die zugehörigee
Berührungspunkte P, P\ P'\ P'" werden als ein Punktqnadrupei
der c bezeichnet. Nennt man ferner zwei Paukte der c einander eoo-
Von Dr. &. Müllbb. 349
conJQgirt, wenn sie denselben Tangentialpnnkt besitzen, so können die
Punkte jenes Quadrupels auf drei verschiedene Arten zn Paaren conjngirter
Punkte zusammengefasst werden. Aus jedem solchen Paare erhält man
neue Paare derselben Art, indem man das Paar aus beliebigen Punkten
der Curye auf dieselbe projicirt. Auf diese Weise entstehen aus den Paaren
FJP'j PF"^ PF'" drei verschiedene Systeme von conjugirten Punkten. Die
Geraden, welche die Paare desselben Systems mit irgend einem Punkte der
Curve verbinden, bilden bekanntlich eine Involution.
Ist e eine Focalcurve, so sind die imaginären Ereispunkte J, J ein
Paar coiyugirte Punkte mit dem Focalcentrum als Tangentialpnnkt. Daun
werden alle Paare desjenigen der drei Systeme, zu welchem das Paar J, J
gehört, aus jedem Curvenpunkte durch eine symmetrische Involution pro-
jicirt. Dieses System nimmt also gegenüber den beiden anderen Systemen
eine ausgezeichnete Stellung ein; wir bezeichnen es im Folgenden kurz als
das symmetrische System von conjugirten Punkten.
Bilden nun wieder die Punkte P, P\ P", P"' ein Quadrupel der
Focalcnrve C; so geht dieselbe auch durch die Diagonalpunkte Q', (j!\ Q!"
des vollständigen Vierecks PP'P"P'\ Entspricht dem Punkte P in
dem symmetrischen System etwa der Punkt P\ so ist F'*P"' ein Paar
derselben Art, und dann werden alle Paare dieses Systems aus dem Schnitt-
punkte (jf der Geraden PF' und F"p"' durch eine symmetrische Involution
projicirt, welche FF' und F"F'" zu Doppelstrahlen hat; mithin steht FF'
senkrecht auf F"F''\ Bei jeder Focalcnrve bilden demnach die
Punkte eines Quadrupels ein Viereck, in welchem zwei Gegen-
seiten einen rechten Winkel einschliessen. Die beiden Paare
des Quadrupels, deren Verbindungslinien auf einander senk-
recht stehen, gehören zu dem symmetrischen System 
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